3 Variaveis Aleatorias enunciado e soluções

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Paula Vicente 
Estatística, ECONOMIA 2014/15 1 
3- Variáveis Aleatórias - Exercícios 
1. Considere a seguinte função de probabilidade 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ==
xdevaloresoutros
xxxf
,0
3,2,1,14/)(
2
. 
a) Mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer função de 
probabilidade e represente-a graficamente; 
b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente. 
c) Calcule [ ]2|1 ≤= XXP . 
 
2. A procura diária de determinado jornal numa papelaria é uma v.a. com a seguinte f.p.: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
f(x) 0,05 0,06 0,06 0,08 0,125 0,25 0,125 0,05 0,06 0,06 0,08 
A papelaria recebe diariamente 6 jornais. 
 
a) Calcule [ ]72 <≤ XP . 
b) Qual a probabilidade de em determinado dia a papelaria ter uma procura superior a 8 jornais? 
c) Qual a probabilidade de em determinado dia a procura do jornal ser totalmente satisfeita? 
d) Em determinado dia, quase à hora de fecho, a papelaria já tinha vendido 4 jornais. Qual a 
probabilidade de nesse dia se venderem todos os jornais? 
 
3. O número de máquinas automáticas de café vendidas por mês por um agente comercial é aleatório, 
apresentando a seguinte função de probabilidade: 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 
f(x) 0,1 0,15 0,2 0,2 0,2 0,1 0,025 0,025 
 
a) Se o preço de venda da máquina for de 1800 u.m. e se o agente auferir uma comissão de 20% sobre 
as vendas que efectuar, quanto espera ele ganhar por mês? 
b) Se além da comissão também receber um prémio de 1000 u.m. nos meses em que vender mais de 5 
máquinas, qual o seu ganho mensal esperado? 
 
4. Considere a v.a. X, contínua, com f.d.p. dada por: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ <<=
xdevaloresoutros
xxxf
,0
20,2/)( . 
a) Mostre que se trata efectivamente de uma f.d.p. e faça a sua representação gráfica; 
b) Deduza a função de distribuição F(x); 
c) Calcule [ ]1≤XP , [ ]50250 ,X,P ≤< , [ ]51,XP > e [ ]25,0|1 <<< XXP . 
 
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5. Considere a v.a. X com a seguinte f.d.p. 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<
≤<
≤<−
=
..,0
31,
12
1
10,
01,
)(
2
vo
x
xx
xx
xf 
 
a) Mostre que se trata efectivamente de uma f.d.p. e faça a sua representação gráfica. 
b) Deduza a função de distribuição F(x); 
c) Calcule ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ≤
2
1XP , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −>
3
2XP e ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ << 2
2
1 XP . 
 
6. A percentagem do ingrediente A no produto composto Z deve ser por norma 50%. Na realidade, essa 
percentagem varia de produto para produto, podendo a sua distribuição de probabilidade ser aproximada 
pela seguinte f.d.p. (percentagem é 100x): 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
xdevaloresoutros
xxxxf
,0
10,)1(6)( . 
 
Deduza a função de probabilidade do lucro por produto, sabendo que este é de 50 u.m. se a percentagem 
do ingrediente A se situar entre 40% (inclusive) e 60% (inclusive), de 20 u.m. se a referida percentagem 
se situar entre 20% e 40% ou entre 60% e 80% e é de 5 u.m. se a percentagem for inferior ou igual a 
20% ou igual ou superior a 80%. 
 
7. O consumo semanal (em ton) da matéria prima A é aleatório e tem a seguinte f.d.p. 
 
( )
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤<−
≤≤
=
..,0
105,10
25
1
50,
10
)(
vo
xx
xk
xf 
 
a) Determine o valor de k. 
b) A empresa pretende garantir um stock semanal S da matéria-prima A por forma a que a 
probabilidade de não satisfazer as necessidades de matéria-prima não exceda 0,05. Determine o valor 
de S. 
 
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8. Considere o par aleatório (X,Y) com função de probabilidade conjunta dada por: 
 
Y 
X 1 2 3 4 
2 k 0,24 0,18 0,06 
4 0,08 0,16 0,12 0,04 
 
 
a) Qual o valor de k? 
b) Deduza a função de probabilidade de Y. 
c) Verifique se as variáveis são independentes. 
 
9. Considere a seguinte função de probabilidade conjunta: 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=+
=
valoresoutros0
21
210
21
2
,
,,
, y
xyx
yxf 
 
a) Verifique que se trata efectivamente de uma função de probabilidade conjunta. 
b) Deduza as funções de probabilidade marginais para cada uma das variáveis; 
c) Deduza a função de distribuição conjunta e as funções de distribuição marginais; 
d) Calcule: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2|1212121 =====≤== YXPYPXPY;XPY;XP 
e) Verifique se as variáveis são independentes; 
f) Calcule ),( YXCOV . 
 
10. Seja ( ) 4=XE e ( ) 3=XVAR . Tendo definido 52 += XY , YXZ += e 1682 +−= XXW . 
Calcule: 
a) E(Y) e VAR(Y) 
b) E(Z) e VAR(Z) 
c) E(W) 
 
11. Seja X uma v.a. com média 50 e variância 10 e Y outra v.a.. Sabendo que 140),35( =+ XYXCOV , 
calcule ),( YXCOV . 
 
12. Sejam 1X e 2X duas v.a. tais que: [ ] 41 =XE , [ ] 41 =XVAR , [ ] 1002 =XE , [ ] 1002 =XVAR e 
[ ] 10, 21 =XXCOV . Seja ainda a v.a. T definida como 214 XXT += . Calcule [ ]TE e [ ]TVAR .