aula1

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Espac¸os vetoriais com produto interno
Profa Dra Luciane Gobbi Tonet
Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e de aˆngulo
entre dois vetores, visando uma melhor compreensa˜o do que seja uma base ortogonal e uma
base ortonormal em um espac¸o vetorial.
Ale´m disso, estes conceitos nos dara˜o a noc¸a˜o de ”medida”que nos leva a precisar conceitos
como o de a´rea, volume, distaˆncia, etc.
Exemplo 1 Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano or-
togonal (eixos perpendiculares) e um ponto P (x, y). Vamos calcular a distaˆncia do ponto P a`
origem O(0, 0).
Definic¸a˜o 2 Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ R2. Definimos o produto escalar ou produto
interno usual de u por v da seguinte forma:
< u, v >= x1x2 + y1y2.
O produto escalar ou produto interno usual tem uma relac¸a˜o importante com a norma de
um vetor v = (x, y):
‖v‖ =
√
x2 + y2 =
√
xx+ yy =
√
< v, v >.
Se, ao inve´s de trabalharmos no R2, estive´ssemos trabalhando no R3 (munidos de um re-
ferencial cartesiano ortogonal), ter´ıamos encontrado uma expressa˜o similar para o produto
escalar:
< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= x1x2 + y1y2 + z1z2
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e a mesma relac¸a˜o com a norma de um vetor v = (x, y, z), dada por
‖v‖ =
√
x2 + y2 + z2 =
√
< v, v >.
Exemplo 3 Suponhamos agora que o referencial, no plano, na˜o seja ortogonal (eixos na˜o
perpendiculares). Calcule a distaˆncia da origem ate´ o ponto P (cujas coordenadas dadas em
relac¸a˜o ao referencial sa˜o (x, y)).
Observe que, se usa´ssemos o produto escalar < (x1, y1), (x2, y2) >= x1x2 + y1y2 neste caso
na˜o valeria a relac¸a˜o ‖v‖ = √< v, v >. Mas ela passaria a valer se usa´ssemos a seguinte regra
para o produto:
< (x1, y1), (x2, y2) >= x1x2 + (cosα)x1y2 + (cosα)x2y1 + y1y2.
Resta saber se o produto assim definido e´, de fato, um produto interno. Em caso afirmativo,
novamente a noc¸a˜o de distaˆncia poderia ser dada a partir de um produto interno de vetores.
Definic¸a˜o 4 Seja V um espac¸o vetorial real. Um produto interno sobre V e´ uma func¸a˜o
f : V ×V −→ R que a cada par de vetores (v1, v2) ∈ V ×V , associa um nu´mero real, denotado
por f(v1, v2) ou < v1, v2 >, e que satisfaz as seguintes propriedades:
i) < v, v >≥ 0, valendo igualdade apenas quando v = 0;
ii) < αv1, v2 >= α < v1, v2 >, para quaisquer v1, v2 ∈ V e qualquer α ∈ R;
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iii) < v1 + v2, v3 >=< v1, v3 > + < v2, v3 >, para quaisquer v1, v2, v3 ∈ V ;
iv) < v1, v2 >=< v2, v1 >, para quaisquer v1, v2 ∈ V .
Exemplo 5 O produto definido no exemplo anterior, < u, v >= x1x2 + y1y2, e´ um produto
interno em R2, denominado produto usual, canoˆnico ou Euclidiano.
Exerc´ıcio 6 Sejam v1 = (a, b), v2 = (c, d) vetores no espac¸o vetorial V = R2. Verifique quais
das func¸o˜es f : V × V −→ R abaixo representa um produto interno:
a) f(v1, v2) = ac+ ad+ cb+ 2bd
b) f(v1, v2) = ac− bd
c) f(v1, v2) = a
2c+ bd2
d) f(v1, v2) = ac+ bd+ 1
e) f(v1, v2) = 2ac+ 5bd
e) f(v1, v2) =
1
2
ac+ 3bd
Exerc´ıcio 7 Mostre que < (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= x1x2+2y1y2+5z1z2 e´ um produto interno
no R3.
Exerc´ıcio 8 Sejam v1 = (1, 2,−3), v2 = (3,−1,−1) e v3 = (2,−2, 0) vetores no R3. Determine
o vetor u tal que < u, v1 >= 4, < u, v2 >= 6 e < u, v3 >= 2.
Dica: Neste exerc´ıcio, consideremos u = (x, y, z) de tal forma que o produto interno usual
< u, v1 >= 4, < u, v2 >= 6 e < u, v3 >= 2 nos retorne treˆs equac¸o˜es. Em seguida, resolvendo
o sistema, obteremos os valores para x, y e z.
Exerc´ıcio 9 Calcular o mo´dulo de cada um dos seguintes vetores em relac¸a˜o ao produto interno
< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= 4x1x2 + 2y1y2 + z1z2:
a) v = (3,−1, 4)
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b) v = (−2,−5,−7)
Definic¸a˜o 10 Diz-se que uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espac¸o vetorial euclidiano V e´
base ortogonal se < vi, vj >= 0, para todo i 6= j, isto e´, os vetores da base sa˜o dois a dois
ortogonais.
Definic¸a˜o 11 Diz-se que uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espac¸o vetorial euclidiano V e´
base ortonormal se < vi, vj >= 0, para todo i 6= j e, ale´m disso, < vi, vi >= 0, para todo
i = 1, 2, ..., n. Isto e´, os vetores da base sa˜o unita´rios e dois a dois ortogonais.
Exerc´ıcio 12 Seja v = (−2, 1, 2) ∈ R3. Calcular o mo´dulo de v e normalizar v, sabendo que
a) R3 esta´ munido do produto interno usual;
b) em R3 esta´ definido o produto < (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= 3x1x2 + 2y1y2 + z1z2.
Dica: Para este exerc´ıcio, lembre-se que ‖v‖ = √< v, v > e que o vetor normalizado de v
e´ definido por u =
v
‖v‖ . Devemos ficar atento apenas para a definic¸a˜o do produto interno que
esta´ sendo utilizada.
Exerc´ıcio 13 Determine o valor de m para que os vetores (3m, 2,−m) e (−4, 1, 5) sejam
ortogonais.
Dica: Observe que no exerc´ıcio anterior, na˜o fizemos menc¸a˜o alguma ao produto interno.
Neste caso, devemos utilizar o produto interno usual. Ale´m disso, independente do produto a
ser utilizado, dois vetores u, v sa˜o ortogonais se < u, v >= 0.
Exerc´ıcio 14 Definamos, no R3, o produto interno < (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= 2x1x2+y1y2+
4z1z2. Determine o vetor unita´rio u que seja simultaneamente ortogonal aos vetores v1 =
(1,−1, 2) e v2 = (2, 1, 0).
Dica: Para este exerc´ıcio, podemos considerar u = (x, y, z). Para que u seja simultanea-
mente ortogonal aos vetores v1 e v2, devemos ter < u, v1 >=< u, v2 >= 0. Com isto, obteremos
um sistema cuja soluc¸a˜o sera´ u = (x,−4x, −3
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x), para todo x ∈ R. Como queremos o vetor
unita´rio, devemos normalizar este vetor u para x = 1.
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Exerc´ıcio 15 O conjunto β = {(2,−1), (k, 1)} e´ uma base ortogonal do R2 com relac¸a˜o ao
produto interno < (x1, y1), (x2, y2) >= 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2.
a) Determine o valor de k.
b) Obtenha, a partir de β, uma base ortonormal β′.
Dica: Como β e´ uma base ortogonal, o produto interno de seus vetores e´ nulo. Isso e´
suficiente para determinarmos o valor de k. Por outro lado, uma base ortonormal e´ uma base
ortogonal com vetores unita´rios. Ja´ sabemos que a base β e´ uma base ortogonal. Logo, para
obter a base β′ basta normalizar os vetores da base β. Lembrem-se que tudo isto deve estar de
acordo com o produto interno definido pelo exerc´ıcio!
Exerc´ıcios
1) Sejam V = R2 e v1 = (x1, y1), v2 = (x2, y2) ∈ V . Definimos ∆(v1, v2) = 2x1x2 + x1y2 +
x2y1 + y1y2. Mostre que ∆ e´ um produto interno em V .
2) Considere no R2 o produto interno dado por < v1, v2 >= x1x2 +x1y2 +x2y1 + 2y1y2, para
quaisquer vetores v1 = (x1, y1), v2 = (x2, y2) ∈ R2.
a) Determine m a fim de que (1 + m, 2) e (3,m − 1) sejam ortogonais. (Dica: sob que
condic¸o˜es dois vetores sa˜o ortogonais?)
b) Determine todos os vetores do R2 ortogonais a (2, 1).(Dica: Considere um vetor (x, y) ∈ R2
tal que < (x, y), (2, 1) >= 0 e resolva o sistema linear resultante.)
c) Determine todos os vetores (m,m−1) de norma igual a 1. (Dica: Observe que ‖(x, y)‖ =√
< (x, y), (x, y) > e que, neste exerc´ıcio, deve ser igual a 1.)
3) Determine todos os vetores do R3 de norma igual a 2 que sejam simultaneamente orto-
gonais a (2, 1, 2) e (−1, 3, 4). (Dica: tente identificar as treˆs equac¸o˜es do sistema linear
resultante dos dados fornecidos pelo exerc´ıcio.)
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4) Determine uma base ortonormal do subespac¸o W = {(x, y, z) ∈ R3;x − y = 0} do R3.
(Dica: Determine uma base S para W . Denotamos por S⊥ o conjunto ortogonal a S
formado pelos vetores (x, y, z) ortogonais aos vetores da base S. Observe que, a partir
disso, obtemos um sistema com duas equac¸o˜es. Resta obter a base deste conjunto S⊥
para, em seguida, normaliza´-la.)