06 Variáveis aleatórias discretas 03

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Probabilidade e 
Estatística
Aula 06
Variáveis Aleatórias Discretas_03
Leitura Prévia
• Seções 2.8 e 2.9 do capítulo 2 do livro do 
Yates – Págs. 77 a 85
Variância e Desvio Padrão
[ ] ( )[ ]
[ ]XVar
XEXVar
x
x
=
−=
σ
µ 2
Momentos
[ ]
( )[ ]nXésimo
n
ésimo
XEn
XEn
µ− :central momento 
 :momento 
Variância e 2º Momento
( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2222222 22 XXEXEXEXEXXEXXEX +−=+−=−=σ
[ ] [ ]22)( XEXEXVar −=
Variância - Propriedades
Se X é determinístico (assume sempre um valor a):
0)( =XVar
Se Y = X + b
)()( XVarYVar =
Se Y = aX
( )XVaraYVar 2)( =
Exemplo







=
=
=
==
contrário caso0
25.0
14.0
01.0
)(
n
n
n
nNP
• A função massa de probabilidade de uma 
variável aleatória N é dada por:
• Calcular: o valor esperado, o segundo 
momento, a variância e o desvio padrão.
Teorema 2.15 Yates (pág.80)
Se “X” é uma V.A. Bernoulli de parâmetro (p), então:
Se “X” é uma V.A. Binomial de parâmetro (n,p), então:
Se “X” é uma V.A. Poisson de parâmetro (α), então:
 VAR (1 )X p p 
 VAR (1 )X np p 
 VAR X α
Teorema 2.15 Yates (pág.80)
Se “X” é uma V.A. Geométrica de parâmetro (p), então:
Se “X” é uma V.A. Pascal de parâmetro (k, p), então:
Se “X” é uma V.A. Uniforme discreta de parâmetro (k, l), então:
  2
(1 )VAR pX
p

  2
(1 )VAR . pX k
p

  ( )( 2)VAR
12
l k l kX   
Função Massa de Probabilidade 
Condicional
( ) ( ) ( )( )BP
BxXPBxXPxP kkkBX
,
||
=
===
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
1642
0531
======
======
XPXPXP
XPXPXP
Exemplo: um dado é lançado. O evento B = {resultado é 
par} ocorreu. Qual a função massa de probabilidade 
condicional?
Função Massa de Probabilidade 
Condicional
{ } { } ( ) ( )
{ } ( ) 0,
,
==∅=∩=∉
=====∩=∈
BxXPeBxXBxSe
xXPBxXPexXBxXBxSe
kkk
kkkkk
( ) ( )
( )
( )





∈
=
===
contrário caso0
||
Bxse
BP
xXP
BxXPxP k
k
kkBX
Note que
Valor Esperado Condicional
( ) ( )∑
∈
=⋅=
Bx
BxXPxBXE ||
( ) ( )∑
∈
=⋅=
Bx
BxXPxgBYE |)(|
Y=g(X)
Exemplo
• Na Internet os dados são transmitidos em pacotes. Em 
um modelo simples para o tráfego WWW, o número 
de pacotes N necessário para transmitir uma página 
Web depende se a página possui imagens. Se a página 
tem imagens (evento I), o número N é uniformemente 
distribuído entre 1 e 50 pacotes. Se a página só tem 
texto (evento T), o número N é uniformemente 
distribuído entre 1 e 5 pacotes. A probabilidade da 
página possuir imagem é ¼. Pede-se:
Exemplo
• a) A função massa de probabilidade condicional P(N = n | I)
( )


 =
==
contrário caso0
503,2,102.0
|
n
InNP
Exemplo
• b) A função massa de probabilidade condicional P(N = n | T)
( )


 =
==
contrário caso0
5,4,3,2,12.0
|
n
TnNP
Exemplo
• c) A função massa de probabilidade de N.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )





==×+×
==×+×
=
=+===
contrário caso0
509,8,7,6005.025.002.075.00
5,4,3,2,1155.025.002.075.02.0
||
n
n
TPTnNPIPInNPnNP
Exemplo
• d) A função massa de probabilidade condicional P(N = n | N ≤ 10)
( ) 8.0005.05155.0510 =×+×=≤NP
( ) ( )
( )
( )





∈
=
===
contrário caso0
||
Bxse
BP
xXP
BxXPxP k
k
kkBX
( )
( )
( )



 ≤
≤
=
=≤=
contrário caso0
10
1010|
n
NP
nNP
NnNP
Exemplo
( )









=
=
=≤=
contrário caso0
10,9,8,7,6
8.0
005.0
5,4,3,2,1
8.0
155.0
10| n
n
NnNP
Exemplo
• e) O valor esperado condicional E(N | N ≤ 10)
( ) 15625.3
8.0
005.0
8.0
155.010|
10
6
5
1
=+=≤ ∑∑
== nn
nnNNE
Exemplo
• f) A variância condicional Var (N | N ≤ 10)
( )
( ) ( ) ( ) 75684.210|10|10|
71875.12
8.0
005.0
8.0
155.010|
22
10
6
2
5
1
22
=≤−≤=≤
=+=≤ ∑∑
==
NNENNENNVar
nnNNE
nn
Exercícios
• Exercícios 2.8.1 a 2.9.8, Capítulo 2, Livro 
Yates.
• Série 6
– Prazo de entrega: 1 semana
	Probabilidade e Estatística
	Leitura Prévia
	Variância e Desvio Padrão
	Momentos
	Variância e 2º Momento
	Variância - Propriedades
	Exemplo
	Teorema 2.15 Yates (pág.80)
	Teorema 2.15 Yates (pág.80)
	Função Massa de Probabilidade Condicional
	Função Massa de Probabilidade Condicional
	Valor Esperado Condicional
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
	Exercícios