Notas de aula 3 - Vetores

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Notas de Aula:
Aula 3- Vetores. 
 
3.1 Introdução 
 Vetores são grandezas que possuem um módulo (intensidade) e uma 
orientação (direção e sentido), possuindo suas próprias regras matemáticas. 
Podemos citar como exemplo de grandezas vetoriais a aceleração e velocidade. 
Um vetor é representado geometricamente como uma reta orientada 
(seta) como mostrado na figura 3.1. Para distinguir um vetor de um escalar, 
pode-se colocar uma reta (�̅�), uma seta (�⃗�) sobre a grandeza ou colocar em 
negrito (a), na figura 3.1 foi utilizado uma seta para indicar que são vetores. 
O tamanho dessa reta é chamado de módulo, intensidade ou valor 
absoluto. A direção que essa reta se encontra pode ser por e exemplo: 
horizontal, vertical ou inclinada. Seu sentido pode ser direito, esquerda, cima e 
baixo por exemplo. 
Vamos descrever portanto o vetor a̅ da figura 3.1: 
 Módulo = 6 
 Direção = horizontal 
 Sentido = direita 
Ou seja: �̅� = 6 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
 
3.2. Sistema Cartesiano 
 
Uma maneira mais prática de se representar um vetor é através do eixo 
cartesiano: 
Figura 3.1 Representação vetorial geométrica. 
Notas de Aula:
 
 
O eixo cartesiano representa o espaço em até três dimensões, utilizando 
três eixos perpendiculares entre si. Cada um desses três eixos recebe um nome, 
eles são (x, y e z), e para representar a orientação (direção e sentido) de cada 
eixo utilizamos os versores que são: 
 Eixo x utilizamos o versor �̂� 
 Eixo y utilizamos o versor 𝒋̂ 
 Eixo z utilizamos o versor �̂� 
Portanto na figura 3.1, podemos representar o vetor de outra maneira: 
�̅� = 6 𝑖̂ 
Dessa última maneira é bem mais simples e nos possibilita realizar 
operações matemáticas com mais clareza como veremos mais adiante. 
Já na figura 3.2b podemos representar o vetor u nas duas dimensões 
utilizando seus versores: 
�̂� = 3𝑖̂ + 2𝑗̂ 
Exercícios de Fixação: 
3.1 - Observe a figura abaixo que representa a posição escreva as retas na forma 
vetorial. Cada quadrado vale 1 metro: 
 
Figura 3.2 - Eixos cartesiano e seus versores. a) versores no plano. b) vetor num plano. c) versores no espaço. 
Notas de Aula:
Resolução: 
a = 6 m na horizontal para a direita 
b = 4 m na horizontal para a direita 
c = 3 m horizontal para esquerda 
d = 5 m horizontal para esquerda 
e = 4 m na horizontal para esquerda 
3.2 - Dados os vetores , , , e , abaixo representado, reescreva em termos de 
seus versores (𝑖 ̂𝑒 𝑗̂). 
 
Resolução: 
Temos que utilizar o eixo de coordenadas cartesiano para poder orientar nossos 
vetores. Para facilitar colocaremos a origem de nosso eixo no início de cada reta, 
portanto: 
�̅� = 3𝑖̂ + 3𝑗̂ 
�̅� = 4𝑖 ̂
𝑐̅ = −3𝑖 ̂ 𝑜𝑢 𝑐̅ = 3(−𝑖)̂ 
�̅� = −4𝑗̂ 𝑜𝑢 �̅� = 4(−𝑗̂) 
�̅� = 3𝑖̂ − 3𝑗 ̂
 
3.3 Soma e Subtração de vetores. 
 
Podemos somar vetores de duas formas, geometricamente e 
algebricamente. 
Notas de Aula:
 Algebricamente só podemos somar os termos dos vetores que estão na 
mesma direção. 
Exercícios de Fixação: 
3.3 – Dado os vetores 
𝑓̅ = 3𝑖̂ + 7𝑗̂ �̅� = −12𝑖̂ + 9𝑗 ̂ ℎ̅ = 4𝑖̂ − 6𝑗̂ + 8�̂� 
Realize as operações a) f+g b) f-g c) f+h d) g-h. 
Resolução: 
a) f+g = (3-12) 𝑖 ̂+ (7+9) 𝑗 ̂
 = -9𝑖 ̂+ 16𝑗̂ 
 
b) f-g = (3+12) 𝑖 ̂+ (7+9) 𝑗 ̂
 = 15𝑖 ̂+ 16𝑗̂ 
 
c) f+h = (3+4) 𝑖̂ + (7-6) 𝑗̂ + (0+8) �̂� 
 = 7𝑖 ̂+ 𝑗̂+ 8�̂� 
 
d) g-h = (-12-4) 𝑖 ̂ + (9+6) 𝑗̂ + (0-8) �̂� 
 = 16 𝑖̂ + 15 𝑖̂ - 8 �̂� 
 
Geometricamente trabalhamos com suas representações geométricas, ou 
seja reta orientada como mostrado na figura 3.1. Uma das regras para realizar 
uma soma geométrica é “bundinha na cabecinha”, sempre a bundinha do 
primeiro vetor na cabecinha do segundo. 
Portanto dados os vetores a = 10 e b = -7: 
 
Vamos realizar a soma a - b = 17: 
 
 
Notas de Aula:
Agora vamos realizar a subtração a+b=3 
 
Nesses dois casos foi fácil, pois o vetor possuía apenas uma direção. 
Vamos ver como ficaria se ele tivesse duas dimensões. 
 
Ainda utilizando a regra da bundinha na cabecinha vamos somar os 
vetores acima a+b=s e o vetor resultante será bundinha com bundinha e 
cabecinha com cabecinha. 
Se o ângulo entre a e b for 90° esse vetor soma s se torna a hipotenusa do 
triangulo podendo ser encontrado aplicando o teorema de Pitágoras: 
s2 =a2 + b2 (3.1) 
Caso o ângulo entre a e b for diferente de 90°, temos que usar a regra do 
paralelogramo que na verdade é a forma generalizada de Pitágoras: 
𝑠2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎. 𝑏. cos 𝜃 (3.2) 
Agora para somar os mesmos dois vetores a e b colocamos a bundinha 
de a com a bundinha de b, o vetor soma será: 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula:
Exercícios de Fixação: 
3.4 – Observe a figura: 
 
Qual o módulo, direção e sentido do vetor , em cada caso: 
a) = + b) = + c) = + d) = + e) = + + f) = 
+ + 
3.5 – Calcule o módulo do vetor resultante do vetor e em cada caso abaixo. 
 
 
 
Notas de Aula:
3.4 Decomposição de Vetores 
 
Dado um vetor qualquer, podemos decompor esse vetor 
em termos de seus vetores unitários. 
Vamos supor que o vetor a da figura 3.3 possui módulo 
igual a 6 unidades e faça um ângulo θ=60° com a horizontal. 
Para descrever esse vetor em termos de seus vetores unitários 
(𝑖̂ 𝑒 𝑗̂), temos que encontrar seus componentes no eixo x (ax) e 
no eixo y (ay). Vamos utilizar aqui trigonometria de triangulo 
retângulo, relembrando a definição de seno, cosseno e 
tangente: 
sin 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑐𝑜)
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 (ℎ)
 
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑐𝑎)
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 (ℎ)
 
tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 (𝑐𝑜)
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑐𝑎)
 
 
Portanto para o triangulo da figura 3.3 temos: 
sin 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎
 
𝑎𝑦 = 𝑎. sin 𝜃 (3.3) 
cos 𝜃 =
𝑎𝑥
𝑎
 
𝑎𝑥 = 𝑎. cos 𝜃 (3.4) 
tan 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
 
Tome cuidado pois se o ângulo estiver em outra posição o seno e cosseno 
vão se inverter. 
 
Exercícios de Fixação: 
Figura 3.3 decomposição 
de vetores 
Notas de Aula:
3.6 
 
Resolução: 
 
 
3.5 Multiplicação de um vetor por um escalar 
Quando multiplicamos um escalar por um vetor, temos que o resultado é 
uma grandeza vetorial, cujo módulo é a sua intensidade multiplicada pelo 
escalar. 
Por exemplo, dado um vetor a=3. Encontramos: 
3�̅� = 3 ∗ 3 = 9 
7�̅� = 7 ∗ 3 = 21 
Já em termos de vetores unitários: 
Dado o vetor �̅� = 2𝑖̂ + 6𝑗 ̂temos que: 
2�̅� = 2 ∗ (2𝑖̂ + 6𝑗̂) = 4𝑖̂ + 12𝑗 ̂
 
 
 
 
Notas de Aula:
3.6 Multiplicação escalar entre dois vetores. 
Quando multiplicamos escalarmente dois vetores (a.b – se lê a escalar b), 
o resultado é uma grandeza escalar. A multiplicação escalar entre dois vetores 
é dado por: 
�̅�. �̅� = 𝑎. 𝑏. cos ∅ (3.5) 
 
 
 Em termos de seus vetores unitários temos que obedecer a regra de 
multiplicação entre versores: 
𝑖̂. 𝑖̂ = 1 𝑗̂. 𝑗̂ = 1 �̂�. �̂� = 1 
𝑖̂. 𝑗̂ = 0 𝑗̂. 𝑖̂ = 0 �̂�. 𝑖̂ = 0 
𝑖̂. �̂� = 0 𝑗̂. 𝑘 = 0 �̂�. 𝑗̂ = 0 
 
 Podemos resumir dizendo que para produtos escalares entre versores, 
quando eles são iguais o produto é 1 e quando são diferentes o produto é 0 
 
 Vamos exemplificar. Se os vetores da figura 3.4 forem, a= 3i+2j e b=4i+3j, 
podemos calcular: 
�̅�. �̅� = (3𝑖̂ + 2𝑗̂). (4𝑖̂ + 3𝑗̂) 
�̅�. �̅� = (3𝑖̂. 4𝑖̂) + (3𝑖̂. 3𝑗̂) + (2𝑗̂. 4𝑖̂) + (2𝑗̂. 3𝑗̂) 
�̅�. �̅� = 12. (𝑖̂. 𝑖̂) + 9. (𝑖̂. 𝑗̂) + 8. (𝑗̂. 𝑖̂)+ 6. (𝑗̂. 𝑗̂) 
�̅�. �̅� = 12 ∗ 1 + 9 ∗ 0 + 8 ∗ 0 + 6 ∗ 1 
�̅�. �̅� = 12 + 6 
�̅�. �̅� = 18 
Figura 3.4 Dois vetores a e b e a explicação geométrica de seu produto escalar. 
Notas de Aula:
3.6 Multiplicação vetorial entre dois vetores. 
O produto vetorial entre vetores é escrito como a x b e se lê “a vetor b” e 
sempre resulta em um outro vetor. Se queremos apenas encontrar seu módulo 
fazemos apenas: 
�̅�𝑥�̅� = 𝑎. 𝑏. sen ∅ (3.6) 
 Mas se queremos em termos de seus vetores unitários temos duas 
maneiras de resolvermos este cálculo. 
A mais difícil de errar é utilizando matriz 3x3. Tomamos os vetores: 
�̅� = (3𝑖̂ + 2𝑗̂) 𝑒 �̅� = (4𝑖̂ + 3𝑗̂) 
Para encontrar o produto vetorial a x b temos que encontrar o 
determinante da matriz 
�̅�𝑥�̅� = |
𝑖 𝑗̂ �̂�
3 2 0
4 3 0
| 
�̅�𝑥�̅� = |
𝑖 𝑗̂ �̂�
3 2 0
4 3 0
|
𝑖 𝑗
3 2
4 3
= (𝑖. 2.0 + 𝑗. 2.0 + 𝑘. 3.3) − (𝑘. 2.4 + 𝑖. 0.3 + 𝑗. 3.0) 
�̅�𝑥�̅� = 9�̂� − 8�̂� 
�̅�𝑥�̅� = 1�̂� 
Outra maneira é utilizarmos as regras de multiplicação vetorial entre 
vetores: 
𝑖̂𝑥𝑖̂ = 0 𝑗̂𝑥𝑗̂ = 0 �̂�𝑥�̂� = 0 
𝑖̂𝑥𝑗̂ = �̂� 𝑗̂𝑥𝑖̂ = −�̂� �̂�𝑥𝑖̂ = 𝑗̂ 
𝑖̂𝑥�̂� = −𝑗̂ 𝑗̂𝑥�̂� = 𝑖̂ �̂�𝑥𝑗̂ = −𝑖̂ 
 
Para encontrar o produto vetorial a x b temos que aplicar a distributiva na 
multiplicação e em seguida as regras: 
�̅�𝑥�̅� = (3𝑖̂ + 2𝑗̂)𝑥(4𝑖̂ + 3𝑗̂) 
�̅�𝑥�̅� = (3𝑖̂𝑥4𝑖̂) + (3𝑖̂𝑥3𝑗̂) + (2𝑗̂𝑥4𝑖̂) + (2𝑗̂𝑥3𝑗̂) 
�̅�𝑥�̅� = 12. (𝑖̂𝑥𝑖̂) + 9. (𝑖̂𝑥𝑗̂) + 8. (𝑗̂𝑥𝑖̂) + 6. (𝑗̂𝑥𝑗̂) 
Notas de Aula:
�̅�𝑥�̅� = 12 ∗ 0 + 9�̂� − 8�̂� − 6 ∗ 0 
�̅�𝑥�̅� = 1�̂� 
 
Exercícios 
3.7 - Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique 
determinado? 
3.8 - Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 6 e 
8 unidades? 
3.9 - Calcule o ângulo formando por dois vetores de módulos 5 unidades e 6 unidades 
e cujo vetor resultante tem módulo unidades? 
3.10 - Considere a figura ao abaixo. 
 
Sabendo que a = 4 m e b = 6 m, calcule o módulo do vetor diferença (3 - 2 ) 
3.11 - Determine as componentes de um vetor de módulo 4 m que forma um ângulo 
de 30º com a vertical. 
3.12 - Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ângulo de 45º com 
a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil. 
3.13 - Um vetor velocidade é decomposto em dois outros perpendiculares entre si. 
Sabendo-se que o módulo do vetor velocidade é 10 m/s e que uma das componentes 
é igual a 8 m/s, determine o módulo do vetor correspondente à outra componente. 
3.14 - 
 
 
3.15 - 
 
Notas de Aula:
3.16 - 
 
3.17 –
 
3.18 –
 
3.19 –
 
3.20 –
 
3.21 –
 
3.22 –
 
Notas de Aula:
3.23 –
 
 
Respostas 
3.7 - Seu Módulo, sua direção e o seu sentido. 
3.8 - 10 unidades 
3.9 - 90º 
3.10 - 7,6 m 
3.11 - a) | | = 2 m 
 b) | | = 3,4 m 
3.12 - 200 m/s (ambas) 
3.13 - 6 m/s 
Notas de Aula:
3.14 - 
 
 
3.15 - 
 
Notas de Aula:
3.16 - 
 
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Notas de Aula:
3.18 –
 
Notas de Aula:
3.19 –
 
3.20 –
 
3.21 –
 
Notas de Aula:
3.22 –
 
3.23 –
 
 
Bibliografia: 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN: 9788521614623. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - mecânica. Vol. 1, 8ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521616054.