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Exerćıcios Sugeridos da 4a Semana
I) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
1.
∫
C
ydx− xdy, onde C é a circunferência de centro (0, 0) e raio 1.
2.
∫
C
eydx + 2xeydy, onde C é o quadrado limitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e
y = 1.
3.
∫
C
y3dx− x3dy, onde C é a circunferência x2 + y2 = 4.
4.
∫
C
ey
x
dx + (ey lnx + 2x)dy, onde C é a fronteira da região limitada por x = y4 + 1 e
x = 2.
II) Use o Teorema de Green para calcular
∫
C
F · dr (Verifique a orientação da curva)
1. F (x, y) = (xy + x+ y, xy + x− y) onde C a elipse b2x2 + a2y2 = (ab)2.
2. F (x, y) = (2x3 − y3, x3 + y3), Onde C é a fronteira da região anular a ≤ x2 + y2 ≤ b
orientada sentido positivo.
3. F (x, y) = (3x2y,−x3), Onde C é a região compreendida entre a parábola y = x2 e a
reta y = 1.
4. F (x, y) = (
√
x + y3, x2 +
√
y), onde C é o arco da curva y = senx de (0, 0) a (π, 0) e
do segmento de reta (0, 0) a (π, 0).
III) Use o teorema de green para calcular
1. Calcule a área limitada pela eixo y, pelas retas y = 1, y = 3 e x = y2.
2. Calcule a área sobre um arco do cicloide σ(t) = (t− sen t, 1− cos t).
Dica pare os dois item: Pelo teorema Green a área de uma região D limitada por
uma curva C é calculado por
A(D) =
∮
C
xdy
3. Considere a integral de linha
∫
C
(y2 − xy)dx+ k(x2 − 4xy)dy.
a) Determine os valores de k para os quais está integral seja independente do ca-
minho.
1
b) Calcule o valor da integral de A = (0, 0) a B = (1, 1) para o valor de k encontrados
no item a).
4. Encontre todos os posśıveis valores de
∫
C
(x+ y)dx+ (y − x)dy
x2 + y2
onde C é qualquer
curva fechada que não passa pela origem.
5. Calcule a integral de linha do campo vetorial
F (x, y) =
(
−2y
x2 + y
2
4
+ 2x,
2x
x2 + y
2
4
+ 1
)
ao longo da circunferência x2 + y2 = 1 orientada no sentido anti-horário.
2