A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
138 pág.
Carga Térmica   Metodologias de Cálculo

Pré-visualização | Página 15 de 29

(3.58) e é calculado pela equação (3.64) 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )0 2
00
st
s
ss
D s e D s D s D s B sd
resíduo t
ds B s B s B s B s
=
==
é ùæ ö é ù¢ ¢
= = + -ê úç ÷ ê úç ÷ê ú ê úè ø ë ûë û
 (3.64) 
 
Os resíduos para cada polo βm da função B(s) com ordem n=1 são calculados pela 
equação (3.65), onde m=1,2,3 .... 
 
 
( )
( )( )
( )
( )22
m
m
m
m
tst
s
m s
s
D s e D s e
resíduo
d B ss B s
ds
b
b
b
b
b=
=
=
é ù
é ùê ú
= = ê úê ú ¢ê úê ú ë û
ë û
 (3.65) 
 
Somando todos os resíduos, calcula-se o fluxo de calor q0,0(t) na equação (3.66). 
 
 ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )0,0 2 210
m
m
t
m ms s
D s D s D s B s D s e
q t t
B s B s B s B s
b
b
b
¥
== =
é ùé ù¢ ¢
= + - + ê úê ú
¢ê ú ê úë û ë û
å (3.66) 
 
Da mesma forma, os fluxos de calor qL,0(t) e qL,L(t) são calculados pelas equações 
(3.67) e (3.68), respectivamente. 
 
 ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ),0 2 210
1 1 m
m
t
L
m ms s
B s e
q t t
B s B s B s B s
b
b
b
¥
== =
é ù é ù¢
= + - +ê ú ê ú
¢ê ú ê úë û ë û
å (3.67) 
 ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ), 2 210
m
m
t
L L
m ms s
A s A s A s B s A s e
q t t
B s B s B s B s
b
b
b
¥
== =
é ùé ù¢ ¢
= + - + ê úê ú
¢ê ú ê úë û ë û
å (3.68) 
 
Como os fluxos de calor calculados acima são resultantes de uma função rampa 
de temperatura, é necessário calcular os fluxos de calor resultantes de um pulso triangular 
unitário pela equação (3.54). Assim, as três séries de fatores de resposta são definidas 
pelas equações (3.69) a (3.71). 
 
 
43 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )0,0 0,0 0,0
2q t t q t q t t
X t
t
+ D - + -D
=
D
 (3.69) 
 ( ) ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0
2L L Lq t t q t q t t
Y t
t
+ D - + -D
=
D
 (3.70) 
 ( ) ( ) ( ) ( ), , ,
2L L L L L Lq t t q t q t t
Z t
t
+ D - + -D
=
D
 (3.71) 
 
Pela Figura 3.4 mostrada anteriormente, nota-se que as funções rampa ocorrem 
em diferentes instantes de tempo. No primeiro intervalo de tempo de aplicação da 
temperatura, em t=0, apenas a primeira função rampa está presente. Para o próximo 
tempo, t=Δt, dois intervalos de tempo se passaram, e as duas primeiras funções rampa 
estão presentes. Após três intervalos de tempo, as três funções rampa compõem juntas um 
pulso triangular unitário, o que é verificado para todos os instantes de tempo posteriores. 
Logo, são determinados três tipos distintos de fatores para cada série X(t), Y(t) e Z(t). 
Para a série X(t), têm-se as equações (3.72) a (3.74), respectivamente para t=0, 
t=Δt e t=nΔt, onde n൒2. 
 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0,0
2 2
10
0
m
m
t
m ms s
q t D s D s D s B s D s e
X
t B s tB s tB s t B s
b
b
b
¥ D
== =
é ùé ù¢ ¢D
= = + - + ê úê ú
¢D D D Dê ú ê úë û ë û
å (3.72) 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
0,0 0,0
2
0
2
2
1
2 2
1
2m m
m
s
t t
m m
s
q t q t D s D s B s
X
t tB s tB s
D s e e
t B s
b b
b
b
=
D D¥
=
=
é ù¢ ¢D - D
= = - + +ê ú
D D Dê úë û
é ù-
ê ú+
ê ú¢D
ë û
å
 (3.73) 
 
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
0,0 0,0 0,0
2
2
1
1 2 1
1m m
m
n t t
m m
s
q n t q n t q n t
X n
t
D s e e
t B s
b b
b
b
D - D¥
=
=
+ D - D + - D
= =
D
é ù-ê ú= ê ú¢D
ê úë û
å
 (3.74) 
 
Similarmente à série X(t), têm-se as equações (3.75) a (3.77) para a série Y(t) e 
(3.78) a (3.80) para a série Z(t). 
 
 
44 
 
 ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
,0
2 2
10
1 1
0
m
m
t
L
m ms s
q t B s e
Y
t B s tB s tB s t B s
b
b
b
¥ D
== =
é ù é ù¢D
= = + - +ê ú ê ú
¢D D D Dê ú ê úë û ë û
å (3.75) 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
,0 ,0
2
0
2
2
1
2 2 1
1
2m m
m
L L
s
t t
m m
s
q t q t B s
Y
t tB s tB s
e e
t B s
b b
b
b
=
D D¥
=
=
é ù¢D - D
= = - + +ê ú
D D Dê úë û
é ù-
ê ú+
ê ú¢D
ë û
å
 (3.76) 
 
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )
( )
,0 ,0 ,0
2
2
1
1 2 1
1m m
m
L L L
n t t
m m
s
q n t q n t q n t
Y n
t
e e
t B s
b b
b
b
D - D¥
=
=
+ D - D + - D
= =
D
é ù-ê ú= ê ú¢D
ê úë û
å
 (3.77) 
 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
,
2 2
10
0
m
m
t
L L
m ms s
q t A s A s A s B s A s e
Z
t B s tB s tB s t B s
b
b
b
¥ D
== =
é ùé ù¢ ¢D
= = + - + ê úê ú
¢D D D Dê ú ê úë û ë û
å (3.78) 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
, ,
2
0
2
2
1
2 2
1
2m m
m
L L L L
s
t t
m m
s
q t q t A s A s B s
Z
t tB s tB s
A s e e
t B s
b b
b
b
=
D D¥
=
=
é ù¢ ¢D - D
= = - + +ê ú
D D Dê úë û
é ù-
ê ú+
ê ú¢D
ë û
å
 (3.79) 
 
( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
, , ,
2
2
1
1 2 1
1m m
m
L L L L L L
n t t
m m
s
q n t q n t q n t
Z n
t
A s e e
t B s
b b
b
b
D - D¥
=
=
+ D - D + - D
= =
D
é ù-ê ú= ê ú¢D
ê úë û
å
 (3.80) 
 
As funções A(s), B(s) e D(s) são obtidas após a multiplicação das matrizes das 
camadas da parede. Como estes coeficientes têm expressões com muitos termos, é difícil 
obter uma expressão para ser derivada e obter A'(s), B'(s) e D'(s). Assim, estas derivadas 
são obtidas pela regra da cadeia, efetuando as multiplicações conforme a equação (3.81) 
sempre que necessário para cada um dos polos. 
 
 
45 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 2 2
2 21 1
2 21 1
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2
...
...
...
N N
N N
N N
N N
A s B s A s B sd
C s D s C s D sds
A s B s A s B s A s B s
C s D s C s D sC s D s
A s B sA s B s A s B s
C s D s C s D sC s D s
A s B s A s B s
C s D s C s D
¢ ¢é ù é ù
= =ê ú ê ú¢ ¢ë û ë û
é ù¢ ¢ é ù é ù
ê ú= +ê ú ê ú
ê ú¢ ¢ ë û ë ûë û
é ù¢ ¢é ù é ù
ê ú+ +ê ú ê ú
ê ú¢ ¢ë û ë ûë û
é ù
+ + ê ú
ë û ( )
( ) ( )
( ) ( )2
... N N
N N
A s B s
s C s D s
é ù¢ ¢é ù
ê úê ú
ê ú¢ ¢ë û ë û
 (3.81) 
 
Uma vez calculada a resposta unitária do sistema, ou seja, séries de RF, calculam-
se os fluxos de calor nas faces da parede como resultado de um perfil de temperatura T(t) 
qualquer. O fluxo de calor em cada instante de tempo é igual ao valor da temperatura T(t) 
naquele instante multiplicado pelo respectivo fator de resposta, T(t)X(t), T(t)Y(t) ou 
T(t)Z(t). Pelo princípio de sobreposição das respostas, o somatório dos fluxos de calor em 
x=0 e x=L é dado pelas equações (3.82) e (3.83), respectivamente. 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0
L
n n
q t X n T t n Y n T t n
¥ ¥
= =
= - - -å å (3.82) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
L L
n n
q t Y n T t n Z n T t n
¥ ¥
= =
= - - -å å (3.83) 
 
Como as séries de RF são formadas por infinitos termos, é necessário estabelecer 
um critério de convergência. HITTLE (1981) indica que podem ser necessários cerca de 
20 ou mais fatores para calcular o fluxo de calor através de elementos construtivos de 
grande inércia térmica. 
Ainda segundo HITTLE (1981), uma propriedade dos RF utilizada para 
determinar um número finito de termos, tem relação com a transferência de calor em 
regime permanente. Nas equações (3.82) e (3.83), para o caso de regime permanente,