Princípios de contagem. Análise Combinatória. arranjo, permutações, combinações

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1. TEORIA
1.1 Contagem e análise combinatória
Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2
pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora,
basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4
camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer
dos 2 pares de tênis.
O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz
que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta
multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de
tênis, isto é:
Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24
Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e
independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta
multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento
�LVWR�p����SRVVLELOLGDGHV�SDUD�R�DFRQWHFLPHQWR�³HVFROKD�GD�FDOoD´����SDUD�D�
³HVFROKD�GD�FDPLVHWD´�H���SDUD�D�³HVFROKD�GR�WrQLV´���
Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos
podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
1RWH�TXH�SUHFLVDPRV� IRUPDU�Q~PHURV� FRP�R� IRUPDWR� ³$%&´��RQGH�
cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de
algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo
ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos
é dada pela multiplicação:
6 x 6 x 6 = 216 possibilidades
E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados
devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6
opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais
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podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, teríamos 5
opções. E para a posição C, restariam apenas 4 opções. Assim, teríamos:
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades
E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com
algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora,
precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na
posição A, depois na posição B, e depois na posição C.
6H�R���HVWLYHU�QD�SRVLomR�$��WHUHPRV�Q~PHURV�GR�WLSR�³�%&´��3DUD�D�
posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a
posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20
possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do
WLSR� ³$�&´�� WHPRV� �� [� �� [� �� � ��� SRVVLELOLGDGHV�� 7HPRV� RXWUDV� ���
SRVVLELOLGDGHV� SDUD� Q~PHURV� GR� WLSR� ³$%�´�� 2X� VHMD�� DR� WRGR� WHPRV� ���
possibilidades.
Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado
apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo
foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber
quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões
³(´�H�³28´��9HMD�FRPR�ID]HU�LVVR�
- no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades
para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades
para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2.
- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2,
3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5
possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo
que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4.
- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse
presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda
posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20
possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de
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pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da
outra é somente a ordem de posicionamento das pessoas.
(VVH�WLSR�GH�SUREOHPD��RQGH�R�REMHWLYR�p�DUUXPDU�³Q´�HOHPHQWRV�HP�
³Q´� SRVLo}HV� GLVWLQWDV� �QR� FDVR�� �� SHVVRDV� HP� �� FDGHLUDV��� H� RQGH� a
ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da
outra, é chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação
simples de n elementos é dada pela fórmula abaixo:
P(n) = n!
1HVWD� IyUPXOD��Q��VLJQLILFD� ³Q� IDWRULDO´��1D�PDWHPiWLFD��FKDPDPRV�
de fatorial GH�XP�Q~PHUR�³Q´�R�SURGXWR�GH�WRGRV�RV�Q~PHURV� LQWHLURV e
positivos iguais ou inferiores a n, isto é:
n! = n x (n ± 1) x (n ± 2) x ... x 1
Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos
aplicar esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos:
P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas
Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de
permutação simples nos problemas onde D�RUGHP�GH�DUUXPDomR�GRV�³Q´�
objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar
com vários problemas onde a ordem não torna uma possibilidade
diferente da outra ± e não poderemos resolvê-los de maneira tão simples
como a vista aqui.
Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos
anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL?
Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é
um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras
distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será
formado por 6 letras, distribuídas entre 6 posições:
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1.4 Arranjo simples
Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas
cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De
quantas formas poderíamos fazer isso?
Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis,
isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4
possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim,
na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes.
Veja que sempre sobrarão duas pessoas em pé, afinal temos apenas 3
cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é
dada pela multiplicação abaixo:
Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60
8P� FDVR� FRPR� HVVH�� RQGH� SUHWHQGHPRV� SRVLFLRQDU� ³Q´� HOHPHQWRV�
HP� ³P´� SRVLo}HV� �P� PHQRU� TXH� Q��� H� RQGe a ordem dos elementos
diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES.
Sua fórmula é dada abaixo:
!( , ) ( )!
nA n m
n m
 �
Exemplificando, em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto,
teríamos:
Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos
elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma
possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto,
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3DUD�FDOFXODU�R�Q~PHUR�GH�DUUDQMRV�SRVVtYHLV�GH�³Q´�HOHPentos em
JUXSRV� GH� ³P´�� podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do
Arranjo com repetição:
A (n, m) = nm
�OHLD��³DUUDQMR�GH�Q�HOHPHQWRV��P�D�P��p�GDGR�SRU�Q�HOHYDGR�D�P�
Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3
(m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de
arranjos abaixo:
A(n, m) = nm
A(4, 3) = 43
A(4, 3) = 64 arranjos
Você poderesolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas,
apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer
montar placas do tipo __ __ __ e, para isso, possui 4 possibilidades de
letras para cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 =
43 = 64 possibilidades.
1.6 Combinação
Imagine agora que você tem à sua disposição aquelas mesmas 5
pessoas, porém, agora precisa formar uma dupla para participar de um
determinado evento. Quantas duplas distintas é possível formar?
Veja que a ordem não importa mais. A dupla formada por Ana e
Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, estamos
diante de um problema de Combinação.
Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a
duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo:
� �
!( , )
! !
n nC n m
m m n m
§ · ¨ ¸ �© ¹
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Veja que
n
m
§ ·¨ ¸© ¹
é uma outra forPD�GH�VLPEROL]DU� ³FRPELQDomR�GH�Q�
HOHPHQWRV��P�D�P´��(IHWXDQGR�R�FiOFXOR�SDUD�R�H[HPSOR�DFLPD��WHPRV�
� �
� �
!( , )
! !
5 5! 5!(5,2)
2 2! 5 2 ! 2! 3!
5 5 4 3 2 1(5,2) 10
2 2 1 3 2 1
n nC n m
m m n m
C
C
§ · ¨ ¸ �© ¹
§ · ¨ ¸ � u© ¹
§ · u u u u ¨ ¸ u u u u© ¹
Portanto, há 10 combinações possíveis de 5 elementos, dois a dois.
Isto é, há 10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas
disponíveis. Vejamos quais seriam as 10 duplas:
- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo
- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo;
- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo;
- Daniela e Eduardo.
A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as
contas. Ao invés de utilizar a fórmula vista anteriormente, você pode
chegar ao mesmo caso fazendo o seguinte:
���PXOWLSOLFDQGR�RV�³P´�SULPHLURV�WHUPRV�GH�³Q�´
2. dividindo esse resultado por m!
No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros
termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1):
5 4 20(5,2) 10
2! 2
C u 
Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2
a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 ± 2.
Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à
combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 ± 14). Generalizando: a
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combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n
elementos, (n-m) a (n-m):
n n
m n m
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸�© ¹ © ¹
1.7 Permutação circular
Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!.
Entretanto, temos um caso particular de permutação, muito presente em
provas de concurso, que é a Permutação Circular.
Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras
distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5
lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa
redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas
A, B, C, D, e E ao redor da mesa:
Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais
(afinal, a pessoa A tem E à sua esquerda e B à sua direita, e assim
sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição.
Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa,
todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe
uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da
permutação circular de n pessoas, que é:
Pc (n) = (n-1)!
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Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5
pessoas ao redor de uma mesa será:
Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
1RWH�TXH�VH�KRXYHVVH�XPD�SRVLomR�GD�PHVD�FRP�XPD�FDGHLUD�³GH�
RXUR´�� SRU� H[HPSOR�� SDVVDUtDPRV� D� WHU� XPD� RULHQWDomR� HVSDFLDO� HP�
relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular.
1.8 Comentários finais para resolução de exercícios
Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações,
gostaria de gastar mais um tempinho reforçando as diferenças entre estas
ferramentas. Como você verá ao longo dos exercícios, é essencial saber
diferenciar se estamos diante de um caso de arranjo, permutação ou
combinação, para só então resolvê-lo.
Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a
seguinte pergunta:
- a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma
escolha/disposição diferente da outra?
Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E)
à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a
equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos
soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C,
B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é
relevante, não torna uma escolha diferente da outra.
Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é
diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante.
Em uma fila, a ordem importa. Se trocarmos a posição do primeiro
colocado com a do último, teremos uma fila diferente. Portanto, neste
caso a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma
escolha diferente da outra.
Feita a pergunta, você tem duas possibilidades:
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- se a ordem NÃO É RELEVANTE Æ utilizar a fórmula de combinação. Isto
é muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos,
comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3),
concorda?
- se a ordem É RELEVANTE Æ utilizar o princípio fundamental da
contagem (aquela multiplicação simples), que se resume às fórmulas de
arranjos e permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria
5x4x3, concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes,
como no caso de haver repetição. Isto é:
x se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por
n!, onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula
da permutação com repetição);
x se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por
n!, s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo).
&DVR� �� VROGDGRV� IRVVHP� ³LGrQWLFRV´�� GH� WDO� PRGR� TXH� QmR� IRVVH�
possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes
conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo?
Portanto, o número de filas seria 5x4x3/2! .
E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa
redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou
seja, 4! = 24.
Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que
você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila.
- Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60
- E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120
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O primeiro caso é um arranjo; o segundo uma permutação. A
diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos
disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5
elementos possíveis), já o arranjo não envolve todos os elementos (para
cada arranjo foi preciso usar apenas 3dos 5 soldados, concorda?)
Se você entendeu a explicação acima, conseguirá resolver a grande
maioria das questões. Ah, e preste atenção nas resoluções onde misturo a
fórmula da combinação com o princípio fundamental da contagem, pois
estas são as questões mais difíceis, ok?
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2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
1. CESPE ± Polícia Civil/ES ± 2011) A questão da desigualdade de
gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente
no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as
vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma
pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e
Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram
mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9%
meninos.
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao
tráfico de pessoas: relatório do plano
nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com
adaptações).
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o
número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens
entre as vítimas será superior a 4.000.
RESOLUÇÃO:
Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é:
Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30
Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens
podemos criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher
os homens C, B e A (em ambos os casos temos grupos formados pelos
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mesmos 3 indivíduos). Em outras palavras, a ordem de escolha dos
homens para formar um grupo não importa, não torna um grupo diferente
do outro. Quando a ordem não importa, devemos utilizar a fórmula da
combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total de grupos possíveis:
30 29 28(30,3) 10 29 14 4060
3 2 1
C u u u u u u
Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.
Resposta: C
2. CESPE ± EBC ± 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5
candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os
próximos itens.
( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos
candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois
desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.
( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos
dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem
candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os
5 candidatos é igual a 20.
RESOLUÇÃO:
( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos
candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois
desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.
Devemos combinar os 3 nomes dados (Alberto, Bento e Carlos) 2 a
2, para escolher dois deles. A seguir, devemos multiplicar este número de
combinações pelo número de combinações dos 2 candidatos restantes
para ocupar a última vaga. Isto é:
C(3,2) x C(2,1) = 3 x 2 = 6
Item CORRETO.
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( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos
dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem
candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes.
Para que uma lista contenha Alberto, e não contenha nem Bento
nem Carlos, existe uma única possibilidade: Alberto e mais os 2
candidatos restantes.
Analogamente, para que uma lista contenha Bento e não contenha
nem Alberto e nem Carlos, a única possibilidade é: Bento e mais os 2
candidatos restantes.
Por fim, para a lista conter apenas Carlos, a única opção é ela ser
formada por Carlos e os 2 candidatos restantes.
Ao todo, temos exatamente 3 listas possíveis com o nome de
apenas um dos 3 rapazes citados. Item CORRETO.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os
5 candidatos é igual a 20.
A combinação de 5 pessoas, 3 a 3 é:
C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10
Item ERRADO.
Resposta: C C E
3. CESPE ± Polícia Federal ± 2012) Dez policiais federais ± dois
delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes ± foram
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido
em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta,
necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois
agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então,
formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar
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uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares ± motorista e mais
quatro pasageiros ± será superior a 100.
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.
RESOLUÇÃO:
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então,
formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar
uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares ± motorista e mais
quatro pasageiros ± será superior a 100.
Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo
princípio fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado
por 5x4x3x2x1 = 120. Este número é superior a 100, tornando o item
CORRETO.
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.
Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2
disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4
disponíveis. Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da
combinação. Logo, o total de maneiras de compor as equipes é dado por:
C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48
Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO.
Resposta: C E
4. CESPE ± TRE/BA ± 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com
28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em
torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem
uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade:
ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de
buracos que representam números. As metades representam 7 números:
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem
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marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças,
denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe
também uma variação de dominó conhecida como double nine, em que as
metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um
total de 55 peças.
M. Lugo. How to play better dominoes. New York:
Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).
A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.
( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6maneiras distintas.
( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo
tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser
divididas entre os 4 jogadores de 4
28!
(7!) maneiras distintas.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional
entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles
começará o jogo com todas as 7 buchas.
RESOLUÇÃO:
( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
Veja que, se temos 7 possibilidades de números, como no dominó
tradicional, o número de peças é dado pela soma de:
- peças com as combinações dos 7 números disponíveis, 2 a 2: C(7,2) =
21
- 7 buchas, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 7
Assim, ao todo temos 21 + 7 = 28 peças no dominó tradicional.
No dominó com 13 possibilidades de números (de 0 a 12), teremos
a soma de:
- peças com as combinações dos 13 números disponíveis, 2 a 2: C(13,2)
= 78
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- 13 peças, isto é, peças com o mesmo número de casas de cada lado: 13
Assim, temos 78 + 13 = 91 peças no dominó proposto. Item
ERRADO.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6
maneiras distintas.
Aqui temos a permutação circular de 4 jogadores em torno da
mesa, que é dada por:
Pc(4) = (4 ± 1)! = 3! = 6
Item CERTO.
( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo
tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser
divididas entre os 4 jogadores de 4
28!
(7!) maneiras distintas.
O número de formas que o primeiro jogador pode tirar 7 peças em
28 é dado pela combinação C(28,7).
Para o segundo jogador, sobram 21 peças na mesa, das quais ele
pode tirar 7. O número de maneiras de ele tirar é dado por C(21,7).
O terceiro jogador pode tirar suas 7 peças, dentre as 14 restantes,
de C(14,7) formas.
E o último jogador possui C(7,7) formaS de retirar as 7 peças
restantes.
Para saber o total de maneiras de o primeiro E o segundo E o
terceiro E o quarto retirarem suas peças, devemos multiplicar as
probabilidades acima:
Total = C(28,7) x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7)
Lembrando que
!( , )
!( )!
nC n m
m n m
 � , então temos:
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4
28! 21! 14! 7!
7!(28 7)! 7!(21 7)! 7!(14 7)! 7!(7 7)!
28! 21! 14! 7!
7!(21)! 7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!
28! 1 1 1 28!
7! 7! 7! 7! (7!)
Total
Total
Total
 u u u� � � �
 u u u
 u u u 
Item CERTO. Obs.: lembre-se que 0! = 1, por definição.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional
entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles
começará o jogo com todas as 7 buchas.
Vamos imaginar que o primeiro jogador ficou com as 7 buchas. Para
o segundo jogador, temos 21 peças disponíveis, totalizando C(21,7)
formas de pegar as peças. Para o próximo, C(14,7), e para o último,
C(7,7).
Assim, o total de formas de distribuir as peças de modo que um
jogador fique com as 7 buchas é dado pela multiplicação:
Total = 1 x C(21,7) x C(14,7) x C(7,7)
3
21! 14! 7!1
7!(21 7)! 7!(14 7)! 7!(7 7)!
21! 14! 7!1
7!(14)! 7!(7)! 7!(0)!
21 1 1 21!1
7! 7! 7! (7!)
Total
Total
Total
 u u u� � �
 u u u
 u u u 
Para verificar se este número é maior que 100 milhões, vamos
desenvolvê-lo:
3
2
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7!
(7!)
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
(7!)
21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
5040 5040
Total
Total
Total
u u u u u u u u u u u u u u 
u u u u u u u u u u u u u 
u u u u u u u u u u u u u u
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21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8
25401600
Total u u u u u u u u u u u u u 
Este número acima é superior a 100 milhões.
Item CERTO.
Resposta: E C C C
5. CESPE ± TRE/BA ± 2010) Os 100 empregados de uma empresa
foram convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da
empresa. O empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I
ou a cédula II. Caso ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de
logotipo, na ordem de sua preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª ±
5 pontos; 2.ª ± 4 pontos; 3.ª ± 3 pontos; 4.ª ± 2 pontos; 5.ª ± 1 ponto.
Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5 opções, e cada uma
receberá 3 pontos.
Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes.
( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de
votos distintos possíveis para cada empregado é igual a 130.
RESOLUÇÃO:
Se o empregado escolher a cédula I, ele deverá listar as 5 opções
em ordem. Como ele não pode repetir a mesma opção em mais de uma
posição da cédula, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de preencher
essa cédula.
Se o empregado escolher a cédula II, ele deverá escolher 3 das 5
opções, que terão a mesma pontuação. Isto é, neste caso, a ordem de
preenchimento não importa. Assim, o número de formas de escolher 3
das 5 opções disponíveis é dado por C(5,3) = C(5,2) = 5x4/2 = 10.
Assim, ao todo temos 120 fórmulas de preencher a cédula I e 10
formas de preencher a cédula II. Ao todo, cada empregado tem 130
formas diferentes de votar. Item CERTO.
Resposta: C
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6. CESPE ± ANTT ± 2013) Em um torneio de futebol que será disputado
por N times, cada time jogará exatamente uma vez contra cada um dos
outros times, e o sistema de pontuação será o seguinte: o vencedor da
partida receberá três pontos, o perdedor não receberá nenhum ponto e,
em caso de empate, cada um dos times que disputarem a partida
receberá um ponto.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
( ) Se N = 12, então o número de jogos desse torneio será superior a
100.
RESOLUÇÃO:
O número de jogos é dado pela combinação dos 12 times em
grupos de 2, ou seja:
12 12 11(12,2) 66
2!2
C
§ · u ¨ ¸¨ ¸© ¹
Item ERRADO.
Resposta: E
7. CESPE ± SUFRAMA ± 2014) Sabendo-se que uma repartição possui
30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
RESOLUÇÃO:
Temos um total de 30 servidores, sendo 10 mulheres e 20 homens.
Queremos escolher exatamente 4 das 10 mulheres e 1 dos 20 homens
para formar um grupo.
Repare que a ordem de escolha das mulheres ou dos homens é
irrelevante para a nossa análise. Escolher as mulheres Andressa, Bia,
Clara e Daiane, nesta ordem, é o mesmo que escolher primeiro a Bia,
depois a Daiane, depois a Andressa e por fim a Clara ± afinal o grupo
continuará sendo composto pelas mesmas 4 mulheres. Da mesma forma,
também é irrelevante escolher o único homem antes de escolher as
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mulheres, depois de escolher as mulheres ou entre as escolhas das
mulheres. Em qualquer caso, o grupo será composto por aquele homem
escolhido e as 4 mulheres escolhidas.
Quando a ordem de escolha é irrelevante,basta utilizarmos a
fórmula da combinação para saber o número de grupos a serem
formados.
Começamos escolhendo 4 das 10 mulheres, o que é feito através da
combinação das 10 mulheres em grupos de 4, ou seja:
10 9 8 7(10,4)
4!
C u u u 
10 9 8 7(10,4)
4 3 2 1
C u u u u u u
10 9 1 7(10,4)
1 3 1 1
C u u u u u u
10 3 1 7(10,4)
1 1 1 1
C u u u u u u
(10,4) 210C possibilidades 
Já para a escolha do único homem temos 20 possibilidades
(qualquer um dos 20 disponíveis).
Portanto, temos 210 possibilidades para a escolha das mulheres e
20 possibilidades para a escolha do homem. Repare que a escolha das
mulheres é independente da escolha dos homens. Quando temos eventos
independentes e sucessivos (devemos escolher as mulheres E escolher o
homem), o total de casos é dado pela multiplicação das possibilidades:
Nº de formas de escolher 4 mulheres e 1 homem = 210 x 20
Nº de formas de escolher 4 mulheres e 1 homem = 4200
Note que o item está ERRADO, pois o total é superior a 4000 (como
costuma acontecer nas questões do CESPE, encontramos um número
próximo àquele presente no enunciado).
Resposta: E
8. CESPE ± SUFRAMA ± 2014) Em um campeonato de futebol, a
pontuação acumulada de um time é a soma dos pontos obtidos em cada
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jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por vitória, um
ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Com base nessas
informações, julgue os itens seguintes.
( ) Se um time disputou 4 jogos, então a probabilidade de a pontuação
acumulada desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual a 7 será
superior a 0,35.
( ) Nesse campeonato, os critérios de desempate maior número de
vitórias e menor número de derrotas são equivalentes.
RESOLUÇÃO:
( ) Se um time disputou 4 jogos, então a probabilidade de a pontuação
acumulada desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual a 7 será
superior a 0,35.
Vamos chamar de V, E e D cada vitória, empate e derrota,
respectivamente. Após 4 jogos, a única forma de se fazer 4 pontos é:
1V, 1E, 2D
O número de formas de obter 1V, 1E e 2D é dado pelas
permutações de 4 resultados, com repetição de 2D, isto é:
P(4, 2) = 4! / 2! = 12.
As formas de fazer 5 pontos são:
1V, 2E, 1D Æ P(4, 2) = 4! / 2! = 12
As formas de fazer 6 pontos são:
2V, 2D Æ P(4, 2 e 2) = 4! / (2! x 2!) = 6
1V, 3E Æ P(4, 3) = 4! / 3! = 4.
As formas de fazer 7 pontos são:
2V, 1E, 1D Æ P(4, 2) = 4! / 2! = 12
Portanto, ao todo temos 12 + 12 + 6 + 4 + 12 = 46 possibilidades
favoráveis, onde a pontuação vai de 4 a 7 pontos.
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Para sabermos o total de possibilidades, basta lembrar que cada um
dos 4 jogos tem 3 possibilidades de resultado (V, E ou D), totalizando 3 x
3 x 3 x 3 = 81 possibilidades de combinação de resultados após 4 jogos.
Logo, a probabilidade de a pontuação ser de 4 a 7 pontos é:
P = favoráveis / total
P = 46 / 81
P = 56,7%
Item CORRETO.
( ) Nesse campeonato, os critérios de desempate maior número de
vitórias e menor número de derrotas são equivalentes.
ERRADO. Pode ser que dois times tenham o mesmo número de
pontos, mas um deles possua mais vitórias e o outro possua menos
derrotas. Veja um exemplo:
Time A: 1V, 3D (3 pontos ao todo)
Time B: 3E, 1D (3 pontos ao todo)
Veja que ambos os times fizeram o mesmo número de pontos. Se o
critério de desempate for ³PDLRU�Q~PHUR�GH�YLWyULDV´��R�7LPH�$�HVWi�QD�
IUHQWH�� 6H� R� FULWpULR� GH� GHVHPSDWH� IRU� ³PHQRU� Q~PHUR� GH� GHUURWDV´�� R�
Time B está na frente. Ou seja, dependendo do critério, muda o time
vencedor. Isto significa que os critérios de desempate mencionados não
são equivalentes.
Resposta: C E
9. CESPE ± TCDF ± 2014) Considerando que, em um planejamento de
ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a
existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo
que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de
análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um
relator e um técnico, julgue os próximos itens.
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( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos
referidos servidores para a montagem de uma equipe de análise é
superior a 2.500.
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de
somente uma equipe de análise e que cada equipe não possa analisar
mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar
que a capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento
simultâneo de cinco programas de governo.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses
programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000.
RESOLUÇÃO:
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos
referidos servidores para a montagem de uma equipe de análise é
superior a 2.500.
Podemos escolher os 3 servidores que formarão uma equipe através
da combinação dos 15 servidores em grupos de 3, ou seja,
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 3!
C(15,3) = 15 x 14 x 13 / 6
C(15,3) = 5 x 7 x 13
C(15,3) = 455
Assim, é possível montar 455 trios diferentes de servidores. Em
cada um desses trios, devemos permutar os 3 servidores entre si, entre
os cargos de coordenador, relator e técnico. Assim, temos P(3) = 3! = 6
organizações diferentes entre os três servidores de cada trio, totalizando
455 x 6 = 2730 formas de montar as equipes.
Item CORRETO.
( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de
somente uma equipe de análise e que cada equipe não possa analisar
mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar
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que a capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento
simultâneo de cinco programas de governo.
Temos 15 servidores, de modo que podemos formar 15 / 3 = 5
equipes de três servidores simultaneamente. Cada equipe analisa 1
programa por vez, de modo que é possível acompanhar 5 programas de
governo simultaneamente.
Item CORRETO.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses
programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000.
Trata-se da combinação dos 30 programas em grupos de 3, ou seja,
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 3!
C(30,3) = 30 x 29 x 28 / 6
C(30,3) = 5 x 29 x 28
C(30,3) = 4060
Item ERRADO.
Resposta: C C E
10. CESPE ± TRT/16ª ± 2005) Julgue os itens que se seguem.
( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos,
e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai
cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas
letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única
duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os
caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de
senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
RESOLUÇÃO:
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( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos,e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
O objetivo aqui é formar conjuntos de 8 dígitos, usando apenas 0 e
1, de forma que três dígitos sejam iguais a 0 e os demais cinco dígitos
iguais a 1. Uma possibilidade seria:
00011111
Veja que é preciso permutar esses 8 dígitos, e há a repetição de
três (0) e de cinco (1). Utilizando a fórmula da permutação com
repetição, temos:
8! 8 7 6 5! 8 7 6(8;3,5) 56
3!5! 3!5! 3!
P u u u u u 
Veja que esse número é superior a 50. Item CORRETO.
( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai
cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas
letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única
duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os
caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de
senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
Vamos precisar calcular o número de senhas com 6 dígitos distintos
e depois o número de senhas com 1 dígito repetido. No primeiro caso
temos a permutação simples dos 6 dígitos disponíveis:
P(6) = 6! = 720
No segundo caso, cada senha de 6 caracteres será formada com o
uso de apenas 5 dígitos (pois um se repete 2 vezes). Assim, para cada
conjunto de 5 dígitos que escolhermos (ex.: U, V, 5, 6, 7) o número de
senhas possíveis será dado pela permutação de 6 caracteres, com a
repetição de 2:
6! 6 5 4 3 2!(6;2) 360
2! 2!
P u u u u 
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Quantos conjuntos de 5 dígitos podemos escolher, tendo um total
de 6 dígitos disponíveis? Ora, trata-se da combinação de 6 dígitos, 5 a 5:
(6;5) (6;1) 6C C 
Portanto, o número de senhas com 6 algarismo, com a repetição de
2, é dada por 6 x 360 = 2160.
Ao todo, o número de senhas é: 720 + 2160 = 2880. Item
CORRETO.
Resposta: C C
11. CESPE ± TRT/16ª ± 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10
vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as
ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por
exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os
próximos itens.
( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é
inferior a 512.
RESOLUÇÃO:
O número de sequências nas quais temos pelo menos 1 cara é igual
ao total de sequências possíveis menos o número de sequências onde não
temos nenhuma cara. Vejamos:
Î total de sequências possíveis:
Pela regra do produto, como temos 2 possibilidades para cada
lançamento, o total é: 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210 = 1024.
Î total de sequências sem nenhuma cara:
Ora, trata-se do caso onde obtemos coroa em todos os
lançamentos. Trata-se de uma única possibilidade.
Portanto, o número de sequências com pelo menos 1 cara é igual a
1024 ± 1 = 1023. Este número é superior a 512, tornando o item
ERRADO.
Resposta: E
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12. CESPE ± MDS ± 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de
elementos.
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com
a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a
1.500.
( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no
qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1
entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de
sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas
para escolher seu jantar completo.
RESOLUÇÃO:
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com
a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a
1.500.
Para obter anagramas que não possuam duas vogais juntas, é
preciso contar apenas aqueles anagramas onde tenhamos uma consoante
separando duas vogais consecutivas, como é o caso na palavra
EXECUTIVO. Em resumo, devemos permutar as vogais apenas entre elas
(nas posições ocupadas por vogais na palavra EXECUTIVO), e as
consoantes entre elas. Veja exemplos de permutação possíveis:
- trocando apenas vogais: IXOCUTEVE
- trocando apenas consoantes: EVECUTIXO
- trocando vogais e consoantes, mantendo uma consoante entre duas
vogais: IVOCUTEXE.
No caso das vogais, temos 5 letras com a repetição de 2 letras E.
Portanto, o total de permutações de vogais é:
5!(5;2) 60
2!
P 
No caso das consoantes, temos 4 letras, sem repetição. O número
de permutações de consoantes é:
P(4) = 4! = 24
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Observe que, para cada uma das 60 permutações possíveis das
vogais, devemos contabilizar as 24 permutações possíveis das
consoantes. Portanto, o total de permutações das letras de EXECUTIVO
(obedecendo a regra do enunciado) é dado por:
60 x 24 = 1440
Esse valor é inferior a 1500, tornando o item CORRETO.
( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no
qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1
entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de
sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas
para escolher seu jantar completo.
Pela regra do produto, cada convidado tem 3 x 4 x 4 = 48 formas
diferentes de escolher o seu jantar completo, dado que existem 3
possibilidades de pratos, 4 de bebidas e 4 de sobremesas. Item ERRADO.
Resposta: C E
13. CESPE ± MDS ± 2009) Considere que o governo de determinado
estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular,
tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de
restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5
restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12
restaurantes de São Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul.
Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas
para escolher os restaurantes para visitar.
RESOLUÇÃO:
Existem 5 possibilidades de se escolher 1 restaurante na Bahia
(qualquer um dos 5 existentes). Para escolher 2 dentre 12 restaurantes
em Minas, é preciso calcular o número de combinações de 12
restaurantes, 2 a 2:
12 11(12,2) 66
2!
C u 
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(usamos a combinação pois a ordem de escolha desses 2 restaurantes
não importa. Escolher o restaurante A e o restaurante B, formando o par
{A,B} a ser visitado em Minas, é igual a escolher o restaurante B e o
restaurante A neste mesmo Estado)
Analogamente, para escolher 2 dentre 12 restaurantes em São
Paulo, temos outras 66 possibilidades. Por fim, existem 6 formas de
escolher 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul.
O número total de possibilidades é dado pela regra do produto:
5 x 66 x 66 x 6 = 130680
Este número é (bem) superior a 3800, portanto o item está
CORRETO.
Resposta: C
Obs.: essa questão é uma exceção ao estilo CESPE. Quando temos
TXHVW}HV� FRPR� HVVD�� RQGH� R� HQXQFLDGR� GL]� ³WHUi� PDLV� GH� ������
PDQHLUDV´, o normal é você encontrar um resultado ligeiramente acima ou
abaixo de 3.800 (tornando o item C ou E, respectivamente). Quando você
encontrar um resultadR�PXLWR�GLIHUHQWH�GR�YDORU�³VXJHULGR´�QR�HQXQFLDGR��
muito cuidado: revise a sua resolução, verifique se não errou algum
cálculo.
14. CESPE ± MDS ± 2009) O projeto Fome Zero do governo federal
compreende 4 eixos articuladores. Umdeles, o Eixo 1, é composto de 15
programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse
autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e
ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro
lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê,
colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê teria
mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações.
RESOLUÇÃO:
Numa questão como essa, normalmente você poderia pensar em
calcular a combinação dos 14 programas restantes, 4 a 4. Entretanto, foi
mencionada uma ordem de prioridade, de modo que a ordem de escolha
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dos programas passa a ser relevante. Assim, devemos calcular o arranjo
de 14 programas, 4 a 4, ou seja, 14x13x12x11 = 24024 possibilidades.
Trata-se de um número menor que 30mil, portanto o item está
ERRADO.
Resposta: E
Obs.: se você resolvesse através da fórmula da combinação,
encontraria C(14,4) = 1001, que é um número MUITO menor que 30mil,
YDORU� ³VXJHULGR´� SHOR� &(63(�� &RP� isso, você deveria, no mínimo,
desconfiar que a sua resolução pudesse estar incorreta (apesar de que,
neste exercício, ainda assim você acertaria o gabarito).
15. CESPE ± PREVIC ± 2011) Julgue os 2 itens, considerando que
planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou
coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes
tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez,
pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez.
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos
cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas
possíveis.
( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10
grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício
em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por
3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por
invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por
aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos
para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
RESOLUÇÃO:
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos
cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas
possíveis.
Trata-se da combinação de 5 benefícios, 3 a 3, que é:
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5 4(5,3) (5,2) 10
2!
C C u 
De fato existem menos de 12 escolhas possíveis. Item CORRETO.
( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10
grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício
em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por
3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por
invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por
aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos
para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
ChamDQGR� R� EHQHItFLR� ³UHQGD� SRU� LQYDOLGH]´� GH� $�� ³SHQVmR� SRU�
PRUWH´� GH� %�� ³SHF~OLR� SRU� PRUWH´� GH� &�� ³SHF~OLR� SRU� LQYDOLGH]´� GH� '� H�
³DSRVHQWDGRULD´� GH� (�� WHUHPRV� �� $�� �� %�� �� &�� �� '� H� �� (�� 'HYHPRV�
permutar entre os 10 grupos esses 10 benefícios, sabendo que temos
repetição de 3 A, 2 B, 2 C e 2 D:
10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;3,2,2,2)
3!2!2!2! 3! (2 1) (2 1) (2 1)
10 9 8 7 6 5(10;3,2,2,2) 75600
2
P
P
u u u u u u u u u u u u u
u u u u u 
Este número é superior a 70.000 (7 x 104), logo o item está
ERRADO.
Resposta: C E
16. CESPE ± Banco do Brasil ± 2008) A Associação dos
Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo
quinto ano consecutivo, o Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes
indicados serão seguidos pela votação de aproximadamente 250
correspondentes afiliados às associações de correspondentes do Rio de
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Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores serão escolhidos nas
categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário, Melhor Diretor,
Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor
Filme Júri Popular.
Internet: <www.bb.gov.br> (com adaptações).
A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de
contagem, julgue os itens subsequentes.
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3
para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20
mil maneiras possíveis para se formar essa comissão.
( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema,
forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a
quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo
um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será
inferior a 2 × 103.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para
votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário
e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas
categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em
apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de
mais 20 maneiras distintas.
RESOLUÇÃO:
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3
para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20
mil maneiras possíveis para se formar essa comissão.
O número de comissões de 3 integrantes retirados de um total de
50 é dado pela combinação:
50 49 48(50,3) 19600
3!
C u u 
Esse número é inferior a 20mil, portanto o item está CORRETO.
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( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema,
forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a
quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo
um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será
inferior a 2 × 103.
Temos 13 possibilidades para o primeiro lugar, 12 para o segundo e
11 para o terceiro, totalizando:
13 x 12 x 11 = 1716
Esse número é inferior a 2000 (2x103), portanto o item está
CORRETO.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para
votar apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário
e que as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas
categorias sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em
apenas um filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de
mais 20 maneiras distintas.
Esse correspondente tem 8 possibilidades para escolher o Melhor
Filme e 3 possibilidades para o Melhor Documentário, totalizando 8 x 3 =
24 maneiras distintas de votar. Este número é superior a 20, portanto o
item está CERTO.
Resposta: C C C
17. CESPE ± Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a
respeito de contagem.
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com
as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual
a 60.
( ) Caso as senhasde acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se
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repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras
repetidas é superior a 2 × 103.
( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que
esta palavra aparece é igual a 6.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300
pares distintos de letras.
RESOLUÇÃO:
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com
as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual
a 60.
Se queremos apenas os casos que começam e terminam em R,
devemos, em realidade, permutar apenas as letras E, P, E, T, I. Temos,
portanto, a permutação de 5 letras com a repetição de 2, totalizando:
5!(5;2) 60
2!
P possibilidades
Item CORRETO.
( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se
repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras
repetidas é superior a 2 × 103.
A quantidade de senhas com 2 ou 3 letras repetidas é igual ao total
de senhas possível menos a quantidade de senhas que não possuem
letras repetidas. Assim, temos:
Î total de senhas: 26 x 26 x 26 = 17576
Î quantidade de senhas que não possuem letras repetidas: 26x25x24
= 15600
Portanto, o número de senhas que possuam letras repetidas (2 ou 3
letras repetidas) é simplesmente 17576 ± 15600 = 1976.
Este valor é inferior a 2x103, portanto o item está ERRADO.
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( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que
esta palavra aparece é igual a 6.
A palavra PROVAVELMENTE possui 2 repetições da letra V e 3
repetições da letra E. Normalmente consideraríamos que, ao trocar uma
letra V pela outra, ou uma letra E pela outra, temos em realidade um
único anagrama. Entretanto, o enunciado mandou incluir as repetições,
ou seja, considerar que ao trocar uma letra V pela outra e/ou trocar uma
letra E pela outra, cada alteração dessas deve ser considerada uma
permutação distinta.
Para a palavra PROVAVELMENTE continuar aparecendo, devemos
considerar apenas os casos onde trocamos um V pelo outro e/ou
trocamos um E por outro.
O número de permutações das duas letras V entre si é igual a P(2)
= 2! = 2. E o número de permutações das 3 letras E entre si é igual a
P(3) = 6. Para cada permutação das letras V, devemos contabilizar as 6
permutações da letra E. Ao todo, temos 2 x 6 = 12 permutações onde são
trocadas apenas as posições das letras V entre si mesmas e/ou as
posições das letras E entre si mesmas.
Item ERRADO.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300
pares distintos de letras.
Temos 6 letras distintas nessa palavra. Para saber o número de
pares que podemos formar, basta calcular o número de combinações
destas 6 letras, 2 a 2:
C(6,2) = 15
Este número é inferior a 300, portanto o item está ERRADO. Mesmo
se considerássemos que a ordem das letras torna um par diferente do
outro, teríamos 6 x 5 = 30 possibilidades apenas.
Resposta: C E E E
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18. CESPE ± STF ± 2013) A presidência de determinado tribunal é
apoiada por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram
indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos
igualmente qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base
nessas informações, julgue os itens seguintes.
( ) Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por
mulheres, então será superior a 400 o número de maneiras de se
selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas
as seis assessorias.
( ) A quantidade de maneiras distintas de escolher os chefes das
assessorias entre as pessoas indicadas é inferior a 980.
RESOLUÇÃO:
( ) Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por
mulheres, então será superior a 400 o número de maneiras de se
selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas
as seis assessorias.
Temos C(8, 4) formas de escolher 4 das 8 mulheres para as chefias,
e C(4, 2) formas de escolher 2 dos 4 homens para as suas chefias,
totalizando:
C(8,4) x C(4,2) =
70 x 6 =
420 maneiras
Item CORRETO.
( ) A quantidade de maneiras distintas de escolher os chefes das
assessorias entre as pessoas indicadas é inferior a 980.
Temos a combinação das 12 pessoas, em grupos de 6 (que é o total
de chefias):
C(12,6) =
12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 / 6!
12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) =
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2 x 11 x 2 x 9 x 2 x 7 / (1 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1) =
2 x 11 x 2 x 3 x 1 x 7 / (1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1) =
924 maneiras
Item CORRETO.
Resposta: C C
19. CESPE ± Polícia Civil/ES ± 2011) Julgue os itens seguintes, que
dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou
probabilidade de algum evento.
( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três
números de dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-
se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades
é sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o
algarismo das dezenas e o algarismo das unidades já sorteadas não
puderem ser repetidos, então a quantidade de números que podem
ocorrer é inferior a 104.
RESOLUÇÃO:
Veja que temos 6 possibilidades (de 0 a 5) para o algarismo das
dezenas e 10 possibilidades (de 0 a 9) para o algarismo das unidades,
totalizando 6 x 10 = 60 possíveis números de dois algarismos para o
primeiro sorteio.
Após sortear o primeiro número, sobram apenas 5 possibilidades
para o algarismo das dezenas e 9 possibilidades para o algarismo das
unidades, totalizando 5 x 9 = 45 possibilidades para o segundo número a
ser sorteado.
A seguir, sobram 4 possibilidades para o algarismo das dezenas e 8
possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 4 x 8 = 32
possibilidades para o terceiro número a ser sorteado.
Portanto, a regra do produto nos diz que temos ao todo 60 x 45 x
32 = 86400 possibilidades de sortear 3 números de dois algarismos.
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Muito cuidado, pois a resolução não termina aqui (embora quem parasse
aqui acertasse o gabarito, por mera coincidência).
A regra do produto, que utilizamos acima, é válida quando a ordem
dos números sorteados torna um conjunto de 3 números diferente de
outro. Entretanto, sabemos que o conjunto {21, 15, 07} é igual ao
conjunto {07, 21, 15}, que é igual ao {15, 07, 21} e às demais
permutações destes 3 números. Isto porque em qualquer desses casos o
ganhador do sorteio será aquela pessoa que tiver, em qualquer ordem,
estes três números em sua cartela.
A permutação de 3 números é P(3) = 3! = 6. Portanto,devemos
dividir as 86400 possibilidades encontradas através da regra do produto
por 6, para evitar somar repetidas vezes um mesmo conjunto de 3
números. Dessa forma, temos:
86400 / 6 = 14400
Portanto, existem 14400 formas de sortear 3 números de dois
algarismos seguindo a regra proposta no enunciado. Este número é
superior a 10.000 (104). Item ERRADO.
Resposta: E
20. CESPE ± TRE/BA ± 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer
ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não
significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar
151.200 anagramas distintos.
RESOLUÇÃO:
CORREGEDOR possui 10 letras, com a repetição de 2 letras O, 3
letras R, 2 letras E. O número de anagramas desta palavra é calculado
pela fórmula de permutação com repetição:
10! 10 9 8 7 6 5 4 3!(10;2,3,2)
2!3!2! (2 1) 3! (2 1)
(10;2,3,2) 10 9 8 7 6 5 151200
P
P
u u u u u u u u u u u
 u u u u u 
Item CERTO.
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Resposta: C
21. CESPE ± EMBASA ± 2009) A leitura mensal do consumo de água
residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é
feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa
atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses
bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a
essa situação hipotética, julgue os itens a seguir:
( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.
( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de
determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica,
em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então
esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se
ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais
bairros.
RESOLUÇÃO:
Ö PRIMEIRO ITEM:
Para o primeiro item, precisamos saber de quantas formas podemos
distribuir 15 bairros entre 3 funcionários, deixando cada um deles com 5
bairros.
A combinação de 15 em grupos de 5 (isto é, 15, 5 a 5) nos diz de
quantas maneiras podemos distribuir os bairros do primeiro funcionário:
15 15 14 13 12 11 3003
5 5 4 3 2 1
§ · u u u u ¨ ¸ u u u u© ¹
Após separarmos os 5 bairros do primeiro funcionário, sobram 10
bairros, dos quais 5 deverão ser distribuídos para o próximo funcionário.
A combinação de 10 bairros, 5 a 5, nos dá o número de formas de efetuar
essa distribuição:
10 10 9 8 7 6 252
5 5 4 3 2 1
§ · u u u u ¨ ¸ u u u u© ¹
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Por fim, sobram 5 bairros, que serão distribuídos para o último
funcionário. Só há uma forma de fazer isso, como vemos abaixo:
5
1
5
§ · ¨ ¸© ¹
Multiplicando o número de formas de distribuir os bairros do
primeiro funcionário pelo número de formas para distribuir os bairros do
segundo funcionário e pelo número de formas de distribuir os bairros do
último funcionário, temos:
3003 252 1 756756u u 
Portanto, esse item está ERRADO. No gabarito preliminar, este item
foi considerado correto, mas foi corrigido no gabarito definitivo.
Ö SEGUNDO ITEM: o funcionário pode visitar os 2 bairros da região
A e, a seguir, os 3 bairros da região B, ou vice-versa. Vamos
calcular de quantas formas ele fazer isso. Note que agora a ordem
importa. Portanto, trata-se de um caso de permutação.
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 2
bairros da região A? Basta permutar os 2 bairros: P(2) = 2! = 2.
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar os 3
bairros da região B? P(3) = 3! = 6
- De quantas formas diferentes o funcionário pode visitar as 2
regiões? Ora, ele pode ir primeiro na região A e depois na B, ou
vice-versa. Temos 2 formas de fazer isso, que é justamente P(2).
Como temos 2 formas de visitar as regiões, e, dentro das regiões, 2
formas de visitar os bairros de A e 6 formas de visitar os bairros de B, o
total de formas de visitar todos os bairros é: 2 x 2 x 6 = 24. Item
CORRETO.
Resposta: E C
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22. CESPE ± MPE/AM ± 2008) Com respeito aos princípios básicos da
contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens a seguir.
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de
correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma
delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2
dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos
os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados.
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do
conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos,
escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem
permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de
possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1).
RESOLUÇÃO:
Ö PRIMEIRO ITEM: quando o exercício diz que o código tem 2
dígitos, o primeiro dígito não pode ser o zero, pois nesse caso
teríamos, na verdade, um número de apenas 1 dígito. Portanto, os
códigos possíveis são aqueles que tem, no algarismo das dezenas,
de 1 a 9 (9 possibilidades), e no algarismo das unidades, de 0 a 9
(10 possibilidades). Assim, ao todo temos 90 possibilidades de
código. Como eram apenas 79 caixas de correspondência, 11
códigos não precisaram ser utilizados. CORRETO.
Ö SEGUNDO ITEM: Se fossemos simplesmente montar um código
com 4 letras retiradas do conjunto de 10 letras do enunciado, seria
possível formar 10x10x10x10 =104 códigos. Além disso, podemos
escolher 2 algarismos de 0 a 9 (10 possibilidades), ou seja,
podemos escolher 10 x 10 = 102 pares de 2 algarismos.
Multiplicando apenas a quantidade de grupos de 4 letras (104) pela
quantidade de grupos de algarismos (102) já temos 106
possibilidades, que é um resultado maior que aquele dado pelo
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enunciado, portanto o item está ERRADO. Por fins didáticos, vamos
prosseguir com a resolução. Teremos um código da seguinte forma:
L L L L / / N N
Neste código acima, os L representam as 4 letras, as / representam
as barras e os N representam os 2 algarismos. Veja que não basta
apenas multiplicar as quantidades de grupos de letras (104) pela de
números (102). Precisamos ainda considerar que as letras, barras e
números podem estar em qualquer posição. Veja os 3 exemplos
abaixo. Cada um representa um código distinto, apesar de usar as
mesmas letras e números:
Q R S T / / 1 2
Q R S T 1 2 / /
Q / R S / T 1 2
Assim, para cada grupo de 4 letras e 2 números que escolhermos,
precisamos calcular o número de permutações possíveis. Para
piorar, trata-se de uma permutação com repetição, pois a barra se
repete. Temos, assim,
8!(8,2) 20160
2!
PR 
Portanto, ao todo teríamos 20160 x 104 x 102 códigos.
Resposta: C E
23. CESPE ± TSE ± 2007) Para aumentar a segurança no interior do
prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os
funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso
ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três
algarismos (escolhidosentre 0 e 9). O número de senhas distintas que
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podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas
admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:
a) 263 x 10 x 9 x 8
b) 263 x 103
c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8
d) 26 x 25 x 24 x 103
RESOLUÇÃO:
Veja que teremos senhas do tipo __ __ __ - __ __ __, onde as três
primeiras lacunas devem ser preenchidas por letras, e as três seguintes
por números.
Veja que não há repetição de letras. Pelo princípio fundamental da
contagem, temos 26 possibilidades para a primeira letra, 25 para a
segunda e 24 para a terceira, isto é: 26 x 25 x 24 possibilidades.
Por outro lado, é permitido repetir algarismos. Temos 10
possibilidades para o primeiro, outras 10 para o segundo e outras 10 para
o terceiro, perfazendo 10 x 10 x 10 = 103 possibilidades.
Ao todo, teremos 26 x 25 x 24 x 103 possibilidades de senhas.
Resposta: D
Obs.: a título de exercício, repare que a letra A representa o caso
onde podemos repetir letras, mas não algarismos. A letra B representa o
caso onde podemos repetir tanto as letras quanto os algarismos. A letra C
representa o caso onde não podemos repetir nem letras e nem
algarismos.
24. CESPE ± Polícia Federal ± 2009) Considerando que, em um torneio
de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e
que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que
se segue.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que
formarão o grupo A será inferior a 400.
RESOLUÇÃO:
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Observe que colocar as equipes 1, 2, 3, 4 e 5 no grupo A é
equivalente a colocar as equipes 3, 2, 1, 5 e 4 neste grupo. Isto é, a
ordem das equipes não importa. Estamos diante de um problema de
combinação. O número de maneiras de se combinar 11 equipes em
grupos de 5 é dado por:
11 11 10 9 8 7(11,5) 462
5 5 4 3 2 1
C § · u u u u ¨ ¸ u u u u© ¹
Portanto, a quantidade de maneiras distintas de se escolher 5
equipes que formarão o grupo A será SUPERIOR a 400.
Resposta: E
25. CESPE ± Polícia Federal ± 2009) A Polícia Federal brasileira
identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada
ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do
Sul (MS) com o Paraguai.
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.
( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no
texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a
entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de
500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.
RESOLUÇÃO:
Veja que, das 17 cidades de fronteira, apenas 11 (17 ± 6) não estão
na fronteira do MS com o Paraguai, portanto apenas estas serão
escolhidas pela organização criminosa.
O número de maneiras de se combinar 11 em grupos de 6 é dado
por:
11 10 9 8 7(11,6) (11,5) 462
5 4 3 2 1
C C u u u u u u u u
Este número é MENOR do que 500, portanto o item está ERRADO.
Resposta: E
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26. CESPE ± ABIN ± 2010) Com relação aos princípios e técnicas de
contagem, julgue os itens subsequentes.
( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado
órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos
referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região
Sul, 2 da região Centro-Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que
processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse
servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos.
( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio
de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que,
dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os
agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade
de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação,
sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que
os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o
número de maneiras de o servidor responsável pela organização das
viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa
missão é inferior a 50.
( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes
entre os 7 disponíveis para viagens ² um deles para coordenar a equipe,
um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos
de informações ², o número de maneiras de que esse chefe dispõe para
fazer suas escolhas é inferior a 200.
RESOLUÇÃO:
Î PRIMEIRO ITEM: temos 5 prateleiras, e processos de 5 regiões
para colocar em cada uma. Todos os processos de uma mesma
região devem ficar na mesma prateleira. Isto pode ser representado
pelo esquema abaixo:
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5
5 4 3 2 1
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possibilidades possibilidades possibilidades possibilidades possibilidade
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
120 formas distintas de dispor os processos de cada região numa mesma
prateleira.
Imagine a seguinte distribuição:
Prateleira 1 Prateleira 2 Prateleira 3 Prateleira 4 Prateleira 5
Região Norte
3 processos
Região
Nordeste
3 processos
Região Sul
2 processos
Região
Sudeste
1 processo
Região
Centro-Oeste
2 processos
Note que é possível permutar os 3 processos da região Norte,
dispondo-os de 3! = 6 maneiras diferentes. Da mesma forma, podemos
permutar os da região Nordeste, dispondo-os de 3! = 6 maneiras
diferentes. Para a região Sul temos 2! = 2 maneiras distintas, o mesmo
se aplicando à região Centro-Oeste, e apenas 1 maneira para a região
Sudeste.
Assim, considerando as regiões distribuídas conforme esta última
tabela, teríamos 6 x 6 x 2 x 1 x 2 = 144 formas distintas de distribuir os
processos, devido às permutações dos mesmos dentro de cada prateleira.
Isto é, para cada uma das 120 formas de dispor os processos de
cada região nas prateleiras, existem 144 formas de organizar os
processos de cada prateleira. Ao todo, temos 120 x 144 = 17280 formas
de distribuir os processos. Item CERTO.
Î SEGUNDO ITEM: Será preciso escolher 3 veículos, um para
transportar cada um dos agentes. A ordem não importa, o que
interessa é escolher 3 dos 8 veículos disponíveis para transportar os
agentes. Isto é, precisamos calcular a combinação de 8 veículos em
grupos de 3:
8 7 6(8,3) 56
3 2 1
C u u u u
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Item ERRADO.
Î TERCEIRO ITEM: O número de formas de escolher 3 agentes em
um grupo de 7 é dado pela combinação de 7, 3 a 3 (pois a ordem
não importa):
7 6 5(7,3) 35
3 2 1
C u u u u
Uma vez escolhidos esses 3 agentes, temos que alocar cada um em
uma função: coordenar, redigir e fazer levantamentos. Aqui, a ordem
importa, pois colocar o agente A para coordenar e o agente B para redigir
é diferente de colocaro agente A para redigir e o agente B para
coordenar. Assim, para a primeira função, temos 3 possibilidades
(qualquer um dos 3 agentes), para a segunda temos 2 possibilidades e
para a terceira temos 1 possibilidade, totalizando 3 x 2 x 1 = 6
possibilidades.
Assim, ao todo temos 35 grupos de 3 agentes, e cada grupo pode
ser alocado de 6 maneiras distintas, totalizando 35 x 6 = 210 formas de
escolher os agentes. Item ERRADO.
Resposta: C E E
27. CESPE ± ANAC ± 2009) Com relação a análise combinatória, julgue
os itens que se seguem.
( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre,
Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João
Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo
Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.
( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação
das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum,
A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra
AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por
consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra
TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B.
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( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas
ligando as cidades A e B, 3 ligando B e C; e 2 ligando A e C diretamente.
Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos.
Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e
escala em C é igual a 400.
( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível
obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2
pilotos, é superior a 210.
RESOLUÇÃO:
Î PRIMEIRO ITEM: temos 3 cidades de partida, 4 para fazer escala
e 7 de destino. Saíndo de uma das 3 cidades de partida, temos 4
vôos possíveis para a cidade de escala. Após esse primeiro vôo,
temos outros 7 vôos possíveis para a cidade de destino. Portanto,
ao todo temos 3 x 4 x 7 = 84 vôos (que é múltiplo de 12). Item
CERTO.
Î SEGUNDO ITEM: Veja que AEROPORTO possui a repetição de 2 R e
3 O. Portanto, o número de anagramas é dado pela permutação de
9 letras, com a repetição de 2 e de 3:
9! 362880(9;3,2) 30240
3!2! 12
P 
Já TURBINA não possui letras repetidas. Entretanto, o exercício só
quer os anagramas que comecem com uma das 4 consoantes e
termine com uma das 3 vogais. Portanto, temos o seguinte
esquema:
1ª letra 2ª
letra
3ª
letra
4ª
letra
5ª
letra
6ª
letra
7ª letra
4 opções
(consoantes)
3
opções
(vogais)
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Da 2ª à 6ª letra, podemos utilizar qualquer uma das 5 letras
restantes. Portanto, temos:
1ª letra 2ª
letra
3ª
letra
4ª
letra
5ª
letra
6ª
letra
7ª
letra
4 opções
(consoantes)
5
opções
4
opções
3
opções
2
opções
1
opção
3
opções
(vogais)
Assim, existem 4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 = 1440 anagramas de
TURBINA que atendem as condições do enunciado.
Portanto, A = 30240 e B = 1440. Veja que 21 x 1440 = 30240. Isto
é, A = 21B. Item CERTO.
Î TERCEIRO ITEM: Temos o esquema abaixo:
Para sair de A e voltar a A, passando por C, existem as seguintes
formas:
1) A Æ B Æ C Æ A
2) AÆCÆA
3) AÆCÆBÆA
4) AÆ BÆCÆBÆA
Calculando as probabilidades de cada caso, temos:
1) 6 x 3 x 2 = 36
2) 2 x 2 = 4
3) 2 x 3 x 6 = 36
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4) 6 x 3 x 3 x 6 = 324
Ao todo, temos 36 + 4 + 36 + 324 = 400 possibilidades. Item
CERTO.
Î QUARTO ITEM: Neste caso, podemos somar o total de comissões
contendo 2, 3 e 4 pilotos. Podemos também calcular o total de
comissões possíveis com os 11 funcionários e subtrair deste total
aquelas que não possuem piloto ou possuem apenas 1 piloto. Para
exercitar, vamos utilizar o segundo método.
O total de combinações de 11 pessoas, 4 a 4, é dado por:
(11,4) 330C 
Já o total de grupos formados apenas por co-pilotos, isto é, sem
nenhum piloto, é dado pela combinação dos 6 co-pilotos, 4 a 4:
(6,4) 15C 
Por fim, o total de grupos formados por apenas 1 piloto e 3 co-
pilotos é dado pela multiplicação entre a combinação de 5 pilotos, 1
a 1, pela combinação de 6 co-pilotos, 3 a 3:
(5,1) (6,3) 100C Cu 
Portanto, o total de combinações que possuem 2 ou mais pilotos é:
330 ± 15 ± 100 = 215
Como este valor é superior a 210, o item está CERTO.
Resposta: C C C C
28. CESPE ± BANCO DO BRASIL ± 2007) Julgue os itens que se
seguem quanto a diferentes formas de contagem.
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( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para
serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo
Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade
total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que,
em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois
nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares
diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência
receba 4 funcionários.
( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de
dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja
para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca,
esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes
com essas faixas.
RESOLUÇÃO:
Î PRIMEIRO ITEM: Aqui temos a combinação de 12 nomes em
pares de 2:
Item CERTO.
Î SEGUNDO ITEM: para a primeira agência, podemos combinar os
12 funcionários, 4 a 4. Já para a segunda agência, sobram 8
funcionários para serem combinados 4 a 4. Por fim, para a terceira
agência sobram 4 funcionários. Até aqui, temos:
(12,4) 495
(8,4) 70
(4,4) 1
C
C
C
 
 
 
Portanto, até aqui temos 495 x 70 x 1 possibilidades. Só isso já é
superior a 495, portanto o item está ERRADO.
(12,2) 66C 
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Î TERCEIRO ITEM: Veja que temos a permutação de 7 faixas, com a
repetição de 3 (verdes) e 3 (amarelas). Utilizando a fórmula da
permutação com repetição, temos:
7!(7;3,3) 140
3!3!
P 
Isto é, existem 140 formas diferentes de dispor as 7 faixas. Item
CERTO.
Resposta: C E C
29. CESPE ± MPE/RR ± 2008) Em cada um dos próximos itens, é
apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e
contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada.
( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as
seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30;
direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a
um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem,
para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10
se refiram a uma mesma área, será necessário quese retirem pelo menos
45 processos.
RESOLUÇÃO:
Vamos imaginar o pior caso possível. Imagine que, ao retirar 4
processos, foram retirados exatamente 1 processo de cada tipo.
3URVVHJXLQGR��DSyV�UHWLUDU�PDLV���SURFHVVRV��GHPRV�R�³D]DU´�GH�WLUDU�PDLV�
1 processo de cada tipo, totalizando 2 processos de cada tipo.
Prosseguindo neste raciocínio, pode ser que, após retirar 36 processos,
tenhamos 9 de cada tipo. Isto significa que, ao retirar o próximo processo
(o 37º), completaremos 10 processos de algum dos tipos. Isto é, é
preciso tirar 37 processos do arquivo para ter certeza de que pelo menos
10 são do mesmo tipo. Item ERRADO.
Resposta: E
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30. CESPE ± Polícia Militar/CE ± 2008) Cada um dos itens a seguir
apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a
respeito de contagem.
( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto,
seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os
algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de
automóveis.
( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros
de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um
soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde
para fazer a sua ronda. Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150
formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda.
( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse
caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um
presidiário em cada cela.
( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A
quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é
inferior a 180.000.
RESOLUÇÃO:
Î PRIMEIRO ITEM: Temos que formar placas com 3 letras e 4
algarismos com as 3 letras disponíveis e os 4 algarismos
disponíveis. Veja que o exercício não disse que as letras ou os
algarismos deviam ser distintos, isto é, pode haver repetição.
Pensando numa senha do tipo L L L ± 1�1�1�1��RQGH�D� OHWUD� ³/´�
VLPEROL]D�XPD�OHWUD�H�D�OHWUD�³1´�VLPEROL]D�XP�DOJDULVPR��VDEHPRV�
que temos 3 possibilidades para preeQFKHU� FDGD� ³/´�� H� ��
SRVVLELOLGDGHV�SDUD�SUHHQFKHU�FDGD�³1´��$R�WRGR��WHPRV����[���[���[�
4 x 4 x 4 x 4 = 6912 possibilidades. Isto é, BEM MAIS que 140
placas distintas. Item CERTO.
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Î SEGUNDO ITEM: o policial tem 4 formas de escolher uma praça
para fazer a sua ronda. E 5 formas de escolher uma escola. E 6
formas de escolher um centro de saúde. Portanto, ao todo o policial
pode escolher um conjunto praça-escola-centro de 4 x 5 x 6 = 120
formas distintas. Item ERRADO.
Î TERCEIRO ITEM: Veja que sempre sobrarão exatamente 2 celas
vazias, afinal devemos colocar um presidiário apenas por cela.
Portanto, precisamos resolver este item em 2 etapas:
- escolher 8 das 10 celas para preencher com presidiários. Para
isso, devemos combinar 10 celas, 8 a 8:
(10,8) (10,2) 45C C 
- escolhidas as 8 celas, devemos permutar os 8 presidiários entre as
celas, calculando a quantidade de forma de dispô-los:
(8) 8! 40320P 
Portanto, temos 45 formas de escolher 8 celas, e, para cada uma
dessas formas, temos 40320 formas de dispor os presidiários.
Assim, ao todo temos:
45 x 40320 = 1.814.400
Item CERTO.
Î QUARTO ITEM: observe que FORTALEZA possui 9 letras, com a
repetição de 2 letras A. Portanto, a quantidade de anagramas é
dada pela permutação de 9, com repetição de 2:
9!(9;2) 181440
2!
P 
Isto é, temos mais de 180.000 anagramas. Item ERRADO.
Resposta: C E C E
31. CESPE ± SECONT/ES ± 2009) Com respeito à quantidade de
possibilidades de ocorrência de um evento, julgue os itens que se
seguem.
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( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja
permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual
formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a
7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas.
( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música
utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado
ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções
para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de
dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de
configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13.
RESOLUÇÃO:
( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja
permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual
formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a
7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas.
Para formar senhas de 3 algarismos distintos com os 7 algarismos
disponíveis (de 1 a 7), temos 7 x 6 x 5 = 210 possibilidades. Distribuindo
uma senha para cada um dos 152 empregados, sobram 210 ± 152 = 58
senhas. Item CERTO.
( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música
utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado
ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções
para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de
dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de
configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13.
Se temos 3 opções de instrumentos, 5 de dificuldades e 5 de
músicas, ao todo temos 3 x 5 x 5 = 75 possibilidades de configuração.
Item ERRADO.
Resposta: C E
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32. CESPE ± SECONT/ES ± 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas
ficarão sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas.
Joaquim e Daniela, duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do
outro, com Daniela sempre à direita de Joaquim. De acordo com essa
configuração, julgue os próximos itens.
( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão
organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras
diferentes.
( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa
homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada
exatamente na posição central entre os 9, então, nesse caso, haverá
menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os
homenageados no palco.
RESOLUÇÃO:
( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão
organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras
diferentes.
Sejam as cadeiras 1 a 9, numeradas da esquerda para a direita. Se
Daniela sempre estará logo à direita de Joaquim, uma forma de acomodá-
los seria Joaquim se sentar na cadeira 1 e Daniela na 2, ou Joaquim na 2
e Daniela na 3, e assim por diante. Note que Joaquim não pode se sentar
na cadeira número 9 (pois não haveria lugar para Daniela à sua direita).
Ou seja, Joaquim pode se sentar em qualquer das cadeiras 1 a 8,
deixando a cadeira da direita para Daniela. Assim, existem 8 formas de
acomodá-los. Item ERRADO.
( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa
homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada
exatamente na posição central entre os 9, então,nesse caso, haverá
menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os
homenageados no palco.
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A pessoa mais velha deve se sentar na cadeira do meio (cadeira 5,
ou C5 no desenho), ficando 4 cadeiras de cada lado:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
Veja que Joaquim e Daniela não podem ser separados. Portanto, ou
os dois ficam do lado direito (3 possibilidades, pois Joaquim só poderia se
sentar em C1, C2 ou C3 para Daniela ficar à sua direita), ou os dois ficam
do lado esquerdo (outras 3 possibilidades, pois Joaquim não pode se
sentar na cadeira C9).
Para cada uma dessas 6 possibilidades para Joaquim e Daniela,
sobram outras 6 cadeiras para os demais. Permutando-os, temos P(6) =
6! = 720 possibilidades.
Assim, para cada uma das 6 possibilidades para Joaquim e Daniela,
temos 720 permutações possíveis para os demais. Ao todo, temos 6 x
720 = 4320 possibilidades, ou seja, menos de 4400. Item CERTO.
Resposta: E C
Fim de aula!!! Nos vemos no próximo encontro.
Abraço,
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1. CESPE ± Polícia Civil/ES ± 2011) A questão da desigualdade de
gênero na relação de poder entre homens e mulheres é forte componente
no crime do tráfico de pessoas para fins de exploração sexual, pois as
vítimas são, na sua maioria, mulheres, meninas e adolescentes. Uma
pesquisa realizada pelo Escritório das Nações Unidas sobre Drogas e
Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 66% das vítimas eram
mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram homens e 9%
meninos.
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao
tráfico de pessoas: relatório do plano
nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com
adaptações).
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o
número de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens
entre as vítimas será superior a 4.000.
2. CESPE ± EBC ± 2011) Considerando que, em uma empresa, haja 5
candidatos, de nomes distintos, a 3 vagas de um mesmo cargo, julgue os
próximos itens.
( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos dos
candidatos. Nesse caso, se Alberto, Bento e Carlos forem candidatos, dois
desses nomes aparecerão em mais de 5 dessas listas.
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( ) Considere todas as listas possíveis formadas por 3 nomes distintos
dos candidatos. Nessa situação, se Alberto, Bento e Carlos forem
candidatos, 3 dessas listas conterão apenas um desses nomes.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher 3 pessoas entre os
5 candidatos é igual a 20.
3. CESPE ± Polícia Federal ± 2012) Dez policiais federais ± dois
delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes ± foram
designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas
localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido
em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta,
necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois
agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então,
formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar
uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares ± motorista e mais
quatro pasageiros ± será superior a 100.
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.
4. CESPE ± TRE/BA ± 2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com
28 peças, igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em
torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e possuem
uma marcação que as divide em duas metades iguais; em cada metade:
ou não há nada gravado, ou está gravado um determinado número de
buracos que representam números. As metades representam 7 números:
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 0, sendo este último representado por uma metade sem
marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças,
denominadas buchas, o número aparece nas duas metades. Existe
também uma variação de dominó conhecida como double nine, em que as
metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um
total de 55 peças.
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M. Lugo. How to play better dominoes. New York:
Sterling Publishing Company, 2002 (com adaptações).
A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes.
( ) Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 terá um total de 82 peças.
( ) No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6
maneiras distintas.
( ) Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo
tempo. Nesse caso, as peças de um dominó tradicional poderão ser
divididas entre os 4 jogadores de 4
28!
(7!) maneiras distintas.
( ) Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional
entre os 4 jogadores, em mais de 100 milhões delas algum deles
começará o jogo com todas as 7 buchas.
5. CESPE ± TRE/BA ± 2010) Os 100 empregados de uma empresa
foram convocados para escolher, entre 5 opções, o novo logotipo da
empresa. O empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I
ou a cédula II. Caso ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de
logotipo, na ordem de sua preferência, que serão assim pontuadas: 1.ª ±
5 pontos; 2.ª ± 4 pontos; 3.ª ± 3 pontos; 4.ª ± 2 pontos; 5.ª ± 1 ponto.
Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5 opções, e cada uma
receberá 3 pontos.
Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes.
( ) Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de
votos distintos possíveis para cada empregado é igual a 130.
6. CESPE ± ANTT ± 2013) Em um torneio de futebol que será disputado
por N times, cada time jogará exatamente uma vez contra cada um dos
outros times, e o sistema de pontuação será o seguinte: o vencedor da
partida receberá três pontos, o perdedor não receberá nenhum ponto e,
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em caso de empate, cada um dos times que disputarem a partida
receberá um ponto.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
( ) Se N = 12, então o número de jogos desse torneio será superior a
100.
7. CESPE ± SUFRAMA ± 2014) Sabendo-se que uma repartição possui
30 servidores, sendo 10 do sexo feminino, julgue o item abaixo.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000.
8. CESPE ± SUFRAMA ± 2014) Em um campeonato de futebol, a
pontuação acumulada de um time é a soma dos pontos obtidos em cada
jogo disputado. Por jogo, cada time ganha três pontos por vitória, um
ponto por empate e nenhum ponto em caso de derrota. Com base nessas
informações, julgue os itens seguintes.
( ) Se um time disputou 4 jogos, então a probabilidade de a pontuação
acumulada desse time ser maior ou igual a 4 e menor ou igual a 7 será
superior a 0,35.
( ) Nesse campeonato, os critérios de desempate maior número de
vitóriase menor número de derrotas são equivalentes.
9. CESPE ± TCDF ± 2014) Considerando que, em um planejamento de
ações de auditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a
existência de 30 programas de governo passíveis de análise, e sabendo
que esse órgão dispõe de 15 servidores para a montagem das equipes de
análise e que cada equipe deverá ser composta por um coordenador, um
relator e um técnico, julgue os próximos itens.
( ) A quantidade de maneiras distintas de serem escolhidos 3 dos
referidos servidores para a montagem de uma equipe de análise é
superior a 2.500.
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( ) Considerando-se que cada servidor do órgão possa participar de
somente uma equipe de análise e que cada equipe não possa analisar
mais que um programa de governo ao mesmo tempo, é correto afirmar
que a capacidade operacional do órgão está limitada ao acompanhamento
simultâneo de cinco programas de governo.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 desses
programas para serem acompanhados pelo órgão é inferior a 4.000.
10. CESPE ± TRT/16ª ± 2005) Julgue os itens que se seguem.
( ) O número de cadeias binárias (que só contêm 0 e 1) de 8 dígitos,
e que tenham exatamente 3 zeros, é superior a 50 .
( ) Considere que o gerente de um laboratório de computação vai
cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas
letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única
duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os
caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de
senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.
11. CESPE ± TRT/16ª ± 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10
vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as
ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por
exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os
próximos itens.
( ) O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é
inferior a 512.
12. CESPE ± MDS ± 2009) Julgue os 2 itens acerca de contagem de
elementos.
( ) A quantidade de anagramas distintos que podem ser construídos com
a palavra EXECUTIVO e que não possuem duas vogais juntas é inferior a
1.500.
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( ) Considere um evento em que será servido um jantar completo, no
qual os convidados podem escolher 1 entre 3 tipos diferentes de pratos, 1
entre 4 tipos diferentes de bebidas e 1 entre 4 tipos diferentes de
sobremesa. Desse modo, cada convidado terá até 11 formas distintas
para escolher seu jantar completo.
13. CESPE ± MDS ± 2009) Considere que o governo de determinado
estado da Federação, que ainda não possua nenhum restaurante popular,
tenha decidido enviar um representante para conhecer as instalações de
restaurantes populares, restringindo que fossem visitados 1 dos 5
restaurantes da Bahia, 2 dos 12 restaurantes de Minas Gerais, 2 dos 12
restaurantes de São Paulo e 1 dos 6 restaurantes do Rio Grande do Sul.
Nesse caso, esse representante terá mais de 3.800 maneiras distintas
para escolher os restaurantes para visitar.
14. CESPE ± MDS ± 2009) O projeto Fome Zero do governo federal
compreende 4 eixos articuladores. Um deles, o Eixo 1, é composto de 15
programas e ações, entre os quais o Bolsa Família. Suponha que fosse
autorizado um aumento de recursos financeiros para 5 dos programas e
ações do Eixo 1, de modo que o Bolsa Família fosse escolhido em primeiro
lugar e os 4 outros pudessem ser escolhidos à vontade por um comitê,
colocando-os em uma ordem de prioridade. Nesse caso, esse comitê teria
mais de 30 mil maneiras diferentes de escolher esses programas e ações.
15. CESPE ± PREVIC ± 2011) Julgue os 2 itens, considerando que
planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou
coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes
tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez,
pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez.
( ) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos
cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas
possíveis.
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( ) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10
grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício
em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por
3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o pecúlio por
invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por
aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a
quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos
para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 × 104.
16. CESPE ± Banco do Brasil ± 2008) A Associação dos
Correspondentes de Imprensa Estrangeira no Brasil (ACIE) organiza, pelo
quinto ano consecutivo, o Prêmio e Mostra ACIE de Cinema. Os filmes
indicados serão seguidos pela votação de aproximadamente 250
correspondentes afiliados às associações de correspondentes do Rio de
Janeiro, de São Paulo e de Brasília. Os vencedores serão escolhidos nas
categorias Melhor Filme (ficção), Melhor Documentário, Melhor Diretor,
Melhor Roteiro, Melhor Ator, Melhor Atriz, Melhor Fotografia e Melhor
Filme Júri Popular.
Internet: <www.bb.gov.br> (com adaptações).
A partir da organização do texto acima e considerando os princípios de
contagem, julgue os itens subsequentes.
( ) Caso se deseje escolher, entre os 50 correspondentes mais antigos, 3
para constituírem uma comissão consultiva especial, haverá menos de 20
mil maneiras possíveis para se formar essa comissão.
( ) Se, em determinada edição do Prêmio e Mostra ACIE de Cinema,
forem inscritos 13 filmes em uma mesma categoria, nesse caso, a
quantidade de maneiras de se fazer a indicação de 3 desses filmes, sendo
um deles em 1.º lugar, outro em 2.º lugar e outro em 3.º lugar, será
inferior a 2 × 103.
( ) Suponha que determinado correspondente esteja designado para votar
apenas nas categorias Melhor Filme (ficção) e Melhor Documentário e que
as quantidades de filmes concorrentes em cada uma dessas categorias
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sejam 8 e 3, respectivamente. Nessa situação, votando em apenas um
filme de cada categoria, esse correspondente poderá votar de mais 20
maneiras distintas.
17. CESPE ± Banco do Brasil - 2008) Julgue os itens que se seguem, a
respeito de contagem.
( ) A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com
as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual
a 60.
( ) Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa
instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se
repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras
repetidas é superior a 2 × 103.
( ) Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra
PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que
esta palavra aparece é igual a 6.
( ) Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300
pares distintos de letras.
18. CESPE ± STF ± 2013) A presidência de determinado tribunal é
apoiada porseis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram
indicados, do quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos
igualmente qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base
nessas informações, julgue os itens seguintes.
( ) Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por
mulheres, então será superior a 400 o número de maneiras de se
selecionar, entre os 12 candidatos, os funcionários para chefiarem todas
as seis assessorias.
( ) A quantidade de maneiras distintas de escolher os chefes das
assessorias entre as pessoas indicadas é inferior a 980.
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19. CESPE ± Polícia Civil/ES ± 2011) Julgue os itens seguintes, que
dizem respeito à determinação do número de possibilidades lógicas ou
probabilidade de algum evento.
( ) Suponha uma distribuição de prêmios em que são sorteados três
números de dois algarismos. Para formar cada número, primeiro sorteia-
se o algarismo das dezenas, que varia de 0 a 5. O algarismo das unidades
é sorteado em seguida e varia de 0 a 9. Se, para formar cada número, o
algarismo das dezenas e o algarismo das unidades já sorteadas não
puderem ser repetidos, então a quantidade de números que podem
ocorrer é inferior a 104
20. CESPE ± TRE/BA ± 2009) Sabendo que um anagrama é qualquer
ordenação formada com as letras de uma palavra, tendo ou não
significado, então, com a palavra CORREGEDOR será possível formar
151.200 anagramas distintos.
21. CESPE ± EMBASA ± 2009) A leitura mensal do consumo de água
residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é
feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa
atividade; a cada mês, há uma distribuição aleatória em que cinco desses
bairros são designados para cada um desses funcionários. Com relação a
essa situação hipotética, julgue os itens a seguir:
( ) Essa distribuição pode ser realizada de 126.126 maneiras diferentes.
( ) Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de
determinado funcionário sejam agrupados, por proximidade geográfica,
em duas regiões, A e B, com dois bairros em A e três bairros em B, então
esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se
ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais
bairros.
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22. CESPE ± MPE/AM ± 2008) Com respeito aos princípios básicos da
contagem de elementos de um conjunto finito, julgue os itens de 26 a 28.
( ) Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de
correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma
delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2
dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos
os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados.
( ) Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do
conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, duas barras e 2 algarismos,
escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem
permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de
possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102(102 + 1).
23. CESPE ± TSE ± 2007) Para aumentar a segurança no interior do
prédio do TSE, foram distribuídas senhas secretas para todos os
funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso
ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de três letras
(retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de três
algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que
podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas
admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a:
a) 263 x 10 x 9 x 8
b) 263 x 103
c) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8
d) 26 x 25 x 24 x 103
24. CESPE ± Polícia Federal ± 2009) Considerando que, em um torneio
de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e
que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que
se segue.
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que
formarão o grupo A será inferior a 400.
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25. CESPE ± Polícia Federal ± 2009) A Polícia Federal brasileira
identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada
ilegal de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do
Sul (MS) com o Paraguai.
Internet: <www.estadao.com.br> (com adaptações).
Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item.
( ) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no
texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a
entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de
500 maneiras diferentes de fazer essa escolha.
26. CESPE ± ABIN ± 2010) Com relação aos princípios e técnicas de
contagem, julgue os itens subsequentes.
( ) Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado
órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 prateleiras, 3 processos
referentes a cidades da região Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região
Sul, 2 da região Centro-Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que
processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse
servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses processos.
( ) Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio
de carro, por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que,
dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade, os
agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade
de maneira independente, em veículos distintos. Em face dessa situação,
sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que
os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia, é correto afirmar que o
número de maneiras de o servidor responsável pela organização das
viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa
missão é inferior a 50.
( ) Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes
entre os 7 disponíveis para viagens ² um deles para coordenar a equipe,
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um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos
de informações ², o número de maneiras de que esse chefe dispõe para
fazer suas escolhas é inferior a 200.
27. CESPE ± ANAC ± 2009) Com relação a análise combinatória, julgue
os itens que se seguem.
( ) O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre,
Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João
Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo
Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.
( ) Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação
das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum,
A seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra
AEROPORTO, B seja a quantidade de anagramas começando por
consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra
TURBINA; e sabendo que 9! = 362.880 e 5! = 120, então A = 21B.
( ) Considere a seguinte situação hipotética. Há 6 estradas distintas
ligando as cidades A e B, 3 ligando Be C; e 2 ligando A e C diretamente.
Cada estrada pode ser utilizada nos dois sentidos.
Nessa situação, o número de rotas possíveis com origem e destino em A e
escala em C é igual a 400.
( ) O número de comissões constituídas por 4 pessoas que é possível
obter de um grupo de 5 pilotos e 6 co-pilotos, incluindo, pelo menos, 2
pilotos, é superior a 210.
28. CESPE ± BANCO DO BRASIL ± 2007) Julgue os itens que se
seguem quanto a diferentes formas de contagem.
( ) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para
serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo
Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade
total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que,
em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois
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nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares
diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
( ) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência
receba 4 funcionários.
( ) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de
dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja
para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca,
esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes
com essas faixas.
29. CESPE ± MPE/RR ± 2008) Em cada um dos próximos itens, é
apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e
contagem, seguida de uma assertiva a ser julgada.
( ) O arquivo de um tribunal contém 100 processos, distribuídos entre as
seguintes áreas: direito penal, 30; direito civil, 30; direito trabalhista, 30;
direito tributário e direito agrário, 10. Nessa situação, ao se retirar, um a
um, os processos desse arquivo, sem se verificar a que área se referem,
para se ter a certeza de que, entre os processos retirados do arquivo, 10
se refiram a uma mesma área, será necessário que se retirem pelo menos
45 processos.
30. CESPE ± Polícia Militar/CE ± 2008) Cada um dos itens a seguir
apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a
respeito de contagem.
( ) No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto,
seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os
algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de
automóveis.
( ) Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros
de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um
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soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde
para fazer a sua ronda. Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150
formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda.
( ) Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse
caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um
presidiário em cada cela.
( ) Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras
dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A
quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é
inferior a 180.000.
31. CESPE ± SECONT/ES ± 2009) Com respeito à quantidade de
possibilidades de ocorrência de um evento, julgue os itens que se
seguem.
( ) Considere que o acesso à ala de segurança de uma empresa seja
permitido para 152 empregados, desde que utilizem uma senha individual
formada por 3 algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a
7. Nesse caso, sobrarão mais de 50 senhas.
( ) Considere que um jogo eletrônico consista em executar uma música
utilizando um conjunto de instrumentos musicais, seguindo determinado
ritmo caracterizado por um nível de dificuldade. O jogador tem 3 opções
para a escolha dos instrumentos musicais, 5 opções para o nível de
dificuldade e 5 opções de música. Nessa situação, o número máximo de
configurações a escolher para participar do jogo é igual a 13.
32. CESPE ± SECONT/ES ± 2009) Em uma solenidade, 9 pessoas
ficarão sentadas, lado a lado, no palco para serem homenageadas.
Joaquim e Daniela, duas dessas 9 pessoas, desejam ficar um ao lado do
outro, com Daniela sempre à direita de Joaquim. De acordo com essa
configuração, julgue os próximos itens.
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( ) Para respeitar a vontade de Joaquim e Daniela, a comissão
organizadora do evento poderá acomodá-los de, no máximo, 7 maneiras
diferentes.
( ) Se, além das vontades de Joaquim e Daniela, a única pessoa
homenageada que tem mais de 65 anos de idade tiver de ser acomodada
exatamente na posição central entre os 9, então, nesse caso, haverá
menos de 4.400 maneiras distintas de a comissão acomodar os
homenageados no palco.
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01 C 02 CCE 03 CE 04 ECCC 05 C 06 E 07 E
08 CE 09 CCE 10 CC 11 E 12 CE 13 C 14 E
15 CE 16 CCC 17 CEEE 18 CC 19 E 20 C 21 EC
22 CE 23 D 24 E 25 E 26 CEE 27 CCCC 28 CEC
29 E 30 CECE 31 CE 32 EC