Eletrodinamica de Weber 06 04 2017

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1 
Equações de Maxwell (1864-1873) 


 E
Lei de Gauss: 
Não há monopólos magnéticos: 
0 B

Lei de indução de Faraday: 
t
B
E





Lei circuital de “Ampère” com 
corrente de deslocamento: 
t
E
c
JB





2
1
 
Força de Lorentz (1895) 
BvqEqF


2 
Wilhelm Weber (1804 – 1891) 
J. C. Maxwell (1831 – 1879) 
1846 – lei de força 
1848 – energia potencial 
1856 – medida de c 
1857 – equação de onda 
1870-80 – modelo 
planetário para o átomo 
3 
Weber conhecia em 1846: 
Coulomb (1785): 
2
0
21
ˆ
4 r
rqq
F



Ampère (1820-6): 
),,(
ˆ
4 2
21
0 

f
r
r
IIF 

Faraday (1831): 
dt
dI
Mfem 
Suposição de Weber: 
vqId




 1222112
0
21 1
ˆ
4
aKvvK
r
rqq
F  

4 
Sua proposta de unificação: 
Força de Weber (1846): 







22
2
2
0
21 
2
1
ˆ
4 c
rr
c
r
r
rqq
F


00
2
2 1
 , ,  cdt
rd
r
dt
dr
r 
5 
Medida do Weber em 1856: c = 3 x 108 m/s. 
Ligação do eletromagnetismo com a óptica 
antes de Maxwell! 
Propriedades da força de Weber 
• No caso estático (dr/dt = 0 e d2r/dt2 = 0) volta-se à força de 
Coulomb e à lei de Gauss. 
• Ação e reação. Logo, conservação do momento linear. 
• Força ao longo da reta que une as cargas. Logo, 
conservação do momento angular. 
• Pode ser deduzida de uma energia potencial dependente 
da velocidade: 







2
2
0
21
2
1
1
4 c
r
r
qq
U


• Conservação da energia: 
 
0

dt
UTd
6 
• A lei de indução de Faraday pode ser deduzida 
da força de Weber (ver o Treatise do Maxwell). 
• A lei circuital de “Ampère” pode ser deduzida da 
força de Weber. 
• Ela é completamente relacional. Isto é, só 
depende de r, dr/dt e d2r/dt2. Portanto, tem o 
mesmo valor para todo observador e em todo 
sistema de referência. Depende apenas de 
grandezas intrínsecas aos corpos que estão 
interagindo, das relações entre as cargas. 
7 
Weber  Força de Ampère entre 
elementos de corrente (1826): 
 rdrdrrdd
r
II
F A ˆ)ˆ)(ˆ(3ˆ)(2
4
21212
210 







 

Lorentz  Força de Grassmann-Biot-Savart (1845): 
 21212210
2
220
1121
)ˆ(ˆ)(
4
ˆ
4














drdrdd
r
II
r
rdI
dIBdIdFG






 





8 
2 
1 
F2 em 1 F1 em 2 
A 0 0 
G  0 
2 1 
F2 em 1 F1 em 2 
A   
G 0 0 







 


 2
220
11
1 em 21 em 2
ˆ
4 r
rdI
dI
FF GA






9 
10 
Pêndulo de impulso 
eletromagnético: 
Explosão de fios: 
Ponte de Ampère: 
Ampère X Grassmann: 
11 
Maxwell no Treatise on Electricity and Magnetism ao comparar as 
forças entre elementos de corrente de Ampère (1826), Grassmann 
(1845) e duas outras expressões que o próprio Maxwell criou (1873): 
 
Artigo 527: “Destas quatro suposições diferentes, a expressão do 
Ampère é sem dúvida alguma a melhor, por ser a única na qual a força 
entre os dois elementos é não apenas igual e oposta, mas também ao 
longo da linha reta que os une.” 
 
Avaliação de Maxwell sobre o trabalho de Ampère: 
 
Artigo 528: “A investigação experimental pela qual Ampère estabeleceu 
as leis da ação mecânica entre correntes elétricas é um dos feitos mais 
brilhantes na ciência. O conjunto de teoria e experiência parece como 
que se tivesse pulado, crescido e armado, do cérebro do “Newton da 
eletricidade”. O conjunto é perfeito na forma, e de precisão irrefutável, e 
está resumido em uma fórmula a partir da qual todos os fenômenos 
podem ser deduzidos, e que tem de sempre permanecer como a 
fórmula mais importante da eletrodinâmica.” 
12 
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Propagação de sinais eletromagnéticos obtida pela primeira vez por 
Weber e Kirchhoff em 1857 a partir da eletrodinâmica de Weber: 
Equação do telegrafista 
t
J
t
A
gEgJ
 
 



















t
R
tcs 






 



 ln
21 0
2
2
22
2
13 
AI , , , onde  
14 
t
E
c
JB





2
1
 
Utilizou a constante c que Weber 
havia introduzido em 1846. 00
1

c
s
m
c 8103
Conhecia seu valor medido pela 
primeira vez por Weber em 1856. 
0
1
2
2
22
2






tcs

Conhecia a equação de onda obtida 
pela primeira vez por Weber e 
Kirchhoff em 1857 a partir da 
eletrodinâmica de Weber. 
Porém: 
Maxwell introduziu a corrente de 
deslocamento na lei circuital de 
“Ampère” em 1864: 
Principal diferença entre Weber e Lorentz: 
BvqEqF

 111
Lorentz
1 em 2
15 
Já a força de Weber depende não apenas 
da posição e velocidade da carga teste, 
mas também de sua aceleração! 
A força de Lorentz depende apenas da posição e velocidade da carga teste: 
Ou seja, a força de Lorentz não tem um termo que dependa de 
1a

Weber versus Lorentz 
 





 





2
21
2
2
21
2
2121
2
0
21 )(
2
)(ˆ3)()(
1
ˆ
4 c
aar
c
vvr
c
vvvv
r
rqq


 ),,,,,( 2121211 em 2 aavvrrFF
Weber

 ),,,,( 22121111
Lorentz
1 em 2 avvrrFBvqEqF

 





 
























 



2
2
2
0
2
112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
1
ˆ1
42
ˆ
22
ˆ3
2
1
1
4 c
rv
r
q
vq
c
ar
r
c
ar
c
vr
c
v
r
q
q




16 
Modelo planetário de Weber para o átomo (1870-1880) 
111122
2
2
0
21 
2
1
1
4
amamEq
c
rr
c
r
r
qq
W 








quando 
r
qq
m
W
210
4

  111 ammEq W
mr
C
15 10 
Dois pósitrons atraem-se para 
distâncias menores do que: 
17 
Wmm 1
onde 
Cr
m
qq
r 
1
210
4

18 
• A previsão de Weber (1870-1880) foi feita antes da descoberta do elétron 
(1897), da série espectral de Balmer (1897) e das experiências de 
espalhamento de Rutherford (1911)! Já o modelo de Bohr (1913) foi 
inventado para ser compatível com estes dados experimentais. 
 
• Weber apresentou uma fórmula para sua distância crítica r_c a partir da qual 
duas cargas de mesmo sinal se atraem. Mas não tinha como calcular seu valor 
pois não conhecia os elétrons e pósitrons (1932). Se utilizarmos a massa e a 
carga de dois pósitrons, obtemos que eles se atraem quando: 
r_c < 10^{-15} m. Ou seja, o modelo de Weber dá uma justificativa para o 
tamanho conhecido dos núcleos atômicos! 
 
• Na física atual é necessário postular forças nucleares para estabilizar o 
núcleo eletrizado positivamente contra as forças repulsivas de Coulomb. Já o 
modelo de Weber é uma unificação do eletromagnetismo com a física nuclear, 
pois o núcleo é mantido estável por forças puramente eletrodinâmicas! 
Propriedades notáveis do modelo planetário de Weber para o átomo: 
19 
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20 
Analogia matemática nos livros didáticosentre a segunda lei de 
Newton e a teoria de circuitos: 
C
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
LV
RI
C
Q
dt
dI
LV


2
2
Fkx
dt
dx
b
dt
xd
m
makxbvF


2
2
Pode-se mostrar que a equação da teoria de circuitos é a 
segunda lei de Newton aplicada aos elétrons de 
condução, desde que combinada com a força de Weber. 
A aceleração vem do termo LdI/dt. Mas o que acontece 
com a massa do elétron? 
Lei de Ohm a partir da 2ª lei de 
Newton nos livros didáticos: 
IRV 
1112
1
11
4
bvEqbv
r
qq
amF
j o
j
  
01 a
1
1
1
1 
Av
Aq
b
v
q
b
E 




quando 
2ª lei de Newton: 
21 
vem: 
11 bvEq 
Isto é: 
01 a
quando 
dt
dI
Aq
m
RIV
 1


mas 
H
Aq
m 16 
1
10
 


 Porém: H
d
L 6 0 10
2
ln
2




viria: 
ou: 
Ou seja, parece que não dá para deduzir a equação de 
circuitos da 2ª lei de Newton quando I varia no tempo. 
111 bvFamF W 
Segunda lei de Newton junto com a 
força de Weber: 
dt
dI
LRIV 
com 
 






j
j
W
c
rr
c
r
r
rqq
F
22
2
2
0
1 
2
1
ˆ
4


  1
1
1
1
a
q
mmv
q
b
E W

 
onde 
kgm 31 1 109

e 
mkgm
W
  20 10
L
Aq
mW 
1
111
2
10
11
2
ln
8
 
ama
d
dq
bvEq 







22 
deduzimos então 
ou 
dt
dI
LRIV 
111 bvFamF W 
L
dq
mW 4
2 
1
d
L
 2
ln
2
0



4
 2 0 dL


23 
com 
A auto-indutância de um circuito é deduzida na 
eletrodinâmica de Weber como sendo devida a 
uma massa inercial efetiva do elétron. Esta 
massa efetiva é muito maior do que a massa 
usual do elétron e surge de sua aceleração em 
relação à rede cristalina positiva do metal. 
A. K. T. Assis, Circuit theory in Weber 
electrodynamics, Eur. J. Phys., Vol. 18, p. 241 (1997). 
24 
0

 BvqEqF Lorentz
ama
c
q
a
R
qQ
F W
Weber  
2
0
3 12



De acordo com a eletrodinâmica de Weber, a carga teste 
deve se comportar como tendo uma massa inercial efetiva 
que depende das cargas ao redor. Ordem de grandeza: 
25 
Teste experimental da eletrodinâmica de Weber: Carga sendo 
acelerada no interior de uma casca eletrizada 
kgmMV W
31109 então 5,1 se 
26 
Possível experiência: 
0 em 

LorentzqQF
ama
R
qQ
F W
Weber
qQ


 12
0
 em 

Logo: 
m
k

makxF 
Ao cercar o sistema com a casca esférica eletrizada: 
Logo: 
m
kL
f 
Logo: 
W
W
f
mm
k


R
Q
vqBvqEqF Lorentz
 6
0

 



  




 

dt
d
rvra
R
qQ
FWeber


2
 12
0

27 
Se a casca esférica eletrizada 
estiver girando: 
28 
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Conclusão: 
 
É uma eletrodinâmica extremamente poderosa. 
 
Nos últimos anos tem havido um interesse 
renovado na eletrodinâmica de Weber por 
motivos teóricos e experimentais. 
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29