Sinais e sistemas de tempo discreto

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SINAIS E SISTEMAS DE TEMPO 
DISCRETO
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Função de uma variável independente inteira.
� Não é definido em instantes entre duas amostras sucessivas.
� É incorreto pensar que é igual a zero se não é inteiro. 
Simplesmente, o sinal não é definido para valores de não
inteiro. 
� Representações:
�Funcional
)(nx n
)(nx n





=
=
=
contrário caso 0,
2n para4,
1,3n para,1
)(nx
�Tabular
�Sequência

 contrário caso 0,
KK
KK
00141000)(
54321012
nx
n −−
{ }
{ }
{ }
{ }
 
0n para 0)( e finita Duração ,1 4 , 1 , 0 )( 
 
 finita Duração 1, 4 , 0 , 5 , 2 , 1 , 3 )(
 
0n para 0)( , 0 , 0 , 1 , 4 , 1 , 0 )(
 
 0 seta na , 0 , 0 , 1 , 4 , 1 , 0 , 0 ,)(
↑
<==
↑
−−−=
↑
<==
↑
==
nxnx
nx
nxnx
nnx
K
KK
SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO
� Impulso unitário




≠
=
≡
0n para ,0
0n para ,1)(nδ
� Degrau unitário




<
≥
≡
0n para ,0
0n para ,1)(nu
� Rampa unitária
SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO




<
≥
≡
0n para ,0
0n para ,)( nnu r
� Exponencial n todopara )( nanx =
real sinal um é então real, é se x(n)a
� Exponencial
SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO
 cos
)(cos
 :como expressar se-pode Então
 . :como expressoser pode complexo, é Se
nsenr(n)xnr(n)x
njsennrerx(n)
x(n)
reaa
n
I
n
R
nnjn
nj
θθ
θθθ
θ
==
+==
≡
� Exponencial
SINAIS ELEMENTARES DE TEMPO DISCRETO
θn(n)x(n)rnAnx n ≡=∠≡= φ )(|)(|
� O método matemático empregado na análise de sinais e sistemas
discretos depende das características dos sinais.
�SINAIS DE ENERGIA- determinísticos e não periódicos
�SINAIS DE POTÊNCIA - aleatórios
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO 
DISCRETO
0 0 =∞<< PE |)(|
2
∑
∞=
−∞=
≡
n
n
nxE
�SINAIS DE POTÊNCIA - aleatórios
∞<<∞= PE 0 
 
12
1lim
periódicos Não
NN
E
N
P
+
≡
∞→
 |)(|
2
∑
=
−=
≡
Nn
Nn
N nxE
∑
−
=
=
1
0
2 ][1
Periódicos Sinais
N
n
nx
N
P
�SINAIS SIMÉTRICOS ( PAR ) 
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO 
DISCRETO
)()( nxnx =−
�E ANTI-SIMÉTRICOS ( ÍMPAR ) )()( nxnx −=−
�Qualque arbitrário sinal pode ser expresso como a soma de duas
componentes de sinal, uma par e outra impar.
CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS DE TEMPO 
DISCRETO
)]()([1)(
)]()([
2
1)(
nxnxnx
nxnxnxe
−−=
−+=
)()()(
)]()([
2
1)(
nxnxnx
nxnxnx
oe
o
+=
−−=
SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE 
TEMPO DISCRETO
� Transformação da variável independente
�Em aplicações de processamento de tempo real a operação de avanço é 
fisicamente inrealizável
SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE 
TEMPO DISCRETO
� Transformação da variável independente
�As operações de reflexão e atraso e avanço não são comutativas
SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE 
TEMPO DISCRETO
)()]([)]}([{
)()]([
0k ),()]([
knxnxTDnxFDTD
nxnxFD
knxnxTD
kk
k
+−=−=
−=
>−=
)()(
)()]([)]}([{
knxknx
knxknxFDnxTDFD k
−−≠+−
−−=−=
� Transformação da variável dependente
�Escala
�Adição
SIMPLES MANIPULAÇÃO DE SINAIS DE 
TEMPO DISCRETO
∞<<∞= n-nAxny ),()(
�Multiplicação
∞<<∞+= n-nxnxny ),()()( 21
∞<<∞= n-nxnxny ),()()( 21
SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
Em muitas aplicações de processamento digital de sinal deseja-se projetar
um dispositivo ou um algoritmo que realize algumas operações prescritas
no sinal. Tal disposito ou algoritmo é chamado de sistema de tempono sinal. Tal disposito ou algoritmo é chamado de sistema de tempo
discreto.
� Em geral, vemos um sistema como uma operação ou um conjunto de
operações realizadas no sinal de entrada para produzir o sinal de
saida .
� Dizemos que o sinal de entrada é transformado pelo sistemas
no sinal de saída .
� Onde o simbolo denota a transformação (também chamada
operador ) ou realização de processamento do sistema em para
)(ny
)(nx
)(nx
)(ny
)]([)( nxny ℑ≡
ℑ
operador ) ou realização de processamento do sistema em para
produzir .
)(nx
)(ny
DESCRIÇÃO DA ENTRADA-SAÍDA DE 
SISTEMAS
� Consiste de uma expressão matemática ou um regra, que
explicitamente define a relação entre os sinais de saída e de entrada.
� A exata estrutura interna do sistema é ou desconhecida ou ignorada.
)()( nynx
ℑ
→
� Para vários dos sistemas a saída no tempo depende não
somente do valor de entrada em , mas também do valor de
entrada aplicado ao sistema antes e depois de .
0nn =
0nn =
0nn =
Acumulador)()1()()()()(
1
nxnynxkxkxny
nn
→+−=+== ∑∑
−
DESCRIÇÃO DA ENTRADA-SAÍDA DE 
SISTEMAS
 . tempodo antes aplicadas entradas as
 todasa resposta em sistema do Saída )()1(
)1()()1(
)()1()(
Acumulador)()1()()()()(
0
10
0
000
000
n
kxny
nxnyny
nxnyny
nxnynxkxkxny
n
k
kk
→=−
++=+
+−=
→+−=+==
∑
∑∑
−
−∞=
−∞=−∞=
DESCRIÇÃO DA ENTRADA-SAÍDA DE 
SISTEMAS
REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMA DE 
BLOCO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
� Somador: sem memória
� Multiplicador por constante: sem memória
� Multiplicador de sinais: sem memória
� Unidade de atraso de elemento: Na verdade, a amostra é 
armazenada na memória no tempo e é chamada da memória
no tempo .
)1( −nx
1−n
n
� Unidade de avanço de elemento: é fisicamente impossível em tempo
real, uma vez que envolve observar o futuro do sinal. Entretanto, se
armazenamos o sinal na memória do computador, nós podemos
chamar qualquer amostra em qualquer tempo. Em aplicações de
tempo não real é possível avançar o sinal no tempo.
REPRESENTAÇÃO EM DIAGRAMA DE 
BLOCO DE SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
� Para um sistema possuir uma dada propriedade, a propriedade deve
manter-se para todo possível sinal de entrada no sistema ( não pode
ser para alguns e não para outros ).
� Sistema Estático: a saída do sistema depende da amostra de entrada no 
mesmo tempo, mas não de passada ou futura amostra da entrada, ou
seja, sem memória.seja, sem memória.
� Sistema Dinâmico: possuí memória
 )()( 3(n) bxnx(n) y(n)naxny +==
 )( )(
)1(3)()(
0 0
 knxy(n)knxy(n)
nxnxny
n
k k
∑ ∑
=
∞
=
−=−=
−+=
� Sistema Invariante no Tempo: característica de entrada-saída não
muda com o tempo.
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
)()]([),( 
)()( )()(
knyknxkny
knyknxnynx
−=−ℑ=
−→−→
ℑℑ
� Sistema Linear: satisfaz o teorema da superposição.
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
)]([)]([)]()([ 22112211 nxanxanxanxa ℑ+ℑ=+ℑ
� Sistema Linear
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
)]([)]([)]()([ 1
eaditividad da ePropriedad
)()]([)]([ 0
dependente variávelna escala de mudança da ePropriedad
1111112
nxnxnxnxaa
nyanxanxaa
ℑ+ℑ=+ℑ==
=ℑ=ℑ=
 121 
][ 
geral Em
 
 )()( 
)]([)]([)]()([ 1
1
1
1
1
21
212121
 ,...,M-, k
(n)x(n)y(n)yay(n)(n)xax(n)
nyny
nxnxnxnxaa
kk
M-
k
kk
M-
k
kk
=
ℑ==→=
+=
ℑ+ℑ=+ℑ==
∑∑
==
ℑ
� Sistema Causal: se a saída do sistema em qualquer tempo n depende
somente de entrada presentes e passadas.
� Sistema Não-Causal:a saída depende não somente de entradas
presente ou passada, mas também de entradas futuras. Fisicamente
inrrealizável para aplicações de processamento de sinal em tempo
real. É possível para processamento off-line, tempo não real, onde o
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
real. É possível para processamento off-line, tempo não real, onde o
sinal é armazenado.
)()()
)()(b)
 )1( )()()
naxnyc
kxny
nxnxnya
n
k
=
=
−−=
∑
−∞= )()()
)2()()
)()(e)
 )4( 3)()()
2
nxnyg
nxnyf
nxny
nxnxnyd
−=
=
=
++=
� Sistema Estável: entrada limitada produz saída limitada ( BIBO ).
� Sistema Instável: entrada limitada produz saída ilimitada ( infinita ).
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS DE 
TEMPO DISCRETO
 |)(| |)(| ∞<≤∞<≤ yx MnyMnx
INTERCONEXÃO DE SISTEMAS DE TEMPO 
DISCRETO
� Sistemas de tempo discreto podem ser interconectados para formar
sistemas maiores.
)]([)( 
 )]}([{ )]([)( )]([)(
12
121211
ℑℑ
ℑ=ℑℑ≡ℑ
ℑℑ=ℑ=ℑ=
nxny
nxnynynxny
CC
 . então LIT é
 e sistema o se ,Entretanto s.arbitrário sistemas para é, Isto
.importante é realizadas são e operações as que em ordem a geral Em
2112
212112
21
ℑℑ=ℑℑ
ℑℑℑℑ≠ℑℑ
ℑℑ
213 )()()( += nynyny
21
3
213
1213
 
)]([)(
)]()[()(
 )]([)]([)(
ℑ+ℑ=ℑ
ℑ=
ℑ+ℑ=
ℑ+ℑ=
P
P nxny
nxny
nxnxny
ANÁLISE DE SISTEMAS DISCRETOS 
LINEARES E INVARIANTES NO 
TEMPO
Porque enfatizar o estudo de sistemas LTI ?
Há uma grande quantidade de técnicas matemáticas que podem ser aplicadas para
analisar sistemas LTI.
Muitos sistemas práticos são ou LTI ou podem ser aproximados para sistemas LTI.
TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE SISTEMAS 
LINEAR
� Existem dois métodos básicos para analizar o comportamento ou
resposta de um sisteam linear a uma sinal de entrada:.
�Um método é baseado na solução direta da equação entrada-saída que,
em geral, tem a forma:
DIFERENÇAA EQUAÇÃO )()()( →−+−−= ∑∑ knxbknyany
M
k
N
k
�No segundo método faz primeiro a decomposição do sinal de entrada
em uma soma de sinais elementares. Os sinais elementares são
selecionados tal que a resposta do sistema para cada componente do sinal
seja facilmente determinada. Então, usando a propriedade da linearidade
do sistema, as respostas do sistema para os sinais elementares são
somados para obter a resposta total do sistema para o sinal de entrada
dado.
01
∑∑
== k
k
k
k
� Segundo método
TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE SISTEMAS 
LINEAR
∑
∑








ℑ=ℑ=
ℑ≡
→=
k
kk
kk
k
kk
nxcnxny
nxny
nxcnx
)()]([)(
)]([)(
ponderados selementare sinais de Soma)()(
Se não colocamos nenhuma restrição nas características dos sinais de entrada,
sua resolução em uma soma ponderada de impulsos unitários prova ser
matematicamente conveniente e completamente geral. Entretanto, se
restringirmos nossa atenção para uma suclasse de sinais de entrada, pode haver
outro conjunto de sinais elementares que é mais conveniente
matematicamente na determinação da saída (ex.:periódicos).
∑∑
∑
=ℑ=

k
kkk
k
k
k
nycnxcny )()]([)(
RESOLUÇÃO DE UM SINAL DE TEMPO 
DISCRETO EM IMPULSOS
}3,0,4,2{)(
)()()(
)()()()(
=
−=
−=−
∑
∞
−∞=
nx
knkxnx
knkxknnx
k
δ
δδ
)2(3)(4)1(2)(
 
}3,0,4,2{)(
−+++=
↑
=
nnnnx
nx
δδδ
RESPOSTA DE UM SISTEMA LTI A ENTRADAS 
ARBITRÁRIAS: A SOMA DE CONVOLUÇÃO
)()()(
 escalada entementecorrespond é sistema do resposta a , )(
quantidade umapor escalado esta entrada na impulso o Se),()(),(
)]([),(),(
−=
=
→=
−ℑ=≡
∑
∞
−∞=
knkxnx
kxc
knhkxknhc
knknhkny
k
k
k
δ
δ
 LTI Sistema )()()( )]([k)-h(n )]([h(n)
 tempono iantelinear var sistemaqualquer Para),()()(
)]([)()(
)()()]([)(
→−=−ℑ≡ℑ≡
→=
−ℑ=








−ℑ=ℑ=
∑
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
knhkxnyknn
knhkxny
knkxny
knkxnxny
k
k
k
k
δδ
δ
δ
↑
=
↑
−=
 
1} 3, 2, 1, {)(
 
}1 1, 2, 1, {)(
nx
nh
 
10
u(n)x(n)
 
au(n), ah(n) n
=
<<=
PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A 
INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI
� Identidade e deslocamento
� Lei comutativa 
)()()(*)(
)()(*)()(
knxknyknnx
nxnnxny
−=−=−
==
δ
δ
= nxnhnhnx
 
)(*)()(*)(
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−==
−==
k
k
knxkhnxnhny
knhkxnhnxny
)()()(*)()(
)()()(*)()(
 
� Lei associativa
PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A 
INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI
(n)(n) *...*h(n)*hhh(n)
nhnxnynhnhnh
nhnhnxnhnyny
nhnhnxnhnhnx
L21
21
2121
2121
)(*)()( )(*)()(
)(*)](*)([)(*)()(
 
)](*)([*)()(*)](*)([
=
==
==
=
(n)(n) *...*h(n)*hhh(n) L21=
PROPRIEDADES DA CONVOLUÇÃO E A 
INTERCONEXÃO DE SISTEMAS LTI
� Lei distributiva
∑
=
=
+=
+=+
L
j
j(n)hh(n)
nhnhnh
nhnxnhnxnhnhnx
1
21
2121
 )()()(
 
)(*)()(*)()]()]([*)(
=j 1
SISTEMAS LINEAR CAUSAL INVARIANTE 
NO TEMPO
� Sistema Causal: se a saída do sistema em qualquer tempo n depende
somente de entrada presente e passada.
)()()()()(
)()()(
0
1
0
0
0
00
knxkhknxkhny
knxkhny
kk
k
−+−=
−=
∑∑
∑
−
−∞=
∞
=
∞
−∞=
)()()()()(
: 0 para 0 causalfor entrada de sinal o Se
)()()()()( 00 Então
 )( futuro no entrada de depende não LIT causal sistema Um
 
 ...])2()2( )1()1([ 
...])2()2()1()1()()0([)(
00
0
0
00
0000
0
knhkxknxkhny
nx(n)
knhkxknxkhny, nh(n)
knx
nxhnxh
nxhnxhnxhny
n
k
n
k
n
kk
kk
−=−=
<=
−=−=<=
+
++−++−+
+−+−+=
∑∑
∑∑
==
−∞=
∞
=
−∞==