Opcional-2o2012-Fila-A

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UFJF – ICE – Departamento de Matemática 
Cálculo I – Prova Opcional – 2º Semestre Letivo de 2012 – 11/04/2013 – FILA A 
Aluno (a):_________________________________________ Matrícula:__________ Turma: _____ 
Instruções Gerais: 
1- Preencher o quadro de respostas das questões de múltipla escolha com caneta azul ou preta. 
2- Não é permitido sair da sala durante a aplicação da prova. 
3- Não é permitido o uso de calculadora. 
4- Permanência mínima de 30 minutos na sala. 
5- A prova tem duração de duas horas e meia. 
 
Quadro de Respostas 
Valor: 100 pontos 
Alternativa/Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A 
B 
C 
D 
E 
 
As questões de números 1 a 9 referem-se à função  
2
2
2
)(
x
x
xf


. 
1- O domínio da função f é o conjunto: 
a) 
R
 b) 
 2R
 c) 
 2R
 d) 
 0 ,2R
 e) 
 0R
 
 
2- A derivada primeira da função f é: 
a) 
x
x 2
 b) 
4
84
x
x 
 c) 
3
42
x
x 
 
d) 
3
84
x
x 
 e) 
4
42
x
x 
 
 
3- A derivada segunda da função f é: 
a) 
2
2
x

 b) 
5
3212
x
x 
 c) 
4
124
x
x 
 
d) 
4
248
x
x 
 e) 
5
166
x
x 
 
 
4- Os pontos críticos da função f são: 
a) – 2 b) – 2 e 2 c) 2 d) 0 
e) não existem pontos críticos 
 
 
5- Sobre o crescimento e decrescimento da função f , podemos 
afirmar que: 
a) 
f
é crescente no intervalo 
  ,
. 
b) 
f
é crescente nos intervalos 
    ,0 e 2 ,
 e 
f
é decrescente no intervalo 
 0 ,2
. 
c) 
f
é decrescente nos intervalos 
    ,0 e 2 ,
 e 
f
é crescente no intervalo 
 0 ,2
. 
 d) 
f
é crescente nos intervalos 
    ,2 e 0 ,
 e 
f
é decrescente no intervalo 
 2 ,0
. 
e) 
f
é decrescente nos intervalos 
    ,2 e 0 ,
 e 
f
é crescente no intervalo 
 2 ,0
. 
Rascunho 
 
 
 
2 
6- Sobre a concavidade da função f , podemos afirmar que: 
a) 
f
é côncava para cima no intervalo 
  ,
. 
b) 
f
é côncava para cima nos intervalos 
    0, e 0 ,3
 e 
f
é côncava para baixo no intervalo 
 3,
. 
c) 
f
é côncava para baixo nos intervalos 
    0, e 0 ,3
 e 
f
é côncava para cima no intervalo 
 3,
. 
 d) 
f
é côncava para cima nos intervalos 
    ,2 e 2,
 e 
f
é côncava para baixo no intervalo 
 2 ,2
. 
e) 
f
é côncava para baixo nos intervalos 
    ,2 e 2,
 e 
f
é côncava para cima no intervalo 
 2 ,2
. 
 
 
7- Sobre máximos e mínimos relativos (locais) da função f e 
pontos de inflexão, podemos afirmar que: 
 
a) Não existem máximos relativos, mínimos relativos e pontos de 
inflexão. 
 
b) f possui máximo relativo em 
2x
, f não possui mínimo relativo 
e f possui ponto de inflexão em 
3x
. 
 
c) f possui mínimo relativo em 
2x
, f não possui máximo relativo 
e f possui ponto de inflexão em 
3x
. 
 
d) f possui mínimo relativo em 
2x
, f possui máximo relativo em 
0x
 e f possui ponto de inflexão em 
3x
. 
 
e) f possui máximo relativo em 
2x
, f possui mínimo relativo em 
0x
 e f possui ponto de inflexão em 
3x
. 
 
 
8- Marque a alternativa INCORRETA: 
a) 
1)(lim
 


xf
x
. 
b) 
1)(lim
 


xf
x
. 
c) 


)(lim
0 
xf
x
 
d) A reta 
1y
 é assíntota horizontal do gráfico de f. 
e) A reta 
1x
 é assíntota vertical do gráfico de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
3 
9- O gráfico que melhor representa a função f é: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10- Considere a figura abaixo, na qual estão os gráficos das funções 
 f e g. 
 
 
 
 
 
Se 
 1' então ,)().()( PxgxfxP 
 é igual a: 
 
a) 6 b) – 6 c) – 2 d) 1 e) 2 
 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
 
 
4 
11- Se 
4
)(


x
x
xf
, então tem-se 
)2(' )( fxf 
 para: 
a) 
42  x
 b) 
4ou 2  xx
 c) 
4x
 d) 
4x
 
e) 
52  x
 
 
 
12- Considere as seguintes afirmativas sobre a função 
RRf :
: 
I) Se a função f possui mínimo absoluto em 
cx 
 então 
0)(' cf
. 
 
II) Se a função f é par, derivável e possui máximo relativo (local) 
em 
cx 
 então 
0)(' cf
. 
 
III) Se a função f é ímpar e possui máximo relativo (local) em 
cx 
 então f possui mínimo relativo (local) em 
cx 
. 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
a) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
b) Todas as afirmativas são falsas. 
c) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
 
13- Calculando as derivadas das funções 
  xxfRf 2)(por definida ,0: 
 
   exRg ln)(gpor definida ,0:
 
 
)( cossec
)( cotg
)(por definida , ;:
x
x
xhRZkkxRxh   
obtemos, respectivamente: 
 
a) 
)()(' ,0)(' ,
1
)(' xsenxhxg
x
xf 
 
b) 
)( cotg
)( cossec
)(' ,1)(' ,
1
)(' 
x
x
xhxg
x
xf 
 
c) 
)sec()(' ,0)(' ,
2
)(' xxhxg
x
xf 
 
d) 
)sec()(' ,)(' ,
2
)(' xxhexg
x
xf  
 
e) 
)()(' ,1)(' ,
1
)(' xsenxhxg
x
xf 
 
 
 
14- Uma escada com 13 dm está em pé e apoiada em uma parede, quando 
sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em 
que a base está a 12 dm da parede, a escada escorrega a uma taxa de 
5 dm/s. Com que velocidade se move o topo da escada ao longo da parede 
neste momento? 
 
a) 12 dm/s b) 5 dm/s c) – 12 dm/s d) – 5 dm/s e) – 1 dm/s 
 
 
Rascunho 
 
 
 
5 
15- Considere a função 
 
 0 se , 0
0 se ,
1
)(
2







x
x
x
senx
xf
. 
Marque a alternativa INCORRETA: 
a) f é contínua em x = 0. 
b) 
0)(lim
0


xf
x
. 
c) f é derivável em x = 0. 
d) 
0)0(' f
 
e) Não existe 
x
xf
x
)(
lim
0
. 
 
16- O valor do limite 
 xxxx
x


22
 
lim
 é: 
a) 

 b) 

 c) 
1
 d) 
1
 e) 0 
 
 
17- O retângulo representado abaixo possui um lado no eixo y positivo, 
o lado vizinho no eixo x positivo e seu vértice superior direito na curva 
2xey 
. 
 
 
Qual é a maior área possível para um retângulo nas condições descritas? 
a) 
e
1
 b) 
e
1
 c) 
e2
1
 d) 
2
1
 e) 
2
1
e
 
 
 
18- A inclinaçãoda reta normal à curva 
032 22  yxyx
 no ponto 
 1 ,1
 é: 
 
a) 1 b) 0 c) 2 d) – 1 e) – 2 
 
 
19- Calculando o limite   
x
xsensen
x
2 
lim
0 
 obtemos: 
 
a) 0 b) – 2 c) 2 d) – 1 e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
6 
20- Na figura abaixo está representado parte do gráfico da derivada 
' f
 
de uma função derivável 
RRf :
. 
 
 
 
Marque a alternativa INCORRETA: 
a) Os pontos – 1 e 2 são pontos críticos de f. 
b) A função f é decrescente no intervalo 
 1 ,2 
. 
c) A função f possui máximo relativo (local) 
0x
. 
d) A função f é côncava para cima no intervalo 
 0 ,1
. 
e) O gráfico de f possui ponto de inflexão cuja abscissa pertence ao 
intervalo 
 2 ,1
. 
 
Rascunho