Relatório Momento de Inércia dos Discos - Física I

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Disciplina: 5263
MOMENTO DE INÉRCIA DOS DISCOS
ACADÊMICO: Erick Alessandro Barbosa Vieira                                         RA:107776 
TURMA: 001		 	 PROFESSOR: Jusmar Valentin Bellini
Maringá, 17 de Junho de 2018.
Resumo: Para o experimento, dois discos em uma parede, acoplados com o mesmo eixo de rotação rodaram em função de um peso cilíndrico preso a elas por um fio. A intenção do estudo era observar a relação do momento de inércia com o movimento circular, associando também o uso de energia mecânica. Para calcular o momento de Inércia, quando o sistema iniciava do repouso com a saída do peso, o tempo de queda foi cronometrado e usou-se de: para chegar ao resultado. Ao final do experimento foram encontrados os valores Kg.m2, para o momento experimental e esse ainda foi comparado com o teórico ( Kg.m2, calculando um erro percentual de 3,55%, entre ambos. 
Introdução Geral: O conceito de momento de inércia remonta a corpos os quais a dinâmica não pode ser tratada como um ponto (tais como ventiladores ou rodas gigantes) já que ao mesmo tempo em que se movimentarem, possuirão uma rotação em torno de um eixo. O momento de Inércia surge como um fator que relaciona de que modo uma força aplicada em um local específico do corpo influencia nesse giro. [1]
Objetivos
3.1 Objetivo Geral: Investigar o movimento de translação, bem como, o de rotação de um sistema Massa-Discos, tratados como corpos rígidos.
3.2. Objetivos Específicos: Determinar, experimentalmente, o momento de Inércia de um disco Homogêneo, explorando os conceitos de conservação de energia mecânica e torque.
Fundamentação Teórica: 
Momento de Inércia Teórico: Entre os objetivos da mecânica, encontra-se observar as interações do universo real, a fim de constatar meios que expliquem os resultados de qualquer uma delas. Tratando-se de movimentos de rotação, o momento de inércia torna-se um conhecimento indispensável a fim de se compreender completamente ação de um corpo. Em termos gerais, ele representa a quantidade de massa de um objeto em determinado eixo, e consequentemente quão grande é a resistência de um corpo quando se trata de alterar o estado de rotação. Ao pegar um corpo com várias partículas rodando em volta de um mesmo eixo, todas girarão com a mesma velocidade angular, entretanto, cada uma com uma massa (m), e a uma distância R do eixo de rotação, distintos. Por definição, o momento de Inércia () é dado pela soma dos produtos das massas com o quadrado dos raios, de cada partícula, logo, para a i-ésima partícula, tem-se que:
				(Equação 4.1)
Observando a Fórmula, fica fácil compreender que para um corpo com massa fixa, quanto mais afastadas as partículas do eixo, mais alto é o momento de inércia, e quanto maior essa grandeza, mais difícil é alterar o estado de rotação do corpo (seja para ele começar o movimento, ou pará-lo).
Em um corpo rígido, tal qual um disco como o do experimento, essa associação pode ser reescrita para o corpo todo por uma integral:
 (Equação 4.2)
Por serem corpos com distribuição contínua de matéria, isto é, homogêneos, a densidade da massa é constante. Logo, substituindo a Equação 4.2 conforme essa grandeza obtém-se que é na verdade escrita em função da densidade volumétrica , sendo a área , com r (Raio), e a espessura do disco , importantes para determinar o volume. Logo, para o momento de Inércia de um disco, com eixo de rotação em seu centro tem-se:
 (Equação 4.3)
Já que o sistema onde foi realizado o experimento contém dois discos interligados, com massas e raios diferentes, o Momento de Inércia teórico é dado pela soma do momento de cada um deles. Usando a Equação 4.3 para ambos encontra-se:
 (Equação 4.4)
Em que: 
 é a massa do disco menor;
 é o raio do disco menor;
 é a massa do disco maior;
 é o raio do disco maior.
A unidade do momento de inércia no SI (Sistema Internacional) é Quilograma vezes metro ao quadrado (Kg.m2). [2]
4.2. Momento de Inércia Experimental: Uma vez que se tenha o Momento de Inércia Teórico, o próximo passo é encontrar o experimental. Um bom método é usar os conceitos de conservação da Energia mecânica, mas pra isso alguns cuidados precisam ser tomados. No procedimento matemático usado para encontrar essa grandeza, as forças dissipativas (tais como o atrito com o ar) estão sendo desconsideradas. Pelas leis da conservação de energia, a Energia Mecânica inicial deve ser Igual a Final. No começo o sistema encontra-se em repouso, logo a Energia Cinética () é igual a 0, sendo a Energia Potencial Gravitacional () a única a atuar. Tendo em vista que o experimento envolve uma massa suporte () começando em uma altura (), por definição sabe-se:
 (Equação 4.5)
Onde é a aceleração da gravidade com valor 9.8 m.s-2.
Uma vez que o sistema inicia o movimento, a Energia potencial se transforma em Energia Cinética gradativamente, até o ponto em a primeira chega à zero. Durante esse período, a massa suporte presa ao disco menor é solta e ganha aceleração até o instante () em que atinge o solo com uma velocidade final máxima (). Nesse momento o sistema passa por dois movimentos, a rotação do disco ao redor de seu centro, e uma velocidade linear em queda. Portanto, sua energia cinética final será dada por:
 (Equação 4.6)
Onde é a velocidade angular do disco, e o momento de inércia experimental. Pelos conceitos de movimento circular é possível conciliar velocidade angular, com a linear, através do raio (). Outra possível associação envolvendo a Velocidade linear final é com Velocidade linear Média () e Inicial (). Nelas, e , representam a variação de altura e tempo respectivamente (resultaram na própria altura e tempo) vale ressaltar que o negativo indica apenas o sentido do movimento.
 (Equação 4.7)
 (Equação 4.8)
Por fim, igualando a equação 4.5 à 4.6, isolando o momento de inércia experimental e substituindo os termos respectivamente pelas Equações 4.7 e 4.8, obtém-se:
 (Equação 4.9) 
O mesmo procedimento pode ser encontrado com auxílio dos conhecimentos de Torque. A força peso da massa suporte agiria como a força perpendicular necessária para tais cálculos, que envolvem segunda lei de Newton.
Desenvolvimento Experimental:
Materiais utilizados: 
Um Par de discos acoplados com diâmetros diferentes;
Cronômetros digitais Tenlon, com precisão de 0,01s;
1 Peso metálico, cilíndrico e maciço;
1 fio inextensível;
Trena com incerteza 0,05 cm;
Régua de plástico com incerteza de 0,05 cm;
Balança com precisão 0,01 g;
Montagem Experimental
Figura 1 – Imagem sobre como deve ficar o experimento.
A montagem do experimento encontra-se visualizável na figura 1. Os discos com diâmetros diferentes devem estar conectados por um único eixo, em seus respectivos centros. O peso está preso em uma das beiradas do fio e se encontra a uma altura do solo. Na outra extremidade, o mesmo fio deve estar fixado ao disco menor, para que ele gire quando o corpo cilíndrico for liberado.
Descrição do Experimento: Como visto através da fundamentação teórica, encontrar o momento de Inércia depende de fatores tais como a massa do peso suporte e o raio do disco menor. Uma vez que o conjunto de discos no laboratório estava com a montagem pronta e já anexa à parede, o primeiro passo foi obter as grandezas necessárias para o cálculo. Com isso em mente, a balança foi utilizada para pesar o corpo cilíndrico. Para averiguar os discos, nenhuma ação precisou ser tomada, em virtude de na parede, abaixo do disco, haver um papel contendo os diâmetros e massas tanto do maior quanto do menor. Na tabela 1, encontra-se a medida de todas as grandezas usadas.
Em seguida, o fio inextensível foi
enrolado em volta do disco menor de forma a não deslizar enquanto gira junto dele. Quanto ao seu comprimento , a escolha foi feita de um modo no qual com fio esticado, com uma extremidade atingindo o chão, ainda houvesse na outra extremidade, fio o suficiente em volta do disco para girar uma volta completa. Essa grandeza por não ser importante para o cálculo do momento de inércia a ser descoberto, não foi anotada.
Feito isso, o fio foi cortado. Sua extremidade livre foi amarrada ao peso metálico maciço, e a outra enrolada em volta do disco menor de modo em que do chão até o corpo cilíndrico ficasse uma altura . Com o auxílio da régua plástica foi possível alinhar o peso à parede e marcar o ponto. Para a obtenção da altura foi usada a Trena, começando no chão (definida como ponto 0), até o ponto anotado na parede. O valor foi adicionado à tabela 1.
Com a montagem pronta, o corpo cilíndrico foi alinhado com a altura . O próximo passo foi descobrir o tempo necessário para o sistema percorrer a distância , para isso o sistema precisava iniciar o movimento do repouso, portanto, enquanto um dos membros do grupo segurava o disco, os outros três estavam com um cronômetro. No instante em que o membro que mantinha o movimento em inércia solta o disco, os demais começam a calcular o tempo de queda do cilindro. A fim de se obter resultados mais precisos, o experimento foi realizado quatro vezes, assim se obtiveram doze tempos distintos (presentes na tabela 2), e para a fórmula foi usado o tempo médio de todos anotados () entre eles. Por fim, calculou-se o momento de inércia experimental e teórico, comparando-os.
Dados Obtidos Experimentalmente: Aferidas todas as medidas, se anotou nas tabelas 1 e 2 os dados encontrados.
Tabela 1 – Contém as massas (de cima para baixo, respectivamente) do cilindro maciço, do disco menor, e disco maior em gramas. Bem como em centímetros, altura percorrida, e os diâmetros dos discos menor, e maior respectivamente. Todas as medidas averiguadas encontram-se com as desvios dos materiais usados.
	 (g)
	 (cm)
	(94,25 ± 0,01)
	(167,80 ± 0,05)
	 (g)
	 (cm)
	(46,60 ± 0,01)
	(66,00 ± 0,05)
	 (g)
	 (cm)
	(2566,90 ± 0,01)
	(20,97 ± 0,05)
Tabela 2 – Todos os 12 tempos em segundos obtidos nos quatro experimentos realizados, com os desvios dos cronômetros utilizados.
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	(6,90 ± 0,01)
	(6,84 ± 0,01)
	(6,76 ± 0,01)
	(6,75 ± 0,01)
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	(6,70 ± 0,01)
	(6,95 ± 0,01)
	(6,74 ± 0,01)
	(6,56 ± 0,01)
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	 (s)
	(6,75 ± 0,01)
	(6,85 ± 0,01)
	(6,84 ± 0,01)
	(6,51 ± 0,01)
Interpretação dos Resultados inicialmente é necessário determinar as médias do tempo, cujo valor com o desvio é dado por: . Para poder utilizar as equações 4.4 e 4.9 e encontrar o momento em Kg.m2, dois cuidado precisam ser tomados. O primeiro é usar a relação para corpos circulares: . O segundo é passar as unidades de medida descritas para o SI. Ou seja, grama para quilograma (multiplicar por 10-3) e centímetros para metros (multiplicar por 10-2). Usando as Equação 4.4 e 4.9 encontra-se:
 Kg.m2 e Kg.m2.
Análise dos Resultados Inicialmente percebe-se que os valores do momento de Inércia teórico ( Kg.m2) e experimental ( Kg.m2) foram relativamente próximos, com um erro percentual de apenas 3,55%. Essa baixa variação indica que o tempo médio encontrado está muito próximo do verdadeiro, o que indica pouco erro sistemático ao acionar o sistema. Essa baixa mudança deve estar relacionada com um erro de flutuação, no caso, de forças dissipativas não consideradas no cálculo da equação.
Conclusões: Através do experimento realizado, fica evidente a conexão entre o movimento de rotação do disco e o de queda do cilindro, sendo uma ótima maneira de associar o Torque (força perpendicular responsável por movimentos rotacionais), ou a Energia com o Momento de inércia. Considerando que as forças dissipativas e erros sistemáticos (mesmo que talvez quase inexistentes) sejam os responsáveis pela baixa variação, é de se esperar que em um meio perfeito e sem atrito, os resultados obtidos sejam os mesmos, tornando as associações realizadas com a Energia ou torque verdadeiras. 
Referências Bibliográficas
[1] FREEDMAN, R. A. Física I, Mecânica. 12ª edição, São Paulo: Pearson, 2008.
[2] MUKAI, H. FERNANDES P. R. G. Manual de laboratório de Física I – 2018.