Modulo 2 - Lista 2 - Analise 1 - Turma 1º/2013 - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 2 Lista 2 1.o/2013
1) Os itens a seguir ilustram o fato de que, em um determinado ponto c, o valor da derivada
pode ou na˜o estar relacionado com os valores das derivadas nos pontos pro´ximos a c.
a) Mostre que a func¸a˜o g(x) = x2 sen(1/x) para x 6= 0 e g(0) = 0, e´ deriva´vel em x = 0.
b) Mostre que a func¸a˜o g e´ deriva´vel em x 6= 0, mas na˜o e´ de classe C1 em R.
c) Em geral, seja f uma func¸a˜o deriva´vel em x 6=c e tal que exista o limite limx→c f
′(x)=L,
onde c esta´ no domı´nio de f . Mostre que f e´ derivalvel em x = c e f ′(c) = L.
d) Use o item anterior para mostrar que a func¸a˜o h : R→ R, dada por h(x) = e−1/x para
x > 0 e h(x) = 0 para x ≤ 0, e´ deriva´vel em x = 0 e calcule h′(0).
e) Mostre que, de fato, h e´ de classe C∞ em R e calcule as derivadas h(n)(0) para n ∈ N.
x
g
x
h
2) Uma func¸a˜o f : (a, b) → R e´ convexa se, para todo α < β em (a, b) e todo λ ∈ [0, 1],
tem-se que f(λβ + (1 − λ)α) ≤ λf(β) + (1 − λ)f(α). Nesse caso, pode-se mostrar que f
possui as derivadas laterais em todo ponto c interior ao intervalo (a, b). De fato, considere
pontos x, y, c e d em (a, b) tais que x < y < c < d e defina a func¸a˜o g(x) = f(x)−f(c)
x−c
.
a) Para λ ∈ [0, 1], os nu´meros λc+ (1− λ)x percorrem o inter-
valo [x, c]. Determine enta˜o λ0 tal que λ0c+ (1− λ0)x = y.
b) Use o item anterior e a convexidade da func¸a˜o para mostrar
que a func¸a˜o g(x) e´ na˜o-decrescente.
c) Obtenha agora uma estivativa superior para g(x) em termos
dos pontos c e d e dos valores da func¸a˜o nesses pontos. x y c d
d) Conclua que f possui a derivada lateral a` esquerda no ponto c.
e) De maneira ana´loga mostra-se que f possui derivada lateral a` direita. Use esse fato
para concluir que a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto c.
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3) Existem func¸o˜es convexas que na˜o sa˜o deriva´veis. No entanto, se for deriva´vel, a derivada e´
uma func¸a˜o na˜o-decrescente. Para mostrar esse fato, e´ mais interessante usar que uma func¸a˜o
f : (a, b)→ R e´ convexa se, para todo α < β < γ em (a, b), tem-se que f(β)−f(α)
β−α
≤
f(γ)−f(β)
γ−β
.
Suponha enta˜o f convexa e deriva´vel, e sejam c < x < y < d pontos de (a, b).
a) Deˆ exemplo de func¸a˜o convexa que na˜o e´ deriva´vel em pontos interiores de seu domı´nio.
b) Use a convexidade para estimar o quociente f(x)−f(c)
x−c
em termos dos nu´meros y e d e
dos valores da func¸a˜o nesses pontos.
c) Obtenha uma estimativa para f ′(c) usando o item anterior.
d) Conclua agora que f ′ e´ uma func¸a˜o na˜o-decrescente.
e) Enuncie um crite´rio necessa´rio para a convexidade em termos da derivada segunda.
4) A reciproca do resultado acima e´ tambe´m verdadeira, isto e´, se f : (a, b)→ R e´ deriva´vel
com f ′ na˜o-decrescente, enta˜o f e´ convexa. Para isso, suponha f ′ na˜o-decrescente, x < y em
(a, b) e defina a func¸a˜o ψ : [0, 1]→ R por ψ(λ) = f(λy + (1− λ)x)− λf(y)− (1− λ)f(x).
a) Calcule a derivada ψ′(λ).
b) Do Teorema do Valor Me´dio (TVM), conclua que existe λ0 ∈ (0, 1) tal que ψ
′(λ0) = 0.
c) Da monotonicidade de f ′, conclua que ψ′(λ) ≤ 0 para λ < λ0 e ψ
′(λ) ≥ 0 para λ > λ0.
d) Use novamente o TVM para concluir que, se ψ(λ1) > 0 para algum λ1, enta˜o λ1 > λ0.
e) Argumentando de forma ana´loga, mostre que, nas condic¸o˜es do item anterior, tem-se
que λ1 < λ0, e conclua da´ı que f e´ convexa.
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