2-2-Serie-de-Fourier

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Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Teoria das Comunicações
2.2 Série de Fourier
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Sinais e Vetores
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Vetores
• Componente de um vetor g em x
• Produto interno ou escalar
cos, xgxgxg 
x
g
cx

• Comprimento (amplitude) do vetor
xxx 
• 2
x
xg 
c
é o vetor cx , tal que c minimiza o vetor erro e = g - cx
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Vetores Ortogonais
• Se vetores são perpendiculares, então
• Vetores são ortogonais se
0xg
  02/cos  xgxg
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Sinais e Vetores 
• Conceitos de vetores podem ser aplicados também a sinais
• Componente de g(t) em x(t) no intervalo [t1, t2] é o sinal cx(t), tal que c
minimiza a energia da função erro e(t) = g(t) – cx(t) neste intervalo
• Para vetores o produto interno é:
2
xxg c
• O valor de c é: dttxtg
E
c
t
t
x
)()(
1 2
1

• Podemos definir o produto interno entre x(t) e g(t) no intervalo [t1, t2] :
dttxtgxg
t
t
)()(,
2
1

Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Sinais e Vetores
• xxEx ,
• para funções reais g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se 
 
2
1
0)()(,
t
t
dttgtxgx
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Sinais Complexos
• Para funções complexas g(t) e x(t) 
• g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se 
0,,  xggx
*
,)(*)(,
)(*)(,
2
1
2
1
gxdttxtgxg
dttgtxgx
t
t
t
t




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Energia da Soma de Sinais Ortogonais
• se dois sinais x(t) e y(t) são ortogonais no intervalo [t1,t2],
e se z(t) =x(t) + y(t) 
• Então 
yxz EEE 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Correlação
• Coeficiente de correlação indica a similaridade entre dois sinais
• Para vetores:
xg
xg 
 cosnc
• Para sinais:



 dttxtg
EE
c
xg
n )(*)(
1
11  nc
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Função de correlação
• Correlação cruzada



 dttxtggx )()(*)( 
• Autocorrelação



 dttgtgg )()(*)( 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Representação de Sinais por 
Conjunto de Sinais Ortogonais
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Espaço Vetorial Ortogonal
• Ex: espaço Cartesiano tridimensional
• x, y e z são ortogonais
• g é um vetor qualquer
x
e1
g = ax + e1
ax
y
ax+by
g = ax + by + e2 , |e2|  |e1| 
e2
by
z
cz
g = ax + by + cz
g
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Espaço Vetorial Ortogonal
• x, y e z representam um conjunto completo de vetores ortogonais no 
espaço tridimensional
• Neste espaço não há nenhum vetor ortogonal a x, y e z 
• Todo vetor neste espaço pode ser representado sem erro como a 
soma das projeções deste vetor em x, y e z 
• Esta escolha de vetores base não é única
• Se |x|=|y|=|z|=1 este é um conjunto ortonormal
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Espaço Ortogonal de Sinais
• Temos um conjunto de sinais ortogonais em [t1,t2]
• x1(t), x2(t), ….. xN(t)
• Se , então temos um conjunto ortonormal







2
1 ,
,0
)()( *
t
t
n
mn
nmE
nm
dttxtx
• Um sinal g(t) pode ser representado como
n
n
t
t
n
n
n
NN
xg
E
dttxtg
E
c
tetxctxctxctg
,
1
)()(
1
 com
)()()()()(
2
1
*
2211




• Se Ee = 0 para todos sinais g(t), o conjunto x1(t), x2(t), ….. xN(t)
é um conjunto completo ou conjunto de funções base
nEn  ,1
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Espaço Ortogonal de Sinais
• Série generalizada de Fourier:
• {xn(t)} é um conjunto de sinais ou funções base ortogonais





1
21
2211
)(
)()()()(
n
nn
nn
ttttxc
txctxctxctg 
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Teorema de Parseval





1
21
2211
)(
)()()()(
n
nn
nn
ttttxc
txctxctxctg 



n
nn
nng
Ec
EcEcEcE
2
2
2
2
21
2
1 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Série de Fourier
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Série Trigonométrica de Fourier
• Para qualquer intervalo [t1,t1+T0] temos o conjunto trigonométrico de 
sinais
• Este é um conjunto completo e ortogonal neste intervalo
 
0
0
000000
1
 onde
,2sin,2cos,,4sin,4cos,2sin,2cos,1
T
f
tnftnftftftftf

 
Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Série Trigonométrica de Fourier
• Qualquer sinal [t1,t1+T0] no intervalo pode ser representado por uma 
série trigonométrica de Fourier
 






1
011
1
000
020201010
)2sin()2cos(
)4sin()4cos()2sin()2cos()(
n n
nn Tttttnfbtnfaa
tfbtfatfbtfaatg

 
• onde









01
1
01
1
01
1
)2sin()(
2
)2cos()(
2
)(
1
0
0
0
0
0
0
Tt
t
n
Tt
t
n
Tt
t
dttnftg
T
b
dttnftg
T
a
dttg
T
a


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Série Trigonométrica de Fourier 
Compacta
• Podemos combinar os termos seno e cosseno de mesma freqüência 
como:












n
n
n
nnn
nnnn
a
b
baC
tnfCtnfbtnfa
1
22
000
tan
onde
)2cos()2sin()2cos(


• A série fica:
011
1
00 ,)2cos()( TttttnfCCtg
n
nn  



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Periodicidade da Série de Fourier
• considerando
 


ttnfCCt
n
nn ,)2cos()(
1
00 
• Temos que 
)()( 0 tTt  
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Série Trigonométrica de Fourier
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
)(tg
2/1)( tg
 ttg cos
2
2
1
)(


)3cos(
3
2
)cos(
2
2
1
)( tttg


)5cos(
5
2
)3cos(
3
2
)cos(
2
2
1
)( ttttg


Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto
Espectro de Fourier
t
f1
T0
-T0
2
T0
3
T0
5
T0
7
T0
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Condições de Dirichlet
• Condições para existência da série de Fourier
•
• g(t) tem um número finito de máximos e mínimos e um número 
finito de descontinuidades em [t1,t1+T0]

2
1
)(
t
t
dttg
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Série Exponencial de Fourier
• O conjunto de funções
é um conjunto completo de funções ortogonais em [t1,t1+T0]
 
0
0
4422 1
,,,,,,1 0000
T
feeee
tfjtfjtfjtfj

 
• Toda função g(t) pode ser representada como







0
0
0
2
0
2
)(
1
onde
)(
T
tnfj
n
n
tnfj
n
dtetg
T
D
eDtg


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Série Exponencial de Fourier
• Toda função g(t) pode ser representada como
 
n
n
j
nn
j
nn
n
tnfj
n
tnfj
n
eCD
eCD
CD
eDeDDtg












 
2
1
2
1
onde
)(
00
1
22
0
00
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Teorema de Parseval






1
22
0
1
00
2
1
)2cos()(
n
ng
n
nn CCPtnfCCtg 
2
0
2
0
0)( 






n
ng
n
n
tnfj
n DPeDDtg
