Matematica_8a_classe

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<p>REPÚBLICA DE MOÇAMBIQUE</p><p>MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DESENVOLVIMENTO HUMANO</p><p>DIRECÇÃO NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO</p><p>MATEMÁTICA</p><p>8ª Classe</p><p>O meu caderno de actividades</p><p>STOP Sida</p><p>STOP Covid -19</p><p>FICHA TÉCNICA</p><p>Título:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe</p><p>Direcção: Gina Guibunda & João Jeque</p><p>Coordenação Geral: Manuel Biriate</p><p>Elaborador: Anselmo Chuquela</p><p>Concepção gráfica da capa e Layout Hélder Bayat, Bui Nguyet</p><p>Função linear</p><p>Impressão e acabamentos: MINEDH</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Revisão Linguística:</p><p>João Sapatinha & Cláudio Monjane</p><p>Rui Manjate</p><p>Tiragem: xxx exemplares</p><p>ÍNDICE</p><p>UNIDADE TEMÁTICA I 1</p><p>NÚMEROS RACIONAIS 1</p><p>I. RESUMO ............................................................................................................. 1</p><p>1. Números Inteiros Relativos ..................................................................... 1</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................... 4</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...................................................................... 6</p><p>UNIDADE TEMÁTICA II 9</p><p>EQUAÇÕES LINEARES 9</p><p>I. RESUMO ............................................................................................................. 9</p><p>1. Equações lineares (Equações do 1º Grau) ............................................. 9</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 11</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................... 12</p><p>UNIDADE TEMÁTICA III 13</p><p>PROPORCIONALIDADE E FUNÇÕES LINEARES 13</p><p>I. RESUMO ........................................................................................................... 13</p><p>1. Proporcionalidade directa ...................................................................... 13</p><p>2. Proporcionalidade inversa ..................................................................... 13</p><p>3. Funções lineares .................................................................................... 14</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 18</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................... 18</p><p>UNIDADE TEMÁTICA IV 20</p><p>SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 20</p><p>I. RESUMO ........................................................................................................... 20</p><p>1. Sistemas de equações lineares ............................................................. 20</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................. 23</p><p>UNIDADE TEMÁTICA V 24</p><p>CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS 24</p><p>I. RESUMO ........................................................................................................... 24</p><p>1. Circunferência e circulo ......................................................................... 24</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 26</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................... 28</p><p>UNIDADE TEMÁTICA VI 29</p><p>CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 29</p><p>E TEOREMA DE PITÁGORAS 29</p><p>I. RESUMO ........................................................................................................... 29</p><p>1. Congruência de triângulos .................................................................... 29</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................. 31</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................................... 32</p><p>Tópicos de correcção/resoluções dos exercícios propostos 36</p><p>Bibliografia 40</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>1</p><p>UNIDADE TEMÁTICA I NÚMEROS RACIONAIS</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Números Inteiros Relativos</p><p>Conjunto dos números inteiros relativos é o conjunto</p><p>formado pelos números negativos, o zero e os números</p><p>positivos. Este conjunto é representado pela letra .</p><p>O símbolo tem origem na palavra alemã “zählbar", que</p><p>significa contável.</p><p>1.1. Números simétricos</p><p>Dois números que estejam representados na recta numérica e que se encontrem à mesma</p><p>distância da origem dizem-se simétricos:</p><p> O número zero é simétrico de si próprio;</p><p> O simétrico de +2 é –2;</p><p> O simétrico de –1 é +1.</p><p>1.2. Valor absoluto de um número</p><p>O valor absoluto ou módulo de um número n é a distância desse número ao zero na recta</p><p>numérica e representa-se por |n|.</p><p> O valor absoluto de 2 é 2, isto é, |2|=2</p><p> O valor absoluto de –4 é 4, isto é, |−4|=4.</p><p>Nota: Dois números simétricos têm o mesmo valor absoluto.</p><p>1.3. Operações em</p><p>Regras operatórias</p><p>Para adicionar dois números inteiros relativos com o mesmo sinal, mantém-se o sinal e</p><p>adicionam-se os valores absolutos das parcelas.</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>2</p><p>Para adicionar números inteiros relativos com sinais contrários não simétricos, dá-se o sinal do</p><p>número com maior valor absoluto e subtraem-se os valores absolutos das parcelas.</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p>A soma de dois números simétricos é zero.</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p>Para subtrair dois números inteiros relativos, adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtractivo.</p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p>1.4. Propriedades da adição</p><p>1.4.1 Propriedade comutativa da adição</p><p>Considera os cálculos:</p><p></p><p></p><p></p><p>Repara que, em cada uma das adições, a soma mantém-se independentemente da ordem das</p><p>parcelas.</p><p>Esta propriedade designa-se por propriedade comutativa da adição:</p><p>NOTA: Para quaisquer dois números e , tem-se</p><p>1.4.2. Propriedade Associativa da adição</p><p>Considera os cálculos:</p><p></p><p></p><p></p><p>Repara que, em cada adição sucessiva, a soma mantém-se independentemente da ordem da</p><p>adição das parcelas.</p><p>Esta propriedade designa-se por propriedade associativa da adição:</p><p>NOTA: Para quaisquer números e , tem-se:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>3</p><p>1.4.3. Existência do elemento neutro</p><p>Considera os cálculos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Repara que, em cada uma das adições, a soma é igual ao valor da parcela não nula.</p><p>Diz-se que zero é o elemento neutro da adição.</p><p>Nota: Para qualquer número tem-se:</p><p>1.4.4. Existência do elemento simétrico</p><p>Considera os cálculos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Repara que, em cada uma das adições, a soma é nula.</p><p>Nota: Dado um número a, não nulo, existe um único número simétrico de – tal que:</p><p>1.5. Multiplicação em</p><p>O produto entre dois números inteiros será:</p><p>Positivo: Se ambos os números forem positivos ou se ambos os números forem negativos;</p><p>Negativo: Se um dos números for negativo e o outro positivo.</p><p>Exemplos:</p><p> 2 × 5 = 10</p><p> (−2) × 5 = −10</p><p> (−4) × (−4) = 16</p><p> 4 × (−4) = −16</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>4</p><p>1.6. Divisão em</p><p>A divisão é a operação inversa da multiplicação, por isso as regras dos sinais são as mesmas.</p><p>Observa os exemplos seguintes:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Considera o conjunto . Indica, dos elementos de A, os que são:</p><p>Pergunta Resposta</p><p>a) Números naturais;</p><p>b) Números inteiros relativos;</p><p>c) Números inteiros negativos.</p><p>2. Calcula as seguintes somas:</p><p>a) (+ 5 )+(−6)= -1 Subtrai-se 6 e 5. O resultado é negativo porque o número</p><p>com maior valor absoluto é 6.</p><p>b) 7+(−1)= +6 Subtrai-se 7 e 1. O resultado é positivo, porque 7 tem maior</p><p>valor absoluto.</p><p>c) (−8)+ (+ 2)= -6 Subtrai-se 8 e 2. O resultado é negativo porque 8 tem maior</p><p>valor absoluto.</p><p>d) 7 +12 = =19 Como ambos os números são positivos, o resultado é</p><p>positivo.</p><p>e) − 4+ 2= -2 Subtrai-se 4 e 2. O resultado é negativo, porque 4 tem maior</p><p>valor absoluto.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>5</p><p>3. Efectua:</p><p>a) 3-(-2) = 3+2=5 Negativo que precede parênteses muda o sinal do que está</p><p>dentro de parênteses para o seu simétrico, ou seja, menos com</p><p>menos é mais.</p><p>b) 4 - (+2) = 4-2 = 2 Repete-se a regra aplicada na alínea a)</p><p>c) -7-(-3) =-7+3=-4 Repete-se a regra aplicada na alínea a)</p><p>d) -5-(-5) = -5+5= 0 Repete-se a regra aplicada na alínea a)</p><p>4. Calcula:</p><p>a) (-4). (+3)= -12 Menos com mais é menos na multiplicação</p><p>b) (+4). (-2)= -8 Mais com menos é menos na multiplicação</p><p>c) (-3). (-2)= +6 Menos com menos é mais na multiplicação</p><p>d) (-15) : (-5)= +3 Menos com menos é mais na divisão</p><p>e) (+20): (- 5)= -4 Mais com menos é menos na divisão</p><p>As perguntas 05 a 07 são constituídas por quatro (4) alternativas, em que APENAS uma está</p><p>correcta. Assinala a opção correcta:</p><p>Pergunta Resposta</p><p>5. O elemento neutro da adição é:</p><p>a) Um</p><p>b) O seu simétrico</p><p>c) Zero</p><p>d) A adição não tem elemento neutro</p><p>C) Zero, pois qualquer número adicionado a zero</p><p>é igual a esse número.</p><p>6. O elemento simétrico só existe na:</p><p>a) Divisão</p><p>b) Subtracção</p><p>c) Adição</p><p>d) Multiplicação</p><p>C) Adição, porque só na adição é que se pode</p><p>adicionar dois números simétricos e o resultado dá</p><p>zero.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>6</p><p>7. O elemento absorvente da</p><p>multiplicação é:</p><p>a) Zero</p><p>b) +1</p><p>c) Não existe, só na adição</p><p>d) Todo o número par</p><p>a) Zero, qualquer número multiplicado por zero dá</p><p>zero.</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Assinala com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas.</p><p>a) +3 ____</p><p>b)</p><p>c) 0 _____</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g) ___</p><p>h) ___</p><p>i)</p><p>j) _______</p><p>k)</p><p>l) _______</p><p>2. Completa com os símbolos  (pertence)  (não pertence)  (contido) e  (não está contido)</p><p>de modo a obteres afirmações verdadeiras:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d) e)</p><p>f)</p><p>3. Completa os espaços em branco de modo a obteres proposições verdadeiras:</p><p>a) | ____ | = |-12| b) | +5 | =_____ c) | +12 | = _____ d) = _____</p><p>4. Completa com os símbolos de modo a obteres afirmações verdadeiras:</p><p>a) | +3 |____| -5 | c) | +12 |____| - 12 | e) +2 _____ 0 g) +5 ______</p><p>b) | +6 |____| +2 | d) | -12 |____ 6 f) (-5) ____ 0 h) -3_______-3</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>7</p><p>5. Disponha por ordem crescente os elementos dos seguintes conjuntos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>6. Efectua:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>i)</p><p>7. Calcula as seguintes somas algébricas:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>8. Calcula o valor das seguintes expressões:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>i)</p><p>j) – – – –</p><p>k)</p><p>l)</p><p>m)</p><p>n)</p><p>o)</p><p>p)</p><p>q)</p><p>r)</p><p>s)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>8</p><p>9. Calcula o valor numérico de cada uma das seguintes expressões:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>i)</p><p>j)</p><p>k)</p><p>l)</p><p>m)</p><p>n)</p><p>o)</p><p>p)</p><p>q)</p><p>r)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>9</p><p>UNIDADE TEMÁTICA II EQUAÇÕES LINEARES</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Equações lineares (Equações do 1º grau)</p><p>Chama-se equação linear ou do 1º grau com uma incógnita a toda igualdade que se reduz à forma , onde a, b, c são números racionais e .</p><p>Exemplo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Numa equação, as expressões separadas pelo sinal “=” denominam-se membros. O membro da</p><p>esquerda chama-se 1º membro e o da direita 2º membro. Cada membro é composto por termos,</p><p>onde os termos com incógnita são chamados termos dependentes e os sem incógnita são</p><p>chamados termos independentes.</p><p>Na equação :</p><p> 1º membro:</p><p> 2º membro:</p><p> Termos independentes: .</p><p> Termos dependentes: .</p><p>1.1. Resolução de equações lineares</p><p>Resolver uma equação linear significa determinar o valor da incógnita que verifica a igualdade, isto</p><p>é, torna a equação numa igualdade verdadeira.</p><p>Solução da equação linear é o número que transforma a equação numa igualdade verdadeira.</p><p>Equações equivalentes são aquelas que têm a mesma solução.</p><p>1.1.1. Princípios de equivalência de equações</p><p>1º princípio:</p><p>Adicionando ou subtraindo a ambos membros de uma equação um mesmo número,</p><p>obteremos uma equação equivalente à dada.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>10</p><p>Exemplo:</p><p> se formos a subtrair em ambos os membros 3 com objectivo de isolar o x</p><p>teremos: , efectuando as operações, teremos: .</p><p>Podemos resolver esta equação duma maneira mais curta e prática:</p><p>Em vez de subtrairmos 3 a ambos membros, passamos 3 para membro</p><p>direito e trocando-lhe o</p><p>sinal operacional.</p><p>2º princípio:</p><p>Multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma equação por um número diferente de</p><p>zero, obtém-se uma equação equivalente à dada.</p><p>Exemplo:</p><p> se formos a multiplicar em ambos membros por</p><p>com objetivo de isolar o x</p><p>teremos: efectuando as operações, teremos: .</p><p>Em vez de dividir ambos os membros por 2, podemos passar o 2 para o segundo membro à</p><p>direita como divisor de 4. Assim, teremos o mesmo resultado.</p><p>No geral: Para resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, podemos seguir os</p><p>seguintes passos:</p><p> Desembaraçar de parêntesis, caso existam;</p><p> Reduzir as fracções ao mesmo denominador, caso haja fracções;</p><p> Eliminar os denominadores;</p><p> Efectuar as operações indicadas;</p><p> Isolar a incógnita num dos membros por aplicação dos princípios de equivalência;</p><p> Verificar a solução.</p><p>1.2. Classificação das equações lineares</p><p>De acordo com a natureza da solução, uma equação linear pode ser:</p><p> Equação linear possível determinado, quando possui uma e</p><p>única solução.</p><p> Equação linear possível indeterminado, quando possui</p><p>infinitas soluções.</p><p> Equação linear impossível, quando não possui solução.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>11</p><p>1.3. Resolução de problemas envolvendo equações lineares</p><p>De um modo geral, os passos a seguir podem ser seguidos para a resolução dos problemas que</p><p>envolvem equações lineares:</p><p>1. Ler atentamente o problema, identificar a incógnita e escolher uma letra para</p><p>representá-la;</p><p>2. Equacionar o problema;</p><p>3. Resolver a equação obtida;</p><p>4. Analisar a solução (verificar se a solução da equação é ou não a solução do problema,</p><p>tendo em conta as condições dadas);</p><p>5. Dar resposta ao problema.</p><p>Exemplo:</p><p>A Maria e o João têm em conjunto 500 meticais. A Maria tem mais 50 meticais do que o João.</p><p>Quantos meticais tem cada um?</p><p>Resolução:</p><p>Seja os meticais do João. Então a Maria tem meticais.</p><p>Equação do problema:</p><p>Como a Maria tem</p><p>Resposta: O João tem 225 MT e a Maria tem 275 meticais.</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Resolve as seguintes equações e classifica quanto à natureza das soluções:</p><p>a) Equação possível determinada.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>12</p><p>b) Equação possível indeterminada.</p><p>c) Equação impossível.</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Resolve as seguintes equações em ordem a incógnita :</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2. Resolve as seguintes equações do primeiro grau.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>3. Mostra que:</p><p>a) 3 é solução de</p><p>b) -6 é solução de</p><p>c) 9 é solução de</p><p>d) 12 é solução de</p><p>4. Resolve as seguintes equações:</p><p>a)</p><p>b) – –</p><p>c) – –</p><p>d) x2</p><p>e)</p><p>– –</p><p>f) x2 x2</p><p>5. Determina o número " " para que as expressões</p><p>e</p><p>sejam iguais.</p><p>6. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Determina esses números.</p><p>7. A idade da Gina é o triplo da idade da sua filha Maura, e a soma de ambas as idades é 52</p><p>anos. Qual é a idade de cada uma?</p><p>8. O João pensou num número. Dividiu a sua soma com 8 por 5 e subtraiu o dobro da sua</p><p>diferença com 2, tendo obtido 2. Em que número o João pensou?</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>13</p><p>UNIDADE TEMÁTICA III PROPORCIONALIDADE E FUNÇÕES LINEARES</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Proporcionalidade directa</p><p>Consideremos a tabela abaixo:</p><p>Peso das bananas em kg 1 2 4</p><p>Custo em meticais 20 40 80</p><p>Analisando os dados da tabela, podemos constatar que os valores da 2ª linha (custo) são obtidos</p><p>multiplicando por 20 os valores da primeira linha (peso das bananas em kg).</p><p>O custo das bananas é directamente proporcional ao peso das bananas. O número 20 que</p><p>multiplicamos os valores da primeira linha para encontrarmos os valores da segunda linha é</p><p>constante da proporcionalidade e que se obtém dividindo cada valor da segunda linha pelo valor</p><p>correspondente da primeira linha, isto é:</p><p>No geral: A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x se existe um número k, de</p><p>modo que:</p><p>2. Proporcionalidade inversa</p><p>Consideremos a tabela abaixo:</p><p>Velocidade em Km/h (v) 5 10 30 60</p><p>Tempo em horas (t) 60 30 10 5</p><p>A tabela mostra a relação entre duas variáveis v (velocidade) e t (tempo). O produto da</p><p>velocidade “v” pelo tempo “t” é em todas as colunas da tabela constante e igual a 300. Nestas</p><p>condições, dizemos que a velocidade é inversamente proporcional ao tempo gasto. Olhando os</p><p>dados da tabela, quando a velocidade duplica de 5 km/h para 10km/h o tempo gasto reduz-se</p><p>para metade de 60 s para 30 s.</p><p>No geral: Duas variáveis são inversamente proporcionais se o produto de qualquer valor pelo</p><p>seu correspondente da outra variável for constante e diferente de zero.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>14</p><p>onde k é a constante de proporcionalidade</p><p>3. Funções lineares</p><p>Comecemos por estudar a relação que se pode estabelecer entre elementos de dois conjuntos.</p><p>São dados dois conjuntos representados por e</p><p> Tina Célia, Rita, Liza,M  a relação de F para M “é filha de”. Com base nessa relação podemos</p><p>representar num Diagrama de Venn a seguir:</p><p>F é o conjunto de partida e M o conjunto de chegada. O conjunto  Teresa Marta, Júlia, Ana, diz-se</p><p>domínio da relação e  Célia Rita, Liza, é o contradomínio da relação. Reparaste que as setas</p><p>partem dos elementos do domínio e só os elementos do contradomínio são extremidades das</p><p>setas.</p><p>Funções (Definição)</p><p>Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada</p><p>por BAf : , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento</p><p>de B.</p><p>Exemplo:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>15</p><p>Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada elemento de A</p><p>(objecto) esteja associado um único elemento de B (imagem).</p><p>Funções lineares</p><p>Consideremos a função definida por xy 2 , ou seja, y é dobro de x. Vamos organizar pares</p><p>ordenados numa tabela obedecendo esta lei “y é dobro de x”:</p><p>Variável independente (x) -3 -2 -1 0 1 2 3</p><p>Variável dependente (y) -6 -4 -2 0 2 4 6</p><p>Marcando os pontos correspondentes aos pares ordenados da tabela acima e unirmos, teremos o</p><p>seguinte gráfico:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>16</p><p>A função xy 2 tem as mesmas características das funções xy 3 e xy 5 . As grandezas x e y</p><p>são directamente proporcionais e o seu gráfico é uma recta que passa pela origem do SC. No</p><p>geral, as funções deste tipo axy  são chamadas funções lineares, onde a é um valor constante</p><p>e x e y são valores que variam e, por isso, se chamam variáveis. Porque a está a multiplicar a</p><p>variável x chama-se coeficiente de x .</p><p>Vamos traçar no mesmo SC os três gráficos das funções:</p><p>Podemos observar que o gráfico de xy 2 é o mais inclinado de todos, isto é, o ângulo que esta</p><p>recta faz com o eixo das abcissas é menor do que o que as outras rectas formam com o eixo das</p><p>abcissas. Quanto maior for o valor de a menor é a inclinação da recta. Como se pode ver, este</p><p>valor de a é responsável pelo grau de inclinação da recta, ou seja, pela amplitude do ângulo entre</p><p>a recta e o eixo das abcissas. Ele é denominado inclinação, coeficiente angular ou declive da</p><p>recta.</p><p>3.1. Funções do tipo</p><p>Observa agora os gráficos das funções representados na figura</p><p>seguinte:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>17</p><p>Pode-se constatar o seguinte:</p><p> Os gráficos são paralelos, isto é, têm o mesmo coeficiente angular;</p><p> Os gráficos intersectam o eixo das ordenadas em pontos diferentes. Quando 0x os</p><p>valores das funções são   30 f e   00 g , respectivamente. Estes pontos, onde o gráfico</p><p>corta o eixo das ordenadas, chamam-se ordenada na origem.</p><p> Os gráficos intersectam o eixo das abcissas em pontos diferentes, e  0;0 ,</p><p>respectivamente. O valor de x que anula a função chama-se zero da função. O zero da</p><p>função  xfy  é e da função  xgy  é 0x .</p><p>A função  xfy  não é como as anteriores do tipo axy  . Ela é do tipo baxy  , em que a e b</p><p>são valores constantes e x e y variáveis.</p><p>Dada uma função afim qualquer   baxxf  , qual será a ordenada na origem? Sendo a ordenada</p><p>na origem um ponto em que a abcissa é 0x , a ordenada será   bbaf  00 , isto é, a</p><p>ordenada na origem é by  . A recta intersecta o eixo das ordenadas no ponto  b;0 .</p><p>O zero da função será o valor de x para o qual 0y , ou seja 0 bax .</p><p>Exemplo:</p><p>Traçar o gráfico da função 42  xy</p><p>Dados dois pontos, pode-se traçar uma e uma única recta.</p><p>Assim, para traçar o gráfico da função dada basta</p><p>encontrarmos dois pontos quaisquer por onde o gráfico</p><p>passa. Para facilitar, vamos escolher os pares que têm</p><p>uma das coordenadas nula, ou seja, a ordenada na origem</p><p>e o zero da função. Para determinar a ordenada na</p><p>origem, fazemos 0x e calculamos   44020 f . O</p><p>zero da função é o valor de x quando 0y , ou seja,</p><p>042  x . Podemos ver que a expressão 42  x é igual a</p><p>zero se 2x . Este é o zero da função.</p><p>Vamos marcar os pontos encontrados  4;0 e  0;2 e traçar</p><p>a recta que passa por eles.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>18</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Considera a tabela abaixo:</p><p>Peso em kg 1 2 3 4 5</p><p>Preço em Mt 18 36 54 72 90</p><p>a) Que tipo de proporcionalidade representam os dados da tabela? Justifica a tua resposta.</p><p>Resposta: Trata-se de proporcionalidade directa, pois a razão entre os valores</p><p>correspondentes do preço e do peso é igual.</p><p>b) Calcula a constante da proporcionalidade.</p><p>Resposta:</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Dadas as tabelas seguintes, indica as que traduzem situações de proporcionalidade directa</p><p>entre as gradezas x e y.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>X 3 12 1,2 2</p><p>Y 15 60 6 10</p><p>X 0,8 1,2 1,6 2,4</p><p>y 0,2 0,3 0,4 0,6</p><p>x 4 5 8 10</p><p>y 8 6,2 4 3,2</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>19</p><p>2. A tabela seguinte traduz uma situação de proporcionalidade directa. Completa-a:</p><p>3. Marca num Sistema Cartesiano (SC) quatro pontos a tua escolha em que a ordenada é 3 .</p><p>Traça uma recta que passa por esses pontos. O que observaste?</p><p>4. Traça o gráfico das funções</p><p>a)   3 xxh b)   2 xxf</p><p>5. Qual é a expressão analítica da recta que passa pelos pontos de ordenada igual a zero?</p><p>6. Qual é a expressão analítica da recta que passa pelos pontos de abcissa igual a zero?</p><p>7. Observa os gráficos e indica o zero e a ordenada na origem em cada gráfico.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>x 1,3 1,5 3,5</p><p>y 2,6 3 4</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>20</p><p>UNIDADE TEMÁTICA IV SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Sistemas de equações lineares</p><p>É o conjunto de equações que é satisfeito por mesmos valores das incógnitas.</p><p>Consideremos o seguinte exemplo: “A soma de um número com o dobro de outro é vinte e três e</p><p>a sua diferença entre o quádruplo do primeiro número e o dobro do segundo é dois. Quais são</p><p>esses números?”</p><p>Traduzindo o enunciado em linguagem matemática, teremos:</p><p> A soma de um número com o dobro de outro é vinte e três.</p><p> Diferença entre o quádruplo do primeiro número e o dobro do segundo é dois. .</p><p>Juntando as duas equações, teremos o seguinte: que se chama sistema de duas</p><p>equações lineares a duas incógnitas.</p><p>1.1. Resolução de sistemas de duas equações lineares a duas incógnitas</p><p>Existem vários métodos para resolver um sistema de equações, isto é, para determinar o par de</p><p>números (caso exista) que transforma simultaneamente as duas equações em igualdades</p><p>verdadeiras. Aqui vamos tratar apenas de quatro métodos que são: substituição, adição ordenada,</p><p>misto e gráfico.</p><p>1.1.1. Método de substituição</p><p>Considerando o sistema acima</p><p>1º Resolvendo a primeira equação em ordem a “x”, isto é, isolando o “x”, teremos:</p><p>2º Substituindo na segunda equação o valor obtido de x na primeira equação, teremos:</p><p>Agora a equação obtida é uma equação só com uma incógnita o “y”, resolvendo teremos:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>21</p><p>3º Substituindo na primeira equação o valor que obtivemos para “y” na segunda, teremos:</p><p>O par é a solução do sistema.</p><p>1.1.2. Adição ordenada (redução a coeficientes simétricos)</p><p>Considerando ainda o sistema</p><p>1º Reduzir a coeficientes simétricos de uma das variáveis. Para este caso o y já tem</p><p>coeficientes simétricos.</p><p>2º Somam-se membro a membro os termos correspondentes:</p><p>Repetindo o procedimento do 2º passo em relação a outra incógnita, teremos</p><p>O par é a solução do sistema.</p><p>1.1.3. Método misto</p><p>O método misto consiste em resolver o sistema aplicando, simultaneamente, o método de adição</p><p>ordenada e substituição.</p><p>Aplicando o método de adição ordenada, teremos:</p><p>2º Somam-se membro a membro os termos correspondentes:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>22</p><p>Substituindo este valor numa das equações do sistema, teremos:</p><p>O par é a solução do sistema.</p><p>1.1.4. Método gráfico</p><p>Dado o sistema, , vamos resolver aplicando o método gráfico.</p><p>Para resolver graficamente o sistema, temos de:</p><p>1º Reduzir as equações à forma</p><p>2º Construir os gráficos de cada função.</p><p>3º A intersecção das duas rectas fornece as coordenadas do ponto para as duas rectas. Sendo</p><p>assim, (2;0) é a solução do sistema, isto é, e .</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>23</p><p>II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Resolve os seguintes sistemas, aplicando o método à tua escolha:</p><p>a) e) i) m)</p><p>b) f) j)</p><p>c) g) k)</p><p>d) h) l)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>24</p><p>UNIDADE TEMÁTICA V CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Circunferência e círculo</p><p>Uma circunferência de centro O e raio r é o conjunto de pontos do plano cuja distância ao centro</p><p>é igual a r, como podes ver na figura que se segue.</p><p>Raio é</p><p>qualquer segmento de recta que une qualquer ponto da circunferência com o centro.</p><p>Círculo é conjunto de todos os pontos que estão no interior da circunferência, incluindo a</p><p>circunferência.</p><p>1.1. Corda de uma circunferência</p><p>Agora, observa a circunferência dada na figura que se segue.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>25</p><p>Se unires quaisquer dois pontos da circunferência, obténs uma linha ou segmento que se chama</p><p>corda. Serão cordas, por exemplo, , , . Assim, chama-se corda de uma circunferência ao</p><p>segmento que une dois pontos diferentes da circunferência.</p><p>Como deves estar a imaginar, numa circunferência podem-se traçar uma infinidade de cordas e</p><p>de raios. Se uma das cordas passar pelo centro da circunferência, chamar-se-á diâmetro. Neste</p><p>caso, é o diâmetro da circunferência.</p><p>1.2. Ângulos na circunferência</p><p>1.2.1. Ângulo ao centro e arcos correspondentes</p><p>Ângulo ao centro ou ângulo central é o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência.</p><p>Exemplo:</p><p>Repara que, no caso acima, as extremidades dos lados do ângulo ao centro tocam a</p><p>circunferência. Portanto, os pontos que se encontram na linha da circunferência entre a</p><p>intersecção de cada lado do ângulo com a circunferência (AB) determinam o arco correspondente</p><p>a esse ângulo central. O arco formado entre os dois lados do ângulo corresponde à amplitude do</p><p>ângulo central, representada na figura por α, isto é, o arco é igual à amplitude do ângulo.</p><p>A amplitude de um ângulo é o afastamento de duas rectas ou segmentos unidos por um</p><p>vértice.</p><p>1.2.2. Ângulo inscrito na circunferência</p><p>Ângulo inscrito na circunferência é o ângulo cujo vértice está sobre um ponto da circunferência</p><p>e cujos lados intersectam a circunferência em mais dois pontos.</p><p>- O ângulo – é o ângulo inscrito em que C representa o</p><p>vértice.</p><p>- O ângulo – é o ângulo central, em que O representa o</p><p>centro da circunferência – (vértice do ângulo).</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>26</p><p>1.2.2.1. Amplitude do ângulo inscrito</p><p>A amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade da amplitude do ângulo ao</p><p>centro que intersecta o mesmo arco.</p><p>Nota:</p><p>Todo o ângulo inscrito sobre o diâmetro de uma circunferência tem a amplitude igual a .</p><p>1.2.3. Amplitudes de ângulos e de arcos (Sistema Sexagesimal e Centesimal)</p><p>Grau é amplitude de um ângulo que resulta da divisão de um ângulo recto em noventa partes</p><p>iguais, por isso um ângulo recto mede 90º.</p><p>1º = 60’ e 1’ =60’’</p><p>Grado é amplitude de um ângulo que resulta da divisão de um ângulo recto em cem partes iguais,</p><p>por isso um ângulo recto mede . Então: .</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Considera uma peneira de forma circular com mapira. Assinala com V as afirmações</p><p>verdadeiras e F as afirmações falsas:</p><p>a) A mapira constitui a circunferência que delimita a peneira. ____</p><p>b) Cada grau de mapira não faz parte do círculo. ____</p><p>c) Toda a mapira pertence ao círculo. ____</p><p>d) A mão que mexe a mapira na peneira está no círculo. _____</p><p>Resposta:</p><p>a) F b) F c) V d) V</p><p>2. Podemos afirmar que o valor do ângulo no triângulo a seguir é:</p><p>A. 60º</p><p>B. 65º</p><p>C. 70º</p><p>D. 75º</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>27</p><p>E. 90º</p><p>Resposta:</p><p>Alternativa B.</p><p>Analisando a circunferência, o arco formado pelos pontos AB tem amplitude igual à meia</p><p>circunferência, ou seja, 180º. Como o ângulo do vértice em C é inscrito, então ele corresponde à</p><p>metade de 180º, logo é igual a 90º.</p><p>A soma dos ângulos internos do triângulo é sempre igual a 180º, então temos que:</p><p>25º + + 90º = 180º</p><p>= 180º – 90º – 25º</p><p>= 90º – 25º</p><p>= 65º</p><p>3. Calcula o valor de na circunferência a seguir.</p><p>Resolução</p><p>Sabendo que AÔB é o ângulo central e que ele corresponde ao valor do arco, então temos que:</p><p>2x + 5º = 45º</p><p>2x = 45º – 5º</p><p>2x = 40º</p><p>x = 40º: 2</p><p>x = 20º</p><p>R: O valor do na circunferência dada é 20º.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>28</p><p>4. Reduze ao sistema sexagesimal:</p><p>a)</p><p>5. Reduze ao sistema centesimal:</p><p>a)</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Assinala com V as afirmações verdadeiras e com F as afirmações falsas.</p><p>a) Uma circunferência é uma região plana limitada por um círculo. ____</p><p>b) Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até ao centro é sempre</p><p>menor do que a constante r._____</p><p>c) Uma circunferência possui apenas dois raios e a soma desses dois elementos é</p><p>igual ao diâmetro. _____</p><p>d) Uma circunferência de centro O e raio r é um conjunto de todos os pontos cuja</p><p>distância até O é igual a r.____</p><p>e) Círculo é a região do plano limitada por um diâmetro. ____</p><p>2. Nas circunferências abaixo, determina a medida do ângulo ou do arco x.</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>29</p><p>UNIDADE TEMÁTICA VI</p><p>CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS</p><p>E TEOREMA DE PITÁGORAS</p><p>I. RESUMO</p><p>1. Congruência de triângulos</p><p>Muitas vezes dizemos, sem ter a certeza absoluta, que um objecto é igual a outro, por exemplo: a</p><p>minha camisa é igual a do Amadeu. Mas quando fazemos essa afirmação, estamos a querer dar a</p><p>entender que esses objectos quando sobrepostos (um em cima do outro) parecem um único</p><p>objecto, por serem exactamente iguais.</p><p>Neste capítulo, vamos aprender a identificar a congruência (igualdade) de triângulos usando</p><p>critérios específicos, que irão dispensar a necessidade de verificar ponto por ponto, se os</p><p>triângulos em análise são ou não congruentes. Para tal, bastará dominar esses critérios para</p><p>afirmar ou identificar se determinados triângulos são ou não geometricamente iguais.</p><p>a) Critérios de congruência de triângulos</p><p>Existem três critérios principais de congruência de triângulos que vamos já estudar:</p><p> Critério lado, lado e lado (l.l.l.)</p><p> Critério lado, ângulo e lado (l.a.l.)</p><p> Critério ângulo, lado e ângulo (a.l.a.)</p><p>1. LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.</p><p>Dois triângulos são congruentes se tiverem os três lados congruentes, isto é, se houver</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>30</p><p>uma sobreposição efectiva dos seus três lados.</p><p>2. LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e o ângulo por eles</p><p>formado também congruentes.</p><p>Dois triângulos são congruentes (iguais) se tiverem dois lados e o ângulo por eles</p><p>formado, respectivamente congruentes (l.a.l.).</p><p>3. ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos</p><p>congruente.</p><p>Dois triângulos são congruentes (iguais) se tiverem dois ângulos e um lado</p><p>correspondentes em cada triângulo congruente. (a.l.a)</p><p>b) Teorema de Pitágoras</p><p>O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo rectângulo. Essa figura</p><p>geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado ângulo recto.</p><p>O enunciado desse teorema é:</p><p>A soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao</p><p>quadrado de sua hipotenusa.</p><p>Fórmula:</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>31</p><p>A hipotenusa é o maior lado de um triângulo rectângulo e o lado oposto ao ângulo recto. Os</p><p>outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem medida igual a 90º</p><p>(ângulo recto).</p><p>II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>1. Considera um rectângulo ABCD e seja BD uma diagonal. Mostra que a diagonal divide o</p><p>rectângulo em dois triângulos congruentes.</p><p>Demonstração:</p><p>Pretende-se mostrar que os triângulos BAD e DCB são</p><p>congruentes, isto é, temos de encontrar três elementos</p><p>correspondentes iguais.</p><p> Como já deve saber, os lados opostos de um</p><p>rectângulo são paralelos e iguais, assim</p><p>AB CD e AD BC .</p><p> Por outro lado, o ângulo ABD é congruente ao ângulo CDB porque são ângulos alternos</p><p>internos definidos pelas rectas paralelas AB e DC e pela secante BD.</p><p> BD é o lado comum aos dois triângulos.</p><p> Os ângulos DBC e BDA também são congruentes porque também são alternos internos</p><p>definidos pelas rectas paralelas BC e AD e pela secante BD. Assim, os dois triângulos</p><p>serão congruentes pelo critério a.l.a, c.q.d.</p><p>2. Calcula a medida da hipotenusa, se um triângulo rectângulo apresenta 3 cm e 4 cm como</p><p>medidas dos catetos.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>32</p><p>3. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determina o valor de em cada triângulo rectângulo.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. Nos triângulos, as marcas iguais indicam medidas iguais. Em cada um dos pares de</p><p>triângulos, indique (caso exista) o caso de congruência.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>33</p><p>c)</p><p>d)</p><p>2. Assinala com V as afirmações verdadeiras ou com F as afirmações falsas.</p><p>a) Se dois triângulos têm três lados respectivamente congruentes, então esses triângulos são</p><p>congruentes. ______</p><p>b) Se dois triângulos têm um lado e dois ângulos a ele adjacentes respectivamente</p><p>congruentes, então os triângulos são congruentes_______</p><p>c) Se dois triângulos têm três ângulos respectivamente congruentes, então esses triângulos</p><p>são congruentes. ________</p><p>d) Se dois triângulos têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado</p><p>respectivamente congruentes, então esses triângulos são congruentes.________</p><p>e) Se dois triângulos têm dois lados e um ângulo respectivamente congruentes, então esses</p><p>triângulos são congruentes. _______</p><p>3. Na imagem a seguir, sabemos que , , – e . Calcula a medida do segmento e .</p><p>4. Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando,</p><p>aqueles que são rectângulos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>34</p><p>5. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:</p><p>a) b)</p><p>6. Calcula as áreas das seguintes figuras.</p><p>a) b)</p><p>7. Qual era a altura do poste?</p><p>8. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>35</p><p>9. O Adérito e o Alberto estão a brincar no balancé, como indica a figura abaixo:</p><p>A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do</p><p>balancé?</p><p>10. A figura representa um barco à vela. Determina, de acordo com os dados da figura, os valores</p><p>de e .</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>36</p><p>Tópicos de correcção/resoluções dos exercícios propostos</p><p>Unidade temática I: Números racionais</p><p>1. a) V b) V c) V d) V e) V f) V g) F h) F i) V j) F k) V l) F</p><p>2. a) b) c)  d)  e) f) </p><p>3. a) +12 b) 5 c) 12 d) 2016</p><p>4. a) c) = d) > e) > f) h) =</p><p>5. a) b)</p><p>6. a) -1 b) +1 c) -3 d) +19 e) +4 f) -6 g) +3 h) -3 i) 0</p><p>7. a) -4 b) -7 c) -13 d) 0 e) -40 f) -26 g) 80 h) 5</p><p>8. a) b) c) d) e) f) -5 g) h) i)</p><p>j) -2 k) l) m) n) o) p) q) r) -13 s) 0</p><p>9. a) 3 b) -4 c) -2 d) 5 e) 12 f) 35 g) 8 h) 10 i) 0 j) -11 k)</p><p>-30 l) 8 m) 70 n) 28 o) -8 p) 19 q) -31 r) 36</p><p>Unidade temática II: Equações lineares</p><p>1. a) b) c)</p><p>2. a) b) c) d)</p><p>3. a) para e obtém-se</p><p>b) para e obtém-se</p><p>c) para e obtém-se</p><p>d) para e obtém-se</p><p>4. a) 6 b)</p><p>c) 21 d) 2 e) -21 f) 0</p><p>5.</p><p>6. 130; 131 e 132</p><p>7. A Maura tem 13 anos e a sua mãe tem 39.</p><p>8. O número que o João pensou é 2.</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>37</p><p>Unidade temática III: Proporcionalidade e funções lineares</p><p>1. a) Traduzem uma proporcionalidade directa, pois a razão entre as grandezas e são</p><p>iguais.</p><p>b) e c) não traduzem proporcionalidade directa</p><p>2.</p><p>3.</p><p>Pontos da mesma ordenada representam uma recta paralela ao eixo das abcissas.</p><p>4.</p><p>a) b)</p><p>5.</p><p>6.</p><p>7. a) zero: ordenada na origem:</p><p>b) zero: , ordenada na origem:</p><p>c) zero: , ordenada na origem:</p><p>x 1,3 1,5 2 3,5</p><p>y 2,6 3 4 7</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>38</p><p>Unidade temática IV: Sistemas de equações lineares</p><p>1. a) b) c) d) e) S.I f) g) h)</p><p>i) j) k) l) m)</p><p>Unidade temática V: Circunferências e círculos</p><p>1. F b) F c) F d) V e) F</p><p>2. x = 59º b) x = 82º c) x=92º d) x = 90º</p><p>Unidade temática VI: Congruência de triângulos e Teorema de Pitágoras</p><p>1. a) b) c) d)</p><p>2. a) V b) V c) V d) F e) F</p><p>3.</p><p>4. As alíneas que correspondem triângulos rectângulos são: b); d) e f)</p><p>5. a) 13 cm b) 6 cm</p><p>6. a) 153 b) 108</p><p>7. 9 m</p><p>8. 2,65 m</p><p>9. 1,9 m</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH – DINES</p><p>39</p><p>O meu caderno de actividades de Matemática – 8ª Classe MINEDH –</p><p>DINES</p><p>40</p><p>Referências Bibliográficas</p><p> Abrantes P. & Carvalho R. F. (1988), M9 Exercícios de Matemática 8º ano, texto editora,</p><p>Lisboa.</p><p> Amabília Cruz et al (sd), Matemática 8º Ano, Porto Editora, Lisboa;</p><p> Carvalho R. F. & Martins Z. A. (1999), Matemática pela pratica 8ª classe, 1ª edição,</p><p>Moçambique editora, Maputo.</p><p> Chuquela A. et al (2016), Manual Básico de Ensino Técnico Profissional, 1ª edição,</p><p>Maputo.</p><p> INDE (2008). Programa de Matemática da 8ª classe. Maputo-Moçambique.</p><p> Martins Z. (2011), Matemática 8ª Classe, 2ª edição, Texto editores Lda.- Moçambique.</p>