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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2014 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) Gabarito 1. (2,0 pontos) De um grupo de 8 homens e 6 mulheres, deve-se formar uma comissão com 5 pessoas. De quantas formas esta comissão pode ser feitas se: a) (0,5 pt) Não houver restrição? b) (0,5 pt) Deve ter 3 homens e 2 mulheres? c) (0,5 pt) Deve ter 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro, 1 primeiro-secretário e 1 segundo secretário independente de sexo? d) (0,5 pt) Deve ter 2 homens, sendo 1 presidente e 1 segundo secretário e 3 mulheres sendo 1 vice-presidente, 1 tesoureira e 1 primeira secretária? Solução: a) sem restrição, é considerado um grupo de 14 pessoas das quais serão sorteadas 5. Assim: Como e , então: b) Devemos escolher os homens e as mulheres separadamente e para cada homem escolhido há a quantidade escolhida entre as mulheres. Assim: c) Neste caso, a ordem da seleção é importante, mas o sexo não. Assim, trata-se de um arranjo dentre todas as pessoas do grupo. d) Arranjo para os homens e arranjo para as mulheres: 2. (2,0 pontos) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filmes, dentre 3 pesquisados, seguem na tabela abaixo: Comédia Aventura Policial Total Homens 20 50 10 80 Mulheres 10 20 20 50 Total 30 70 30 130 Uma pessoa é sorteada aleatoriamente. Determine a probabilidade de: a) (0,5 pt) Ela ser do sexo masculino; b) (0,5 pt) Ela ser uma mulher que goste de filmes de aventura; c) (0,5 pt) Ela preferir filme policial, sabendo-se a priori que é um homem; d) (0,5 pt) Gostar de filme de comédia ou ser uma mulher. Solução: Sejam os seguintes eventos: C: a pessoa gosta de Comédia; A: a pessoa gosta de Aventura; P: a pessoa gosta de Policial; H: a pessoa é do sexo masculino; M: a pessoa é do sexo feminino. a) Temos um total de 80 pessoas pesquisadas do sexo masculino de um total de 130. Assim: b) c) Temos uma probabilidade condicional: d) Probabilidade da União: 3. (2,0 pontos) O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. a) (1,0 pt) Qual o percentual de pedidos com atraso de cada distribuidor? b) (1,0 pt) Se um pedido chega com atraso, qual a probabilidade de ele ter sido entregue pelo distribuidor 2? Solução: Considere os seguintes eventos: 1:O pedido foi entregue pelo distribuidor 1; 2: O pedido foi entregue pelo distribuidor 2; 3: O pedido foi entregue pelo distribuidor 3; A: O pedido chegou com atraso; N: O pedido não chegou com atraso. São dados do enunciado: a) Pelo Teorema da Probabilidade Total, sabemos que: Sabemos também que: e Assim, substituindo no Teorema da Probabilidade Total, temos: Consequentemente: Logo: b) Pelo Teorema de Bayes, temos: 4. (2,5 pontos) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades: Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Cada vendedor recebe comissões de vendas de acordo com a quantidade vendida. Se ele vende até três produtos por dia, ele recebe $10,00 por produto vendido. Se ele vende mais de três produtos pro dia, a comissão passa a ser de $30,00 por produto de modo que se ele vende 3 produtos, recebe $30,00 de comissão, mas se ele vende 4 produtos, recebe $ 120,00 de comissão. a) (1,5 pt) Determine a variância do número de produtos vendidos por dia por funcionário; b) (1,0 pt) Determine a comissão média diária de cada funcionário. Solução: a) Para determinar a variância é necessário obter a média: Também é necessário calcular . Para isso, precisamos da distribuição de . Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 9 16 25 36 Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Assim: b) A distribuição das comissões será dada por: Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Comissão (C) 0 10 20 30 120 150 180 Probabilidade de comissão 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Logo: A comissão média paga por funcionário é de $39,5. 5. (1,5 ponto) Dois times de voleibol A e B disputam uma série de oito partidas. A probabilidade de o time A ganhar cada partida é de 60%. Determine a probabilidade de o time A ganhar a série. Solução: Para ganhar a série de 8 jogos, o time A precisa ganhar mais que o time B. Como no voleibol não há empates, então o time A ganha a série se vencer pelo menos 5 das 8 partidas. Assim, a probabilidade de ele vencer a série será a probabilidade de ele vencer 5, 6, 7 ou 8 das partidas, onde a vitória em uma partida independe das outras partidas. Logo: Observemos que, por conta da independência, o experimento é Binomial. Assim: A probabilidade de o time A ganhar a série é de 59,41%.
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