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Capítulo 5
Semelhança
A teoria da semelhança entre figuras. constitui ferramenta importante em muitas
áreas, como por exemplo, na Engenharia e Arquitetura, na ampliação e redução de plan-
tas, mapas, maquetes. É fundamental, neste processo, a precisão nas formas idênticas
entre duas figuras, obedecendo à mesma proporção entre suas dimensões.
Precisamos, então, estabelecer certos critérios para obtermos tais resultados.
Neste capítulo, vamos nos limitar aos casos de semelhança de triângulos, com
aplicações, tendo em vista que este caso particular vai contribuir de maneira efici-
ente para o assunto. O caso de semelhança entre polígonos está apresentado entre os
exercícios deste capítulo.
O conteúdo estudado aqui é de fundamental importância para o desenvolvimento
das construções com régua e compasso, no que diz respeito à divisão proporcional,
chegando-se à divisão áurea e aos demais segmentos construtíveis, em problemas que
envolvemequivalência de áreas, problemas que envolvem circunferências; ao estudo das
relaçõestrigonométricas no triângulo retângulo, as quais constam nos exercícios deste
capítulo. Finalmente, de maneira especial, relaciona-se fortemente a este conteúdo,
comoum caso particular, a teoria das homotetias, desenvolvida no Capítulo 14.
Semelhança de Triângulos
5.1 Definição. Seja S uma correspondência biunívoca entre os vértices de dois
triângulos. Se os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes
sãoproporcionais, então a correspondência S é uma semelhança, e dizemos que os
triângulos são semelhantes.
Consideremos os triângulos ABC e DEF como na figura.
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76 Eliane Q. F. Rezende e Maria Lúcia B. Queiroz
AF' = DF. Temos
AB AC
AE' AF'
Portanto, pelo TeoEema 4.28, ob~emos~ue E' F' e BC são paralelas e então, pelo
Teorema 4.9a., temos B ~ AE'F' e C ~AF'E'.
Mas,~lo postulado ~A.L., ~s triângulos AE' F' e DEF são congruentes. Portanto
temos AE'F' ~ E e AF'E' ~ F.
Então, Ê ~ Ê e ê~F, e pelo Corolário A.A. temos 6ABC rv 6DEF.
5.5 Teorema. (O Teorema de Semelhança L.L.L.) Se dois triângulos ABC
I - AB AC BCe DEF são tais que seus lados satisfazem a re açao DE DF EF' então
6ABC rv 6DEF.
Demonstração. Sejam E' e F' pontos de }fÊ e AC, respectivamente, tais que
AE' = DE e AF' = DF.
A
D
E'~ ----,,,,F'
E F
B c
Como da hipótese decorre 1;,= 1~"segue, usando o teorema 4.28, que EP' e
BC são paralelas. Então, pelo teorema 4.9, temos
Ê ~ AE'F' e c ~AFIE' (a).
E'F' AE'
Pelo Corolário A.A. temos 6ABC rv 6AE' F'. Portanto BC = AB' e, daí,
E'F' = BC~~ = BC~! (b).
M I hi , AB BCas, pe a ípótese, temos DE = EF' ou seja,
DE
EF = BC AB (c).
De (b) e (c) segue que E'F' = EF. Então, pelo Teorema L.L.L. de congruência de
triângulos, temos 6AE' F' rv 6DEF, e portanto
- ...-.. - .-....
AE'F' ~ E e AF'E' ~ F (d).
Geometria Euc1idiana Plana e Construções Geométricas 77
Por (a) e (d) temos Ê ~ Ê e ê ~ F. E, novamente do Corolário A.A., segue o
resultado.
Semelhança nos Triângulos Retângulos
5.6 Teorema. A altura correspondente à hipotenusa de qualquer triângulo retângulo
divide-o em dois triângulos que são semelhantes um ao outro e também semelhantes ao
triângulo original.
Demonstração. Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A. Seja AH a altura
desde A à hipotenusa BC. Vamos mostrar que ~ABC rv ~H BA rv ~H AC.
A
B c
Consideremos os ângulos x, y, z, w, x' e y', como na figura.
Como BAC é um ângulo reto, temos que mx +mfj = 90.
Também, como z é um ângulo reto, temos mx +mfj'= 90.
Portanto fj ~ fj'.
Como x é ângulo comum aos triângulos ABC e HBA, segue pelo Corolário A.A.
que tais triângulos são semelhantes.
Analogamente demonstramos que ~ABC rv ~H AC.
5.7 Corolário. Em um triângulo retângulo,
(a) a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre os segmentos em que é
dividida a hipotenusa e
(b) cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa
que é a projeção deste cateto sobre ela.
Demonstração. Consideremos o triângulo ABC, retângulo em Â, e seja H o pé da
altura desde A até BC.
Denotamos: a = BC, b= CA e c = AB; m = BH, n = HC e h = AH.
78 Eliane Q. F. Rezende e Maria Lúcia B. Queiroz
Vamos mostrar que A
b
(1) h2 = mn
(2) c2 = am e b2 = ano c h
------- a------
BH AH
Pelo teorema anterior, 6.ABH r-;» 6.CAH. Portanto, obtemos AH = HC' ou seja,
h2 = mn.
BH AB
Também pelo teorema anterior, temos 6.ABH rv 6.CBA. Portanto AB = BC'
ou seja, c2 = amo
, CH AO . 2
Tambem, 6.CHA rv 6.CAB e, portanto, AC = BC' ou seja, b = ano
Teorema de Pitágoras
Existem inúmeras demonstrações do Teorema de Pitágoras. Apresentaremos
algumas delas no capítulo referente à Equivalência de Áreas. Neste parágrafo, apre-
sentamos uma demonstração simples, mas que decorre imediatamente dos resultados
sobre semelhança.
5.8 Teorema. (Teorema de Pitágoras) Num triângulo retângulo qualquer, o qua-
drado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos.
Demonstração. Consideremos o triângulo retângulo ABC, sendo A o seu ângulo reto.
Sejam a = BC, b= AC e c = AB. Vamos mostrar que a2 = b2+ c2.
A
bc
h
B ~,==::::::v;:::::::::::;;'vH'======;::::v======~, C
m n------- a ------
Do Corolário 5.7 obtemos os resultados: c2 = am e b2 = ano Portanto c2 + b2 =
a(m + n). Como m + ti = a, segue que a2 = b2 + c2.
Geometria Euc1idiana Plana e Construções Geométricas 79
E a recíproca do Teorema de Pitágoras? É verdadeira?
5.9 Proposição. (Recíproca do Teorema de Pitágoras) Se o quadrado da
medida de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados,
então o triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao primeiro lado.
Demonstração. Consideremos o triângulo ABC com (BC)2 = (AB)2 + (AC)2.
A A'
c b c b
B a c B' d C'
Sejam a = BC, b = AC e c = AB. Temos a2 = b2+ c2, ou seja, a = Jb2 + c2.
Seja A' B'C' um triângulo retângulo com catetos b e c, e seja d a medida da sua
hipotenusa.
Pelo Teorema de Pitágoras aplicado a esse triângulo, temos d2 = b2 + c2, ou seja,
d = Vb2 + c2. Logo d = a.
Pelo Teorema L.L.L., temos que L:.A' B'C' ~ L:.ABC. Portanto  ~ Â' e daí,  é
reto.
Existem muitas aplicações da semelhança de triângulos. Algumas delas constituem
importantes ferramentas para o estudo de circunferências, o que será visto no próximo
capítulo.
Nota Histórica.
No ano 530 a.C., na ilha de Samos (terra natal de Pitágoras), Eupalinos cons-
truiu um aqueduto a mando do tirano Polícrates. O objetivo era trazer água de fontes
abundantes que se situavam além do monte Castro. Este túnel, que atravessa o monte
Castro, ainda existe, tem mais de oitocentos metros de extensão e secção quadrada de
aproximadamente dois metros de lado. É mencionado pelo historiador Heródoto e foi
encontrado por arqueólogos alemães em 1822. O túnel foi escavado em duas frentes,
e, no encontro, houve um erro de menos de 1%, o que, para os recursos tecnológicos
da época, é pequeno. Em sua construção, Eupalimos procedeu da seguinte maneira:
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dever-se-ia escavar a montanha através do caminho AB, como na figura, com entrada
para a água no ponto A.
Inicialmente é traçada, em torno da montanha, uma linha poligonal AC DE FC HB,
cujos segmentos formam sempre ângulos retos.
Calcula-se a distância AM = CD+EF-CH
e BM = BH +CF - DE- AC.
Considerando, então, o triângulo AM B,
retângulo em M com catetos AM e BM,
agora conhecidos, o problema é encontrar
a direção da hipotenusa AB. São cons-
truídos, então, dois triângulos auxiliares, os
triângulos AI J e BK L, retângulos em I e K
respectivamente, cuja razão entre os catetos
,AI KL BM .
e I J = K B = MA' portanto conhecida.
Assim, JA fornece a direção em que se de-
verá escavar a partir de A, e LB fornece a
direção pela qual se deve escavar a partir do
ponto B.
"", ,,,, ,
,', G
, 'L , I K
c.=.._-,E
F
o resultado da geometria utilizado na resolução deste problema é consequencia
imediata da semelhança de triângulos, e está enunciado no exercício 5.5.
Nota histórica extraída, com pequenas modificações, do artigo de Ernesto Rosa,
"Como abrir um túnel se você sabe Geometria", que consta em [26], vol. 5.
Exercícios
A
'.P~L '.!l C
~ ~?;y
D
5.1. Na figura, seja Ê ~ ê e CD = 2AB.
Demonstre que BC = 3BL.
5.2. Mostre que, se dois triângulos são semelhantes,
a) as medianas correspondentes estão na mesma razão que os lados corresponden-
tes;
b) as alturas correspondentes estão na mesma razão que os lados correspondentes.
5.3. Dados os triângulos retângulos, tendo a altura correspondente à hipotenusa e os
comprimentos dos lados conforme aparecem na figura, determine os comprimentos
Geometria Euc1idiana Plana e Construções Geométricas 81
v - v)
não conhecidos.
4
z 8
y
y z
z
5.4. Mostre que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo eqüidista dos
três vértices do triângulo.
5.5. a) Consulte nota histórica que consta
no final deste capítulo.
b) Demonstre o resultado ali utili-
zado: "Sejam AEC e A' E'C' triângulos
retângulos com um vértice comum. Se
os catetos b e c' são perpendiculares e,
1, di b b' -se, a em ISSO, tem-se - - -, entaoc c'
as hipotenusas a e ai estão contidas na
mesma reta" .
B
a
~/~ \ _ 1.,2:;:
1,,1
c
c
a
C'L.:..l' ~ ..:..0~7-",
A' e C'
Dois polígonos são semelhantes se existe uma correspondência biunívoca entre
seus vértices de modo que seus ângulos correspondentes sejam congruentes e seus
lados correspondentes sejam proporcionais.
5.6. a) Mostre que dois quadrados são sempre semelhantes.
b) Dê uma condição suficiente para que dois retângulos sejam semelhantes.
c) E para a semelhança de dois losangos?
d) Em geral, quais condições bastam para que dois paralelogramos sejam seme-
lhantes?
5.7. a) Mostre que quaisquer dois polígonos regulares com mesmo número de lados são
semelhantes.
b) Mostre que a razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é a razão
entre as medidas dos lados correspondentes.
c) Considere dois hexágonos regulares AECDEF e A' E'C' D' E' F' com
AB = 5A' E'. Mostre que os quadriláteros AEDE e A'E' D' E' são retângulos
semelhantes. Determine a razão entre os perímetros desses retângulos.
82 Eliane Q. F. Rezende e Maria Lúcia B. Queiroz
5.8. Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um
triângulo dado é semelhante ao primeiro triângulo. Mostre que os quatro
triângulos assim obtidos são, dois a dois, semelhantes.
5.9. Considere o triângulo AOE, retângulo em E, sendo a a medida do ângulo AOE.
Seja XY um segmento genérico perpendicular ao segmento OE, como mostra a
figura.
x
o B y
Verifique que os triângulos AOE e XOY são semelhantes. Conclua que, para
quaisquer que sejam os pontos X, pertencente à semi-reta OA, e Y, pertencente
à semi-reta OE, com o segmento XY perpendicular à semi-reta OE, são válidas
as relações:
a) ~~ = ~~= k1, onde k1 é uma constante. Essa constante k1 é denominda
tangente do ângulo de medida a e denotamos simplesmente por tgo.
b) ~r= ~~ = k2, onde k2 é uma constante. Essa constante k2 é denominada
seno do ângulo de medida a e denotamos simplesmente por seno.
c) gr = g~ = k3, onde k3 é uma constante. Essa constante k3 é denominada
cosseno do ângulo de medida a e denotamos simplesmente por cosa.
5.10. Nas condições do exercício anterior, mostre que são válidas as seguintes
relações trigonométricas:
a) sen2a + cos2a = 1;
b) sena = iço;
cosa '
c) cos(90 - a) = seria e sen(90 - a) = cosa, onde a < 90;
d) O < seria < 1 e O < cosa < 1.
5.11. Mostre que:
a) Num triângulo acutângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos
dos ângulos opostos.
b) Num triângulo acutângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma
dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das
medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Geometria Euc1idiana Plana e Construções Geométricas 83
5.12. Mostre que:
a) sen45 = cos45 =..;; e
b) sen60 = V;, cos60 = ~
c) sen30 =~, cos30 = V;
tg45 = 1;
e tg60 =)3;
e tg30 = V; .
5.13.Meça a largura de um rio, sem atravessá-lo. Sugestão: Considere um ponto P à
distância a da margem e, a partir dele, perpendicularmente à margem, considere
um ponto Q da margem oposta. De P, trace urna perpendicular à reta PQ e
marque, sobre ela, um ponto R à distância b de P. A partir de R, observe os
pontos P e Q e obtenha a medida do ângulo P RQ. Indique os cálculos necessários
para determinar a largura do rio.