Matemática II - AVAMEC 09

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MINICURSO 2 AS FUNÇÕES E SUAS DERIVADAS
UNIDADE 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA
Slide 9 de 9
Nos exercícios 1, 2 e 3, use a(s) derivada(s) da função para determinar:
I. O(s) intervalo(s) onde é crescente; 
II. O(s) intervalo(s) onde é decrescente; 
III. O(s) intervalo(s) onde é côncava para cima; 
IV. O(s) intervalo(s) onde é côncava para baixo; 
V. Máximo local 
VI. Mínimo local 
1. 
A alternativa que contém as respostas corretas dos 5 itens é:
y = f(x)
 f(x) 
 f(x) 
 f(x) 
 f(x) 
 f(x) = 2 + 4 + 1x4 x2
I. Crescente: e 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: e 
V. Máximo local: e 
VI. Mínimo local: 
a (−∞, −1] [0, 1]
[−1, 0] [1, ∞)
( , − )3√3
3√
3
( − ∞, − )3√3 ( , ∞)
3√
3
(0, 1) (−1, −1)
(1, −1)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: e 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI Mínimo local: e
b (−1, 0] [1, ∞)
(−∞, −1] [0, 1]
( − ∞, − )3√3 ( , ∞)
3√
3
( − , )3√3
3√
3
(0, 1)
(1 −1) (−1 −1)
QUESTÃO 1 DE 5

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VI. Mínimo local: e (1, 1) ( 1, 1)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: e 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: e 
c [−∞, −1] [0, 1]
[−1, 0] [1, ∞]
( − ∞, − )3√3 ( , ∞]
3√
3
( , − )3√3
3√
3
(0, 1)
(1, −1) (−1, −1)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: e 
V. Máximo local: e 
VI. Mínimo local: 
d [−1, 0] [1, ∞)
[−∞, −1] [0, 1]
( − , 0)3√3
( − ∞, − )3√3 ( , ∞)
3√
3
(0, 1) (−1, −1)
(1, −1)
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resposta - Questão 1
Vamos analisar as funções:
Analisaremos agora os sinais de cada uma delas...
 f(x) = 2 − 4 + 1x4 x2
 (indica os intervalos em que é crescente ou decrescente)  (x) = 8 − 8x   f ′ x3  f(x) 
 (indica os intervalos em que a concavidade de é voltada para baixo ou
para cima)
  (x) = 24 − 8   f ′′ x2  f(x) 
( ) ( )f ′
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Um produto entre dois termos será positivo quando os dois tiverem o mesmo sinal (ou ambos
positivos ou ambos negativos). Dessa forma,
Veja o esquema abaixo:
Dessa forma, podemos concluir que os intervalos em que será crescente
ou decrescente:
É crescente quando ou quando . É decrescente caso contrário, ou seja,
quando ou quando . 
Desse último esquema, podemos ver que quando e quando tem-se os pontos
de mínimos locais. Além disso, quando tem-se o ponto de máximo local. Logo,
Concluímos que e são pontos mínimos locais e que é de máximo
local.
  (x) = 8 − 8x = 8x( − 1)f ′ x3 x2
 8x ≥ 0  ⟺   x ≥   ⟺   x ≥ 008
 ou   − 1 ≥ 0  ⟺    ≥ 1  ⟺   x ≥   x2 x2 1 −−√    x ≤ − 1 −−√
 f(x) = 2 − 4 + 1 x4 x2
  − 1 ≤ x ≤ 0   x ≥ 1
 x ≤ −1   0 ≤ x ≤ 1
 x = −1   x = 1,  
 x = 0,  
f(−1) = 2(−1 − 4(−1 + 1 = −1)4 )2
f(1) = 2(1 − 4(1 + 1 = −1)4 )2
f(0) = 2(0 − 4(0 + 1 = 1)4 )2
 (−1, −1)   (1, −1)   (0, 1) 
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Agora vamos analisar os sinais da segunda derivada para verificar as concavidades:
A saber, 
Veja os esquemas abaixo:
Portanto, a função tem tem concavidade voltada para cima quando 
 ou quando 
A sua concavidade será voltada para baixo quando . 
Respondendo os itens do enunciado, temos:
  (x) = 24 − 8 = 8(3 − 1)f ′′ x2 x2
 
 
 
 
 ou 
3 − 1 ≥ 0  ⟺   3 ≥ 1x2 x2
     ⟺    ≥x2
1
3
     ⟺   x ≥     
1
3
−−
√    x ≤ − . 1
3
−−
√
   = = ⋅ = ≈ 0, 58 
1
3
−−
√ 1
 3 −−√
1
 3 −−√
 3 −−√
 3 −−√
 3 −−√
3
 f(x) = 2 − 4 + 1 x4 x2
 x ≤ −  
 3 −−√
3
 x ≥ .  
 3 −−√
3
   − ≤ x ≤
 3 
−−√
3
 3 
−−√
3
I. Crescente: e  [−1, 0]   [1, ∞)
II D t ( 1] [0 1]
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Abaixo, veja o gráfico de :
II. Decrescente: e  (−∞, −1]   [0, 1]
III. Concavidade para cima: e  ( − ∞, − ) 3√3  ( , ∞)
3√
3
IV. Concavidade para baixo:  ( − , )3√3
3√
3
V. Máximo local: (0, 1)
VI. Mínimo local: e  (1, −1)   (−1, −1)
 f(x) = 2 − 4 + 1x4 x2
2. 
A alternativa que contém as respostas corretas dos 5 itens é:
 f(x) = −2 + 6 − 3x3 x2
QUESTÃO 2 DE 5
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I. Crescente: 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
a [0, 2]
(−∞, 0] [2, ∞)
(−∞, 1]
(1, ∞)
(2, 5)
(0, −3)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
b (−∞, 0] [2, ∞)
[0, 2]
(−∞, 1]
(1, ∞)
(2, 5)
(0, −3)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
c (−∞, 0] [2, ∞)
[0, 2]
(−∞, 1]
(1, ∞)
(0, −3)
(−2, −5)
I. Crescente: 
II. Decrescente: e 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local:
d [0, 2]
[−∞, 0] [2, ∞)
(−∞, 1]
(1, ∞]
(0, −3)

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V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
(0, 3)
(−2, −5)
I. Crescente: e 
II. Decrescente: 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
e [−∞, 0] [2, ∞]
[0, 2]
[−∞, 1]
(1, ∞]
(2, 5)
(0, −3)
Resposta - Questão 2
Vamos analisar as funções:
Analisaremos agora os sinais de cada uma delas...
Um produto entre dois termos será positivo quando os dois tiverem o mesmo sinal (ou ambos
positivos ou ambos negativos). Dessa forma,
  f(x) = −2 + 6 − 3x3 x2
 (indica os intervalos em que é crescente ou decrescente)__  (x) = −6 + 12x   f ′ x2  f(x) 
 (indica os intervalos em que a concavidade de é voltada para baixo
ou para cima)
  (x) = −12x + 12   f ′′  f(x) 
  (x) = −6 + 12x = −6x(x − 2)f ′ x2
−6x ≥ 0⟺ (−1) ⋅ (−6x) ≤ (−1) ⋅ 0⟺ 6x ≤ 0⟺   x ≤ ⟺ x ≤ 006
x − 2 ≥ 0⟺ x ≥ 2
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Veja o esquema abaixo:
Dessa forma, fica mais fácil visualizar os intervalos de crescimento e decrescimento:
Pelo esquema acima, podemos ver que é um ponto de mínimo local e é um
ponto de máximo local:
Agora analisaremos os sinais da segunda derivada:
Veja os esquemas abaixo:
 (0, f(0))   (2, f(2)) 
f(0) = −2 ⋅ (0 + 6 ⋅ (0 − 3 = −3)3 )3
f(2) = −2 ⋅ (2 + 6 ⋅ (2 − 3 = 5)3 )3
  (x) = −12x + 12 = 12(−x + 1)f ′′
−x + 1 ≥ 0  ⟺   1 ≥ x
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Portanto, a função tem concavidade voltada para cima quando .
A sua concavidade será voltada para baixo quando 1x . Respondendo os itens:
Veja abaixo o gráfico de :
 f(x) = −2 + 6 − 3 x3 x2 1 ≤ x
I. Crescente:  [0, 2] 
II. Decrescente: e  (−∞, 0]   [2, ∞)
III. Concavidade para cima:  (−∞, 1) 
IV. Concavidade para baixo:  (1, ∞)
V. Máximo local: (2, 5)
VI. Mínimo local:  (0, −3) 
 f(x) = −2 + 6 − 3x3 x2
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A alternativa que contém as respostas corretas para os itens é:
f(x) = { 3 − ,    x < 0x
2
+ 1,    x ≥ 0x2
QUESTÃO 3 DE 5
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I. Crescente:Em nenhum ponto do domínio 
II. Decrescente: Em todos pontos do domínio 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
a
[0, ∞)
(−∞, 0)
(0, 3)
(0, 1)
I. Crescente: 
II. Decrescente: Em nenhum ponto 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
b (−∞, ∞)
[0, ∞]
[−∞, 0]
(0, 1)
(0, −3)
I. Crescente: 
II. Decrescente: Em nenhum ponto 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
c (−∞, ∞)
[0, ∞)
(−∞, 0)
(0, 3)
(0, 1)
I. Crescente: 
II. Decrescente: 
III. Concavidade para cima: 
IV. Concavidade para baixo: 
V. Máximo local:
d [0, ∞)
(−∞, 0)
[0, ∞)
(−∞, 0)
(0, 3)

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V. Máximo local: 
VI. Mínimo local: 
(0, 3)
(0, 1)
Nenhuma das alternativas anteriores
e
Resposta - Questão 3
Vamos analisar as funções:
Analisaremos agora os sinais de cada uma delas...
Veja que sempre será positiva, pois quando e, assim, qualquer
número negativo multiplicado por resultará em um número positivo. Além disso, quando 
 ou seja, todo número não negativo multiplicado por continuará não
negativo. Portanto, em todo o domínio é positivo, o que implica que é crescente
em todo seu domínio. Observe abaixo o gráfico de :
 f(x) = {    3 − ,    x < 0x
2
+ 1,    x ≥ 0x2
(indica os intervalos em que é crescente ou decrescente) (x) = {       f ′ −2x,    x < 0
2x,    x ≥ 0
 f(x) 
 (indica os intervalos em que a concavidade de é voltada
 para baixo ou para cima) 
(x) = {       f ′′ −2,    x < 0
2,    x ≥ 0
 f(x) 
(x) = {f ′ −2x,    x < 0
2x,    x ≥ 0
  (x) f ′  x < 0,   (x) = −2x f ′
  − 2 
 x ≥ 0,   (x) = 2x,  f ′ 2
 y = (x) f ′  f(x) 
  (x)f ′
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Analisando temos que quando também será negativa (uma função
constante igual a -2). Já quando também será positiva (uma função constante igual
a 2). Isso significa, que quando tem concavidade voltada para baixo e quando
 tem concavidade voltada para cima. Veja o gráfico abaixo:
Veja o gráfico de abaixo:
  (x),  f ′′  x < 0,   (x) f ′′
 x ≥ 0,   (x) f ′′
 x < 0,  f(x) 
 x ≥ 0,  f(x) 
 f(x),  
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Dele, podemos concluir que:
I. Crescente:  (−∞, ∞)
II. Decrescente: Em nenhum ponto
III. Concavidade para cima:  [0,  ∞)
IV. Concavidade para baixo:  (−∞,  0)
V. Máximo local:  (0, 3)
VI. Mínimo local:  (0, 1)
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Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2. Responda: 
I. Qual é a maior área (em unidades de área) que o retângulo pode ter? 
II. Quais são as dimensões (em unidades de comprimento) do retângulo para que I seja satisfeito?
Dica 1: a equação de uma circunferência é dada por , em que é o
ponto do centro da circunferência e r é a medida do raio. 
Dica 2: como estamos trabalhando com uma semicircunferência, é mais conveniente que você transforme a
equação dessa circunferência em uma função.
(x − + (y − =x0 )2 y0 )2 r2 ( , )x0 y0
I. Área= 
II. Comprimento = e Altura= 
a 2π
2
–√ π
I. Área= 
II. Comprimento=raio= e Altura=
b 4π
2 2π
I. Área= 
II. Comprimento = e Altura=
c 2
2
–√ 2
–√
I. Área= 
II. Comprimento = e Altura=
d 4
2 2
–√ 2
–√
Nenhuma das alternativas anteriorese
QUESTÃO 4 DE 5

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Nenhuma das alternativas anteriorese
Resposta - Questão 4
Na figura dada pelo enunciado, nós temos que o centro da circunferência completa é 
 e o raio é . Dessa forma, a equação da circunferência completa é:
Ainda, foi dado como dica que é conveniente transformarmos essa equação em uma função - vamos
transformar uma função em que depende de :
Como o exercício mesmo deu e a própria figura mostra, nós trabalharemos com a semicircunferência
em que é positivo. Logo, consideraremos a função
Agora sejam as coordenadas do vértice do retângulo obtidas colocando-se o
retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano:
 ( , ) = (0, 0) x0 y0  r = 2
 
 
(x − + (y − =x0 )2 y0 )2 r2
(x − 0 + (y − 0 =)2 )2 22
+ = 4x2 y2
 y   x
 
 
+ = 4x2 y2
= 4 −y2 x2
y = ± 4 −   x2
− −−−−−√
 y 
y = 4 −   x2
− −−−−−√
 ( ,    ),  x1 4 −  x12
− −−−−−√
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Vamos analisar o retângulo separadamente:
Portanto, em relação à esse retângulo,
Lembre-se que estamos considerando .
Agora devemos determinar o valor máximo absoluto da função contínua da área desse retângulo:
tal que o domínio é .
Vamos analisar as derivadas dessa função:
A distância de à é igual a - que matematicamente representamos por .   x1  0     x1  |   |x1
A distância de à é a mesma que a distância de à - que matematicamente
representamos por .
  −  x1  0     x1  0 
 |  −  |x1
Dessa forma, a distância de à é igual a . Essa distância é a medida
da largura do retângulo.
   x1   −  x1   + = 2x1 x1 x1
A altura é igual a que é a distância do eixo (quando ) até o ponto 
 - no canto superior direito.
  ,  4 −  x12
− −−−−−√  Ox   y = 0
 ( ,    ) x1 4 −  x12
− −−−−−√
Comprimento =  2x1
Altura =   4 −  x12
− −−−−−√
Área = comprimento altura = ⋅  2 ⋅x1 4 −  x12
− −−−−−√
 0 ≤ ≤ 2x1
,A(x) = 2 ⋅x1 4 −   x12
− −−−−−−√
 [0, 2]
 
 
= (2 ⋅ + 2 ⋅ (    ∗dA
dx
x1)
′
4 −   x12
− −−−−−−√ x1 4 −   x12
− −−−−−−√ )
′
( ( ))dA − −−−−−−√ 1
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Observe que quando e não podemos ter divisão por zero. Por isso, a função
derivada não está definida em . Além disso, em usamos a regra da cadeia.
Vamos analisar os pontos críticos (quando a derivada é igual a zero):
Como isso significa que não está no domínio.
Você se lembra qual é a fórmula da área? É . Podemos podemos
concluir que os valores de A nas extremidades e no ponto crítico (quando ) são:
 
 
 
 
= 2 ⋅ + 2 ⋅ ( ⋅ (−2 ))dA
dx
4 −   x12√ x1
1
 2   4 −  x12
− −−−−−√
x1
= 2 ⋅ + 2 ⋅ ( )dA
dx
4 −   x12
− −−−−−−√ x1
−x1
   4 −  x12
− −−−−−√
 x = 2,   = 0 4 −  x12
− −−−−−−√
 x = 2   ∗  
 
 
 
 
 
 
 
 
2 ⋅ − = 04 −   x12
− −−−−−−√
2x12
   4 −  x12
− −−−−−√
= 2 ⋅
2x12
   4 −  x12
− −−−−−√
4 −   x12
− −−−−−−√
2 = 2 ⋅x12 4 −  x12
− −−−−−√ 4 −  x12
− −−−−−√
2 = 2 ⋅ (4 − )x12 x12
= 4 −x12 x12
+ = 4x12 x12
2 = 4x12
=x12
4
2
= ±x1 2 
−−√
 0 ≤ x ≤ ,  2
–√   −  2
–√
 A(x) = 2 ⋅x1 4 −   x12
− −−−−−−√
  = 0dA
dx
Ponto Crítico: 
 
 
 
 
 A( ) = 2 ⋅2–√ 2 −−√ 4 −  2 −−√ 2
− −−−−−−−
√
= 2 ⋅2 
−−√ 4 − 2 − −−−−√
= 2 ⋅2 
−−√ 2 
−−√
= 2 ⋅ 2
= 4
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Assim, a área máxima que o retângulo pode ter é igual a 4, ou seja, quando . 
Por fim, para a área ser igual a 4, as medidas devem ser:
Valores nas extremidades: 
 
A(0) = 2 ⋅ 0 ⋅ = 04 − 0 − −−−−√
A(2) = 2 ⋅ 2 ⋅ = 4 ⋅ 0 = 04 − (2  )2
− −−−−−−√
  = 2x1
Comprimento =  2 = 2 ⋅x1 2
–√
Altura =   =   =4 −  x12
− −−−−−√ 4 −  2 −−√ 2
− −−−−−−−
√ 2 −−√
A figura a seguir apresenta um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 
 unidades de comprimento.
Responda: 
I. Qual é a maior área possível para o retângulo? 
II. Quais são as dimensões do retângulo para que I ocorra? 
Dica: utilize a equação da reta que passa pelospontos A e B como função a ser trabalhada. 
A alternativa que responde corretamente cada um dos itens é:
2
–√
Área= 
Base = e altura=1
a 12
1
2
QUESTÃO 5 DE 5
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Área= 
Base =2 e altura=
b 1
1
2
Área= 
Base =1 e altura=
c 12
1
2
Área= 
Base =1 e altura=
d 3–√
3
–√
Nenhuma das alternativas anteriorese
Respostas - Questão 5
Se a hipotenusa tem unidades de comprimento, segue que:
Pelo Teorema de Pitágoras:
Como é medida de comprimento, consideraremos que . Portanto, a distância de à 
é igual a 1 e, além disso, essa é a medida do eixo o que nos faz concluir que .
Temos:
   2 
−−√
( = +   ⟹  2 = + 1  ⟹  2 − 1 =   ⟹  1 =   ⟹   ± 1 = a2 −−√ )2 a2 12 a2 a2 a2
 a   a = 1  0   B 
 y,    B = (0, 1)

01/11/2021 15:43 Matemática - Cálculo
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Agora encontraremos a equação da reta que passa por e . 
O coeficiente angular da reta é dado por em que é um ponto da reta. 
Assim, seja e :
A equação geral da reta é . Logo, a equação da reta que passa por e 
será:
Dessa forma, o ponto P será já que ele pertence à essa reta que calculamos agora.
 A = (1, 0)   B = (0, 1)
 m = ,  
y − y0
x − x0
 ( , ) x0 y0
 (x, y) = (1, 0)   ( , ) = (0, 1)x0 y0
 m = = = = −1
y − y0
x − x0
0 − 1
1 − 0
−1
1
 y − = m(x − )y0 x0  A   B 
 
y − = m(x − )y0 x0
y − 0 = −1(x − 1)
y = −x + 1
 (x, −x + 1),  
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A largura desse retângulo é igual a (observe que a distância de até é igual a distância
de até ). 
Já a altura é correspondente à medida de da coordenada de P - ou seja, vai do eixo até P -
que é . 
A área desse retângulo é o produto do largura pela altura, ou seja,
O domínio nesse caso, é 
Calculamos o ponto crítico zerando a primeira derivada da função área:
Portanto o ponto é um dos pontos críticos. Os valores extremos para também são.
Dessa forma,
 2x    − x   0 
 x   0 
 y   Ox 
 y = −x + 1
 A(x) = 2x(−x + 1)
A(x) = −2 + 2xx2
 0 ≤ x ≤ 1.
 
 
 
 
= −4x + 2
dA
dx
0 = −4x + 2
4x = 2
x =
2
4
x =
1
2
 x =  12  x 
A(x) = −2 + 2xx2
A(0) = −2 ⋅ + 2 ⋅ 0 = 002
A(1) = −2 ⋅ + 2 ⋅ 1 = 012
A( ) = −2 ⋅ ( + 2 ⋅ ( ) = − + 1 = − + =12
1
2 )
2 1
2
2
4
1
2
2
2
1
2
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Respondidas 5 de 5 questões.
SLIDE 9 DE 9
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IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Podemos concluir que a área máxima é Isso é possível quando ou seja, quando:  .  
1
2
 x = ,  
1
2
Base = 2x = 2 ⋅ = 1
1
2
Altura = −x + 1 = − + 1 = − + =
1
2
1
2
2
2
1
2
 REFAZER ATIVIDADE

REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
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http://www.labtime.ufg.br/
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