Vetores e Sistemas Equivalentes

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Professora: CAMILA ALBUQUERQUE FERNANDES 
EMAIL: camila.albfer@gmail.com 
 
Mecânica Geral 
 
Vetores e Sistemas Equivalentes 
Mecânica Geral 
 
Recife- PE 
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OBJETIVOS 
• Apresentar método de representações e operações vetoriais a partir de 
um ponto; 
• Apresentar métodos para a determinação das resultantes de sistemas 
de forcas não concorrentes; 
• Mostrar como simplificar um sistema com muitas forcas para um 
sistema único equivalente. 
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INTRODUÇÃO 
• Vetor é definido como uma grandeza que tem módulo ou valor absoluto, direção e 
sentido. Tais como: deslocamento, velocidade, força e aceleração. 
• O módulo ou tamanho do vetor pode ser representado como a distância entre os pontos 
de origem e extremidade no plano cartesiano. 
Observe que a distância representa a hipotenusa 
do triângulo retângulo ABC, sendo assim deve 
ser aplicado o Teorema de Pitágoras. 
Se a origem do vetor for considerada a partir do plano cartesiano, o modulo ou tamanho 
do vetor será expresso por: 
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A intensidade ou módulo de força é representado pelo tamanho do vetor, enquanto que 
a direção da força é mostrada pela direção da reta e, por fim, o sentido da força é 
indicado pela seta. 
Por exemplo uma força de 30 N fazendo um ângulo de 45° com uma reta x e sentido 
da esquerda para direita. 
REPRESENTAÇÃO VETORIAL 
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ESCALARES X VETORES 
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser 
completamente especificada por sua intensidade. 
Exemplos de quantidades escalares: 
• Comprimento 
• Massa 
• Tempo 
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, uma direção e um 
sentido para sua completa descrição. 
Exemplos de vetores: 
• Força 
• Posição 
• Momento 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Multiplicação por um escalar 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Adição de Vetores: Para formar a soma a + b deve ser construído o segmento orientado 
da origem a a extremidade de b, formando assim o resultante dos vetores a e b. 
 
• Regra do triângulo - dados os vetores 𝒂 e 𝒃 por seus representantes (A,C) e (C,B), a 
soma de 𝒂 + 𝒃 pode ser vista na figura abaixo, e é dada por: 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
• Regra do Paralelogramo - dados os vetores 𝒂 e 𝒃 por seus representantes (A,D) e 
(A,B), a soma de 𝒂 + 𝒃, dada pelo representante (A,C) pode ser vista na figura abaixo, e 
é dada por: 
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• Regra do Polígono – ligam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma 
(V) é o que tem a origem do 1°vetor e extremidade na extremidade do último. 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
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A adição de vetores também obedece a lei associativa. Somar o vetor c com 
o resultado da adição a + b é o mesmo que somar ao vetor a a soma de b + c, 
ou seja, (a + b) + c = a + (b + c). 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Subtração de Vetores 
Considere o vetor –b, que tem direção oposta ao vetor a, sendo assim, a subtração de 
um vetor se dá com a soma do correspondente vetor oposto, da seguinte maneira: 
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 +(- 𝑏) . Cujos representantes são (A,C) e (-B,C). 
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OPERAÇÕES VETORIAIS 
Produto Vetorial 
A intensidade de C é definida como produto da intensidade de A e B de modo que suas 
origens se localizem no mesmo ponto onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°. Assim: C = (A × B) × sen 𝜃 
A direção do vetor C é perpendicular ao plano contendo A e B, de modo que o seu sentido é 
determinado pela regra da mão direita, ou seja, curvando os dedos da mão direita e 
direcionando-os do vetor A para o vetor B, o polegar indicara o sentido de C. Onde o escalar 
A x B x sen 𝜃 define a intensidade de C e o vetor unitário 𝑢𝑐 define sua direção e sentido. A 
partir daí pode-se denotar a equação como: 
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O produto vetorial pode ser resultante a partir de três formas distintas: não comutativo, 
pela multiplicação por um escalar e pela lei distributiva. 
 
• Não comutativo: explicado pelas figuras a seguir onde, utilizando a regra da mão 
direita o produto vetorial A x B resulta em uma valor que atua no sentido oposto de 
C, ou seja B x A = -C, onde: A×B ≠ B×A ou A×B = −B×A 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
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• Multiplicação por um escalar: a intensidade do vetor resultante, sua direção e seu 
sentido são os mesmos em cada caso: 
 a(A×B) = (aA)×B = A×(aB) = (A×B)a 
 
• Lei distributiva: a ordem do produto vetorial deve ser mantida uma vez que a 
propriedade comutativa não é válida nessa operação. 
Ax(B×D) = (A×B)+(A×D) 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
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COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA 
As componentes cartesianas 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 e a decomposição F podem ser expressas por: 
𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑖 
𝐹𝑦 = 𝐹𝑦𝑗 
𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 
Se pode definir dois vetores de intensidade igual a 1, onde o vetor i esta orientado 
segundo o eixo x e o vetor j esta orientado segundo o eixo y, resultando na 
decomposição da Força Resultante F. 
Sendo assim: 
𝐹 = 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 
𝑭𝒙 = 𝑭. 𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑭𝒚 = 𝑭. 𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
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NOTAÇÃO ESCALAR 
Quando as componentes formam um triângulo retângulo, suas intensidades podem ser 
determinadas por: 
No entanto, no lugar de utilizar o ângulo 𝜃, como o triângulo abc e o triângulo maior 
sombreado são semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece: 
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NOTAÇÃO VETORIAL CARTESIANA 
Também é possível representar as componentes x e y de uma força em termos de 
vetores cartesianos unitários i e j. 
Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma quantidade positiva, 
representada pelos escalares (positivos) Fx e Fy, então, podemos expressar F como 
um vetor cartesiano. 
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FORÇAS COPLANARES 
Enquanto que na soma de duas força facilmente são aplicadas a lei do paralelogramo ou 
a regra do triângulo, para a soma de três ou mais forças pode ser aplicada uma forma 
analítica, com decomposição de cada uma das forças em suas componentes cartesianas. 
R = H + I + J 
Dessa forma as componentes escalares Rx e Ry são obtidas 
adicionando algebricamente as componentes correspondentes 
das forças dadas: 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é 
representada como um vetor cartesiano, ou seja, 
𝑭𝟏 = 𝐹1 x i + 𝐹1 y j 
𝑭𝟐 = - 𝐹2x i + 𝐹2 y j 
𝑭𝟑 = 𝐹3 x i – 𝐹3y j 
 
O vetor resultante é, portanto: 
 
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑭𝟑 
𝑭𝑹 = 𝐹1 x i + 𝐹1 y j - 𝐹2x i + 𝐹2 y j + 𝐹3 x i – 𝐹3y j 
𝑭𝑹 = (𝐹1 x – 𝐹2x + 𝐹3 x) i + (𝐹1 y + 𝐹2 y – 𝐹3y) j 
𝑭𝑹 = (𝑭𝑹 x) i + (𝑭𝑹 y) j 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
Se for usada a notação escalar, temos então: 
(→ +) 𝑭𝑹 x = 𝐹1 x – 𝐹2x + 𝐹3 x 
(+ ↑) 𝑭𝑹 y = 𝐹1 y + 𝐹2 y – 𝐹3y 
 
As componentes da força resultante de qualquer número de forças coplanares podem 
ser representadas simbolicamente pela soma algébrica das componentes x e y de todas 
as forças, ou seja: 
Uma vez que estas componentes são determinadas, elas 
podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e y com 
seus sentidos de direção apropriados, e a força resultante 
pode ser determinada pela adição vetorial. 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
Pelo esquema, a intensidade de 𝐹𝑅 é determinada pelo teorema de Pitágoras: 
Além disso, o ângulo 𝜃 , que especifica a direção da força resultante, é 
determinado através da trigonometria: 
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RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
• A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se for 
estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem decompostas ao 
longo dos eixos. 
• A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de açãoforma 
com um dos eixos. 
• A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser especificada 
pelos vetores cartesianos unitários i e j. 
• As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica das 
componentes de todas as forças coplanares. 
• A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de Pitágoras e, 
quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a direção é 
determinada por meio da trigonometria. 
Pontos importantes 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Um projétil e lançado com uma velocidade de módulo 20 m/s e formando com o plano 
horizontal um angulo de 60°. Calcule os componentes horizontal e vertical da velocidade. 
 
2) Duas forças 𝐹1 = 40 N e 𝐹2 = 30 N, atuam em um corpo conforme a figura abaixo. 
Determinar a força resultante 𝑅 ( módulo, direção e sentido) 
 
 
3) Num ponto atuam três forças, como no esquema da figura abaixo, determine a força 
resultante. Dado: 𝐹1 = 40 N, 𝐹2 = 30 N e 𝐹3 = 30 N 
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4) Considerando que 𝜃= 60° e que T = 5 kN determine a magnitude da forca resultante e 
sua direção. 
5) Um gancho fixado ao teto suporta uma força de 400N conforme mostrado na figura. 
Determinar as componentes horizontal e vertical da força. Escrever o vetor da força na 
forma cartesiana . 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
6) Um anel está sujeito às forças indicadas na figura. Pede-se determinar a resultante 
das forças aplicadas.