EH NParametricos Ajustamento+Aderencia+Independencia

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IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 1 
 
I – TESTE DE AJUSTAMENTO KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S) 
 TESTE DE AJUSTAMENTO SHAPIRO-WILK (S-W) 
(Adequado a variáveis métricas) 
KOLMOGOROV-SMIRNOV TEST (K-S) n >50 
SHAPIRO-WILK TEST (S-W) n ≤ 50 
 
OBJECTIVO: pretende-se testar se determinada variável métrica segue distribuição normal. 
 
FORMULAÇÃO DE HIPÓTESES: 
 
H0: A variável Idade no grupo populacional de sexo i segue distribuição normal 
Ha: A variável Idade no grupo populacional i não segue distribuição normal 
 
 
EXECUÇÃO DO TESTE COM RECURSO AO SPSS: 
Obtenham-se os outputs através dos comandos: 
Analyze→ Descriptive Statistics → Explore 
 Dependent list: Idade 
 Factor list: Sexo 
 
 
OUTPUTS:____________________________________________________________________ 
 
Case Processing Summary
28 82,4% 6 17,6% 34 100,0%
60 90,9% 6 9,1% 66 100,0%
Sexo
feminino
masculino
Idade
N Percent N Percent N Percent
Valid Missing Total
Cases
 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 2 
Como 5028 ≤=Fn , toma-se a decisão através do teste S-W; 5060 >=n , toma-se a decisão através 
do teste K-S ou pode-se recorrer ao teorema do limite central se a condição da simetria não for 
grave. 
Tests of Normality
,138 28 ,182 ,959 28 ,323
,089 60 ,200* ,961 60 ,051
Sexo
feminino
masculino
Idade
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk
This is a lower bound of the true significance.*. 
Lilliefors Significance Correctiona. 
 
* Correcção devida a não se estar a trabalhar com os verdadeiros valores dos parâmetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II - TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
(Adequado a variáveis qualitativas) 
OBJECTIVO: Pretende-se testar se a proporção populacional de leitores de cada jornal 
semanário é igual 
FORMULAÇÃO DE HIPÓTESES: 
H0: A variável Proporção populacional de leitores de cada semanário é igual 
na população de onde foi retirada esta amostra 
H1: A variável não segue distribuição uniforme 
 
A estatística do teste é: ( ) ( )I 2 1
1
2
−−
=
χ−∑ kc
c
i i
ii
Fe
FeFo
 
onde c = nº categorias (ou de modalidades) da variável e k = nº de parâmetros a estimar 
 
Região Crítica 
Unilateral à Direita 
Valor da estatística do teste: 
No grupo feminino: T=0,959 
No grupo masculino: T=0,089 
 
Nível de significância = 0,05 
 
Decisão: 
No grupo de leitores do sexo feminino: como, Sig = 0,323 > 0,05 ⇒ Não rejeitar H0, ou seja, há 
evidência estatística de que a distribuição populacional da 
Idade dos leitores do sexo feminino seja normal. 
No grupo de leitores do sexo masculino: • como Sig = 0,200 > 0,05 ⇒ Não rejeitar H0, ou seja, a 
distribuição populacional da Idade dos leitores do sexo 
masculino deve seguir distribuição normal. 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 3 
EXECUÇÃO DO TESTE COM RECURSO AO SPSS: 
Obtenham-se os outputs através dos comandos: 
Analyze→ Non-parametric tests→ Chi-Square 
 Test Variable list: P1 
 Expected Values: All categories equal 
 
 
 
OUTPUTS: ___________________________________________________________________ 
 
 
Semanario preferido
50 33,3 16,7
25 33,3 -8,3
25 33,3 -8,3
100
expresso
semanario
sol
Total
Observed N Expected N Residual
 
 
 
Test Statistics
12,500
2
,002
,002
,000
Chi-Square a
df
Asymp. Sig.
Exact Sig.
Point Probability
Semanario
preferido
0 cells (,0%) have expected frequencies less than
5. The minimum expected cell frequency is 33,3.
a. 
 
 
 
POTENCIAL PROBLEMA: Se o SPSS não convergir para uma solução (o que não sucedeu 
neste exemplo) e se não tivermos a significância exacta, antes de se interpretar a Asymp. Sig. dada 
pelo teste assimptótico deve-se interpretar a alínea a. do respectivo output onde se identificam as 
condições de aplicabilidade do teste assimptótico. 
 
- frequências observadas, FOi (Observed N) 
- frequências esperadas no caso da hipótese nula 
ser verdadeira, Fei (Expected N) 
- diferenças entre frequências observadas e 
esperadas (Residual) 
Valor da estatística do teste = 12,500 
Graus de liberdade = (3-0-1) = 2 
Nível de significância = 0,05 
Decisão: 0,002 < 0,05 ⇒ Rejeitar H0, ou seja, a 
distribuição populacional das preferências dos 
leitores pelos 3 semanários não é igual 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 4 
CONDIÇÕES DE APLICABILIDADE DO TESTE ASSIMPTÓTICO: 
Este teste só se pode realizar se ambas as condições abaixo especificadas forem cumpridas. 
1) Não mais de 20% dos cruzamentos (cells) deverão ter frequências esperadas < 5 
2) Nenhum cruzamento deverá ter frequência esperada < 1 
 
 
 
 
III - TESTE DE INDEPENDÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
(Adequado a duas variáveis qualitativas nominais ou tratadas como tal) 
CASO I: Pretende-se testar se a variável Sexo é independente das Preferências pelos semanários. 
FORMULAÇÃO DE HIPÓTESES: 
 
H0: As variáveis Sexo e Semanário Preferido são independentes (não estão relacionadas) 
Ha: as duas variáveis não são independentes (estão relacionadas) 
 
 
Estatística do teste: 
( )
( ) ( )I
2
11
2
21 −−
χ
−
∑∑
cci j ij
ijij
Fe
FeFo
 
onde c1 = nº categorias ou modalidades da variável 1 e c2 = nº categorias ou modalidades da 
variável 2 
 
 
EXECUÇÃO DO TESTE COM RECURSO AO SPSS: 
Obtenham-se os outputs através dos comandos: 
Analyze → Descriptive Statistics→ Crosstabs: Row: Sexo 
 Column: P1 
 
 
Região Crítica 
Unilateral à Direita 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 5 
Statistics: Chi-Square Exact: Exact Tests Cells: 
Counts:Observed Expected 
Percents: Row Colum Total 
 
 
 
 
 
A decisão a tomar vai ser baseada no teste exacto se este convergir para determinado valor. Se não 
convergir, a decisão vai ter de ser baseada no teste assimptótico se as condições de aplicabilidade 
se verificarem. 
 
OUTPUTS 
______________________________________________________________________ 
 
 
 
1. as preferências amostrais dos leitores femininos concentram-se no Expresso e no Independente; 
2. enquanto que os leitores masculinos, nesta amostra, preferem sobretudo o Expresso e, em 
seguida, o Semanário. 
 
Chi-Square Tests
10,517a 2 ,005 ,005
10,241 2 ,006 ,006
9,926 ,007
5,791b 1 ,016 ,022 ,012 ,006
100
Pearson Chi-Square
Continuity Correction
Likelihood Ratio
Fisher's Exact Test
Linear-by-Linear Association
N of Valid Cases
Value df
Asymp. Sig.
(2-sided)
Exact Sig.
(2-sided)
Exact Sig.
(1-sided) Point Probability
0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 8,50.a. 
The standardized statistic is -2,407.b. 
 
 
Tabela de contingência ou de dupla 
entrada: 
- frequências observadas, FOij (count) 
- frequências esperadas no caso deindependência entre as 2 variáveis, 
Feij (expected count) 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se estão relacionadas, deve-se pedir o coeficiente de associação adequado a estas variáveis. 
 
 
O coeficiente de associação amostral, sendo igual a 0,324, mostra que as variáveis estão 
fracamente associadas na amostra apesar desse valor ser extrapolável para a população como 
sendo significativamente diferente de zero. 
 
 
CASO II: Pretende-se testar se a variável Licenciatura e Realização Pessoal da base de dados 
Universidade.sav estão relacionadas. 
A variável Licenciatura é uma variável nominal expressa em 4 categorias diferentes; a variável 
Realização Pessoal é uma variável nominal expressa em 4 categorias. 
FORMULAÇÃO DE HIPÓTESES: 
 
H0: As variáveis Licenciatura a que pertence e Realização pessoal (não estão relacionadas) 
Ha: as duas variáveis não são independentes (estão relacionadas) 
 
 
Valor da estatística do teste = 10,517 
Graus de liberdade = (3-1) x (2-1) = 2 
Nível de significância = 0,05 
 
Decisão: 0,005 < 0,05 ⇒ Rejeitar H0, ou seja, as duas variáveis não são 
independentes, i. e., estão relacionadas. 
Região Crítica 
Unilateral à Direita 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 7 
FIGURA 1 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS CÉLULAS RESPONSÁVEIS PELA ESTRUTURA PRESENTE 
NOS DADOS E PATENTE NA FIGURA 1 
 
Para essa determinação há que seguir os seguintes comandos: 
Analyze → Descriptive statistics → Crosstabs → Statistics → Chi-Square → Cells → Adjusted 
Standardized 
 
 
 
Para 050,=α , as células responsáveis por tal estrutura são as que apresentam resíduos Adjusted 
standardized fora do domínio ] [96,1;96,1− na tabela seguinte: 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 8 
 
Licenciatura * Realização pessoal Crosstabulation 
 Realização pessoal Total 
Aproveitar 
individualmente 
as coisas boas da 
vida 
Preparar um futuro 
de bem estar estável 
e duradouro 
Viver 
intensamente o 
dia-a-dia com os 
outros 
Participar com os 
outros no 
desenvolv/ e 
melhoria do 
mundo 
Licenciatura 
Ciência Política 
Count 2 11 8 13 34 
Expected Count 2,3 7,7 9,3 14,7 34,0 
Adjusted Residual -,2 1,4 -,5 -,6 
Comunicação 
Social 
Count 4 6 10 10 30 
Expected Count 2,0 6,8 8,2 13,0 30,0 
Adjusted Residual 1,5 -,4 ,8 -1,2 
Relações 
Internacionais 
Count 6 17 5 11 39 
Expected Count 2,7 8,9 10,6 16,8 39,0 
Adjusted Residual 2,3 3,3 -2,2 -2,0 
Serviço Social 
Count 8 33 54 93 188 
Expected Count 12,8 42,8 51,2 81,2 188,0 
Adjusted Residual -2,3 -2,9 ,8 2,9 
Sociologia 
Count 0 0 3 0 3 
Expected Count ,2 ,7 ,8 1,3 3,0 
Adjusted Residual -,5 -,9 2,8 -1,5 
Total Count 20 67 80 127 294 
Expected Count 20,0 67,0 80,0 127,0 294,0 
 
As célula a sombreado a rosa na tabela acima indicada são as responsáveis pela estrutura da 
relação presente na Figura 1. 
 Chi-Square Tests 
 Value df Asymp. Sig. (2-
sided) 
Exact Sig. (2-
sided) 
Exact Sig. (1-
sided) 
Pearson Chi-Square 35,416a 12 ,000 .b 
 
Likelihood Ratio 33,388 12 ,001 .c 
 
Fisher's Exact Test .c 
 
.
c
 
 
Linear-by-Linear Association 6,639 1 ,010 .b .b 
N of Valid Cases 294 
 
a. 7 cells (35,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is ,20. 
b. Cannot be computed because there is insufficient memory. 
c. Cannot be computed because the time limit has been exceeded. 
 
PROBLEMA: Como o teste exacto não convergiu, tem de se fazer a leitura da significância 
assimptótica se e só se as condições de aplicabilidade forem respeitadas. Deve-se interpretar a 
asymp. sig (significância assimptótico) e a alínea a. do respectivo output. 
 
CONDIÇÕES DE APLICABILIDADE DO TESTE ASSIMPTÓTICO: 
� Não mais de 20% dos cruzamentos (cells) deverão ter frequências esperadas < 5 
� Nenhum cruzamento deverá ter frequência esperada < 1 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 9 
Como há 35% de frequências esperadas inferiores a 5 (=7/20) e há frequências esperadas inferiores 
a 1 (=2) não se deve fazer a interpretação da significância assimptótica. 
CONCLUSÃO: O teste de independência não pode ser interpretado. 
SOLUÇÃO: como o problema parece ser o nº escasso de alunos inquiridos que frequentam a 
licenciatura de Sociologia, a solução passa por agregar estes 3 alunos ou à 
licenciatura de Ciência Política ou à licenciatura de Comunicação Social através 
do RECODE. 
 
GET 
 FILE='H:\ISCTE\Base_Dados\Base Universidade AD.sav'. 
DATASET NAME DataSet1 WINDOW=FRONT. 
RECODE lic (1=1) (2=2) (3=3) (4=4) (5=1) (SYSMIS=SYSMIS) INTO rlic. 
EXECUTE. 
 
 Frequency Percent Valid 
Percent 
Valid 
Ciência 
Política+Sociologia 37 12,4 12,4 
Comunicação Social 32 10,7 10,7 
Relações 
Internacionais 41 13,7 13,8 
Serviço Social 188 62,9 63,1 
Total 298 99,7 100,0 
Missing System 1 ,3 
Total 299 100,0 
 
FIGURA 2 
 
Verifica-se que a estrutura entre as variáveis foi mantida. 
 
IV- ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
4.2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
1.TESTES DO AJUSTAMENTO À NORMALIDADE 
2.TESTE DE ADERÊNCIA DO QUI-QUADRADO 
 
 
 
GRAÇA TRINDADE 
ISCTE – IUL 10 
 
Licenciatura recodificada * Realização pessoal Crosstabulation 
 Realização pessoal Total 
Aproveitar 
individualment
e as coisas 
boas da vida 
Preparar um 
futuro de bem 
estar estável e 
duradouro 
Viver 
intensamente o 
dia-a-dia com 
os outros 
Participar com 
os outros no 
desenvolv/ e 
melhoria do 
mundo 
Licenciatura 
recodificada 
Ciência 
Política+Sociologia 
Count 2 11 11 13 37 
Expected Count 2,5 8,4 10,1 16,0 37,0 
Adjusted Residual -,4 1,1 ,4 -1,1 
Comunicação Social 
Count 4 6 10 10 30 
Expected Count 2,0 6,8 8,2 13,0 30,0 
Adjusted Residual 1,5 -,4 ,8 -1,2 
Relações Sociais 
Count 6 17 5 11 39 
Expected Count 2,7 8,9 10,6 16,8 39,0 
Adjusted Residual 2,3 3,3 -2,2 -2,0 
Serviço Social 
Count 8 33 54 93 188 
Expected Count 12,8 42,8 51,2 81,2 188,0 
Adjusted Residual -2,3 -2,9 ,8 2,9 
Total 
Count 20 67 80 127 294 
Expected Count 20,0 67,0 80,0 127,0 294,0 
 
 
Chi-Square Tests 
 Value df Asymp. Sig. (2-
sided) 
Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) 
Pearson Chi-Square 27,152a 9 ,001 .b 
Likelihood Ratio 25,456 9 ,003 .c 
Fisher's Exact Test .b .b 
Linear-by-Linear Association 6,732 1 ,009 .b .b 
N of Valid Cases 294 
a. 3 cells (18,8%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2,04. 
b. Cannot be computed because there is insufficient memory. 
c. Cannot be computed because the time limit has been exceeded. 
 
DECISÃO: uma vez que as condições de aplicabilidade do teste assimptótico estão validadas, 
pode-se concluir que se rejeita Ho. Ou seja, as variáveis não são independents na 
população, i. e., estão relacionadas. 
Symmetric Measures 
 Value Approx. Sig. Exact Sig. 
Nominal by Nominal Phi ,304 ,001 .
c
 
Cramer's V ,175 ,001 .c 
N of Valid Cases 294 
a. Not assuming the null hypothesis. 
b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. 
c.Cannot be computed because there is insufficient memory. 
 
CONCLUSÃO: as variáveis estão fracamente relacionadas na amostra (V-Cramer=0,175), apesar 
de na população elas estarem relacionadas.