Integrais_de_Linha

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1 
Integral de Linha 
 
Sejam F : Rn → Rn e  : [a,b] → Rn. Então 

dF = dtttF
b
a
)´())((   
 
Exercícios. 
 
1. Calcular 

dF onde: 
a) F(x,y) = (x, y) e (t) = (t, t2), t  [-1,1] 
Resp. 0 
 
b) F(x,y) = ( 2222 , yx
x
yx
y

 ) e (t) = (cos t, sen t), 0  t  2  
Resp. 2  
 
c) F(x,y,z) = (x, y, z) e (t) = (cos t, sen t, t), 0  t  2  
Resp. 2 2 
 
d) F(x,y,z) = (0, 0, x+y+z) e (t) = (t, t, 1-t2), 0  t  1 
Resp. 
6
11 
 
e) F(x,y) = (0, x2) e (t) = (t2, 3), -1  t  1 
Resp. 0 
 
f) F(x,y) = (x2, x-y) e (t) = (t, sen t), 0  t   
Resp. 
3
3 -2 
 
g) F(x,y,z) = (x2, y2, z2) e (t) = (2 cos t, 3 sen t, t), 0  t  2  
Resp. 
3
8 3 
 
 
Outra Notação para Integral de Linha 
 
Sejam F : R2 → R2 e  : [a,b] → R2 tais que F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) e (t) = (x(t), y(t)). Então 


dF = dyyxQdxyxP ),(),(  
 
Exercícios. 
 
2. Calcular: 
a)  x dx + y dy, onde (t) = (t2, sen t), 0  t  2
 
Resp. 
2
1
32
4
 
 
b)  x dx + (x2+y+z) dy + xyz dz, onde (t) = (t, 2t, 1), 0  t  1 
 2 
Resp. 
6
31 
 
c)  x dx – y dy, onde  é o segmento de extremidades (1,1) e (2,3), percorrido no sentido de (1,1) para 
(2,3). 
Resp. 
2
5 
 
d)  x dx + y dy + z dz, onde  é o segmento de extremidades (0,0,0) e (1,2,1), percorrido no sentido de 
(1,2,1) para (0,0,0). 
Resp. -3 
 
e)  x dx + dy + 2 dz, onde  é a interseção do parabolóide z = x2 + y2 com o plano z = 2x + 2y -1; o 
sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de (t), no plano xy, caminhe no sentido 
anti-horário. 
Resp. 0 
 
f)  dx + xy dy + z dz, onde  é a interseção de x2 + y2 + z2 = 2, x  0, y  0 e z  0, com o plano y = x; 
o sentido de percurso é do ponto (0,0, 2 ) para (1,1,0). 
Resp. 
3
1 
 
g)  2 dx – dy, onde  tem por imagem x2 + y2 = 4, x  0 e y  0; o sentido de percurso é de (2,0) para 
(0,2). 
Resp. -6 
 
h)  224 yx
y

 dx + 224 yx
x

 dy, onde  tem por imagem a elipse 4x2 + y2 = 9 e o sentido de 
percurso é o anti-horário. 
Resp.  
 
i)  22 yx
y

 dx + 22 yx
x

 dy, onde (t) = (R cos t, R sen t), 0  t  2 , (R > 0). 
Resp. 2 
 
j)  dx + y dy + dz, onde  é a interseção do plano y = x com a superfície z = x2 + y2, z  2, sendo o 
sentido de percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2). 
Resp. 2 
 
k)  dx + dy + dz onde  é a interseção entre as superfícies y = x2 e z = 2 – x2 – y2, x  0, y  0 e z  0, 
sendo o sentido de percurso do ponto (1, 1, 0) para o ponto (0, 0, 2). 
Resp. 0 
 
l)  2y dx + z dy + x dz onde  é a interseção entre as superfícies x2 + 4y2 = 1 e x2 + z2 = 1, y  0 e z  
0, sendo o sentido de percurso do ponto (1, 0, 0) para o ponto (-1, 0, 0). 
Resp. 0 
 3 
m)  -y dx + x dy onde  é uma curva suave cuja imagem é a elipse 4
2x + 
9
2y = 1, e tal que, quando t 
varia de a até b, (t) descreve a elipse no sentido anti-horário. 
Resp. 12  
 
n)  x dx + xy dy, onde (t) = (t, |t|), -1  t  1 
Resp. 
3
2 
 
o)  x dx + y dy onde  é uma curva cuja imagem é a poligonal de vértices (0,0), (2,0) e (2,1), orientada 
de (0,0) para (2,1). 
Resp. 
2
5 
 
p)  -y dx + x dy onde  é uma curva suave cuja imagem é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1), 
orientada no sentido anti-horário. 
Resp. 1 
 
q)  3 x dx + 21
1
y
 dy, onde  é o quadrado de vértices (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). 
Resp. 0 
 
r)  F d, onde F(x,y) = (x2+y2) 

j e  é a curva anterior. 
Resp. 0 
 
s)  (x-y) dx + ex+y dy, onde  é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,2), orientada no 
sentido anti-horário. 
Resp. 
6
3e - 
2
e + 
6
5 
 
t)  dx + dy, onde  é a poligonal de vértices A0 = (0,0), A1 = (1,2), A2 = (-1,3), A3 = (-2,1) e A4 = (-1, 
-1), sendo  orientada de A0 para A4. 
Resp. -2 
 
u)  y2 dx + x dy – dz, onde  é a poligonal de vértices A0 = (0,0,0), A1 = (1,1,1) e A2 = (1,1,0) 
orientada de A0 para A2. 
Resp. 
6
5 
 
v)  x2 dx + y2 dy + z2 dz, onde  é a curva anterior. 
Resp. 
3
2 
 
 
 
 
 4 
Integral de Linha Relativa ao Comprimento de Arco 
 
Sejam f : R2 → R e  : [a,b] → R2. Então dsf =  
b
a
dtttf ||)´(||))((  
 
Exercícios. 
 
3. Calcular: 
a)  (x2 + 2y2) ds, onde (t) = (cos t, sen t), 0  t  2 
Resp. 3  
 
b)  (x2 + y2) ds, onde (t) = (t, t), -1  t  1 
Resp. 
3
24 
 
c)  (2xy + y2) ds, onde (t) = (t+1, t-1), 0  t  1 
Resp. 2 
 
d)  xyz ds, onde (t) = (cos t, sen t, t), 0  t  2 
Resp. 
2
2