Análise Matemática corrigida

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Análise Matemática
	Data de início: 
	19/07/2018 22:02 
	Prazo máximo entrega:
	- 
	Data de entrega:
	19/07/2018 23:42 
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Questão 1/5 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
Conjunto aberto
Ponto interior
Conjunto fechado
Ponto de acumulação
Conjunto compacto
Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 20.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).
Questão 2/5 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R  dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1 .
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 20.0
	
	A
	Em x=1x=1 , ff  é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1 , ff  é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1 , ff  possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1 , ff  é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)  e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1) . Portanto, ff  é contínua em x=1x=1 . Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2  e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2  (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1 , ff  não é contínua nem é derivável.
 
Questão 3/5 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x) . Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x))  e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x))(f(g(x))  é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2) .
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 20.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) 
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 
Questão 4/5 - Análise Matemática
Leia o trecho de texto a seguir:
“Quando limxn=alimxn=a , diz-se que a sequência (xn)(xn)  converge para aa , ou tende para aa  e escreve-se xn→axn→a . Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. Explicitamente, uma sequência (xn)(xn)  diz-se divergente quando, para nenhum número real aa , é verdade que se tenha limxn=alimxn=a ”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 108-109.
Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a convergência de sequências numéricas, analise as afirmativas que seguem e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.  Toda sequência que é crescente e limitada é convergente.
II. Existem sequências que não são limitadas, mas são convergentes.
III. Toda subsequência de uma sequência limitada é convergente. 
IV. Existem sequências limitadas que possuem subsequências convergentes.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	F – V – F – V
	
	B
	V – F –V – F
	
	C
	V – F – F – V
A afirmativa I é verdadeira, pois uma sequência crescente é monótona e toda sequência que é monótona e limitada é convergente. A afirmativa II é falsa pois toda sequência convergente é limitada. A afirmativa III é falsa, pois basta considerar o exemplo: Seja (xn)=(0,1,2,0,1,2,0,1,2,⋯)(xn)=(0,1,2,0,1,2,0,1,2,⋯)  uma sequência numérica e (x2n)=(1,0,2,1,0,2,⋯)(x2n)=(1,0,2,1,0,2,⋯)  uma subsequência. Temos que (xn)(xn)  é limitada, mas (X2n)(X2n)  não converge. A afirmativa IV é verdadeira. Basta considerar a sequência (xn)=((−1)n)(xn)=((−1)n)  que é limitada e a sua subsequência (1,1,1,1,⋯)(1,1,1,1,⋯)  que é convergente. (livro-base, capítulo 2).
	
	D
	F – V – V – F
	
	E
	F – F – V – V
Questão 5/5 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x  representado na figura a seguir.
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x   e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ 
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ 
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e 
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
	
	A
	III e V
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e  e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e . A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e
. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 . A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V