ED CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA - PRESENCIAL - Com justificativas completas

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Prezados Alunos, 
Os exercícios deste conteúdo devem ser resolvidos somente após o 
aluno receber as orientações do professor da disciplina: "Cálculo com 
Geometria Analitica- Estudos Disciplinares". 
O total de exercícios neste conteúdo: 40 exercicios (que serão 
inseridos no sistema ao longo do semestre). O aluno deverá 
responder todos os 40 exercícios com as suas respectivas 
justificativas) 
Bom Estudo!!! 
 
Exercício 1: 
(CQA/UNIP – 2011) A agricultura intensiva depende muito de fertilizantes inorgânicos que 
fornecem, entre outros nutrientes, particularmente o nitrogênio, essenciais para o 
desenvolvimento das plantas. A produção de fertilizantes nitrogenados requer um enorme gasto 
de energia e estima-se consumir aproximadamente metade do combustível fóssil aplicado nas 
atividades agrícolas atuais. Fertilizantes inorgânicos também causam problemas ambientais 
associados com a contaminação dos recursos hídricos. 
Fonte: Biotecnologia Agrícola – 15/08/2006 (p. 12). 
Os fertilizantes agrícolas inorgânicos citados anteriormente são compostos fundamentalmente 
por nitrogênio, óxido de fósforo e óxido de potássio, cujos percentuais, apresentados na ordem 
citada, são indicados nos rótulos dos produtos. 
Suponha que no rótulo do fertilizante “Agricultura Atual” esteja indicado “20-10-10” (isso 
significa que esse fertilizante apresenta 20% de nitrogênio, 10% de óxido de fósforo e 10% de 
óxido de potássio). Considere que no rótulo do fertilizante “Terra Nossa” esteja indicado “10-
10-20” (isso significa que esse fertilizante apresenta 10% de nitrogênio, 10% de óxido de 
fósforo e 20% de óxido de potássio). Se adicionarmos 100 kg do fertilizante “Agricultura Atual” 
a 300 kg do fertilizante “Terra Nossa”, supondo perfeito estado de homogeneização, o rótulo do 
fertilizante resultante apresentará a seguinte indicação: 
 
 
A - 20−10−20. 
B - 12,5−10−17,5. 
C - 10−10−20. 
D - 15,5−10,5−15,5. 
E - 30−20−30. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - 100 KG- agricultura atual 20 kg- N,10 kg- Oxi. P, 10 kg-Oxi. K 300 kg- terra nossa 30 
kg-N, 30kg- Oxi. P, 60 kg- Oxi. K 400 kg- (misturar os 100kg-agri. Atual + 300 Kg- terra 
nossa) 50 kg- N, 40 kg- Oxi. P, 70 kg- Oxi. K 50/400*100=12,5% 40/400*100=10% 
70/400*100=17,5% 
Exercício 2: 
(CQA/UNIP – 2011) Considere uma barra uniforme, feita de um material hipotético, com 60 cm 
de comprimento. Imagine que, em determinado instante, em uma das extremidades da barra, a 
temperatura seja de 35 ºC e, na outra extremidade, a temperatura seja de 5 ºC. Suponha que 
a temperatura T (ºC) da barra varie linearmente com a posição de um ponto L (em cm), 
medido a partir da extremidade mais quente da barra, como resumido no quadro 1 
 Quadro 1. Conjunto de dados apresentados na análise do problema. 
T (ºC) L (cm) 
35 0 
5 60 
O gráfico apresentado na figura 1 mostra o comportamento da temperatura em relação ao 
comprimento da barra. 
 
 
 
 
Com base no texto acima e nos dados apresentados, assinale a alternativa correta. 
 
 
A - A temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão T=-0,5L+35. 
B - A temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão T=-5L+35. 
C - A temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão T=5L+35. 
D - A temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão T=0,5L+35. 
E - A temperatura varia ao longo da barra de acordo com a expressão T=-0,5L+60. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - T=a*L+b 35=a*0+b; b=35 5=a*60+35; 60a=-35+5;a=-30/60; a=-0,5 T=35-0,5L 
Exercício 3: 
 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
D - H=-4,9t²+49 -4,9t²+49=0 -4,9t²=-49 t²=10 t=v10 t=3,16 t˜3,2s. 
Exercício 4: 
 
 
 
 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - IB’=0 2t-24=0 2t=24 t=12 IB(12)= 12²-24.12+143 IB(12)=-1 
Exercício 5: 
 
 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - AB=(1-(-2),-4-3) AB=(3,-7) 
Exercício 6: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - u.v=|u|.|v|.cos? u.v=6*9*cos150° u.v=54*(-v3/2) u.v=-27v3 
Exercício 7: 
 
 
A - Todas as afirmativas estão corretas. 
B - Todas as afirmativas estão incorretas. 
C - Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
D - Apenas a afirmativa I está correta. 
E - Apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - u+v u=2i+3j-k v=-i+2j u+v=i+5j-k u.v u.v=2.-1i3.2j-1.0k u.v=-2i+6j 
Exercício 8: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - u.v=5.-4i2.2j-1.1k u.v=-20i+4j-k u.v=-20+4-1 u.v=-17 
Exercício 9: 
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O Volume de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por V(t) 
=15t2-750t+9000 (litros). Qual é o volume de água (em litros) no reservatório no 
instante t = 3 horas? 
 
A - 6.885 
B - 660 
C - 1.200 
D - 9.000 
E - 11.385 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - V(3)=15*3²-750*3+9000 V(3)=6885L 
Exercício 10: 
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O Volume de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por V(t) 
=15t2-750t+9000 (litros). Qual a taxa de variação do volume de água no reservatório 
após 3 horas do escoamento? 
 
A - -250 litros/hora 
B - -6885 litros/hora 
C - -1.200 litros/hora 
D - -120 litros/hora 
E - -660 litros/hora 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - V’(t)=15*2t-750 V’(3)=30*3-750 V’(3)=-660L/ 
Exercício 11: 
Suponha que a equação da velocidade V (em m/s) de um ponto material em função 
do tempo t (em s) seja dada por v(t) =-4,5t2+18t. Usando os conhecimentos 
aprendidos em derivadas, determine o instante no qual a velocidade do ponto 
material é máxima e a velocidade máxima. 
 
A - t=4s e V máx =18 m/s 
B - t=1s e V máx =15 m/s 
C - t=2s e V máx =20 m/s 
D - t=2s e V máx =18 m/s 
E - t=3s e V máx =21 m/s 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
D - V(t)=-4,5t²+18t V’(t)=2(-4,5)t+18 V’(t)= -9t+18 V’(t)=0 -9t+18=0 9t=18 t=2s V(2)=-
4,5(2)²+18*2 V(2)=18 m/s 
Exercício 12: 
 
 
A - Todas as afirmativas estão certas. 
B - Todas as afirmativas estão erradas. 
C - Apenas as afirmativas I e II estão certas. 
D - Apenas a afirmativa I está correta. 
E - Apenas a afirmativa III está correta. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - I. |U|=v((-3)²+4²+0²); |U|=v25; |U|=5 V II. Versor => u/|u|=(-3/5,4/5,0); u/|u|= (-
0,6;0,8;0) V III. u=15(-0,6;0,8;0); u=(-9,12,0); -u=15(-0,6;0,8;0); -u=(9,-12,0) V 
Exercício 13: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - W=au+ßv (-17,12) = a(-2,0)+ß(3,-4); (-17,12) = (-2a,0) + (3ß,-4ß); (-17,12)=(-
2a+3ß,-4ß) -17=-2a+3ß; 12=-4ß; ß=-3 -17=-2a+3(-3); -2a=-8; a=4 
Exercício 14: 
O vetor que representa a soma dos vetores indicados na figura é: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - AO+DE+FG+PL-IH PL=IH AO+OD+DP=AP 
Exercício 15: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - AQ=AC+CG+(2/3)*GH AQ=AC+AE+(2/3)*AB 
Exercício 16: 
 
 
A - Apenas a afirmação I está correta. 
B - Todas as afirmações são falsas. 
C - Todas as afirmações são verdadeiras. 
D - Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
E - Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
D - I.2*(1,-2) -4*(-4,0)= (2+16, -4); (18, -4) V II. (1, -2) + (-4, 0) = (-3, -2); v((-3)²+(-
2)²); v(9+4); v13 V III. 1/(-4)=-2/0 
Exercício 17: 
 
 
A - x =-12 
B - x=-10 
C - x=24 
D - x=-12 
E - x=16 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - (X+12)/6=3/9 9(X+12)=3*6 9X+108=18 9X=-90 X=-10 
Exercício 18: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
D - S=(3,-6) |S|=v(3²+(-6)²) |S|=v45 |S|=v(5*3²) |S|=3v5 
Exercício 19: 
Considerando os pontos A(-1, 3) e B(0, -4), podemos dizer que: 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
D - AB=(x2-x1,y2-y1) A(-1,3) B(0,-4) AB=(0-(-1),-4-3) AB=(1,-7) 1/4=-7/28 1.28=-4.-7 
28=28 
D - AB=(x2-x1,y2-y1) A(-1,3) B(0,-4) AB=(0-(-1),-4-3) AB=(1,-7) 1/4=-7/28 1.28=-4.-7 
28=28 
B - AB=(x2-x1,y2-y1) A(-1,3) B(0,-4) AB=(0-(-1),-4-3) AB=(1,-7) 1/4=-7/28 1.28=-4.-7 
28=28 
Exercício 20: 
Considerando os pontos A(-1, 0) e B(-2, 1), podemos dizer que: 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - AB=(x2-x1,y2-y1) A=(-1,0) B=(-2,1) AB=(-2-(-1),1-0) AB=(-1,1) |AB|=v(-1)²+1² 
AB/|AB|=(-1/v2,1/v2) |AB|=v1+1 AB/|AB|=(-1.v2/v2.v2,1.v2/v2.v2) |AB|=v2 AB/|AB|=(-
v2/2,v2/2) 
Exercício 21: 
Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, 
é dado por V(t)=6t3+1,5t (litros), t sendo dado em minutos. Qual é o volume de água 
no tanque no instante t=2 minutos? 
 
A - 49,5 litros 
B - 73,5 litros 
C - 51 litros 
D - 46 litros 
E - 72 litros 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - V(t)=6.2³+1,5.2 V(t)=6.8+3 V(t)=48+3 V(t)=51 
Exercício 22: 
Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, 
é dado por V(t)=6t3+1,5t (litros), t sendo dado em minutos. Qual a taxa de variação 
do volume de água no tanque no instante t=2 minutos? 
 
A - 49,5 L/min 
B - 73,5 L/ min 
C - 51 L/ min 
D - 46 L/ min 
E - 72 L/ min 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - V'=3.6t²+1,5 V'=18t²+1,5 V'=18.2²+1,5 V'=18.4+1,5 V'=72+1,5 V'=73,5 
Exercício 23: 
Qual a derivada da função y=(x+16).senx ? 
 
A - y’=senx 
B - y’=senx+(x+16).cosx 
C - y’=senx-(x+16).cosx 
D - y’=cosx 
E - y’=(x+16).cosx 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - y'=u'.v+u.v' y'=1.senx+(x+16).cosx y'=senx+(x+16).cosx 
Exercício 24: 
Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 – 8 no ponto de abscissa 
igual a –2? 
 
A - 12 
B - -12 
C - -16 
D - 0 
E - 16 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - y'=3x² a=f'(-2) f'(-2)=3.(-2)² f'(-2)=3.4 f'(-2)=12 
Exercício 25: 
Se f(x)=ex.sen(2x), então podemos dizer que: 
 
A - f’(0)=2 
B - f’(0)=1 
C - f’(0)=-2 
D - f’(0)=4 
E - f’(0)=0 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - f'(x)=(ex.senu+ex.cosu).u' u=2 f'(x)=((ex.(senu+cosu)).u' f'(x)=((ex´(sen2x+cos2x)).2 
f'(0)=((e0.(sen2.0+cos2.0)).2 f'(0)=((1.(0+1)).2 f'(0)=1.2 f'(0)=2 
Exercício 26: 
 
 
A - Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
B - Apenas a afirmação III é verdadeira. 
C - Todas as afirmações são verdadeiras. 
D - Todas as afirmações são falsas. 
E - Apenas a afirmação II é verdadeira. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - u=(2,-4) u.v=(2.0+4.-3) v=(0,-3) u.v=(0+12) u.v=12 
Exercício 27: 
 
 
A - 10 
B - 20 
C - 100 
D - -100 
E - 0 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - u=(2,-4) 2.u=(2.2,2.-4) 2u(4,-8) v=(1,-2) 5.v=(5.1,5.-2) 5v(5,-10) 2u.5v=(4.5+(-8.-
10)) 2u.5v=(20+80) 2u.5v=100 
Exercício 28: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - u=(2,-4,2) A=|u^v| v=(1,-4,0) |ij k i j| ijk |u^v|=|1-40 1 -4| -80-4 |2-42 2 -4| -(0-28) 
(-8,-2,4) 
Exercício 29: 
 
 
A - 0,5 (unidade de área) 
B - 4 (unidades de área) 
C - 6 (unidades de área) 
D - 3 (unidades de área) 
E - 1,5 (unidades de área) 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E) 
Comentários: 
E - )|u|=2 A=b.h |v|=3 A=|u|.|v|.sen?/2 ?=30º A=2.3.0,5/2 A=1,5 
Exercício 30: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - w.u=0 (a,b,c).(1,-2,-1)=a-2b-c=0 w.v=0 (a,b,c).(2,1,0)=2a+b =0 a-2b-c=0 w=v2²+(-
4)²+10²=2v30 2a+b =0 w=v4+16+100=2v30 a²+b²+c²=2v30 w=v120=2v30 
w=2v30=2v30 2a+b=0 a-2b-c=0 2.2-4=0 2-(-2.-4)-10=0 w=(2,-4,10) 0=0 2+8-10=0 
|w|=2v30 0=0 
Exercício 31: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - u.v=(1.2+(-2.1)+(-1.0)) u.v=(2-2+0) u.v=0 
Exercício 32: 
 
 
A - 9 
B - 18 
C - 41 
D - 32 
E - 0 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - |u|=3 (u+v).(u+2v) |v|=4 u²+2.v.u+u.v+2.v² 3²+2.0+0+2.4² 9+0+0+32 41 
Exercício 33: 
 
 
A - 
B - 
C - 
D - 
E - 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - u=(1,x,8) v=(2,1,-4) u.v=0 (1.2+x.1+(8.-4)=0 (2+x-32)=0 x-30=0 x=30 
Exercício 34: 
 
 
A - (4, -2, 6) 
B - (-4, 2, -6) 
C - (1, -3, 0) 
D - (0, -12, 0) 
E - (12, 24, 3) 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - f(x)=e(cosx) u=cosx u'=-senx f'(x)=e(u).u' f'(x)=-senx.e(cosx) f(x)=ln(x²+4) u'=2x 
u=x²+4 f(x)=ln(u) f(x)=1/u.u' f'(x)=1/x²+4.2x f'(x)=2x/x²+4 f(x)=v3x+6 u'=3 
f(x)=(3x+6)1/2 f(x)=3/2.1/u1/2 u=3x+6 f(x)=3/2v3x+6 f'(x)=(u)1/2 f'(x)=1/2.u-1/2.u' 
f'(x)=3/2.u-1/2 
Exercício 35: 
 
 
A - Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
B - Apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
C - Apenas as afirmativas II e III estão corretas. 
D - Todas as afirmativas estão corretas. 
E - Todas as afirmativas estão incorretas. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
A - f(x)=e(cosx) u=cosx u'=-senx f'(x)=e(u).u' f'(x)=-senx.e(cosx) f(x)=ln(x²+4) u'=2x 
u=x²+4 f(x)=ln(u) f(x)=1/u.u' f'(x)=1/x²+4.2x f'(x)=2x/x²+4 f(x)=v3x+6 u'=3 
f(x)=(3x+6)1/2 f(x)=3/2.1/u1/2 u=3x+6 f(x)=3/2v3x+6 f'(x)=(u)1/2 f'(x)=1/2.u-1/2.u' 
f'(x)=3/2.u-1/2 
D - f(x)=e(cosx) u=cosx u'=-senx f'(x)=e(u).u' f'(x)=-senx.e(cosx) f(x)=ln(x²+4) u'=2x 
u=x²+4 f(x)=ln(u) f(x)=1/u.u' f'(x)=1/x²+4.2x f'(x)=2x/x²+4 f(x)=v3x+6 u'=3 
f(x)=(3x+6)1/2 f(x)=3/2.1/u1/2 u=3x+6 f(x)=3/2v3x+6 f'(x)=(u)1/2 f'(x)=1/2.u-1/2.u' 
f'(x)=3/2.u-1/2 
Exercício 36: 
 
 
A - Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
B - Apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
C - Apenas as afirmativas II e III estão corretas. 
D - Todas as afirmativas estão corretas. 
E - Todas as afirmativas estão incorretas. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - ) f(x)=sen(2x+4) u'=2 u=2x+4 f(x)=sen(u) f'(x)=cos(u).u' f'(x)=2cos(2x+4) 
f(x)=cos(3x+6) u'=3 u=3x+6 f(x)=cos(u) f'(x)=-sen(u).u' f'(x)=-sen(3x+6).3 f'(x)=-
3sen(3x+6) f(x)=(x²+4x)³ u=x²+4x u'=2x+4 f(x)=(u)³ f'(x)=3u².2x+4 
f'(x)=3(x²+4x).2x+4 f'(x)=(x²+4x)².(6x+12) 
Exercício 37: 
 
 
A - Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
B - Apenas as afirmativas I e III estão corretas. 
C - Apenas as afirmativas II e III estão corretas. 
D - Todas as afirmativas estão corretas. 
E - Todas as afirmativas estão incorretas. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D) 
Comentários: 
D - F(x)=x³+4 (x³+4)'=f(x) f(x)=3x² F(x)=x^4+2 (x^4+2)'=f(x) f(x)=4x³ F(x)=x^5-2 
(x^5-2)'=f(x) f(x)=5x^4 
Exercício 38: 
Suponha que a equação da velocidade v (em cm/s) de um ponto material em função do tempo 
t (em segundos) seja v(t) =14t-6t2. Sabendo que, no instante 1 s, o ponto material encontra-
se na posição 16 cm, qual a equação do espaço (em centímetros) em função do tempo? 
 
A - S(t)=7t 2 -2t 3 +6 
B - S(t)=7t 2 -2t 3 +11 
C - S(t)=7t 2 -3t 3 +5 
D - S(t)=14t-12t 
E - S(t)=14t 2 -2t 3 
O aluno respondeue acertou. Alternativa(B) 
Comentários: 
B - v=ds/dt=>ds=v.dt s=?v.dt 16=-2.1³+7.1²+c s=?(14t-6t²).dt 16=-2+7+c s=14t²/2-
6t³/3+c 16=5+c s=7t²-2t³+c c=11 s=7t²-2t³+11 
Exercício 39: 
 
 
A - x 2 + senx+C 
B - x 2 - cosx+C 
C - x 2 - senx+C 
D - 2x - senx+C 
E - 2x+cosx+C 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A) 
Comentários: 
A - ?(2x+cosx)dx = senx+2x²/2+c X²+senx+c 
Exercício 40: 
 
 
A - Apenas a afirmativa I está correta. 
B - Apenas a afirmativa II está correta. 
C - Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
D - Todas as afirmativas estão corretas. 
E - Todas as afirmativas estão incorretas. 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C) 
Comentários: 
C - ?(senx+4)dx ?(1/x+12)dx f(x)=ex -cosx+C+4x ln|x|+c+12x (ex)'=f(x) -cosx+4x+C 
ln|x|+12x+c