centroide e centro de massa

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CCEENNTTRRÓÓIIDDEESS EE MMOOMMEENNTTOO DDEE IINNÉÉRRCCIIAA 
Centróide 
O centróide de área é definido como sendo o ponto correspondente ao centro de gravidade de 
uma placa de espessura infinitesimal. 
 
De uma maneira bem simples: centróide é o ponto pelo qual, se suspendermos o corpo, ele 
permanece na horizontal. 
 
Aplicação 
No dimensionamento de: polias, correias, engrenagens, parafusos, eixos, vigas, etc. 
 
Centróides de superfícies planas simples 
 
 
 
Para algumas figuras, é óbvia a posição do centróide; assim, se a figura for simétrica, como o 
círculo ou o quadrado, por exemplo, o centróide coincide com o centro geométrico da figura. 
 
Centróides de Figuras Compostas 
A maioria das figuras utilizadas em engenharia são compostas de combinações das formas 
geométricas simples, conforme discutidas no item anterior. A localização dos centróides de 
elementos estruturais é dada em manuais. 
 
Importância dos Centróides 
Na Resistência dos Materiais, vê-se a enorme importância da localização do centróide de uma 
área como, por exemplo, sabe-se que para produzir uma distribuição uniforme de tensões, as 
cargas devem ser aplicadas de tal modo que a linha de ação de sua resultante coincida com o 
centróide da seção reta do componente. A posição do centróide de uma área é também 
importante para determinar a localização do eixo neutro (linha ao longo da qual as tensões são 
nulas) passa através do centróide da seção reta da viga. 
 
Centróide das Figuras Planas 
Figuras X Y 
1- Semicírculo 
 
0 
π3
4r
 
2- Retângulo 
 
b / 2 h / 2 
3- Triângulo qualquer 
 
b / 3 h / 3 
 
 
 
 
 
Figuras X Y 
4- Quadrado 
 
a / 2 a / 2 
5- Círculo 
 
0 0 
6- Quadrante 
 
π3
4r
 π3
4r
 
 
 
 
 
Momento de Inércia 
O termo Momento de Inércia é deduzido da seguinte forma: uma força é relacionada à massa 
(inércia) de um corpo e sua aceleração através da equação F = m x a. 
 
A expressão ∫ρ= Ad I 2 é conhecida como momento de inércia. 
 
em que 
 
ρ é a distância perpendicular desde dm até seu eixo de inércia. 
dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação 
 
A definição matemática do momento de inércia, I, indica que uma área é dividida em pequenas 
partes, tais como dm, e cada área é multiplicada pelo quadrado de seu braço de momento em 
relação ao eixo de referência. 
 
 
 
 
Definição 
É o número que mede a facilidade de um corpo entrar em movimento de rotação em torno de 
um referencial. Quando maior o momento de inércia, maior é a dificuldade do corpo entrar em 
rotação, e ele depende de: massa do corpo, distribuição da massa e do referencial. 
 
Tipos 
Momento de Inércia Polar 
- O referencial é um ponto; 
- Aplicação: dimensionamento de órgãos de máquinas submetidos a esforços de torção. 
 
Momento de Inércia Axial 
- O referencial é um eixo; 
- Aplicação: dimensionamento quanto a: 
 
* Flexão; 
* Flambagem; 
* Torção Composta. 
 
Momento de Inércia Planar 
- O referencial é um plano; 
- Aplicação: não tem aplicação na engenharia. 
 
Unidades e Sinais 
Observando a integral ∫ρ Ad 2 , nota-se que é um termo de quarta dimensão, porque ela é 
composta de uma distância ao quadrado, multiplicada por uma área. Uma unidade dimensional 
conveniente de I é o centímetro à quarta (cm4), ou metro à quarta (m4), ou ainda, o milímetro à 
quarta (mm4). 
 
O sinal de I é, obviamente, independente do sinal do braço de momento L, já que se L for 
negativo, elevando-o ao quadrado se toma um número positivo e dependente inteiramente do 
sinal da área. É considerada uma área positiva aquela que aumenta a área de uma figura, e 
negativa, aquela que reduz. Para uma área total, o momento de inércia deve ser sempre 
positivo. 
 
Momento de Inércia das Figuras Planas 
Figuras Ix Iy IX (IxCG) IY (IyCG) 
1- Quadrado 
 
3
4L
 
3
4L
 
12
4L
 
12
4L
 
2- Retângulo 
 
3
3bh
 
3
3hb
 
12
3bh
 
12
3hb
 
3- Triângulo qualquer 
 
12
3bh
 
12
3hb
 
36
3bh
 
36
3hb
 
 
Figuras Ix Iy IX (IxCG) IY (IyCG) 
4- Círculo 
 
4
4R5π
 
4
4R5π
 
4
4Rπ
 
4
4Rπ
 
5- Semicírculo 
 
8
4Rπ
 
4
72
9
xR




 π
 
4
2
72
649
xR





π
−π
 
4
2
72
649
xR





π
−π
 
6- Quadrante 
16
4Rπ
 
16
4Rπ
 
4
2
144
649
xR





π
−π
 
4
2
144
649
xR





π
−π
 
 
Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5 
massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. 
Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa 
através de 
• Um extremo 
• Da segunda massa 
• Do centro de massa 
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que 
passa pela primeira partícula é 
IA=1·0
2
+1·0.25
2
+1·0.5
2
+1·0.75
2
+1·1
2
=1.875 kgm
2
 
 
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que 
passa pela segunda partícula é 
IB=1·0.25
2
+1·0
2
+1·0.25
2
+1·0.5
2
+1·0.75
2
=0.9375 kgm
2
 
 
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que 
passa pela terceira partícula (centro de massas) é 
IC=1·0.5
2
+1·0.25
2
+1·0
2
+1·0.25
2
+1·0.5
2
=0.625 kgm
2
 
 
 
Estática 
Definição 
É a parte da mecânica que estuda os corpos em equilíbrio, sem levar em consideração a 
deformação dos mesmos. 
 
• Equilíbrio: é quando um corpo está em repouso, ou, o mesmo estiver em M.R.U. 
 
• Condições de equilíbrio: para que um sistema de forças permaneça em equilíbrio em um 
plano, é necessário que: 
 
a) Somatória de forças seja igual a zero e também a somatória dos momentos igual a zero. 
 
Equações fundamentais: 
 
 ΣFx = 0 (forças horizontais) 
 
 ΣFy = 0 (forças verticais) 
 
 ΣM = 0 (momento) 
 
b) Se o sistema é constituído de 3 forças em equilíbrio em um plano, obrigatoriamente 
passam pelo mesmo ponto. 
 
c) As forças devem formar um polígono fechado (somatória de forças igual a zero). 
Princípios 
a) Princípio do Equilíbrio 
 
Duas forças somente estarão em equilíbrio se forem colineares, de mesma intensidade e 
sentidos opostos. 
 
F = P 
 
 
Logo, o veículo se encontra em equilíbrio. 
 
Sendo: 
 
Colineares ⇒ forças que tem a mesma linha de ação. 
Intensidade ⇒ mesmo módulo (valor numérico) 
 
b) Princípio da Ação e Reação (3ª lei de Newton) 
 
“A toda ação, corresponde a uma reação de mesma intensidade, direção e sentido contrário”. 
 
FIG. 02 
Obs.: 
 1 – A reação no cabo AC, atua segundo a linha de ação do próprio. 
2 – Toda reação entre uma superfície lisa (plana) e uma superfície cilíndrica, é sempre 
uma reta perpendicular ao plano, passando pelo centro do cilindro. 
3 – A estática só trabalha com as respectivas reações das forças externas atuantes. 
 
c) Princípio de Forças Concorrentes Num Plano 
 
Três ou mais forças, não paralelas, estarão em equilíbrio, se e somente se, passarem por um 
ponto comum e seus vetores formarem um polígono fechado. 
 
Ex.: Pela FIG. 02, teremos: 
 
• Diagrama do corpo livre – é um diagrama separado de todas as forças que atuam sobre 
um ponto material. 
 
 
 
II) Polígono de Forças 
 
a) Escolha uma das forças (ação ou reação) para começar a traçar o polígono. 
 
b) À extremidade da 1ª força escolhida, acrescenta-se a 2ª escolhida. 
 
 
c) À extremidade desta, acrescente a 3ª força escolhida. 
 
 
d) Acrescente a próxima forçaà extremidade da última traçada. 
 
Importante: Para traçar o polígono, observe que foi mantido sempre a direção e sentido das 
forças que atuavam no problema proposto, tendo assim o polígono de forças. 
 
Momento 
Fisicamente, o momento de uma força em relação a um ponto, é definido como sendo o 
produto da força pela distância, sendo esta distância perpendicular ao esforço aplicado ao 
ponto de análise. 
 
O Ponto de Análise é também conhecido como “Centro de Momento” e a distância como 
“Braço da Alavanca”. 
 
O braço de alavanca a menor distancia entre a reta de direção da força e o ponto de 
rotação. 
 
Na prática, podemos dizer que o momento é uma tendência, de uma determinada força 
aplicada em um ponto de um sólido, de fazer girar esse sólido em torno de um ponto fixo sobre 
o qual atua. 
 
Quando se lida com várias forças concorrentes em um plano, umas tendem a produzir rotação 
num sentido em torno do centro de momentos, ao passo que outras o fazem em sentido 
contrário. Mediante este fato, convencionou-se adotar POSITIVOS, os momentos das forças 
capazes de produzir rotação, em torno do centro de momento, no sentido HORÁRIO e 
NEGATIVOS as que produzirem rotação no sentido ANTI-HORÁRIO. 
 
A unidade do momento é o produto da unidade de força pela unidade de comprimento. Ex.: kgf 
x m; kgf x mm; N x m, etc. 
 
Obs.: O momento de uma força, só será nulo, se o braço de alavanca for nulo, isto é, somente 
quando o centro de momento estiver em cima do braço da alavanca. 
 
 
MA = F x d 
 
Onde: 
 
MA = Momento em relação ao ponto “A” 
F = Força de ação 
d = Distância entre a linha de ação da força e o ponto em estudo (formando ângulo de 90º) 
 
Convenção de sinais: 
 M + Sentido horário 
 M - Sentido anti-horário 
Obs.: Não haverá momento se a linha de ação da força passar pelo ponto em estudo. 
 M0 = zero 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
Em um parquinho infantil, existe uma gangorra. Nela, dois meninos estão sentados de forma 
que ela esteja em equilíbrio. Sabendo que o menino A tem massa 30 kg e esta a 2 m do centro 
da gangorra, e que o menino B dista 3 m do centro da gangorra, calcule a massa do menino B. 
Use g=10m/s2. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
Com o intuito de expor a réplica de um biplano em posição de mergulho, dois cabos de aço, um 
preso na parede e outro preso no teto da sala de um museu, sustentam o modelo da aeronave, 
que tem massa 6 kg. 
 
 
 
Admitir que os cabos são inextensíveis, de massa desprezível e que suas ações ocorrem sobre 
o centro de massa do biplano; que o avião é suficientemente pequeno para ser considerado um 
ponto material; que o avião está em repouso em relação ao interior da sala. 
Quais são as tensões, medidas em Newtons, sobre o cabo horizontal e o cabo transversal? 
 
Resposta