Aula 5 (equação vetorial da reta; equações paramétricas da reta; equações simétricas da reta; ângulo entre duas retas; distância entre ponto e reta)

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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
Aula 5: equação vetorial da reta; equações paramétricas da reta; 
equações simétricas da reta; ângulo entre duas retas; distância entre 
ponto e reta. 
Prof. Luciano Pedroso 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Considere um ponto A(x1, y1, z1) no ℝ
3 e uma direção 
𝑣 =(a, b, c). Quer-se descrever os pontos da reta r que 
possui a direção 𝑣 e passa pelo ponto A. Só existe uma 
reta que passa por A e tem a direção de 𝑣 . 
ℝ3 
y 
x 
z 
A 
𝑣 
P 
r 
O 
Um ponto P pertence a r se o vetor 𝐴𝑃 
(determinado pelos pontos A(x1, y1, z1) 
e P(x, y, z) é paralelo a 𝑣 = (a, b, c). 
Sendo 𝐴𝑃 // 𝑣 , então: 
 
𝐴𝑃= t𝑣 (t é algum número real) 
P – A = t𝑣 (𝐴𝑃 = P – A) 
P = A + t𝑣 
Escrevendo-se P = A + t 𝑣 em 
coordenadas, vem: 
 
r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) 
 
𝑣 é chamado de vetor diretor da reta r 
e t de parâmetro. 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Exemplo 1 
 
Qual a equação vetorial da reta r que passa por A(1, –1, 4) e 
tem a direção de 𝑣 = (2, 3, 2)? 
 
 
Exemplo 2 
 
Sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = 
(1, –1, 4) + t(2, 3, 2), determinar o parâmetro t. 
A partir da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + 
t(a, b, c), obtêm-se as equações paramétricas. 
 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct) (propriedade da 
multiplicação de escalar por vetor) 
 
ou ainda 
 
(x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct) (propriedade da soma) 
 
ou então 
 
r: 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 (condição de igualdade) 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 
 
Dado o ponto A(2, 3, –4) e o vetor 𝑣 = (1, –2, 3), pede-se: 
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A 
e tem a direção de 𝑣 . 
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e 
t = 4, respectivamente. 
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. 
d) Verificar se os pontos D(4, –1, 2) e E(5, –4, 3) pertencem 
a r. 
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) 
pertence a r. 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
Das equações paramétricas 
 
x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct 
 
Supondo abc ≠ 0, vem 
 
t = 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
, t = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
, t = 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
 
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para 
t, obtemos as igualdades 
 
𝑥 − 𝑥1
𝑎
 = 
𝑦 − 𝑦1
𝑏
 = 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 
 
Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto 
A(3, 0, –5) e tem a direção do vetor 𝑣 = (2, 2, –1)? 
Considere duas retas r1 e r2 nas 
direções dos vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 , 
respectivamente. 
 
Chama-se ângulo de duas retas r1 
e r2 o menor ângulo formado 
pelos vetores 𝑣 1(vetor diretor de 
r1) e 𝑣 2 (vetor diretor de r2). 
Chamando 𝜃 o referido ângulo, 
então: 
 
cos θ = 
𝑣1• 𝑣2
𝑣1 𝑣2
 , com 0 ≤ θ ≤ 
𝜋
2
 
y 
x 
z 
r1 
r2 
𝑣 1 
𝑣 2 
𝜃 
𝜃 
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
Exemplo 
 
Calcular o ângulo entre as retas 
 
r1: e r2: 
𝑥 + 2
−2
 = 
𝑦 − 3
1
 = 
𝑧
1
 
x = 3 + t 
y = t 
z = –1 – 2t 
Seja um ponto P no ℝ3 e uma reta r, 
cuja distância entre eles quer-se 
calcular. Considere um ponto A e um 
vetor diretor 𝑣 pertencentes à reta. 
 
Os pontos A e P determinam o vetor 
𝐴𝑃. Os vetores 𝐴𝑃 e 𝑣 formam um 
paralelogramo, cuja altura d é 
também a distância de P até r, 
denota-se por d(P,r). 
 
a) A = (base)(altura) = 𝑣 d 
b) A = AP x 𝑣 
 
Comparando a) e b), tem-se: 
 
d = d(P,r) = 
|AP x 𝑣|
|𝑣|
 
P 
A 
r 𝑣 
d 
⊡ 
ℝ3 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
Exemplo 
 
Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta r1: 
z = 3 – 2t 
y = 2 – t 
x = −1 + 2t 
REFERÊNCIAS 
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria 
analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. 
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 2000.