Princípios de Comunicações I

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Princípios de Comunicações I Princípios de Comunicações I 
 
Capítulo 2Capítulo 2 
 
Prof.: Jair A. Lima Silva 
UFES, 2012/2 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
Centro Tecnológico 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
 
 
 
 
 
 
 
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• 1822 – “ Theorie Analytique de la Chaleur “ 
• Grenoble - França 
• O Matemático e Físico Francês Jean-Baptiste Joseph-Fourier 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
• Modelagem da Evolução da Temperatura através de 
Séries Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
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• Fourier demonstrou que uma função periódica f(t) qualquer 
pode ser representada por uma série infinita de somas de 
funções senoidais e cossenoidais. 
 
• A 1ª parcela da soma possui frequência f0=1/T0 
(frequência fundamental), para To o periodo de repetição 
da função. 
 
• As outras parcelas são múltiplos inteiros desta frequência 
fundamental, ou seja, fn= n/T0 (frequências harmônicas), 
com n = 1,2,3,. 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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• Portanto, f(t) pode ser expandida na série infinita: 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
        0
1
0 0 ,2sin2cos
2
Tttfbtfa
a
tf
n
nnnn  


   
   
    esCoeficient 2sin2
 esCoeficient 2cos
2
CC componente médio valor 
2
2 , ,
1
2
2
 
0
2
2
 
0
2
2
 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0













T
T
nn
T
T
nn
T
T
nnn
dttftf
T
b
dttftf
T
a
dttf
T
a
wfπfnf
f
T


 
 
 
 
 
 
 
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• Porém, a expansão só é possível se as condições de 
Dirichlet forem satisfeitas: 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
  finitaser deve integral a 3
periodo um em idadesdescontinu de finito número um ter que tem 2
periodo um em mínimos e máximo de finito número um ter que tem 1








dttf
tf
tf
(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 
Matemático Alemão, 1805-1859) 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Condições de Simetria 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria - TPC 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
VII. Convolução 
VIII.Correlação Cruzada e Autocorrelação 
IX. Sinais e Espectros 
 
 
 
 
 
 
 
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• Exercício Exemplo: Encontre a equação da expansão 
em série Trigonométrica de Fourier da onda quadrada 
unipolar (trem de pulsos retangulares) mostrada na 
Figura abaixo. 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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 








22
 .......... 0
2
 .......... 
0Tt
T
T
tA
tx
s
s
• Exercício Exemplo (cont): Aplicado ao Padrão 
Repetitivo de Bits 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
1 0 0 1 0 0 1 
 
 
 
 
 
 
 
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Expandindo a função em uma 
série trigonométrica de Fourier 
escolhendo-se o eixo de simetria 
para função par teremos que: 
    



1
0 2cos
2 n
nn tfa
a
tx 
Onda Quadrada – Domínio do Tempo 
 








22
 .......... 0
2
 .......... 
0Tt
T
T
tA
tx
s
s






0
0
0
0
 ,
1
0
 
fnf
f
T
Tt
onde
n
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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 
   
 
   
 sn
s
n
sn
sns
n
sn
n
T
Tn
n
T
T
nn
s
T
T
Tf
T
TA
a
Tf
Tf
T
TA
f
Tf
T
A
a
f
tfA
T
dttftx
T
a
T
TA
dttx
T
a
s
s
















 
















sinc
2
sin2sin2
2
2sin2
2cos
2
22
0
00
2
20
2
20
0
2
20
0
0
0
0
0
Onda Quadrada – Domínio do Tempo 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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 sn
s
n
s
Tf
T
TA
a
T
TA
a





sinc
2
2
0
0
0
Onda Quadrada – Domínio do Tempo 
   



1 00
2cos)(sinc
n
nsn
ss tfTf
T
AT
T
AT
tx 
 
DC 
 
Coeficientes 
 
Harmonicas 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x 10
7
-72
-70
-68
-66
-64
-62
-60
-58
-56
-54
-52
Espectro de Potência
Frequência[Hz]
PS
D 
[d
B/
Hz
]
Espectro da onda Quadrada no Matlab (usando a função 
FFT_pot2) 
DC + Harmônicas 
Espectro Discreto 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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• Exercício Exemplo: Calcule as 6 primeiras raias da 
expansão da forma de onda quadrada anterior 
considerando que A = 0.5 V, T0=3xTs=1 ms. Escreva a 
equação da expansão para este caso. 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
1 0 0 1 0 0 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Exercício Exemplo (cont): 
I. Série Trigonométrica de Fourier 


n
nsen
a
T
AT
a
n
s
)3/(
333,0
3
12
0


)cos(
)3/(
2
)(
1
0 tn
n
nsena
tf
n












0
6
)2(
055,0
5
)3/5(
068,0
4
)3/4(
0
3
)(
137,0
2
)3/2(
275,0
)3/(
65
43
21















sen
a
sen
a
sen
a
sen
a
sen
a
sen
a
)5cos(055,0)4cos(068,0)2cos(137,0)cos(275,0166,0)( tttttf  
 
 
 
+. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Amplitude [volts] 
 0,2 0,40,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
0,6 
 
 
 
0,5 
 
 
 
0,4 
 
 
 
0,3 
 
 
 
0,2 
 
 
 
0,1 
 
 
 
0 
 
 
 
-0,1 
 
 
 
-0,2 
 
 
-0,3 
t [ms] 
Função em serie de Fourier com 
as seis primeiras harmônicas 
Função original 
f1=1kHZ 
f2=2kHZ 
f3=0 
f4=4kHZ 
f5=5kHZ 
f6=0 
Comp. DC 
a0=A/3=0,166 v 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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A 
Ts 
e(t) 
T=3Ts 
(a) 
envoltória 
senx/x 
f15 f9 
f6 
f3=fs 
f1 
-0,055 -0,068 
0,137 
0,275 
0,33 
E(f) 
f 
f12 
(b) 
No Padrão Repetitivo para T/TS=3 
A Função A Função SyncSync 
(a) no domínio tempo(a) no domínio tempo 
(b) no domínio frequência(b) no domínio frequência 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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 Todos os coeficientes, com índice n múltiplo inteiro de três, são nulos. 
 A primeira frequência harmônica nula do espectro corresponde à 
frequência f3=3kHz, e também à taxa de bits Rs = 1/Ts =3kbit/s. 
 Os coeficientes seguem uma envoltória definida por y = senx/x. 
O coeficiente a0/2 corresponde à componente DC (Direct Current) 
 
envoltória 
senx/x 
f15 f9 
f6 
f3=fs 
f1 
-0,055 -0,068 
0,137 
0,275 
0,33 
E(f) 
f 
f12 
A Função A Função SyncSync 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
No Padrão Repetitivo para T/TS=3 
 
 
 
 
 
 
 
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• Exercício: Encontre a expansão em série 
Trigonométrica de Fourier da onda triangular de 
amplitude A mostrada na Figura. 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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• Exercício (cont): A partir das equações de x(t),… 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 













24
 ; 
4
2
44
 ; 
4
42
 ; 
4
2
00
0
00
0
00
0
T
t
T
t
T
A
A
T
t
T
-t
T
A
T
t
T
-t
T
A
A
tx
15 Integrais ??? 
 
 
 
 
 
 
 
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Expandindo a função em uma série trigonométrica de Fourier 
escolhendo-se o eixo de simetria de forma a termos uma função 
ímpar e semi-simétrica: 
  t
T
A
tx
0
4

• Integral de 0 a T0/4 
• Somente Coeficientes ímpares 
• Somente termos em seno 
• Valor médio nulo 
• Exercício (cont): Considerando condições de Simetria,… 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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Onda Triangular 
 
  
  






4
0
02
0
12
4
0
0
00
12
0
0
0
122sin
32
122sin
48
4
T
k
T
k
dttfkt
T
A
b
dttfkt
T
A
T
b
t
T
A
tx


   duvuvdvu
Da propriedade: 
     
  0
0
0
122
122cos
122sin
fk
tfk
vtfkdv
dtdutu






• Exercício (cont): Considerando condições de Simetria,… 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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Onda Triangular 
  
 
  
 
 
    
  
 
    
     




































































4
0
002
0
2
0
12
4
0
0
0
0
0
0
02
0
12
4
0
0
0
4
00
0
2
0
12
0
0
0
0
122cos122
122
1
128
2
12cos
122cos
122
1
1
128
4
122cos
32
122
122cos
122
122cos32
T
k
T
k
T
T
k
dttfktfk
fkk
kT
b
dttfk
fk
T
k
T
T
k
T
T
A
b
dt
fk
tfk
fk
tfk
t
T
A
b










0 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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Onda Triangular 
 
    
     
  
  
 
 
 
 2212
2
0
22
0
0
2
0
4
0
2
0
0
2
0
12
4
0
002
0
2
0
12
12
2
12sin8
1
124
4
122sin
32
122
122sin32
122cos122
122
1
128
2
12cos
0
0











































 
k
kA
b
T
k
T
T
k
T
A
fk
tfk
T
A
b
dttfktfk
fkk
kT
b
k
T
k
T
k









0 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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Onda Triangular 
 
 
 
 22
1
2212 12
18
12
2
12sin8












k
A
k
kA
b
k
k 

        11
2
sincos
2
cossin
2
sin12
2
sin


























k
kkkk

Sabendo que: 
 
 
 
  







1
022
1
122sin
12
18
k
k
tfk
k
A
tx 
0 1 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
.la
b
te
l.e
le
.u
fe
s.
b
r 
Onda Triangular – Domínio do Tempo 
0 1 2 3 4 5 6
x 10
-9
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ondas Senoidais
tempo [s]
A
m
pl
itu
de
 [u
.a
]
 
 
 
  







1
022
1
122sin
12
18
k
k
tfk
k
A
tx 
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
.la
b
te
l.e
le
.u
fe
s.
b
r 
Onda Triangular – Domínio da Frequência 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 10
9
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
Espectro de Potência
Frequência[Hz]
PS
D 
[d
B/
Hz
]
0f
03 f
05 f 0
15 f
...
I. Série Trigonométrica de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
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w
w
w
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b
r 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
Índice 
 
 
 
 
 
 
 
 h
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p
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w
w
w
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b
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s.
b
r 
IIa. Série Harmônica de Fourier 
• A série Harmônica representa uma maneira mais compacta 
da expansão em sériede Fourier. 
 
• É preferencial na análise de sinais em transmissão de dados, 
já que caracteriza melhor as influências do canal sobre o sinal 
f(t) utilizado. 
 
• Assim, a partir da série trigonométrica e fazendo: 
 
a
b
θbaA
a
A
n
n
nnnn 







 arctan e , ,
2
220
0
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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w
w
w
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b
r 
IIa. Série Harmônica de Fourier 
• A série Harmônica de Fourier é descrita por: 
   



1
0 2cos
n
nnn tfAAtf 
• Cada harmônica tem frequência nf0, (n inteiro), amplitude An 
(não negativa) e fase n (em relação à origem arbitrada em t=0, 
-n+) , 
• A0 a componente CC (fase 0 se positivo e  se negativo) 
• A representação da série Harmônica de Fourier no domínio da 
frequência denomina-se Espectro 
• An – Espectro de Amplitude 
• n – Espectro de Fase 
• Espectro de sinais Periódicos é um Espectro Discreto 
 
 
 
 
 
 
 
 h
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p
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w
w
w
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b
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b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• Da equação de Euler: 
   wtjwte jwt sincos 
    
2
sin e 
2
cos
j
ee
wt
ee
wt
jwtjwtjwtjwt  



• Substituindo estas equações na expressão Canônica da 
expansão em série de Fourier,… 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
.la
b
te
l.e
le
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fe
s.
b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• e lembrando que 
• Com , têm-se que 
 ,...3,2,1 para ,2 nfnw n
     










1
0
222
n
jnwtjnwtnjnwtjnwtn ee
j
b
ee
aa
tx
jj 1
     










1
0
2
1
2
1
2
n
jnwt
nn
jnwt
nn ejbaejba
a
tx
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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w
w
w
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b
te
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b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• Definindo-se: 
• Considerando-se que Cn e C-n são os coeficientes das 
componentes de frequências positivas e negativas 
respectivamente, obtém-se que, 
   nnnnnn jbaCjbaC
a
C  
2
1
 e ,
2
1
 ,
2
0
0
   




1
0
n
jnwt
n
jnwt
n eCeCCtx
• com as exponenciais representado respectivamente, as 
harmônicas de frequências positivas e negativas. 
 
 
 
 
 
 
 
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p
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/
w
w
w
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b
te
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b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• A troca de sinais dos limites do segundo somatório, 
provoca mudança de sinal no argumento do somatório, 
tal que: 
  





11
0
n
jnwt
n
n
jnwt
n eCeCCtx
• Se incluirmos o valor DC e se estendermos os limites da 
soma de -  a +,... 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
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b
te
l.e
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b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• Se incluirmos o valor DC e se estendermos os limites da 
soma de -  a +,... 
  



n
jnwt
n eCtx
   















n
n
nnnnnnn
T
T-
jnwt
n
T-
T-
A
B
tgBAC jBAC
dtetx
T
Cdttx
T
C
122
2
20
2
20
0
 e ,
 ,
1
 ,
1 0
0
0
0

Série Exponencial Série Exponencial 
Complexa de Fourier Complexa de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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w
w
w
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b
r 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
• Considerações,... 
  



n
jnwt
n eCtx
 O espectro gerado terá componentes nas frequências 
positivas e frequências negativas (Espectro Simétrico) 
 
 O eixo de simetria será a frequência zero (DC) 
Série Exponencial 
Complexa de Fourier 
ou 
Série de Fourier de Tempo 
Contínuo 
ou 
Série de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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IIb. Série Exponencial de Fourier 
    n
SF
n
jnwt
n CtxeCtx  


 ,
 O Teorema de Parseval se aplica, ou seja, a potência 
média é a mesma em ambos os domínios: 
  1
0
22
0
0  



T n
nCdttx
T
C
• Considerações,... 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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/
w
w
w
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b
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b
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real 
(freqüência) 
|v| |v| 
A 
A/2 
A/2 
real 
(freqüência) 
Imaginário Imaginário t 
f 
e(t)=Acosωt 
(c) Doisfasores na expansão complexa (a) Domínio tempo de e(t) (b) Fasor único (expansão trigonométrica) 
Representação Trignométrica ou real (um fasor) 
Representação Complexa (dois fasores) 
IIb. Série Exponencial de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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a0= 
f15 f9 
f6 
f3=fs 
f1 
-0,055 -0,068 
0,137 
0,275 
0,33 
an 
f 
f12 
A=0,5v 
Ts 
f(t) 
T=3Ts 
(a) Função f(t) com T=3Ts 
(b) Coeficientes da SF trigonométrica 
t 
c0= 0,166 
-f 
Cn 
-0,027 -0,034 -0,027 -0,034 
0,068 0,068 
0,137 0,137 
f 
(c ) Coeficientes da SF complexa 
0,027 
0,034 0,034 
0,027 
|c0|= 0,166 
-f 
|Cn| 
0,068 0,068 
0,137 0,137 
f 
(d) Coeficientes da SF complexa em valor absoluto 
 
No ExemploNo Exemplo 
Série Exponencial Série Exponencial 
Complexa de Fourier Complexa de Fourier 
Série Trigonométrica Série Trigonométrica 
de Fourier de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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b
r 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
Índice 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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/
w
w
w
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b
te
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b
r 
• A série de Fourier se aplica a sinais Periódicos que são 
sinais de potencia. 
 
• A necessidade de analisarmos tanto sinais de potência 
quanto sinais de energia requer a adoção de uma ferramenta 
mais poderosa. 
IV. Transformada de Fourier 
 Esta ferramenta é a Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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s.
b
r • Da série de Fourier de um sinal Periódico de 
frequência fundamental 
• Substituindo Cn em x(t) teremos: 
IV. Transformada de Fourier 
a. Definição a. Definição 
 
T
fΔf
0
0
1
    1 ,
2
20
0
0





T
T-
jnwt
n
n
jnwt
n dtetx
T
CeCtx
    1
2
20
0
0
 



 






n
jnwt
T
T-
jnw edex
T
tx  
 
 
 
 
 
 
 
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b
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b
r • Sabendo que 
• Se aproximarmos T0 para infinito, o sinal periódico 
transforma-se em um sinal aperiódico. 
 
• f transforma-se no diferencial df e nf uma variável 
contínua em f. 
IV. Transformada de Fourier 
a. Definição a. Definição 
ffw   22 0
    2
2
2
20
0
 


 






n
tnjT
T-
nj
f
ff edextx
 
 
 
 
 
 
 
 
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b
r • Logo, 
IV. Transformada de Fourier 
a. Definição a. Definição 
   
    
 







 























dfedextx
edextx
ftjftj
n
tnjT
T-
nj
f
T
ff




22
22
2
2
 lim
0
00
 
  txF
 
 
 
 
 
 
 
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b
r • Relação Biunívoca 
  
  









dfefXfXtx
dtetxtxfX
ftj
ftj


21
2
)()()(
)()]([
F
F
IV. Transformada de Fourier 
a. Definição a. Definição 
Transformada 
de Fourier 
Transformada 
Inversa 
de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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tt
p
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/
w
w
w
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te
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b
r 
• Considerações,… 
IV. Transformada de Fourier 
 O sinal original está no domínio do tempo (argumento tempo) 
 
 A representação da transformada de Fourier está no domínio da 
frequência (argumento frequência) 
 
 A transformada de Fourier é chamada de equação de análise 
de x(t) já que extrai as componentes de X(f) em cada valor de f 
 
 A transformada inversa é chamada de equação de síntese já 
que recombinas as componentes de X(f) para obter x(t). 
 
 Se a unidade de x(t) for Volts, a de X(f) é Volts/Hz 
 
 
 
 
 
 
 
 h
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b
r 
• Exercícios 
1. Encontre a expressão da transformada de Fourier 
das funções: 
 
 
 
2. Faça gráficos ilustrativos das formas de onda no 
tempo e da característica de amplitude. 
IV. Transformada de Fourier 
     

















0,0
0,
 e 2
0
1
t
te
etutx
T
t
recttx
at
at
 
 
 
 
 
 
 
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p
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w
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b
te
l.e
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fe
s.
b
r 
 
ATs 
an 
an 
f 
4/TS 2/TS 
3/TS 1/TS 
2A/7 
4/TS 2/TS 
3/TS 1/TS 
A/5 
f 
an 
A 
f 
2/TS 
3/TS 
4/TS 
1/TS 
Taxa de bit 
RS 
t 
A 
Ts 
f(t) 
T 
T/Ts=2 
t 
f(t) 
A 
5T 10T 
TS 
T 
T/Ts=10 
4/TS 2/TS 
3/TS 1/TS 
F(f) 
f 
Função espectral contínua 
(Integral de Fourier) 
2A/3 
an 
f 
4/TS 2/TS 
3/TS 
4/TS 
1/TS t 
Ts 
A 
f(t) 
T 
T/Ts=3 
an 
f 
4/TS 2/TS 
3/TS 
4/TS 
1/TS 
A/2 
T/Ts=4 
t 
Ts 
A 
f(t) 
T 
T/Ts=7 
A 
f(t) 
t 
Ts 
T 
T → ∞ 
f(t) 
A 
t 
T/Ts=→∞ 
TS 
(f) 
(e) 
(d) 
(c) 
(b) 
(a) 
a. Definição Gráfica a. Definição Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
.la
b
te
l.e
le
.u
fe
s.
b
r 
a. Definição Gráfica a. Definição Gráfica –– MatlabMatlab (TPC)(TPC) 
IV. Transformada de Fourier 
bTT  20 bTT 100
bTT 10000
 
   ftTfX
T
t
recttx
sinc0
0










 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
.la
b
te
l.e
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.u
fe
s.
b
r 
 
• A Transformada de Fourier é uma função complexa da 
frequência: 
 
 
• O módulo representa o espectro de amplitude do sinal 
• A fase representa o espectro de fase do sinal 
• Tais Espectros são Contínuos para sinais não-Periódicos. 
 
  )()()2sin()()2cos()( fjefAdtfttxjdtfttxfX   




IV. Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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w
w
w
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b
te
l.e
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b
r 
 
• Da equação abaixo conclui-se que: 
 
 
 
• O complexo conjugado de X( f ) é X*( f ) = X(-f ) 
• O módulo A( f ) é uma função par da frequência e a fase 
( f ) é uma função ímpar da frequência 
  )()()2sin()()2cos()( fjefAdtfttxjdtfttxfX   




IV. Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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/
w
w
w
.la
b
te
l.e
le
.u
fe
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b
r 
• Conclui-se também que: 
• Para x(t) uma função par, a transformada é uma função 
real 
 
• Neste caso, o espectro de fase pode ser: 
• 0 rad se X( f ) for real positivo 
•  rad se X( f ) for real negativo e f >0 
• -  rad se X( f ) for real negativo e f <0 
  


0
)2cos()(2 dtfttxfX 
IV. Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
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b
r 
• Conclui-se também que: 
• Para x(t) uma função ímpar, a transformada é uma 
função imaginária da frequência. 
 
 
• Neste caso, o espectro de fase só pode ser: 
• /2 rad se X( f ) for imaginário positivo e f >0 
• - /2 rad se X( f ) for imaginário negativo e f >0 
• - /2 rad se X( f ) for imaginário positivo e f <0 
• /2 rad se X( f ) for imaginário negativo e f <0 
  


0
)2sin()(2 dtfttxjfX 
IV. Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
:/
/
w
w
w
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b
te
l.e
le
.u
fe
s.
b
r 
• Exemplo: Considere um pulso retangular com 
tensão A = 6V e largura Ts = 10s. Considere 
esta função básica das comunicações digitais 
com sendo uma função par do tempo. 
a) Desenhe a forma de onda no tempo 
b) Determine a transformada de Fourier do sinal 
c) Esboce os espectros de amplitude e fase do resultado 
obtido em b). 
IV. Transformada de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 h
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w
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IV. Transformada de Fourier 
b. Propriedadesb. Propriedades 
 
P
ro
v
e 
 
 
 
 
 
 
 
 h
tt
p
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w
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IV. Transformada de Fourier 
c. Pares de Transformada c. Pares de Transformada -- TPCTPC 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
 
 
 
 
 
 
 
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V. Função Impulso 
• Também chamada de Função Delta de Dirac, o 
Impulso Unitário é definida pelas relações: 
  
 




-
1
 e
0 para ,0
dxx
xx


 
 
 
 
 
 
 
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Trem de Pulsos 
   



n
nttTp V. Função Impulso 
• O Trem de Pulsos (Tp) mostrado na figura abaixo é 
dado pela relação: 
 
 
 
 
 
 
 
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V. Função Impulso 
      












nn
nfntFtTpF 
Transformada de Fourier da Função Delta de Dirac 
 
    real constante uma para , AtAtx 
     AeAdtetAtAF ftj  



02
-
 
 
 
 
 
 
 
 
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a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
Sinal CCSinal CC 
 
    ,- para  tAtx
V. Função Impulso 
      fAAFAtAF   :Dualidade da epropriedad Da
 
 
 
 
 
 
 
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Exponencial Complexa de Frequência Exponencial Complexa de Frequência ff00 
 
 
Espectro não simétrico, discreto, com componente 
espectral somente em f =+f0 e nulo para f  f0 
    ,- para 02  teAtx tfj 
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
   02 
 :Frequência em toDeslocamen do epropriedad Da
0 ffAeAF
tfj  
 
 
 
 
 
 
 
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Sinal Senoidal de Frequência f0 
 
 
 
 
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
      ,- para ,2cos 0  ttfAtx 
  
      000
22
0
22
 2cos
22
 2cos
 :eLinearidad da ePropriedad Euler de Teorema Do
00
ffe
A
ffe
A
tfATF
ee
A
ee
A
TFtfATF
jj
tfjjtfjj















 
 
 
 
 
 
 
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Sinal Senoidal de Frequência f0 
 
 
 
 
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
 
 
 Espectro simétrico (par para amplitude e ímpar para fase), 
discreto, com componentes espectrais em f =+f0 e f =-f0 
   
     00
0
22
2cos
ffe
A
ffe
A
fX
tfAtx
jj 

 


 
 
 
 
 
 
 
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Teorema da ModulaçãoTeorema da Modulação 
 
 
 
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
     
      
       
     00
00
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2cos
2cos
ffXffXfZ
fffffXfZ
tfFfXfZ
tftxtz













 
 
 
 
 
 
 
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Teorema da Modulação Teorema da Modulação -- ExemploExemplo 
 
 
 
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
   tf
T
t
recttz 02cos 






     00
2
1
2
1
ffXffXfZ 
Da Tabela de Fourier 
       TffTTffTfZ 00 sinc
2
sinc
2

 
 
 
 
 
 
 
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Teorema da Modulação Teorema da Modulação -- ExemploExemplo 
 
 
 
     ttrecttz 200cos
     100sinc
2
1
100sinc
2
1
 fffZ
a. Aplicações da Função Impulsoa. Aplicações da Função Impulso 
V. Função Impulso 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
I. Séries Trigonométrica de Fourier 
a. Condições de Simetria 
II. Séries Harmônica e Exponencial de Fourier 
III. Transformada de Fourier 
a. Definição 
b. Propriedades 
IV. Densidade Espectral de Potência 
V. Função Impulso e suas Aplicações 
VI. Transformada de Fourier de Sinais Periódicos 
 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
• Sabemos que x(t) periódico com período T0 pode ser 
representada pela Série Exponencial de Fourier: 
 
 
0
0
2
2
2
0
0
2
1
 para 
1
inteiro) (com para 
0
0
f
Tetx
T
A
nfnfeAtx
T
T
tfj
n
n
n
tfj
n
n
n











 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
• Aplicando a propriedade da linearidade e sabendo da 
transformada de Fourier da exponencial complexa: 
      F 




 
n
n
n
tfj
n nffAeAfX
n
0
2 
 0
2 0 ffAeA
tfj   
Ou seja, a transformada de Fourier de sinais periódicos 
resulta em sinais com espectros discretos constituídos 
de funções delta de Dirac nas frequências f=n.f0. 
 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
• Considerando a função geradora não periódica g(t) de forma a 
assumir x(t) como uma soma de cópias de g(t) deslocadas para 
cada um dos instantes t=mt0 (m inteiro de – a +): 
     



n
nffnfG
T
fX 00
0
1 
 
 
   
        



















m
m -
n
tfj
n
ftj
 fG
T
dtetg
T
AmTtgtx
etgfG
T
t
T
ttx
tg
n
0
2
0
0
2
0
0
11
 e 
 
2
 0
2
 


 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
Transformada Inversa 
   
 
    2cos 
1
00
2
0
02 0











n
nn
n
tnfjftj
tnfEEtx
e
T
nfG
efXtx


   
0
0
0
0
2
 e 
0
T
nfG
eE
T
G
E n
j
n 

Permite obter a amplitude (função par) e a fase (função 
ímpar) das componentes senoidais discretas do sinal 
periódico a partir da TF da função geradora. 
 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
• Exemplo de Aplicação: A Função de Amostragem Ideal 
    
1
 para 
1
 
T
fnff
T
fX
a
a
n
a
a
a  



 



m
aTa mTt
 Sequência infinita de funções delta de Dirac 
 A função geradora é a 
própria função delta de Dirac 
 A transformada de Fourier da função geradora é 
igual a 1 para qualquer frequência de - a + . 
 
 
 
 
 
 
 
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VI. Transformada de Fourier 
de Sinais Periódicos 
• Exemplo de Aplicação: A Função de Amostragem Ideal 
   



n
a
a
a nff
T
fX 1 



m
aTa mTt