1° LISTA DE EXERCÍCIOS - FUNÇÕES VETORIAIS 1

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Faculdade Esta´cio do Recife
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Prof. Se´rgio Barreto
1◦ L I S T A D E E X E R C I´ C I O S - F U N C¸ O˜ E S V E T O R I A I S 1
1. A posic¸a˜o de uma part´ıcula no plano xy, no tempo t, e´ dada por x(t) = et, y(t) = tet.
(a) Escrever a func¸a˜o vetorial f(t) que descreve o movimento desta part´ıcula.
(b) Onde se encontrara´ a part´ıcula em t = 0 e em t = 2.
2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superf´ıcie de uma lagoa pode ser expresso pela
func¸a˜o vetorial
~r(t) =
(
1− Cos(t)
m
)
~i +
(
2t+
t− Sen(t)
m
)
~j
onde m e´ a massa do besouro. Determinar a posic¸a˜o do besouro no instante t = 0 e t = pi.
3. Uma part´ıcula se desloca no espac¸o. Em cada instante t o seu vetor posic¸a˜o e´ dado por
f(t) = t~i +
1
t− 2
~j + ~k
(a) Determinar a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 0 e t = 1.
(b) Quando t se aproxima de 3, o que ocorre com a posic¸a˜o da part´ıcula?
4. Seja f(t) = t~i + 2t2~j + 3t3~k e g(t) = 2t~i + ~j − 3t2~k, t ≥ 0. Calcular:
(a) lim
t→1
[
f(t) + g(t)
]
(b) lim
t→1
[
f(t) � g(t)
]
(c) lim
t→1
[
f(t) × g(t)
]
(d) lim
t→1
[
(t+ 1)f(t)
]
1
5. Calcular os seguintes limites de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel.
(a) lim
t→pi
(
Cos(t)~i + t2~j − 5~k
)
(b) lim
t→2
(
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3)
~i + ~j
)
(c) lim
t→2
1
t−2
[
(t2 − 4)~i + (t− 2)~j
]
(d) lim
t→+∞
[(
t2 + 1
3t2 + 2
)
~i+
(
1
t
)
~j
]
(e) lim
t→0+
[(√
t
)
~i+
(
Sen(t)
t
)
~j
]
(f) lim
t→2
(
t~i− 3~j + t2~k
)
6. Determine se a func¸a˜o vetorial f(t) e´ cont´ınua em t0 = 0. Explique seu racioc´ınio.
(a) f(t) = 3Sen(t)~i− 2t~j
(b) f(t) = t2~i+
1
t
~j + t~k
(c) f(t) = et~i+ Csc(t)~k
(d) f(t) = 5~i−√3t+ 1~j + e2t~k
7. Obtenha a derivada de cada func¸a˜o vetorial abaixo:
(a) f(t) = 4~i− Cos(t)~j
(b) f(t) = t~i+ t2~j
(c) f(t) = t3~i+ t2~j − 3~k
(d) f(t) = 2Sen(t)~i+ 3Cos(t)~j
(e) f(t) = Sec(t)~i+ Tg(t)~j
2
(f) f(t) = 2Sen(t)~i+~j + 2Cos(t)~k
(g) f(t) = Cos(t)~i+ Sen(t)~j + t~k
8. Seja r(t) = et~i+
2
9
.e2t~j a posic¸a˜o de uma part´ıcula no plano xy no instante t. Encontre o vetor
velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t.
9. A func¸a˜o que descreve o movimento de uma part´ıcula no plano xy, no tempo t, e´ dada por
s(t) = et~i+ tet~j.
(a) Encontre a func¸a˜o velocidade v(t) =
ds
dt
.
(b) Encontre o valor da velocidade para t = 3 seg.
10. Considere a func¸a˜o vetorial f(t) = Sen
(
5t
)
~i+ Cos
(
5t
)
~j +
√
11t~k. Determine:
(a) a expressa˜o do vetor tangente unita´rio;
(b) a posic¸a˜o do vetor tangente unita´rio para t =
pi
4
.
Dados: Sen
(
pi
4
)
= Cos
(
pi
4
)
=
√
2
2
11. Encontre um vetor normal a curva r(t) = (etcost)~i+ (etsent)~j + 2~k.
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