Notas de aula 3 - Conservação da Energia

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Notas de Aula:
Aula 3- Conservação da Energia. 
 
3.1 Conservação da Energia 
 
Um sistema é formado por dois ou mais objetos, um sistema fechado, 
significa que este não interage com outros objetos nem mesmo com o meio. 
 Quando um sistema não perde nem ganha energia do meio externo, sua 
energia interna se conserva, ou seja: 
𝐸𝑚
𝑖 = 𝐸𝑚
𝑓
 (3.1) 
A energia mecânica é constituída por todas as energias que afetam o 
sistema, até agora estudamos a energia cinética e potencial, portanto: 
𝐸𝑐
𝑖 + 𝐸𝑝
𝑖 + 𝐸𝑒𝑙
𝑖 = 𝐸𝑐
𝑓 + 𝐸𝑝
𝑓 + 𝐸𝑒𝑙
𝑓
 (3.2) 
Ou substituindo as energias teremos: 
1
2
𝑚𝑣𝑖
2 + 𝑚𝑔𝑦𝑖 +
1
2
𝑘𝑥𝑖
2 =
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 + 𝑚𝑔𝑦𝑓 +
1
2
𝑘𝑥𝑓
2 (3.3) 
 Se um sistema não é conservativo, a energia mecânica inicial é igual a 
energia mecânica final mais a energia perdida ou menos a energia ganha: 
𝐸𝑚
𝑖 = 𝐸𝑚
𝑓 + ∆𝐸 (3.4) 
 
Exercícios Resolvidos: 
3.1 (Halliday 8.15) – Uma bola de gude de 5 gr é lançada verticalmente para 
cima usando uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de 
exatamente 8,0 cm para que a bola alcance um alvo colocado a 20 m acima 
da posição da bola de gude na mola comprimida. a) Qual é a variação da 
energia potencial gravitacional do sistema bola de gude-Terra durante a 
subida de 20 m? b) Qual é a variação da energia potencial elástica da mola 
durante o lançamento da bola de gude? C) qual é a constante elástica da 
mola? 
 
 
Notas de Aula:
Resolução: 
Os dados fornecidos são: 
𝒎 = 𝟓 𝒈𝒓 = 𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 
𝒙 = 𝟖 𝒄𝒎 = 𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 
𝒉 = 𝟐𝟎 𝒎 
a) A variação da energia potencial gravitacional do sistema ser calculado considerando a 
altura inicial como sendo zero, e a altura final como sendo 20 m: 
∆𝑬𝒑 = 𝒎𝒈𝒉𝒇 − 𝒎𝒈𝒉𝒊 
∆𝑬𝒑 = 𝒎𝒈(𝒉𝒇 − 𝒉𝒊) 
∆𝑬𝒑 = 𝟓 𝒙 𝟏𝟎
−𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ (𝟐𝟎 − 𝟎) 
∆𝑬𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟖 𝑱 
b) A variação da energia potencial elástica pode ser calculada considerando que a única 
energia transferida para a bola de gude para que esta alcance a altura de 20 m é a energia 
elástica, portanto temos que pela conservação da energia: 
𝑬𝒎
𝒊 = 𝑬𝒎
𝒇
 
𝑬𝒆𝒍
𝒊 = 𝑬𝒑
𝒇
 
𝑬𝒆𝒍
𝒊 = 𝟎, 𝟗𝟖 𝑱 
c) Agora que sabemos o valor da energia potencial elástica podemos calcular a constante 
de mola: 
𝑬𝒆𝒍 =
𝟏
𝟐
𝒌𝒙𝟐 
𝒌 =
𝟐. 𝑬𝒆𝒍
𝒙𝟐
=
𝟐 ∗ 𝟎, 𝟗𝟖
𝟎, 𝟎𝟖𝟐
= 𝟑𝟎𝟔, 𝟐𝟓 𝑵/𝒎 
 
3.2 (Halliday 8.9) – Um caminhão perdeu os freios quando estava descendo 
uma ladeira a 130 km/h e o motorista dirigiu o veículo para uma rampa de 
emergência sem atrito com uma inclinação θ = 15°. A massa do caminhão é 
1,2 x 104 kg. a) Qual é o menor comprimento L que a rampa deve ter para 
que o caminhão pare (momentaneamente) antes de chegar ao final? 
(Suponha que o caminhão pode ser tratado como uma partícula e justifique 
essa suposição). O comprimento mínimo L aumenta, diminui ou permanece 
o mesmo b) se amassa do caminhão for menor e c) se a velocidade for 
menor? 
 
Notas de Aula:
Resolução: 
Os dados fornecidos são: 
𝒗 = 𝟏𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉 = 𝟑𝟔, 𝟏 𝒎/𝒔 
𝜽 = 𝟏𝟓° 
𝒎 = 𝟏, 𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟒 𝒌𝒈 
a) Vamos aplicar a conservação da energia mecânica: 
𝑬𝒎
𝒊 = 𝑬𝒎
𝒇
 
𝑬𝒄
𝒊 + 𝑬𝒑
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
+ 𝑬𝒑
𝒇
 
Das condições iniciais do exercício temos: 
𝑬𝒄
𝒊 = 𝑬𝒑
𝒇
 
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 = 𝒎𝒈𝒉 
𝒉 =
𝒗𝟐
𝟐𝒈
=
𝟑𝟔, 𝟏𝟐
𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖
= 𝟔𝟔, 𝟓 𝒎 
Mas esta é a altura, e não o comprimento da rampa. Para encontrarmos o comprimento 
utilizamos a relação de triângulos: 
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒉
𝑳
 
𝑳 =
𝒉
𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝟔𝟔, 𝟓
𝒔𝒆𝒏𝟏𝟓
= 𝟐𝟓𝟔, 𝟗 𝒎 
b) Observando a equação que utilizamos para encontrar a altura: 
𝒉 =
𝒗𝟐
𝟐𝒈
 
Vemos que a altura não depende da massa, portanto o comprimento também não. 
c) Se a velocidade for menor, notamos que a altura também será menor, 
consequentemente o comprimento L também. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula:
Exercícios Fixação: 
3.3 (Halliday 8.21) – A corda de 
comprimento L = 120 cm, possui 
uma bola presa em umas das 
extremidades e está fixa na outra. A 
distância d da extremidade fixa a 
um ponto P é 75,0 cm. A bola, 
inicialmente em repouso, é liberada 
com o fio na posição horizontal, 
como mostra a figura, e percorre a 
trajetória indicada pelo arco 
tracejado. Qual é a velocidade da 
bola ao atingir a) o ponto mais baixo 
da trajetória, b) o ponto mais alto 
depois que a corda encosta no pino? 
 Resolução: 
Os dados fornecidos são: 
𝒅 = 𝟕𝟓 𝒄𝒎 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒎 
𝑳 = 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒎 = 𝟏, 𝟐 𝒎 
𝒗𝟎 = 𝟎 
a) Podemos utilizar o princípio da conservação da energia mecânica, tomando a 
posição horizontal da bola como sendo a inicial e a posição da bola no ponto mais 
baixo como sendo a final, assim temos: 
𝑬𝒎
𝒊 = 𝑬𝒎
𝒇
 
𝑬𝒄
𝒊 + 𝑬𝒑
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
+ 𝑬𝒑
𝒇
 
Inicialmente a bola está parada portanto não possui energia cinética, e na posição final 
ela está no ponto mais baixo e não tem energia potencial, portanto: 
𝑬𝒑
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
 
𝒎𝒈𝒉𝒊 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 
𝒈𝑳 =
𝟏
𝟐
𝒗𝟐 
𝒗 = √𝟐𝒈𝑳 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟏, 𝟐 = 𝟒, 𝟖𝟓 𝒎/𝒔 
b) Depois que a corda encosta no pino, o raio de giro passa a ser r, cujo valor é dado por: 
𝒓 = 𝑳 − 𝒅 = 𝟏, 𝟐 − 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟓 𝒎 
Utilizaremos novamente o princípio da conservação da energia, só que agora o ponto 
inicial é quando a bola está no ponto mais baixo e possui energia cinética dado pelo valor 
da velocidade encontrado no item a) e o ponto final será o ponto de altura r que a bola irá 
alcançar com uma velocidade vr. Então temos: 
Notas de Aula:
𝑬𝒄
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
+ 𝑬𝒑
𝒇
 
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒓
𝟐 + 𝒎𝒈𝒓 
𝟏
𝟐
𝒗𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒗𝒓
𝟐 + 𝒈𝒓 
𝒗𝒓 = √𝟐 (
𝟏
𝟐
𝒗𝟐 − 𝒈𝒓) = √𝟐. (
𝟏
𝟐
∗ 𝟒, 𝟖𝟓𝟐 − 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓) = 𝟐, 𝟒𝟐 𝒎/𝒔 
 
3.4 (Halliday 8.46) – Um esquiador de 60 kg deixa a extremidade de uma rampa 
de salto de esqui com uma velocidade de 24 m/s 25o acima da horizontal. 
Suponha que, devido ao arrasto do ar, o esquiador retorna ao solo com uma 
velocidade de 22 m/s, aterrissando 14 m verticalmente abaixo da 
extremidade da rampa. Do início do salto até o retorno ao solo, de quanto a 
energia mecânica do sistema esquiador –terra é reduzida devido ao arrasto 
do ar? 
 Resolução: 
Os dados fornecidos são: 
𝒎 = 𝟔𝟎 𝒌𝒈 
𝒗𝟎 = 𝟐𝟒 𝒎/𝒔 
𝜽 = 𝟐𝟓𝒐 
𝒗𝒇 = 𝟐𝟐 𝒎/𝒔 
𝒉 = 𝟏𝟒 𝒎 
Neste caso, o sistema não é conservativo, portanto usaremos a equação 3.4: 
𝑬𝒎
𝒊 = 𝑬𝒎
𝒇
+ ∆𝑬 
𝑬𝒄
𝒊 + 𝑬𝒑
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
+ 𝑬𝒑
𝒇
+ ∆𝑬 
Se considerarmos que inicialmente o esquiador estava a uma altura de 14 m então ele vai 
ter uma energia cinética inicial e final, mas sua energia potencial será somente a inicial: 
𝑬𝒄
𝒊 + 𝑬𝒑
𝒊 = 𝑬𝒄
𝒇
+ ∆𝑬 
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟎
𝟐 + 𝒎𝒈𝒉 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒇
𝟐 
Notas de Aula:
 
3.7 
 
 
Notas de Aula:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas, 
termodinâmica. Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. ISBN: 9788521614623. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física - mecânica. Vol. 1, 8ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. ISBN: 9788521616054.