Progressão Aritmética e Geométrica Lição

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CENTRAL DE CURSOS PROF PIMENTEL Raciocínio Lógico 
Prof Marcelo Sbicca 
1 
Raciocínio-Lógico Quantitativo 
Progressão Aritmética – PA 
Progressão Geométrica – 
PG 
01 
Professor: Marcelo Sbicca 
E-mail: prof.sbicca@gmail.com 
Raciocínio-Lógico Quantitativo 
 
Sequência 
Sequência 
 
A sequência é um conjunto de elementos que estão 
dispostos de maneira ordenada. 
 
Representação: 
(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛) 
 
Sequências abordadas: 
Progressão aritmética – PA 
Progressão geométrica – PG 
Sequência 
 
Progressão Aritmética - PA 
Progressão Aritmética – PA 
A progressão aritmética – PA é uma sequência numérica 
cuja razão (diferença entre qualquer termo e seu 
antecessor, a partir do seu segundo termo) é constante. 
 
Fórmula do termo geral da PA: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟 
 
𝑎𝑛 = termo de posição n qualquer 
𝑎1 = primeiro termo 
𝑟 = razão 
Progressão Aritmética – PA 
A progressão aritmética – PA é uma sequência numérica 
cuja razão (diferença entre os termos anterior e sucessor 
da PA, a partir do seu segundo termo) é constante. 
 
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela 
seguinte fórmula: 
 
𝑆𝑛 = 
𝑎1 + 𝑎𝑛 . 𝑛 
2
 
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2 
Progressão Aritmética – PA 
A progressão aritmética – PA é uma sequência numérica 
cuja razão (diferença entre os termos anterior e sucessor 
da PA, a partir do seu segundo termo) é constante. 
 
Propriedades 
obtém-se um termo da PA a partir da média dos termos 
imediatamente antecessor e sucessor; 
 
a diferença entre dois termos consecutivos da PA é 
sempre igual a sua razão. 
Progressão Aritmética – PA 
 
Questão de Concurso 
(ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior). A soma dos 
100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é 
igual a: 
 
a) 15.270 
b) 15.410 
c) 15.320 
d) 15.340 
e) 15.250 
Resolução 
 
Dado: sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) 
Pede-se: qual a soma dos 100 primeiros termos? 
(ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior). A soma dos 
100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é 
igual a: 
 
a) 15.270 
b) 15.410 
c) 15.320 
d) 15.340 
e) 15.250 
GABARITO: E 
Progressão Aritmética – PA 
 
Questão de Concurso 
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(CESPE – Banco do Brasil – Escriturário). O gráfico a 
seguir, que ilustra a previsão das reservas monetárias de 
alguns países, em 2008, deve ser considerado para o 
julgamento da questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível encontrar uma progressão aritmética decrescente, 
em que os 5 primeiros termos, a1, a2, a3, a4, a5 coincidam, 
respectivamente, com os valores das reservas da China, da 
Rússia, da Índia, da Coréia do Sul e do Brasil, constantes do 
gráfico. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
 
 
 
 
 
É possível encontrar uma progressão aritmética decrescente, 
em que os 5 primeiros termos, a1, a2, a3, a4, a5 coincidam, 
respectivamente, com os valores das reservas da China, da 
Rússia, da Índia, da Coréia do Sul e do Brasil, constantes do 
gráfico. 
( ) Certo ( X ) Errado 
Sequência 
 
Progressão Geométrica - PG 
Progressão Geométrica – PG 
A progressão geométrica – PG é uma sequência numérica 
cuja razão (quociente entre qualquer termo e seu 
antecessor, a partir do segundo termo) é constante. 
 
Fórmula do termo geral da PG: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
𝑛−1 
 
𝑎𝑛 = termo de posição n qualquer 
𝑎1 = primeiro termo 
𝑞 = razão 
Progressão Geométrica – PG 
Soma dos n primeiros termos da PG: 
𝑆𝑛 = 
𝑎1 . 𝑞
𝑛 − 1 
𝑞 − 1
 
 
Soma dos infinitos termos da PG: 
𝑆∞ = 
𝑎1
 1 − 𝑞 
 
 
Observação: é condição necessária para a soma dos 
infinitos termos de uma PG que a razão esteja no intervalo 
entre zero e um, ou seja, 0 < q < 1. 
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Progressão Geométrica – PG 
 
Questão de Concurso 
(ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior). Em uma 
progressão geométrica, tem-se a1 = 2 e a5 = 162. Então, a 
soma dos três primeiros termos dessa progressão 
geométrica é igual a: 
 
a) 26 
b) 22 
c) 30 
d) 28 
e) 20 
Resolução 
Dado: a1 = 2 e a5 = 162 
Pede-se: qual a soma dos três primeiros termos? 
 
(ESAF/2013 – MF – Cargos de nível superior) 
 
Em uma progressão geométrica, tem-se a1 = 2 e a5 = 162. 
Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão 
geométrica é igual a: 
 
a) 26 
b) 22 
c) 30 
d) 28 
e) 20 
GABARITO: A 
PA e PG 
 
Curiosidade! 
PA e PG 
A progressão aritmética será também uma progressão 
geométrica quando seus termos forem iguais. 
 
Sequência = (7, 7, 7, 7, 7, ...) 
 
A sequência é uma PA com razão igual a zero (r = 0) 
A sequência é uma PG com razão igual a um (q = 1) 
 
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Progressão Geométrica – PG 
Propriedades da PG 
 
O produto dos termos equidistantes em relação ao centro 
de uma PG é constante: 
 
PG = {a, e, i, o, u} 
a . u = e . o = i . i 
Progressão Geométrica – PG 
Propriedades da PG 
 
O quadrado de um termo é igual ao produto de seu 
antecedente pelo seu consequente: 
 
PG = {a, e, i, o, u} 
e2 = a . i 
i2 = e . o 
o2 = i . u 
Progressão Geométrica – PG 
 
Questão de Concurso 
(Cops-Uel/2013 – AFPR – Assistente Administrativo). A 
população de uma cidade aumenta a uma taxa de 2% a cada 
5 anos. Deseja-se estimar a população no ano de 2030, 
sabendo que em 2010 a população era de 100.000 
habitantes. Com relação a esse contexto, considere as 
afirmativas a seguir. 
 
I. A solução desse problema forma uma PG, no qual 
a1 = 100.000 
II. a2 = 100.000 + 0,02 × 100.000 = 100.000 (1 + 0,02) = 
1,02 × 100.000 
III. Em 2030, a população será o quinto termo de uma PG, 
dado por: a5 = (1, 02)4 × 100.000 = 108.243 
IV. O número de habitantes a cada 5 anos é dado por uma 
PG de razão q = 0,02 
(Cops-Uel/2013 – AFPR – Assistente Administrativo). 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. 
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. 
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. 
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 
 
Resolução 
 
Dados: 
População aumenta 2% a cada 5 anos 
Deseja-se estimar a população em 2030 
Em 2010 a população era de 100.000 habitantes 
 
I. A solução desse problema forma uma PG, no qual a1 
 = 100.000 
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Resolução 
 
Dados: 
População aumenta 2% a cada 5 anos 
Deseja-se estimar a população em 2030 
Em 2010 a população era de 100.000 habitantes 
 
II. a2 = 100.000 + 0,02 × 100.000 = 100.000 (1 + 0,02) = 
 1,02 × 100.000 
Resolução 
 
Dados: 
População aumenta 2% a cada 5 anos 
Deseja-se estimar a população em 2030 
Em 2010 a população era de 100.000 habitantes 
 
III. Em 2030, a população será o quinto termo de uma 
 PG, dado por: a5 = (1, 02)4 × 100.000 = 108.243 
Resolução 
 
Dados: 
População aumenta 2% a cada 5 anos 
Deseja-se estimar a população em 2030 
Em 2010 a população era de 100.000 habitantes 
 
IV. O número de habitantes a cada 5 anos é dado por 
 uma PG de razão q = 0,02 
(Cops-Uel/2013 – AFPR – Assistente Administrativo)I. A solução desse problema forma uma PG, no qual a1 = 
100.000 (Correto) 
 
II. a2 = 100.000 + 0,02 × 100.000 = 100.000 (1 + 0,02) = 
1,02 × 100.000 (Correto) 
 
III. Em 2030, a população será o quinto termo de uma PG, 
dado por: a5 = (1, 02)4 × 100.000 = 108.243 (Correto) 
 
IV. O número de habitantes a cada 5 anos é dado por uma 
PG de razão q = 0,02 (Errado) 
 
(Cops-Uel/2013 – AFPR – Assistente Administrativo). 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas I e IV são corretas. 
c) Somente as afirmativas III e IV são corretas. 
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. 
e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas. 
 
GABARITO: D 
Sequência 
 
Resumo 
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Resumo 
Progressão Aritmética – PA 
 
Termo geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 . 𝑟 
 
Soma: 𝑆𝑛 = 
𝑎1 + 𝑎𝑛 .𝑛 
2
 
 
Propriedades: 
obtém-se um termo da PA a partir da média dos termos 
imediatamente antecessor e sucessor; 
 
a diferença entre dois termos consecutivos da PA é 
sempre igual a sua razão. 
 
Resumo 
Progressão Geométrica – PG 
 
Termo geral: 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞
𝑛−1 
 
Soma: 
Progressão finita: 𝑆𝑛 = 
𝑎1 . 𝑞
𝑛 − 1 
𝑞 − 1
 
 
Progressão infinita: 𝑆∞ = 
𝑎1
 1 − 𝑞 
 
 
Condição para soma da progressão infinita: 0 < q < 1. 
 
Resumo 
Progressão Geométrica – PG 
 
Propriedades: 
 
O produto dos termos equidistantes em relação ao centro 
da PG é constante: 
PG = {a, e, i, o, u} 
a . u = e . o = i . I 
 
O quadrado de um termo é igual ao produto de seu 
antecedente pelo seu consequente: 
PG = {a, e, i, o, u} 
e2 = a . i 
 
Raciocínio-Lógico Quantitativo 
 
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