87908184 METODO DE RUNGE KUTTA 1ª E 2ª ORDEM REV 01

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1. INTRODUÇÃO 
 
Este trabalho explica algumas das várias ferramentas do cálculo 
numérico para solucionar problemas matemáticos. 
Em análise numérica, os métodos de Runge–Kutta formam uma família 
importante de métodos iterativos implícitos e explícitos para a resolução 
numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. 
Em termos mais simples, os métodos numéricos correspondem a um 
conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de 
problemas matemáticos de forma aproximada, sendo aplicados a problemas 
que não apresentam uma solução exata. 
Os sucessores do método de Euler (Serie Taylor) foram sobretudo, Carl 
Runge e por Martin Wilhelm Kutta, estes métodos tornaram-se bastante 
populares devido às suas propriedades e fácil utilização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
página 2 
 
2. HISTÓRICO DA ORIGEM DO MÉTODO 
Brook Taylor (Londres, 18 de agosto de 1685 — Londres, 30 de 
novembro de 1731) foi um matemático britânico. 
Publicou em 1719 o livro New Principles of Linear Perspective, uma versão 
melhorada do seu trabalho pioneiro intitulado Linear Perspective de 1715. Obra 
que foi revisada por John Colson em 1749 e reeditada em 1811. 
Taylor realizou a primeira investigação satisfatória sobre refração 
astronômico, é no entanto, mais conhecido pelo seu trabalho sobre as séries 
que hoje recebem seu nome, publicado em 1715 em Methodus incrementorum 
directa et inversa. 
Dito de outra maneira, uma série de taylor é uma expansão de uma série 
de funções ao redor de um ponto. No desenvolvimento em Taylor, tem-se: 
y(x0 + h) = y(x0) + y
’ (x0).h + y
’’(x0).h
2/2!+ y’’’(x0).h
3/3! + .... 
Leonhard Paul Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 — São Petersburgo, 
18 de setembro de 1783) foi um grande matemático e físico suíço de língua 
alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. 
Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e 
grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no 
campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, 
como a noção de uma função matemática. 
Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e 
astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do 
século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada 
sobre Euler na sua influência sobre a matemática: 
Em matemática e ciência computacional, o método de Euler, cujo nome 
relaciona-se com Leonhard Euler, é um procedimento numérico de primeira 
ordem para solucionar equações diferenciais ordinárias com um valor inicial 
dado. É o tipo mais básico de método explícito para integração numérica para 
equações diferenciais ordinárias. 
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O Método de Euler segue o Método de Taylor, mas se limita à primeira 
derivada, ignorando da segunda derivada em diante. 
 
Carl David Tolmé Runge (Bremen, 30 de Agosto de 1856 — Göttingen, 3 
de Janeiro de 1927) foi um matemático alemão. 
Foi inicialmente professor em Hannover e em 1904, sob influência de 
Felix Klein, foi chamado para Göttingen para a nova cadeira de matemática 
aplicada (a primeira deste tipo na Alemanha). 
Já em Hannover contribuiu para a física da espectroscopia. Em 
Göttingen desenvolveu, juntamente com Martin Wilhelm Kutta, o método de 
Runge-Kutta para a resolução numérica de problemas de valores iniciais. 
Famosa é também sua observação de polinómios de interpolação e o seu 
comportamento quando se aumenta o grau do polinómio. 
Martin Wilhelm Kutta (Byczyna, 3 de novembro de 1867 — 
Fürstenfeldbruck, 25 de dezembro de 1944) foi um matemático alemão. 
De 1885 a 1890 estudou na Universidade de Wrocław, e depois, até 
1894, na Universidade de Munique. De 1894 a 1897 foi assistente de Walther 
von Dyck na Universidade Técnica de Munique. Em 1898 passou meio ano na 
Universidade de Cambridge. De 1899 a 1909 foi novamente assistente de 
Walther von Dyck. 
De 1909 a 1910 foi professor na Universidade Friedrich Schiller de Jena, 
e de 1910 a 1912 foi professor na RWTH Aachen. 
Em 1912 foi professor na Universidade de Stuttgart, onde permaneceu 
até aposentar-se em 1935. 
Em 1901, baseado em um artigo de Carl Runge, desenvolveu o Método 
de Runge-Kutta, utilizado para resolver equações diferenciais ordinárias. 
Runge – Kutta é um dos métodos mais populares para a integração da 
equação diferencial de primeira ordem. Esses métodos de aproximação de 
uma função se usam da expansão por série de Taylor. Desta forma, o método 
y(x0 + h)  y(x0) + y
’
 (x0).h 
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de Runge - Kutta de primeira ordem se utiliza da expansão de Taylor de 
primeira ordem, o método de Runge - Kutta de segunda ordem se utiliza da 
expansão de Taylor de segunda ordem, e, assim por diante. Lembrando que o 
método de Euler é equivalente ao método de Runge - Kutta de primeira ordem. 
3. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 1ª ORDEM – MÉTODO 
DE EULER 
 
O método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem, como 
 
Então, 
 
é o método de Euler que satisfaz as três propriedades mencionadas no item 
anterior que o caracterizam como um método de Runge-Kutta de ordem p =1. 
 
O método de Euler utilizado para resolver EDO com condições iniciais, é 
o método numérico mais simples. Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), 
no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes. 
 
Podemos, porém, melhorar esta aproximação se subdividirmos o 
intervalo [x 0 ; z ] em subintervalos de amplitude constante, genericamente 
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chamada h, e como sabemos calcular a direção da função incógnita y ( x ) 
em cada ponto, substituiremos tal função por um segmento de reta, em cada 
um destes subintervalos. Estes segmentos terão a direção que ela (função) tem 
no início de cada dos subintervalos. 
Método de Euler considerando dois subintervalos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA CARACTERÍSTICAS 
 
 A idéia dos métodos que estudaremos é aproveitar as qualidades dos 
métodos das séries de Taylor eliminando o seu maior defeito que é o 
cálculo de derivadas de f(x,y). 
 Os métodos de Runge-Kutta de ordem p caracterizam-se pelas 
propriedades: 
o São de passo um (para calcular yi usamos apenas y i-1 ); 
o Não exigem o cálculo de qualquer derivada de f (x, y); no entanto, 
pagam, por isso, o preço de calcular f (x, y) em vários pontos; 
 Após expandir f (x, y) por Taylor para função de duas variáveis em torno 
de (xn, Yn) e agrupar os termos semelhantes, sua expressão coincide 
com a do método de série de Taylor de mesma ordem. 
 O método de Euler é um método de série de Taylor de 1ª ordem: 
 
Então e assim o método de Euler 
satisfaz as propriedades acima que o caracteriza como um método de Runge-
Kutta de ordem p=11 . 
5. PROBLEMA DE VALOR INICIAL EM EQUAÇÕES ORDINÁRIAS 
Uma equação diferencial na qual a variável dependente é função de 
apenas uma variável é dita equação diferencial ordinária. 
Um problema de valor inicial (PVI) é um problema de evolução, no qual a 
informação inicial (conhecida) é propagada para o interior do domínio 
unidimensional pela equação diferencial. 
Matematicamente, o mais simples dos problemas de valor inicial pode 
ser apresentado na forma: 





)1.1( 
 , )(
),(
ay
yxfy 
 
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onde 
IRIRf 2:
é uma função contínua. A função 
)(xyy 
 
)( ax 
é a 
função incógnita e 

 é o seu valor inicial no ponto 
a
. 
Um ponto importante a ser citado é a questão da existência e unicidadede soluções de problema de valor inicial para uma equação diferencial, visto 
que só faz sentido buscar a sua solução numérica, ou solução aproximada, se 
de antemão estiver garantida a existência e unicidade de sua solução, pois ao 
determinar uma solução numérica de um problema que a princípio não possua 
solução ou que possua, mas não seja única, o processo numérico poderá não 
convergir, ou convergir para algo que não seja confiável. No caso de um 
problema de valor inicial de equações ordinárias esta questão está bem 
resolvida. 
Suponhamos que a função 
),( yxf
 satisfaça as seguintes condições: 
 
nIREf :
 é contínua, onde 
 nIRybaxyxE  ],,[),,(
; 
 Existe uma constante 
K
 tal que para todo 
],[ bax
 e quais quer dois 
valores 
y
e 
y
 em nIR 
 
  yyKyxfyxf ),(),( 
 
Teorema 1.1: Seja 
),( yxf
 satisfazendo as condições anteriores e seja 

 um vetor dado. Então, existe exatamente uma função 
)(xy
 com as seguintes 
propriedades: 
i. 
)(xyy 
é contínua e diferenciável para 
x
 em 
],[ ba
; 
ii. 
))(,()( xyxfxy 
, 
],[ bax
; 
iii. 
)(ay
. 
 
Vamos tratar agora de um método conhecido por Método de Diferenças 
Finitas. O método de diferenças finitas é a discretização do domínio e a 
substituição das derivadas presentes na equação diferencial, por aproximações 
destas envolvendo somente valores numéricos da função. Na prática substitui-
se as derivadas pela razão incremental que converge para o valor da derivada 
quando o incremento tende a zero. Dizemos então que o problema foi 
discretizado. 
Vamos utilizar como ferramenta matemática no cálculo de aproximações 
para as derivadas a série de Taylor que relaciona valores da função e suas 
derivadas num ponto 
x
 com valores dessa mesma função numa vizinhança de 
página 8 
 
x
, ou seja, em 
)( hx 
com 
0h
. Se 
)(xy
, tem derivadas de ordem 
1n
, em 
x
, 
podemos escrever : 
).2.1( . ),(
)!1(
 
)(
!
...)(
!2
)()( )(
)1(
)1(
)(
2
hxxy
n
h
xy
n
h
xy
h
xyhxyhxy
n
n
n
n







 
Tomando 
2n
 em (1.2), e reescrevendo (1.2) para 
h
 e 
h
, respectivamente, obtemos : 
 
)(
!3
)(
!2
)()()( 1
32 yhxyhxyhxyhxy  
e 
 
).(
!3
)(
!2
)()()( 2
32 yhxyhxyhxyhxy  
Subtraindo a última expressão da penúltima obtemos a fórmula centrada 
ou fórmula de diferenças centradas: 
 .)()(
!32
)()(
)( 21
3  yyh
h
hxyhxy
xy 


 
O primeiro método para solução aproximada de PVI´s que trataremos é 
o Método de Euler Explícito que utiliza como base a fórmula progressiva para a 
aproximação da derivada primeira. O primeiro passo é dividir o intervalo 
],[ ba
 
em 
N
subintervalos iguais, cada um de comprimento 
h
, definindo uma malha 
 1,...,1,)1(  NihiaxR ih
. Com 
N
ab
h
)( 

. 
Sejam 
)( ii xyy 
 aproximações para 
)( ixy
, 
1, ... , 2  Ni
 e 
1y
. Em 
cada um dos pontos 
132 , ... , , Nxxx
, aproximamos a equação diferencial (1.1) 
por : 
Ni
h
yy
yxf iiii , ... ,1 ,),(
1 

 
 
ou, 
Niyxhfyy iiii , ... ,1 ),,(1 
 
Perceba que o valor de 
1iy
 é calculado explicitamente em função de 
iy
, 
mesmo quando a função 
f
é não linear. 
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Quando aproximamos a derivada primeira em (1.1) por diferenças 
regressivas obtemos: 
1, ... ,2 ,),( 1 

  Ni
h
yy
yxf iiii
 ou 
Niyxhfyy iiii , ... ,1 ),,( 111  
 
Esse Método é chamado Método de Euler Implícito. Note que se 
f
 for 
uma função não linear teremos que o vetor 
1iy
 será definido implicitamente e, 
portanto para a sua obtenção deve-se lançar mão de método eficiente para a 
solução de sistemas de equações algébricas não lineares 
A comparação entre um método explícito e outro implícito é que em 
geral o método implícito é mais estável, mas exige um passo h menor para ser 
obter uma boa aproximação da solução. 
Vamos mostrar os Métodos de Euler Explícito e Implícito para resolver 
numericamente o PVI da forma (1.1) : 
Método de Euler Explícito: 
Vamos ilustrar os resultados obtidos pelos Métodos de Euler Explícito e 
Implícito para resolver numericamente o seguinte PVI: 
)3.1( .
1)0(




y
yxy 
A solução exata do PVI é 
xexxy  21)(
, que por sua vez foi utilizada 
na comparação da eficiência dos métodos para x entre 0 e 1 e com h = 0,1. 
Veja comparação na tabela: 
Solução exata: 
x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
y 1,0 0,9097 0,8375 0,7816 0,7406 0,7131 0,6976 0,6932 0,6987 0,7131 0,7358 
 
Solução Numérica: Método de Euler Explícito 
x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
y 1,0 0,9000 0,8200 0,7580 0,7122 0,6810 0,6629 0,6566 0,6609 0,6748 0,6974 
 
 
página 10 
 
Solução Numérica: Método de Euler Implícito 
x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
y 1,0 0,9182 0,8529 0,8026 0,7660 0,7418 0,7289 0,7263 0,7330 0,7482 0,7711 
 
Graficamente obtivemos : 
 
Também usamos o método das diferenças centradas para obter a solução numérica do PVI (1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
página 11 
 
6. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 2ª ORDEM 
 
O objetivo deste método é aproximar a solução de uma equação 
diferencial de 1º ordem 
 ,y f x y 
, sendo 
 y x
 a função solução da equação 
e x a variável desta função solução. 
Neste método considera-se uma solução inicial conhecida do tipo 
 0 0y x y
 , a partir desta solução inicial calculam-se as k iteradas que nos vão 
devolver o valor aproximado da função solução 
 y x
 nos pontos 
1n nx x h 
 
com 
1,...,n k
 e h o espaçamento considerado entre as variáveis, obtendo-se 
desta forma a construção da função solução 
 y x
 por pontos. 
Ao conjunto da equação diferencial e da solução inicial: 
 
 




00
,
yxy
yxfy
 
Método de Runge-Kutta de ordem 2 
   





















hxx
yxhfyhxfyxfhyy
nn
nnnnnnnn
1
1 ,
4
3
,
4
3
3
2
,
3
1
 
Os métodos de Runge-Kutta de 2ª or-dem devem ter fórmulas que 
devem ser semelhantes às fórmulas do Método de Taylor até termos de 
segunda ordem em h. 
Consideremos o método de Euler aprimorado ou fórmula de Heun: 
 
 
é semelhantes às fórmulas do Método de Taylor até termos de segunda ordem 
em h. Da fórmula de Taylor de y(x) em x=xn+1 
 
 
 
   
(2) 
2
,, 11
1 h
yxfyxf
yy nnnnnn




!2
!2
)()()()(
2
1
2
1
h
yhyyy
h
xyhxyxyxy
nnnn
nnnn




página 12 
 
Logo, o Método de Euler Aprimorado é um método de Taylor de 2ª 
ordem e portanto, devido às 3 propriedades verificadas, também é um Método 
de Runge-Kutta de 2ª ordem. 
 
7. PARA QUE SERVE O MÉTODO 
 Trajetórias balísticas, 
 trajetória dos satélites artificiais, 
 Estudo de redes elétricas, 
 Resolver problema deflexão de uma viga, 
 Estabilidade de aviões, 
 Teoria das vibrações, 
 Reações químicas 
 
Exemplo 01 - Trajetórias balísticas 
 
Procedimento numérico para calcular o movimento da partícula consiste 
em interar as equações a partir das condições iniciais. Dados x0 e v0 em t0, 
obtemos x1 e v1 em t1, e daí x2 e v2 em t2, e assim por diante. Se o movimentoé 
em duas ou três dimensões, o método continua o mesmo devemos apenas 
escrever as equações na forma vetorial. 
 
 
 
 
 
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Exemplo - 02 - O problema da deflexão de uma viga. 
 
O problema da deflexão de uma viga foi estudado por meio do método 
do disparo linear, um método para soluções de problemas de equações 
diferenciais com valores de limite, ou seja, equações diferenciais com 
condições impostas em diferentes pontos. 
Teorema: Seja o problema linear com valor de limite 
 
 
)(P
 





 )(,)(
),()(')(''
byay
bxaxryxqyxpy 
satisfazendo 
)(i )(xp
, 
)(xq
 e 
)(xr
 são contínuas em 
],[ ba
, 
)(ii
 
)(xq
>0 em 
],[ ba
. 
Então o problema tem uma única solução. 
O problema do disparo linear para equações lineares consiste na 
substituição do problema linear por dois problemas de valor inicial. 
Dado o problema com valor de limite 
 
)(P
 





 )(,)(
)()(')(''
byay
xryxqyxpy 
Considere os dois problemas de valor inicial 
 
)( 1P
 





0)(',)(
),()(')()(''
ayay
bxaxryxqyxpxy

 
 
)( 2P
 





1)(',0)(
,)(')()(''
ayay
bxayxqyxpxy 
Se 
)(1 xy
 é a única solução de 
)( 1P
 e 
)(2 xy
 é a única solução de 
)( 2P
 então 
página 14 
 
 
)1(
 
)(
)(
)(
)()( 2
2
1
1 xy
by
xy
xyxy


 
é solução de 
)(P
. 
Foram utilizados métodos de partida para aproximar a solução de 
)(1 xy
 
e 
)(2 xy
, assim podemos aproximar a solução do problema com valor de limite 
)(xy
. 
O método de partida utilizado foi o método de Runge-Kutta para resolver 
um problema de valor inicial 
),(' ytfy 
, 
00)( yty 
, que envolve uma média 
ponderada de valores de 
),( ytf
 no intervalo 
1 nn ttt
, 
,...)2,1,0( n
. É dado 
por 





 

6
22 4321
1
nnnn
nn
kkkk
hyy
 
onde 
h
 é o tamanho do passo e 
 nnn ytfk ,1 
, 






 12
2
,
2
nnnn k
h
y
h
tfk
, 






 23
2
,
2
nnnn k
h
y
h
tfk
, 
 34 , nnnn hkyhtfk 
. 
O método do Disparo para equações lineares se baseia na substituição 
do problema linear com valor de limite por dois problemas com valor inicial 
)( 1P
 
e 
)( 2P
. Temos muitos métodos com os quais se podem aproximar as soluções 
)(1 xy
 e 
)(2 xy
 e, uma vez que contamos com essas aproximações, a solução 
do problema com valor de limite é aproximada por meio da equação 
)(xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
página 15 
 
8. EXEMPLO APLICAÇÃO DO MÉTODO RUNGE-KUTTA 1ª E 2ª 
ORDEM MODELAMENTO MATEMÁTICO PARA PLANEJAMENTO 
REGIONAL. 
A capacidade de avaliar quantitativamente a evolução de um 
ecossistema, principalmente no tocante a alterações potencialmente adversas 
para a natureza e para o ser humano, permite que a sociedade possa intervir 
de forma precoce no sentido de evitar transtornos futuros. Como exemplo, 
apresenta-se aqui o seguinte modelo de poluição de um lago. 
 
O problema consiste em fazer previsões para futuros investimentos 
industriais numa região composta por uma lagoa ou represa de água salgada, 
onde a principal fonte financeira é o cultivo de frutos do mar. Este problema foi 
formulado e resolvido por Boynton , Hawkins e Gray e consiste em planejar que 
tipos de investimentos devem ser alocados para um crescimento adequado das 
cidades ao redor da lagoa sem prejudicar o meio biológico existente. 
 
O modelo é bastante complexo e envolve 16 variáveis que medem 
desde aspectos biológicos até aspectos sobre o comprometimento do turismo 
regional. Para efeito de simplificação, apresentaremos uma situação hipotética 
com 13 variáveis, excluindo as variáveis que representam o turismo regional. 
Os valores também são hipotéticos, onde a finalidade aqui é apenas 
mostrar o comportamento e inter-relações destas variáveis e não seu resultado 
numérico. 
 
O modelo é bastante interessante e nele são consideradas as variáveis 
econômicas, biológicas e populacional. A idéia é apresentar, sobre 
determinados parâmetros conhecidos, o comportamento de cada variável 
frente às variações globais durante um determinado período de tempo. O 
modelo é da forma: 
 
 
página 16 
 
 
onde: 
x1:área urbanizada; 
x2:área possível de ser urbanizada; 
x3:capital local; 
x4:estrutura da cidade; 
x5:imagem da cidade; 
x6:residentes; 
x7:capital industrial; 
x8:estrutura industrial; 
x9:frutos do mar; 
x10:matéria orgânica despejada; 
x11:toxinas; x12:nutrientes; 
x13:coliforme fecal. 
 
Os parâmetros I e k são parâmetros de proporcionalidade entre as 
variáveis e dependem das séries históricas e estatísticas sobre o 
comportamento das variáveis durante um longo período de tempo 
Simulação 
página 17 
 
Foram adotadas como condições iniciais para este exemplo valores 
hipotéticos e admensionais, servindo apenas para uma demonstração didática 
do modelo. Assim: 
 
Olhando para as variáveis biológicas na Figura 1 percebe-se que a 
estratégia utilizada não é recomendável, uma vez que, apesar da matéria 
orgânica despejada no lago e os nutrientes diminuírem radicalmente a zero em 
4 anos, a quantidade de toxinas e coliforme fecal aumentaram abruptamente 
em conseqüência do grande aumento de residentes (Figura 3) atraídos pelos 
investimentos industriais (Figura 3), não estando a região adequadamente 
preparada do ponto de vista do saneamento básico (Figura 2) onde o valor final 
da parte estrutural da cidade foi menor do que no início. 
Outro responsável pela poluição deste lago é apontado no indicador de 
estrutura industrial, que de zero teve um excelente aumento indo a mais de 
3000 (Figura 3). Porém, como este desenvolvimento não foi auto-sustentável, 
ou seja, não houve uma adequação com o meio ambiente, percebe-se que as 
industrias instaladas tiveram prejuízo ao cabo de 4 anos (Figura 3), por estas 
estarem inteiramente ligadas aos produtos do lago, que foram a zero (Figura 
2). Isto contrasta com o capital local que teve aumento ao fim de 4 anos, mas 
um aumento que sairá caro para a região, uma vez que sua fonte original de 
renda voltada à biosfera do lago foi exterminada pelo mau planejamento 
urbano ao receber industrias e novos residentes. 
 
página 18 
 
 
 
 
A Importância na Escolha do Método Numérico A escolha de um método 
numérico para a simulação de sistemas dinâmicos é de fundamental 
importância para uma conclusão segura e coesa sobre o evento. Mostraremos 
primeiramente como funciona o método de Euler. Suponhamos que tenhamos 
que resolver a equação diferencial. 
página 19 
 
 
Neste caso, teremos como fazer uma verificação sobre a precisão ou 
não do método escolhido uma vez que a solução analítica é facilmente obtida e 
será: 
 
Como já foi vista, a fórmula para o método de Euler é: 
 
e escolhendo a variação no tempo 
 
Poderemos passo a passo obter, escolhendo como h = 0.1 de t = 0 até t 
= 1, 
 
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9. CONCLUSÃO 
 
O melhor método numérico em termos de precisão, para o cálculo de 
soluções aproximadas de PVI’s foi o método de Runge-Kutta; 
No Método de Euler Explícito conseguimos estabelecer a convergência do 
método, fornecendo um limite superior para o erro. 
No Método das Diferenças Finitas para PVC o método implementado 
usando diferenças centradas no interior da malha e diferenças progressivase 
regressivas no contorno proporcionou resultados numéricos com ótima 
concordância com as soluções analíticas. 
 
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
1. BOYCE, W. e DIPRIMA, R. C.; Equações Diferenciais Elementares e 
Problemas de Valores de Contorno. 7ºed. Rio de Janeiro: LTC 2002. 
 
2. RICHARD L. BURDEN e J. DOUGLAS FAIRES; Análise Numérica; São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 
 
3. CONTE, S.D. Elementos de Análise Matemática, 3ª Edição. Editora Globo, 
1977. p. 244-317. 
4. www.wikipedia.org 
 
5. PMR 2420 – Mecânica Computacional 33 CAPÍTULO III MÉTODOS DE 
RUNGE-KUTTA - Autor não informado 
 
6. Renato S. Silva, Regina C. Almeida, Métodos Numéricos Equações 
Diferenciais Ordinárias, p. 10-29