FUNÇÃO

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 A função f:IR
+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa 
função é o conjunto IR
+
 (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). 
 
 
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Temos 2 casos a considerar: 
  quando a>1; 
  quando 0<a<1. 
 
 Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: 
 
1) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: 
 
 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y -2 -1 0 1 2 
 
 
 
2) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) 
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: 
 
 
 
x 1/4 1/2 1 2 4 
y 2 1 0 -1 -2 
 
 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que 
a) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; 
b) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; 
c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. 
 
 
 
 
 
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: 
 
a>1 0<a<1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é crescente e Im=IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) é decrescente e Im=IR 
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: 
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos 
diferentes) 
 
 
 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
 Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no 
logaritmando, na base ou em ambos. 
 
Exemplos de equações logarítmicas: 
1) log3x
 
=5 (a solução é x=243) 
2) log(x
2
-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2) 
3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4) 
4) logx+1(x
2
-x)=2 (a solução é x=-1/3) 
 
Alguns exemplos resolvidos: 
1) log3(x+5) = 2 
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5 
log3(x+5) = 2 => x+5 = 3
2
 => x=9-5 => x=4 
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 
 
2) log2(log4 x) = 1 
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então 
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 4
2
 = x => x=16 
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 
1.Logaritmos 
 
Observe que quando elevamos a base 2 ao expoente 3 obtemos como resultado o número 8. Dizemos que o logaritmo de 8 na 
base 2 vale 3. 
Em outras palavras, aqui neste exemplo, logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando utilizamos a 
base 2. 
Vimos que logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando utilizamos a base 2. Veja novamente o 
exemplo anterior: 
2
3
 = 8 
Podemos afirmar que: 
O logaritmo de 8 na base 2 vale 3 e representamos esta frase, matematicamente, da seguinte forma: log2 8 = 3 
Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente. 
Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para obtermos o 
número dado. 
 
Então o expoente 3 aqui ao lado nada mais é que o logaritmo de 8 na base 2. Isto está começando a parecer fácil não é mesmo ? 
1) Calcule log2 8. 
Vimos que em português claro isto significa: calcule o logaritmo de 8 na base 2. E, em português mais claro ainda, isto significa: 
qual o expoente que devemos usar para que o 2 elevado a este expoente nos dê o número 8 ? 
Veja a seguir como se calcula o logaritmo de 8 na base 2 
Log2 8 = x 
 
Vamos ver se a gente está entendendo do assunto ou se estamos boiando? 
2) Calcule log416 
Vimos que em bom português isto significa: Qual o ______________a que devemos elevar a base _____ para obtermos o 
número _____. Vimos ainda que matematicamente escreve-se assim: 4
x
 = 16. 
Para calcular basta fatorarmos o 16 e substituirmos na equação. Assim, ficaremos com 4
x
 = 4
2
, pois 16 fatorado nos dá 
exatamente 4
2
. 
Finalmente vimos que em equações deste tipo (4
x
 = 4
2
), cujas bases das são iguais, basta igualarmos os expoentes: x = 2. 
Resposta: 2 ou log4 16 = 2 pois 4
2
 = 16 
Atenção 
Não tem sentido calcular logaritmo de número menor ou igual a zero. 
Todas as bases devem ser maiores que zero e diferentes de 1 
Todos os 4 exemplos ao lado estão resumidos nos alertas acima. Entenda-os para que possa fixá-los bem. 
 
Veja os exemplos: 
Log2 0 = Qual o logaritmo de zero na base 2 ? 
Ou seja: qual o número que servirá de expoente para o 2 de forma a obtermos o número zero ? Se a gente tentar calcular 
veremos que não existe. 
Log2 -1 = Qual o logaritmo de -1 na base 2 ? 
Certamente que não encontraremos resultado válido, pois não existe um expoente que sirva à base 2(positiva), para dar origem 
ao número -1 
Log0 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 0 ? Zero elevando a quanto vai dar 2 ?... Não existe! 
Log1 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 1 ? Se a gente tentar calcular veremos que qualquer que seja o expoente a gente sempre 
obterá 1. Logo também não existe. 
1. LOGARITMOS - PROPRIEDADES 
Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos problemas que enfrentaremos. Vejamos: 
 Logaritmo do produto 
 Logaritmo do quociente 
 Logaritmo da potência 
Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos aplicar as regras que veremos agora. 
Logaritmo do Produto 
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2(8.4) é só a gente calcular os logaritmos de 
8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma será o logaritmo de 8x4. 
Vamos calcular log28 e log24. 
 
Para calcularmos log2 (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular: 
 
 
Logaritmo do quociente 
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou seja, log2 (8/4) é só a gente calcular os logaritmos 
de 8 e 4, separadamente, e depois subtraí-los. O resultado desta subtração será o logaritmo de 8/4. 
Vamos calcular log28 e log24. 
 
Para calcularmos log2 (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular: 
 
 
 
Logaritmo da potência 
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de uma potência, digamos, 2
5
 , ou seja log2 (2
5
) é só a gente calcular o logaritmo de 
da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação será o logaritmo de 2
5
. 
Vamos calcular log22 
 
Para calcularmos log2 (2
5
), basta multiplicarmos o expoente 5 pelo logaritmo de 2 que acabamos de calcular: 
 
 
Nomenclatura 
Logaritmo decimal 
Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10. Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não 
escreve o 10, veja: 
Log 100 
Isto significa: "Logaritmo de 100 na base 10" 
Alguém poderia perguntar: E cadê a base ? Resposta: Quando o logaritmo é decimal, ou seja a base é 10 não é preciso escrevê-la 
pois todo mundo já sabe que vale 10. 
2. MUDANÇA DE BASE 
Calcule log927 (logaritmo de 27 na base 9). 
Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos 27 veremos que é um pouco complicado...contudo 
existe uma maneira mais fácil: A mudança de base. 
Como se faz isto? Simples: calcule o log de 27 na nova base e divida pelo log de 9 na nova base também. Veja a animação ao 
lado: 
O importante é a gente escolher uma base que possibilite calcular os logaritmos tanto do 27 como do 9 (base inicial). Ah! Essa 
nova base deverá ser a mesma para os dois. Veja ao abaixo! 
Desta forma, 
2
3
9log
27log
27log3
3
9 
 
 
3. Equações Logarítmicas 
 Para resolver equações logarítmicas, estabeleça as condições de existência dos logaritmos envolvidos. 
 Em seguida, resolva a equação usando a definição ou as propriedades dos logaritmos. 
 
 Para finalizar, verifique se as soluções encontradas estão de acordo com as condições de existência. 
Condições de existência: 
 
1. Observe a resolução da equação e escreva o que foi realizado: 
x + 13) = 2 
________________________________________ 
x + 13 = 2
2
 ______________________________________________ 
x = ____________________________________________________ 
 
S = 
2. Resolva a equação: 
a) (x
2
 x) = 1 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Chama-se função logarítmica toda função f definida de em R por: f(x) = x, com a  e a  1. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS LOGARITMOS 
 
1) Encontrar um numero x > 0 tal que: Calcule o valor dos logaritmos: 
a) 
36log 6
 d) 
000064,0log 5
 
b) 
22log
4
1
 e) 
349 7log
 
c) 
32 64log
 f) 
25,0log 2
 
 
2) Resolva as equações: 
a) 
1
1
3
log 3 


x
x
 b) 
4log 3 x
 c) 
2)1(log
3
1 x
 d) 
2
9
1
log x
 e) 
216log x
 
 
3) Determine o conjunto solução da equação: 
1)(log 212  xx
. 
 
 
4) Calcule o valor: 
a) 
 )813(log 3
 b) 
64
512
log 2
= 
 
 
5) Se log10(2x - 5) = 0, então x vale: 
a) 5. b) 4. c) 3. d) 7/3. e) 5/2. 
 
 
6)Calcule os seguintes logaritmos: 
a) 
25log 625
 b) 
2log 0,25
 c) 
3
1
2
log 16
 
d) 
4
1
3
log 243
 e) 
3
1
4
log 64 16
 f) 
3 3
log 27
 
 
8)O valor de 
log ,1
100
3 1o
 é : 
 a) -1/2 b)-1/6 c) 1/6 d) 1/2 e) 1 
9) O valor do 
log ( log )1
3
5 125
 é: 
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 0,5 
 
10)O logaritmo de 144 na base 
32
 é igual a : 
a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo teórico 
 
- Função Logarítmica 
 
1 – Logaritmos 
 
a) Definição: 
balog
 = c  c
a
 = b , sendo a e b número reais tais que a > 0, a  1 e b > 0. 
b) Nomenclatura: 
balog
 = c 
 b.1) b é logaritmando. 
 b.2) a é a base. 
 b.3) c é o logaritmo. 
 
c) conseqüências da definição: 
 c.1) 
1alog
 = 0 
 c.2) 
aalog
 = 1 
 c.3) 
m
aalog
 = m 
 c.4) maloga = m 
 
2 – Propriedades Operatórias 
 
a) 
alog
(b · c) = 
alog
b + 
alog
c 
b) 
c
b
alog
 = 
alog
b – 
alog
c 
c) 
n
balog
 = n  
alog
b 
 
3 – Mudança de Base 
 
aclog
bclog
balog 
 
 
BASES ESPECIAIS: 
 Logaritmo decimal: 
xlogxlog 10
 
Logaritmo neperiano (natural): 
xlogxln e
, sendo o número irracional e definido por 
718,2
n
1
1lime
n
n








 
 
 
4 – Função Logaritmica 
 
a) Definição: É toda função f: IR
*

  IR definida por f(x) = 
alog
x, com a > 0 e a  1. 
 
b) A função logaritmica será crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. 
 
c) Gráfico 
 
 
 
 
 
1º CASO) a > 1 
 
 
 
2º CASO) 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
d) O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e o conjunto imagem é o conjunto dos números 
reais (D = IR
*

 e Im = IR). 
 
OBSERVAÇÃO 
Pela definição de logaritmo 
 yxalog 
  ay = 
xa
, a função 
f(x) = 
xalog
 é a inversa da função g(x) = a
x
. 
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
Sendo a > 0 e a  1, 
yxylogxlog aa 
 
Restrição: x > 0 e y > 0.