Lista 6

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6ª Lista de Exercícios - Cálculo III 
 
 
 
 
 
9) Determine �̅� = (�̅�, 𝑦) como no teorema do valor médio, sendo 
dados:
 
10) Determine todas as funções 𝑓: ℝ2 → ℝ tais que: 
 
 
11) Determine uma função 𝑓: ℝ2 → ℝ cujo gráfico passa pelo ponto 
(0,0,2) e é tal que: 
 
 
12) Existe função 𝑓: ℝ2 → ℝ tal que 
 
13) Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em 
torno do ponto (𝑥0, 𝑦0) dado: 
 
14) Sejam 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥+5𝑦 e 𝑃1(𝑥, 𝑦) o polinômio de Taylor de ordem 
1 em torno de (0,0). 
 
𝑒𝑥+5𝑦 ≅ 𝑃1(𝑥, 𝑦) 
para 𝑥 = 0,01 e 𝑦 = 0,01. 
15) Estude com relação a máximos e mínimos locais as seguintes 
funções: 
 
16) Determine o ponto do plano 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 que se encontra mais 
próximo da origem. 
17) Considere as retas 𝑟 e 𝑠 de equações: 
 
18) Determinada empresa produz dois produtos, cujas quantidades 
são indicadas por 𝑥 e 𝑦. Tais produtos são oferecidos ao mercado 
consumidor a preços unitários 𝑝1 e 𝑝2, respectivamente, que 
dependem de 𝑥 e 𝑦 conforme as equações: 𝑝1 = 120 − 2𝑥 e 𝑝2 =
200 − 𝑦. O custo total da empresa para produzir e vender 
quantidades 𝑥 e 𝑦 dos produtos é dado por 𝐶(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑥𝑦. 
Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo 
mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 
19) Determine o ponto do plano 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12 cuja soma dos 
quadrados das distâncias a (0,0,0) e (1,1,1) seja mínima. 
20) Estude a função dada com relação a máximos e mínimos no conjunto dado: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑦 no conjunto 𝐴 de todos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑦 −
𝑥 ≤ 3, 𝑥 − 𝑦 ≤ 4, 3𝑥 + 𝑦 ≤ 6. 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑦 em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}. 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 3𝑥 em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 1}. 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 2𝑥 + 𝑦 ≤ 5}. 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2 em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}. 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 em 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: |𝑥| + |𝑦| ≤ 1}. 
21) Determine (𝑥, 𝑦) com 𝑥2 + 4𝑦2 ≤ 1 que maximiza a soma 2𝑥 + 𝑦. 
22) Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal 
proveniente de dois de seus produtos designados I e II. Para fabricar estes 
produtos ela utiliza um tipo de máquina que tem uma disponibilidade de 
200 máquinas-hora por mês e um tipo de mão-de-obra com uma 
disponibilidade de 240 homens-hora por mês. Para se produzir uma 
unidade do produto I utilizam-se 5 horas de máquina e 10 horas de mão-
de-obra, enquanto para o produto II utilizam-se 4 horas de máquina e 4 
horas de mão-de-obra. Espera-se uma demanda de 20 unidades por mês 
do produto I e 45 do produto II. Calcula-se um lucro, por unidade, de 
R$10,00 para o produto I e R$6,00 para o produto II. Determine as 
quantidades de cada produto que deverão ser fabricadas por mês para o 
lucro mensal ser máximo. 
23) Determine (𝑥, 𝑦) que maximiza (minimiza) a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2, 
com 𝑥 e 𝑦 sujeitos às restrições 𝑦 = 1 − 2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤
1
2
. 
24) Estude com relação a máximos e mínimos as funções com as restrições 
dadas: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑦, 𝑥2 + 2𝑦2 = 1 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑦, 𝑥2 + 2𝑦2 ≤ 1 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑦2, 3𝑥 + 𝑦 = 1 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 4𝑦2, 𝑥𝑦 = 1, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑥2 + 4𝑦2 = 8 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑥2 + 𝑦2 = 1 
h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑦2, 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 = 0 
i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥 − 3𝑦, 𝑥 + 2𝑦 = 3 
j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2, 𝑥2 + 2𝑦2 = 1 
25) Determine o ponto da reta 𝑥 + 2𝑦 = 1 cujo produto das coordenadas seja 
máximo. 
26) Determine o ponto da parábola 𝑦 = 𝑥2 mais próximo do ponto (14,1). 
27) Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e o produto 
seja máximo. 
28) Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total de 100 
𝑐𝑚2. Determine as dimensões para o volume ser máximo. 
29) A temperatura 𝑇 em qualquer ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço é dada por 𝑇 =
100𝑥2𝑦𝑧. Determine a temperatura máxima sobre a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤
4. E qual a temperatura mínima?