Cap. 3 - Sólidos

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CAPÍTULO 3
A ESTRUTURA ATÔMICA DE SÓLIDOS
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A ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Objetivos 
 1) Descrever as diferenças nas estruturas cristalinas.
 2) Conhecer as células unitárias CCC,CFC e HC, e saber como interpretar as relações geométricas para estas estruturas.
 3) Conhecer como relacionar os parâmetros do reticulado com a massa específica dos materiais.
 4) Conhecer direções e planos cristalinos e como elas podem influenciar no comportamento e no desempenho dos materiais.
 5) Definir e estudar isotropia e anisotropia.
 6) Estudar a lei de Bragg, para a difração de RX.
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 ARRANJOS DE ÁTOMOS EM METAIS
Diâmetros da ordem de 10-7 mm.
 Por exemplo, um cubo de 1mm de aresta contém cerca de 1020 átomos.
Conceito de célula unitária:
 empacotamento de esferas de mesmo 
 tamanho para ocupação de volume
 mínimo.
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Material cristalino: átomos situados em
 um arranjo periódico (ordenação de longo
 alcance).
Estruturas cristalinas: maneiras pelas quais os átomos são arranjados no espaço (modelo da esfera rígida).
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS
CRISTALINOS
Estruturas cristalinas (retículos cristalinos).
Modelo da esfera rígida atômica.
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 Estrutura cristalina
 Nível subatômico: envolve elétrons no interior dos átomos individuais e as interações com seus núcleos. Influencia propriedades físicas.
Nível atômico: arranjo de átomos nos materiais (para um mesmo tipo de átomo pode haver diferentes tipos de propriedades. Ex.: o carbono tem duas formas diferentes: grafite e diamante).
Fonte: Callister / University of Virginia
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 Estrutura cristalina
Os metais sólidos apresentam estruturas cristalinas, nos quais os átomos de cada cristal estão arranjados de maneira organizada e periódica. 
Este arranjo ordenado dos átomos é o responsável pela maioria das propriedades dos metais.
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 Estrutura cristalina
Estrutura microscópica: arranjo de pequenos grãos de material que podem ser identificados por microscópio.
 Estrutura macroscópica: elementos estruturais que podem ser vistos a olho nu.
Fonte: Callister / University of Virginia
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ESTRUTURAS ATÔMICA E MICROSCÓPICA
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Escalas de comprimento
Ângström = 1Å = 10-10 m
Nanometro = 1 nm 10-9 m
Micrometro = 1 µm = 10-6 m
Milímetro = 1 mm = 10-3 m
Ex.: Distância interatômica  poucos Å
	Fio de cabelo  60 - 120 µm 
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Raios atômicos e estruturas cristalinas para 16 metais selecionados
Metal
Estrutura 
cristalina(a)
Raio 
atômico 
(nm)(b)
Metal
Estrutura 
cristalina(a)
Raio 
atômico 
(nm)
 FCC (CFC) = cúbica de faces centradas; 
 HCP (HC) = hexagonal compacta;
 BCC (CCC) = cúbica de corpo centrado.
(b) 1 nm = 10-9m (para converter Å para nanometro, multiplicar o valor de nanometro por 10).
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Célula unitária
	Como a rede cristalina possui uma estrutura repetitiva, é possível descrevê-la a partir de uma estrutura básica ou célula unitária, que é repetida por todo o espaço.
Fonte: PUC-RJ
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 Célula unitária
Célula unitária: pequena entidade que se repete no espaço,na forma de paralalepípedos ou prismas,que possuem três conjuntos de faces paralelas.
 Célula unitária: pequenos volumes, cada um tendo as características encontradas no cristal inteiro [repetição infinita?].
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Geometria de uma célula unitária
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Estrutura cúbica simples: um átomo é colocado em cada ponto de rede.
Fonte: Shackelford.
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Estrutura cristalina
	Os sistemas cristalinos são entidades geométricas. Quando os átomos são posicionados dentro deste sistema formam-se redes ou estruturas cristalinas.
	Existem apenas 14 arranjos tridimensionais (redes de Bravais-Miller) possíveis no estado sólido.
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Rede de Bravais - Miller
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ARRANJOS DE ÁTOMOS EM METAIS
Cúbico
Hexagonal
Tetragonal
Sistema cristalino
Relações axiais
Ângulos interaxiais
Geometria da c. u.
Fonte: Shackelford.
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Romboédrico
Ortorômbico
Monoclínico
Triclínico
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Redes de Bravais –Miller
1) Triclínica simples;
2) Monoclínica simples;
3) Monoclínica base centrada;
4) Ortorômbica; 
5) Ortorômbica base centrada;
6) Ortorômbica corpo 
centrado;
7) Ortorômbica de faces centradas.
Fonte: Shackelford.
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Redes de Bravais – Miller: 8) Hexagonal; 9) Romboédrica; 
10) Tetragonal simples; 11) Tetragonal de corpo centrado;
12) Cúbica simples; 13) Cúbica de corpo centrado; 14) Cúbica de faces centradas. Fonte: Shackelford.
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Parâmetro do reticulado ou parâmetro
 cristalino: posições nas células(coeficientes de localização).
Por exemplo,em uma célula ccc:
 origem: (0,0,0)
 centro da célula: (a/2,a/2,a/2)
 vértice mais avançado: (a,a,a) 
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
 Ordenação atômica nos sólidos: metais, parte dos cerâmicos, polímeros.
 Cristalizam-se na solidificação: 
 ordenação/coordenação atômica.
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Características básicas dos sólidos cristalinos:
Extensão da regularidade do arranjo;
Consistência da posição média entre posições
 médias de átomos vizinhos; e
Constância, em um dado cristal, do número de átomos para estas distâncias.
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Descrição de uma estrutura cristalina:
 em termos de sua célula unitária 
 (especificadas forma e dimensões); e
 em termos do empacotamento dos átomos. 
 
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Estrutura cristalina
Al
Mg
Fonte: Callister / University of Virginia
Comparação de estruturas cristalinas 
para alumínio e magnésio.
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Centro da célula
 unitária
Dois íons por 
ponto da rede
Estrutura: tipo CsCl
Rede de Bravais: cúbica simples
Íons/c.u.: 1Cs+ + 1Cl-
Célula unitária de cloreto de césio, mostrando:
a) posições dos íons e os dos íons por ponto de rede; e
b) posição global dos íons.
Observar que o par Cs+ + Cl-, associado com um dado ponto de rede,não é uma molécula porque a ligação iônica é não-direcional e um dado Cs+ está igualmente ligado a oito Cl- adjacentes e vice-versa.
 Fonte: Shackelford.
(a)
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ESTRUTURA DOS SÓLIDOS CRISTALINOS
Cristal CCC: domínio
 cristalino que reúne posições equivalentes relacionadas entre si por posições:
 ± , ± , ± 
 
 Cristal CFC: domínio
cristalino que reúne posições equivalentes relacionadas entre si por posições:
 
± , ± , 0 
± , 0 , ±
0 , ± , ±
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Monocristais
Monocristais são sólidos cristalinos cujo arranjo de átomos é periódico e repetido.
Ex.: Lâmina de turbina de aviões
Fonte: Callister
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Policristais
A maioria dos sólidos cristalinos é composto por muitos cristais pequenos ou grãos  Materiais policristalinos
Ex.: Junta soldada
Fonte: Callister
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Anisotropia
	Em metais, algumas propriedades dependem da direção cristalográfica nas quais as medidas são realizadas, fenômeno este conhecido como anisotropia. 
	Isto ocorre devido à diferença do espaçamento atômico em função da direção cristalográfica.
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Anisotropia
Monocristais
Propriedades variam com a direção 
 
anisotropia
Fonte: Callister
Ex.: Módulo de elasticidade (E) 
na ferrita (CCC)
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Anisotropia
Policristais
Propriedades podem ou não variar com a direção
Fonte: Callister
Se os grãos são orientados
aleatoriamente isotrópico.
(Eferrita = 210 GPa)
Se os grãos possuem
textura anisotrópico.
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CÉLULA CÚBICA DE CORPO CENTRADO
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Estrutura
cristalina CCC
A estrutura CCC – cúbica de corpo centrado - possui um átomo em cada vértice e um átomo no centro do cubo. Os átomos tocam-se ao longo da diagonal.
Ex.: Fe, Cr, W, Nb, Mo
Fonte: Callister
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Aspectos geométricos de uma célula CCC
Átomos do metalC
Átomos do metal
Interstícios octaedrais
Interstícios tetraedrais
Estrutura cúbica de corpo centrado: (a) célula unitária; (b) direções compactas nos 
planos(1 1 0); (c) interstícios octaedrais; (d) interstícios tetraedrais. 
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F.E.A. = 0,68
N.C. = 8
2 átomos/c.u.
(1 + 8 x 1/8 = 2)
Exemplos: Cr , W ,
 Fe alfa ,
 Mo , V.
Fonte: Shackelford.
Estrutura: cúbica de corpo centrado (CCC)
Rede de Bravais: CCC
Estrutura cúbica de corpo centrado, para metais mostrando: (a) o arranjo dos pontos de rede para a célula unitária; (b) o empacotamento real dos átomos, representados como esferas rígidas; (c) a estrutura CCC repetida, equivalente a muitas células unitárias adjacentes. 
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CÉLULA CÚBICA DE FACES CENTRADAS
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Estrutura cristalina CFC
A estrutura CFC – cúbica de faces centradas - possui um átomo em cada vértice e um átomo no centro de cada face do cubo. Os átomos tocam-se ao longo da diagonal das faces do cubo.
E.: Al, Cu, Ni, Au, Pb, Ag, Pt
Fonte: Callister
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Aspectos geométricos de uma célula CFC
Estrutura cúbica de faces centradas: (a) célula unitária; (b) direções compactas nos 
planos (1 1 1); (c) interstícios octaedrais; (d) interstícios tetraedrais. 
Átomos do metal
Átomos do metal
Interstícios tetraedrais
Interstícios octaedrais
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F.E.A. = 0,74
N.C. = 12
4 átomos/c.u.
(6 x 1/2 + 8 x 1/8 = 4) 
Exemplos: Cu , Al , Ni ,
 Fe gama, Ag,
 Pt, Au.
Estrutura: cúbica de faces centradas (CFC)
Rede de Bravais: CFC
Fonte: Shackelford.
Estrutura cúbica de faces centradas, para metais mostrando: (a) o arranjo dos pontos de rede para a célula unitária; (b) o empacotamento real dos átomos, representados como esferas rígidas; (c) a estrutura CFC repetida, equivalente a muitas células unitárias adjacentes. 
(a)
(b)
(c)
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Átomos internos, localizados 
em posições a ¼ da distância 
ao longo da diagonal.
Dois átomos por 
ponto de rede
Estrutura: cúbica tipo diamante
Rede de Bravais: CFC
Átomos/c.u.:
4 + 6 x ½ + 8 x 1/8 = 8
Exemplos: Si , Ge,
 Sn cinza.
Fonte: Shackelford.
(a)
(b)
Célula unitária cúbica do diamante mostrando: 
(a) posições dos átomos. Há dois átomos por ponto de rede. Cada átomo é coordenado tetraedricamente; e
(b) empacotamento real de todos os átomos
associados à célula unitária. 
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Dois átomos por 
ponto de rede
Estrutura: tipo NaCl 
Rede de Bravais: CFC
Ions/c. u.: 4Na+ + 4Cl-
Cerâmicas típicas: MgO, CaO, FeO e NiO.
(a)
(b)
(c)
Estrutura do NaCl mostrando: (a) posições dos íons na célula; (b) posições de todos os íons; (c) muitas células adjacentes. 
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Ions F-, localizados nos vértices de um cubo (a ¼ da distância ao longo da diagonal.
Estrutura: tipo fluorita (CaF2)
Rede de Bravais: CFC
Ions/c. u.: 4Ca2+ + 4F-
Cerâmicas típicas: UO2, ThO2 e TeO2
(a)
(b)
Célula unitária da fluorita mostrando: (a) posições dos íons na célula; (b) posições de todos os íons. 
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Fonte: Shackelford.
Si4+ localizado no interior da célula
em posições a ¼ de distância ao longo da diagonal.
Estrutura: tipo cristobalita (SiO2)
Rede de Bravais: CFC
Ions/c. u.: 8Si4+ + 16O2-
(b)
(a)
Célula unitária da cristobalita (SiO2) mostrando: (a) posições dos íons; (b) o empacotamento completo dos átomos; (c) conectividade do tetraedro .
No esquema, cada tetraedro possuium Si4+ no seu vértice. Assim, cada O2- poderia estar no vértice do tetraedro e estar em contato com o tetraedro adjacente. 
(c)
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Fonte: Shackelford.
Rede de 
Bravais
Forma 
cristalográfica
1713 (P.F.)
Hexagonal
Hexagonal
Hexagonal
CFC
Baixo quartzo
Alta tridimiita
Alta cristobalita
Alto quartzo
Muitas formas cristalográficas do SiO2 são estáveis no aquecimento, a partir da temperatura ambiente até a temperatura de fusão. Cada forma representa uma diferente maneira diferente de conectar tetraedros adjacentes 
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Fonte: Shackelford.
Interstícios octaedrais
Interstícios tetraedrais
Oxigênio
Posições dos íons no espinélio (MgAl2O4).
Os círculos coloridos representam Mg2+ (nas posições tetraedrais ou com coordenação quatro).
Os círculos em preto representam os íons Al3+ (em posições octaedrais ou com coordenação seis).
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CÉLULA TETRAGONAL DE CORPO CENTRADO
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Estrutura: tipo blenda (ZnS)
Rede de Bravais: CFC
Íons/c.u.: 4Zn2+ + 4S2-
Exemplos:
Semicondutores
 Compostos III – V
 GaS, AlP, InSb;
(b) Compostos II – VI
 ZnS, ZnSe, CdS, HgTe
 
Fonte: Shackelford.
Dois átomos por 
ponto de rede
(a)
(b)
Célula unitária da blenda (ZnS), mostrando:
posições dos íons. Há dois íons por posição de rede. 
Compare esta estrutura com a estrutura 
cúbica do diamante. 
(b) empacotamento real de todos os íons associados com
 célula unitária. 
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CÉLULA HEXAGONAL
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Estrutura cristalina HC
A estrutura HC – hexagonal compacta - pode ser representada por um prisma com base hexagonal, com átomos na base e topo e um plano de átomos no meio da altura.
Ex.: Co, Mg, Zn, Zr, Cd, Ti
Fonte: CIMM
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Célula hexagonal
(a) Modelo de célula unitária.
a e c representam os parâmetros
de rede.
(b) Agregado de muitos átomos.
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ESTRUTURA DE SÓLIDOS CRISTALINOS
Estrutura HC
 F.E.A.= 0,74
 N.C = 12
 6 átomos/c.u.
 razão c/a ideal = 1,633
Exercício: Sendo r e R os raios de átomos em
contato, encontre a razão r/R para N.C.= 3 e N.C.= 4.
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F.E.A. = 0,74 
N.C. = 12
4 átomos/c.u.
Exemplos: Be , Mg ,
 Zn , Zr , Ti alfa.
 
Fonte: Shackelford.
Estrutura: hexagonal compacta
Rede de Bravais: HC
Átomos/c. u.: 1 + 4 x 1/6 + 4 x 1/12 = 2
Metais típicos: Be, Mg, Zn, Zr e Ti
(a)
(b)
(c)
Átomo no plano 
médio
Átomo no plano 
médio
Átomo centrado na
 célula
adjacente
1/12 de 
átomo
1/6 de átomo 
Dois átomos por 
ponto de rede
Estrutura HC para metais mostrando: (a) arranjo dos átomos para a célula unitária; (b) arranjo real dos átomos na célula unitária; (c) estrutura HC repetida, equivalente a muitas células unitárias. 
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Fonte: Shackelford.
(a) Empilhamento de planos compactos 
(b) Empilhamento de planos compactos 
Normal a planos
compactos 
Normal a planos compactos
Planos 
compactos
Planos compactos
(c) Cúbica de faces centradas
(d) Hexagonal compacta
Comparação das estruturas CFC e HC. Cada uma delas apresenta empilhamentos eficientes de planos compactos.
A diferença entre as duas estruturas está na seqüência diferente do empilhamento.
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Fonte: Shackelford.
Estrutura: tipo córindon (Al2O3)
Rede de Bravais: aproximadamente HC
Ions/c. u.: 12Al3+ + 18O2-
Cerâmicas típicas: Al2O3, Cr2O3 e Fe2O3
Vista de topo
Vista lateral
Célula unitária
Célula unitária do córidon superposta ao empilhamento repetido de camadas de íons O2-. Os íons dos íons Al3+ preenchem 2/3 dos pequenos interstícios (octaedrais) entre camadas adjacentes. 
Célula unitária
(6 camadas de O2-) 
Camada compacta de O2-,
com 2/3 sítios octaedrais 
preenchidos com Al3+ 
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Equação 3.5
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Polimorfismo e alotropia
Alguns metais podem ter mais de uma estrutura cristalina, ou polimorfismo.
Quando encontrado no estado sólido é denominado alotropia. 
Ex.: ferro puro
Fe  (CCC) 
910°C
1400°C
Fe  (CFC) 
Fe  (CCC)
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ESTRUTURA DE
SÓLIDOS CRISTALINOS
Polimorfismo / Alotropia (em sólidos elementares):
 dois ou mais tipos de cristais que apresentam-
 a mesma composição(ação de temperatura e/ou
 pressão).
 Exemplos:
 Fe alfa: ccc até 912°C (ferrita);
 Fe gama: cfc de 912°C até 1453°C ( austenita).
Exercícios: 1) Encontre três outros exemplos de
 alotropias, por ação de temperatura. 
 2) Encontre duas alotropias por ação de
 pressão.
 
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 Exemplos de alotropias
diamante
líquido
grafite
vapor
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 Exemplos de alotropias
líquido
Temperatura (°C)
Tempo
ferro delta (CCC)
ferro gama (CFC); não-magnético
ferro gama (CFC); magnético 
ferro gama (CFC); não-magnético 
Alotropias do ferro
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 Exemplos de alotropias
Rômbico
Líquido
Monoclínico
Temperatura (°C)
Pressão (mm Hg)
Vapor
Alotropias do enxofre
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Exemplos de alotropias
Alotropias do fósforo
fluido 
polimérico
fluido 
molecular
cristal ortorômbico
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Alotropia por Pressão:
Carbono: Grafite e Diamante.
 
Diamante.
Grafite
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Fonte: Shackelford.
Rede de 
Bravais
Forma 
cristalográfica
1713 (P.F.)
Hexagonal
Hexagonal
Hexagonal
CFC
Baixo quartzo
Alta tridimiita
Alta cristobalita
Alto quartzo
Muitas formas cristalográficas do SiO2 são estáveis no aquecimento, a partir da temperatura ambiente até a temperatura de fusão. Cada forma representa uma diferente maneira diferente de conectar tetraedros adjacentes 
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Fonte: Shackelford.
Si4+ localizado no interior da célula
em posições a ¼ de distância ao longo da diagonal.
Estrutura: tipo cristobalita (SiO2)
Rede de Bravais: CFC
Ions/c. u.: 8Si4+ + 16O2-
(b)
(a)
Célula unitária da cristobalita (SiO2) mostrando: (a) posições dos íons; (b) o empacotamento completo dos átomos; (c) conectividade do tetraedro .
No esquema, cada tetraedro possuium Si4+ no seu vértice. Assim, cada O2- poderia estar no vértice do tetraedro e estar em contato com o tetraedro adjacente. 
(c)
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Fonte: Shackelford.
(a)
(b)
Vista explodida da célula unitária da 
grafita; (b) Esquema da natureza das estrutura 
em camadas da grafita.
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Fonte: Shackelford.
Arranjo das cadeias poliméricas na célula do polietileno.
As esferas negras são átomos de carbono e as esferas brancas
são átomos de hidrogênio.
As dimensões da célula são: 0,255nm x 0,494 nm x 0,741 nm.
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DIREÇÕES CRISTALINAS
Família de direções < u v w> 
 Exemplo: < 1 0 0 >
Direção não inverte índice !!!!!!
Mesmo espaçamento entre átomos ao longo da direção.
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Fonte: Shackelford.
Notação para direções da rede. Observar que as direções [u v w] (por exemplo, [1 1 1]) dividem a mesma notação, porque apenas a origem é deslocada.
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Fonte: Shackelford.
As translações da rede conectam estruturalmente posições equivalentes (por exemplo, centro do corpo), em várias células unitárias.
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Fonte: Shackelford.
Notação para posições da rede. 
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Fonte: Shackelford.
Família de direções (1 1 1), representando
todas as diagonais do corpo para células unitárias
adjacentes no sistema cúbico.
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PLANOS CRISTALINOS
Indices de Miller 
Nomenclatura utilizada: (h k l)
Metodologia
 considerar um plano pela origem e selecionar outro que lhe seja paralelo;
determinar os interceptos(em termos dos parâmetros do reticulado);
tomar os recíprocos e achar o conjunto dos menores inteiros; e
determinar os índices inteiros.
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PLANOS CRISTALINOS
Família de planos: {h k l}
 Exemplo { 1 1 1 }
Para cristais hexagonais usam-se 4 índices (h k i l), sendo i = - (h + k).
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Fonte: Shackelford.
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Fonte: Shackelford.
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Fonte: Shackelford.
(face lateral)
(face posterior)
(face inferior)
Família de planos {1 1 1}, representando todas as faces das 
células unitárias no sistema cúbico.
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PLANOS CRISTALINOS
Família de planos {h k l}
 Exemplo { 1 1 1 }
Para cristais hexagonais usam-se 4 índices (h k i l) sendo i = - (h + k).
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Fonte: Shackelford.
Indices de Bravais-Miller (h k i l), com h + k = -i,
para o sistema hexagonal.
 
 
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Sistemas de escorregamento para: (a) alumínio CFC; e (b) magnésio HC.
Alumínio
Magnésio
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Exemplo para uma transformação martensítica
Para aços, a transformação martensítica envolve a reorientação rápida 
de átomos de Fe e C a partir da solução sólida de ferro gama (austenita - CFC) para a solução sólida tetragonal de corpo centrado (martensita – TCC). Esta ilustração da transformação martensítica foi apresentada por Bain, em 1924, e posteriormente refinada em estudos do mecanismo de transformação.
(a)
(b)
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VARIAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE COM A DIREÇÃO
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DENSIDADES ATÔMICAS
Densidade atômica linear: fração do comprimento de uma linha,em uma direção cristalográfica particular, que passa por centro de átomos.
Densidade atômica planar: fração da área do plano cristalográfico total, que é ocupada por átomos.
Exercício: Encontre a DL para cristal ccc na direção [1 0 0]. 
 Encontre a DP para cristal cfc no plano (1 1 0).
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EXEMPLO - DL
Calcule a densidade linear para a direção[100] em uma estrutura cristalina ccc.
Solução: A célula unitária ccc, (representada com esferas reduzidas), e a direção [110] nesta célula 
 estão mostradas na figura. 
 Esquema para a resolução 
(a)
(b)
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(a)
(b)
(a) Célula unitária CCC (esferas reduzidas), com a direção [100] indicada; (b) Espaçamento atômico na direção [100], para a estrutura do cristal CCC, entre os átomos M e N em (a).
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EXEMPLO - DL
O comprimento linear total que intercepta
 os círculos (átomos M e N: Lc) é igual a
 2R.
A densidade linear DL é a razão:
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Fonte: Shackelford.
 (a) Célula unitária CFC – 
 modelo de esferas 
 reduzido com o plano 
 (1 1 0); 
 (b)Empacotamento 
 atômico do plano 
 (1 1 0). São indicadas as
 posições atômicas de
 (a).
(a)
(b)
*
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Fonte: Shackelford.
 (a) Célula unitária CCC – modelo 
 reduzido de esferas com o plano 
 (1 1 0); 
 (b) Empacotamento atômico do 
 plano (1 1 0). São indicadas as
 posições atômicas de (a).
(a)
(b)
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
Fonte: Shackelford.
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
A difração ocorre quando a onda encontra uma 
série de obstáculos regularmente separados que :
 são capazes de dispersar a onda;
 possuem espaçamentos comparáveis em magnitude ao comprimento de onda.
A difração é uma conseqüência de relações 
de fases específicas estabelecidas entre duas ou
mais ondas, que foram dispersas pelos obstáculos.
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
Feixe coerente( em fase)
 monocromático(colimado)
 paralelo
 Interferência construtiva
 Planos com mesmos índices {h k l} 
 n.λ = 2dhkl..senΘ
 
 sendo dhkl = a/[h2 + k2 + l2]1/2 
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
Relação do ângulo de Bragg (θ) e o ângulo de difração medido experimentalmente (2θ).
Amostra
Ângulo de Bragg = θ
2θ = ângulo de difração
Detetor de RX
Fonte de RX
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
Difratômetro de RX; (b) Esquema do
 experimento
(a)
(b)
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DIFRAÇÃO – LEI DE BRAGG
Feixe de RX
Filme
Amostra
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EXEMPLO
Para o ferro com estrutura cristalina CCC,
 calcule:
 a) o espaçamento interplanar; e
 b) o ângulo de difração para o conjunto 
 de planos (2 2 0).
Parâmetro de rede para o ferro = 0,2866 nm.
Radiação monocromática λ = 0,1790 nm.
Ordem de reflexão = 1
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO
Espaçamento interplanar
 dhkl = a / [ h2 + k2 + l2 ]1/2
 dhkl = 0,2866 nm / [ 22 + 22 + 0 ]1/2
 dhkl = 0,1013 nm
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SOLUÇÃO DO EXEMPLO
Valor do ângulo Θ
 n.λ = 2.d.senΘ
 senΘ = n.λ / 2.dhkl
 senΘ = (1).(0,1790 nm) / (2.0,1013 nm)
 Θ = 62,13° ou 2Θ = 124,26°