Unidade 3 Análise dos tempos de falha

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Análise dos 
tempos de falha
Unidade 3
Eng. Hugo Bassi, M. Sc.
UNIDADE 3 Análise dos tempos de falhaDisciplina: Engenharia de Manutenção e Confiabilidade – Prof. Hugo Bassi 2
Agenda
1. Modelos probabilísticos aplicados a confiabilidade
2. Estimadores de máxima verossimilhança
3. Indicadores de R(t), h(t), MTTF, MTBF e MTTR
4. Construção e interpretação do gráfico da função Confiabilidade
5. Modelo de falha exponencial, weibull, lognormal e gama
6. Escolha do melhor modelo: análise gráfica e teste de aderência
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Medição de falhas
Há 3 formas de medirmos as falhas:
Taxa de falhas
A frequência com que 
uma falha ocorre
Confiabilidade
A probabilidade de uma 
falha ocorrer
Disponibilidade
O período de tempo útil 
disponível para a 
operação
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Taxa de falhas
௜
௡
௜ୀଵ
OU
Exercício:
Um lote de 50 componentes eletrônicos é testado durante 2.000 horas.
Quatro dos componentes falham durante o teste, como segue. Qual a taxa de falhas?
• Falha 1 ocorreu após 1.200 horas
• Falha 2 ocorreu após 1.450 horas
• Falha 3 ocorreu após 1.720 horas
• Falha 4 ocorreu após 1.905 horas
Onde, = total de produtos testados
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Taxa de falhas – Resolução do exercício
O tempo total do teste = horas de componentes
Porém:
• Um componente não operou: 2.000 – 1.200 = 800 horas
• Um componente não operou: 2.000 – 1.450 = 550 horas
• Um componente não operou: 2.000 – 1.720 = 280 horas
• Um componente não operou: 2.000 – 1.905 = 95 horas
Portanto:
O tempo total de não-operação é de: 1.725 horas
Tempo de operação = Tempo Total – Tempo Não Operando
Tempo de operação = 100.000 – 1.725 = 98.275 horas
Quantidade de falhas por 
tempo de operação
% falhas por componentes 
testados
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A confiabilidade de um item corresponde à sua probabilidade de 
desempenhar adequadamente o seu propósito especificado, por um 
determinado período de tempo e sob condições ambientais 
predeterminadas.
Confiabilidade
Depende do 
propósito de estudo
Devem apresentar 
valores entre 0 e 1
Os modelos que descrevem os 
tempos até falha utilizam a 
variável aleatória T para 
descrever o tempo até falha de 
um item;
Influencia no 
desempenho de 
um produto;
Conforme 
padrão definido 
pelo usuário;
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Confiabilidade
Considerando um sistema formado por múltiplos componentes, é dada por:
௦ ଵ ଶ ଷ ௡
Onde:
ଵ = confiabilidade do componente 1
ଶ = confiabilidade do componente 2
etc.
Se uma dessas partes falhar, todo o sistema parará de funcionar. Logo, a
confiabilidade total é: ௦
Misturador de massa 0,95
Rolo e cortador de massa 0,99
Aplicador de massa de tomate 0,97
Aplicador de queijo 0,90
Forno 0,98
Exercício
Uma máquina automática de
produção de pizza em uma fábrica de
alimentos tem cinco componentes
principais, com confiabilidades
individuais na tabela ao lado:
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Confiabilidade média de todos os componentes
Co
nf
ia
bi
lid
ad
e 
do
 si
st
em
a 
to
ta
l
n = quantidade de componentes em série
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Importância da Confiabilidade
Projeto de produtos, processos e serviços
 Itens confiáveis requerem menor 
intervenção do fabricante após 
venda, gerando menos custos;
 Projeto de itens confiáveis 
integra funções de design e 
manufatura, gerando processos 
mais robustos e estáveis;
 Fornece suporte quantitativo a 
técnicas qualitativas bastante 
difundidas, como FMEA.
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Em 1963, o submarino nuclear Thresher implodiu causando a morte de 129 
tripulantes:
• Testes na carcaça limitavam a profundidade de operação a 500 m de profundidade;
• Tripulantes ignoraram procedimentos operacionais e ultrapassaram a profundidade 
máxima em mais de 30%, causando colapso da carcaça do submarino.
Importância da Confiabilidade
Exemplo prático
11
Medidas de confiabilidade
1. Função de confiabilidade R(t)
2. Função de risco h(t)
3. Tempo médio até falha, MTTF (mean time to failure)
1
2
3
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Tempo até falha (T)
É o tempo transcorrido desde o momento em que a unidade é colocada em 
operação até a sua primeira falha.
Estado da unidade 
em um tempo t
Falha
Unidade 
operacional
Unidade não 
operacional
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Tempo até falha (T)
• Nem sempre é medido de forma contínua, podendo assumir valores discretos, 
como número de ciclos até falha.
• Pressupõe-se uma variável distribuída continuamente, com densidade de 
probabilidade dada por e função de distribuição dada por:
• A função denota, assim, a probabilidade de falha da unidade em uma missão 
de duração menor ou igual a t.
௧
଴
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Função de confiabilidade, R(t)
௦
௦ ௙
௦
଴
Seja:
Então é a probabilidade de um sistema sobreviver sem falha no decorrer de um 
intervalo de tempo , dada por:
଴ unidades idênticas submetidas a teste em condições predefinidas
௙ unidades falharam
௦ unidades sobreviveram
௧
଴
ାஶ
௧
Considerando a variável aleatória , temos: 
é o complemento de , ou seja:
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Função de risco, h(t)
• É a medida de confiabilidade mais difundida na prática.
• Trata-se da quantidade de risco ou “taxa de falha instantânea” associada a uma 
unidade no tempo t, dada por:
• Unidade de medida: falhas por unidade de tempo.
• Sua forma é um indicativo da maneira como a unidade envelhece.
• Assim, unidades com mesma confiabilidade em t podem ter bem distintas.
• é uma probabilidade condicional
• “Dado que a unidade está operante no tempo , 
qual a probabilidade de falha em ?”
• é uma probabilidade não condicional
• “Qual a probabilidade da unidade falhar no 
intervalo ?”
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Função de risco, h(t)
A incidência de risco cresce com o tempo. Ex.: componentes mecânicos.
FRC: Função de Risco Crescente
Ocorre na modelagem de confiabilidade de softwares onde a incidência de 
bugs diminui à medida em que o produto sofre revisões.
FRD: Função de Risco Decrescente
A unidade está exposta a uma mesma quantidade de risco em qualquer 
momento do tempo.
FRE: Função de Risco Estacionária
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Curva da banheira
FRCFREFRD
Um dos 3 tipos de funções é 
predominante para cada classe de 
sistemas (mecânicos / eletrônicos)
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Curva da banheira
Mortalidade infantil(falhas prematuras)
• Processo de fabricação deficiente (ou projeto deficiente)
• Mão-de-obra desqualificada
• Amaciamento insuficiente
• Pré-teste insuficiente
• Materiais fora de especificação
• Componentes não especificados
• Componentes não testados
• Sobrecarga no primeiro teste
• Contaminação
• Erro humano
• Instalação imprópria
• Problemas de montagem
 Algumas vezes é possível reduzir estes 
tipos de falhas através de testes 
planejados antes da liberação final do 
equipamento e capacitação do pessoal 
de operação.
 Projetos mais robustos.
Como evitar:
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Curva da banheira
Vida útil (falhas causais)
• Abusos / vibrações / aquecimento / umidade
• Interferência indevida de tensão / resistência
• Fator de segurança insuficiente
• Cargas aleatórias maiores do que as esperadas
• Resistência menor do que a esperada
• Defeitos não detectáveis em ensaios
• Erros humanos durante o uso
• Aplicação indevida
• Fenômenos naturais imprevisíveis
 Através de uma correta 
operação / manutenção 
de equipamentos.
 Projetos mais robustos.
Como evitar:
Acidentes causados por 
operação ou manutenção 
inadequada
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Curva da banheira
Envelhecimento (falhas por desgaste)
• Envelhecimento / desgaste / abrasão
• Degradação de resistência
• Manutenção insuficiente ou deficiente
• Vida do projeto muito curta
• Maiores custos e perdas de produção
• Menor segurança do processo
• Maior taxa de falhas
• Menor MTBF
• Corrosão / trincas
• Fadiga e fluência
 Engenharia de Manutenção para prolongar a vida útil.
 Projeto de produto com materiais mais resistentes.
 Vigorosa manutenção durante vida útil.Como evitar:
CAUSA: idade do equipamento
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Tempo médio até falha, MTTF
• É o tempo esperado para falha de sistemas não reparáveis.
• Exemplo: teste de 3 sistemas idênticos a partir do tempo 0 até a falha:
• Se estas três falhas são amostras aleatórias de uma população e os tempos de falha
da população seguem uma distribuição com uma função densidade de
probabilidade , o MTTF é definido como a expectância (ou tempo esperado) da
variável , dada por :
ାஶ
଴
Sistema 1 => falhou em 10 horas
Sistema 2 => falhou em 12 horas
Sistema 3 => falhou em 13 horas
Qual o MTTF?
(Mean Time To Failure)
11,6667 horas
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Exercício:
Supondo que a taxa de falhas (calculada sobre o tempo de operação) de um 
conjunto de componentes eletrônicos seja 0,000041. Qual o ?
Isto é, em média, uma falha pode ser esperada a cada 24.390,24 horas.
Tempo médio até falha, MTTF
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Exercícios
Medidas de confiabilidade
• Individual ou em dupla;
• Utilizar arquivo em excel disponível no 
sistema, denominado “Unidade 3 –
Exercícios.xlsx”
• Resolver os exercícios 1 a 3.
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Distribuições de tempos até a falha
1. Distribuição exponencial
2. Distribuição de Weibull
3. Distribuição gama
4. Distribuição lognormal
1
2
3
4
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Estimadores de máxima verossimilhança
População
ଵ ௡
Amostra aleatória de 
tempos até falha
Para estimar o vetor de parâmetros da distribuição, 
deve-se desenvolver um estimador para .
Vetor de 
parâmetros da 
distribuição
O método da máxima verossimilhança é o mais utilizado.
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Propriedades dos estimadores
Não-tendencioso
• Estimador que não subestima ou 
superestima, de maneira 
sistemática, o valor real do 
parâmetro; isto é, , onde 
• denota o operador de 
expectância.
Consistente
• Estimador não-tendencioso que 
converge rapidamente para o valor 
real do parâmetro à medida que o 
tamanho de amostra aumenta.
Eficiente
• Estimador consistente que 
apresenta a menor variância 
dentre os estimadores usados para 
estimar o mesmo parâmetro 
populacional.
Suficiente
• Estimador eficiente que utiliza 
toda a informação acerca do 
parâmetro que a amostra possui.
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Estimadores de máxima verossimilhança
• Sejam ଵ ௡ variáveis aleatórias que seguem uma distribuição de probabilidade 
, onde é o único parâmetro desconhecido.
• Sejam ଵ ௡ os valores observados em uma amostra aleatória de tamanho 
• A função de verossimilhança da amostra é:
• O estimador de máxima verossimilhança de é o valor de que maximiza , 
derivando a equação acima com relação a e igualando o resultado a 0
ଵ ଶ ௡
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Distribuição exponencial
• Única distribuição contínua com função de risco constante.
ఒ௧
ିఒ௧
௜
௡
௜ୀଵ
Ausência de memória:
Unidades possuem mesma
confiabilidade para
qualquer t, independente de
sua idade ou tempo de uso.
• Isso restringe sua aplicação a alguns 
componentes elétricos;
• Para unidades que apresentam 
desgaste ou fadiga => apenas durante 
seu período de vida útil (ocorrência de 
falhas constante).
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Distribuição exponencial
• Gráficos para 
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Distribuição de Weibull
ఊିଵ ି௧
ം
ఏൗ
ି ௧ఏ
ം
ఊିଵ
• Alta flexibilidade e capacidade de representação de amostras de tempos até falha 
com comportamentos distintos.
Onde Γ . designa a função gama, uma integral indefinida tabelada
• Sua função de risco permite uma representação 
não-linear plena da Curva da Banheira, a partir 
da escolha apropriada do valor de :
FRD e 
FRE
FRC
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Distribuição de Weibull
Função de 
densidade 
similar ao da 
distribuição 
normal
Casos especiais
Reta com inclinação ଶ
e a Weibull transforma-se 
na distribuição de Rayleigh)
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Distribuição gama
ఊିଵ ିఒ௧
ఊିଵ ି௫
ఒ௧
଴
• É também uma generalização da distribuição exponencial.
Formatos assumidos pela densidade
da distribuição são bastante similares
aos da distribuição de Weibull.
FRD e 
FRE
FRC
A função de risco também segue o
comportamento abaixo:
Porém, seu formato se difere da
Weibull para valores maiores de t.
Para qualquer ,
௧→ஶ
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Distribuição lognormal
• O tempo até falha T de uma unidade segue uma distribuição lognormal se 
for normalmente distribuído;
• É uma distribuição limitada à esquerda, muito utilizada na modelagem de tempos 
até reparo em unidades reparáveis.
• A probabilidade de completar uma ação de reparo aumenta com o passar do tempo.
Taxa de 
efetividade de 
reparo Sua função de risco apresenta 
o formato de umacurva da 
banheira invertida, com 
crescendo inicialmente e, 
após, decrescendo 
assintoticamente
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Distribuição lognormal
 
ଶ
ఓାఙమ ଶ⁄
Por ser uma distribuição limitada à
esquerda, a lognormal não é
centrada em , como é o caso da
normal. Ao contrário, a mediana ெ
da distribuição, que satisfaz ெ
é dada por ெ ఓ.
é o valor da função de
distribuição da distribuição normal
padronizada avaliada em .
é o valor da função de
densidade da distribuição normal
padronizada avaliada em .
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Distribuição lognormal
௜
௡
௜ୀଵ
ଶ
௜
ଶ
௜
௡
௜ୀଵ
ଶ௡
௜ୀଵ
• Estimadores de máxima verossimilhança para e :
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Exercícios
Medidas de confiabilidade
• Individual ou em dupla;
• Utilizar arquivo em excel disponível no 
sistema, denominado “Unidade 3 –
Exercícios.xlsx”
• Resolver os exercícios 4 a 7.
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Verificação do ajuste de dados a 
distribuições de probabilidade
As duas formas mais comuns são:
1. Gráfica, através de histogramas de frequência
2. Analítica, através de testes de aderência
1
2
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Teste analítico de aderência Qui-Quadrado
Trata-se de um teste de hipóteses, em que a hipótese nula ( ଴) é de que os 
dados sigam uma determinada distribuição hipotetizada.
1. Considere uma amostra de observações de tempos até falha, obtida de uma 
população com distribuição de probabilidade desconhecida.
2. Organize os pontos amostrais em uma tabela de frequência, distribuindo-os em 
classes (onde é usualmente dado por   ).
3. Seja ௜ a frequência observada na i-ésima classe e ௜ a frequência esperada caso 
a população amostrada siga a distribuição de probabilidade hipotetizada em ଴.
4. O teste do qui-quadrado compara ௜ e ௜ através da seguinte expressão:
଴ deverá ser rejeitada somente se ଴ଶ ultrapassar determinado valor tabelado, 
com graus de liberdade .
଴
ଶ ௜ ௜
ଶ
௜
௞
௜ୀଵ
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Teste analítico de aderência Qui-Quadrado
Exemplo
Suponha uma amostra completa, sem
inspeção, composta de 49 pontos amostrais
correspondendo a tempos até falha
observados em fontes de alimentação de
microcomputadores.
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Teste analítico de aderência Qui-Quadrado
Exemplo
Análise gráfica: o histograma abaixo sugere duas possíveis distribuições para
os dados: Weibull e lognormal
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Teste analítico de aderência Qui-Quadrado
Exemplo
Resultado do teste de analítico 
Nível de significância para ଴:
Weibull 62%
Lognormal 82% melhor ajuste dos dados
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Exercício
Teste analítico de aderência Qui-Quadrado
• Individual ou em dupla;
• Utilizar arquivo em excel disponível no 
sistema, denominado “Unidade 3 –
Exercícios.xlsx”
• Resolver os exercício 8.
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Obrigado!
Em caso de dúvidas ou 
sugestões, 
hugo.bassi@newtonpaiva.br