Exercício de apoio - Semana 3_ FÍSICA I - FFG001

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13/12/2018 Exercício de apoio - Semana 3: FÍSICA I - FFG001
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1. Uma ponte metálica de peso P apoia-se em roletes conforme ilustra o esquema.
Identificar as forças que atuam sobre a estrutura da ponte.
 
2. Uma estrutura ABC em formato de L é vinculada à parede por meio de uma articulação A sem atrito.
Um fio horizontal prende a extremidade B à parede; na extremidade C pende um objeto de peso = -Q.
LaTeX: \vec{j}
Identificar as forças que atuam na estrutura.
EXERCÍCIOS DE APOIO ( SEMANA 3 )
Apenas para praticar. Não vale nota.
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3. Uma luminária de massa m = 20 kg pende do teto de uma sala presa por um fio.
 
 
a) Qual intensidade do peso da luminária em N e em kgf?
b) Qual a força tensora T no fio?
Adotar g = 10 m/s² ou 10 N/kg.
 
 
4. 
A figura representa uma situação de equilíbrio estático. Os fios são leves e a polia é ideal. A massa do
bloco B é m = 4 kg.
 
B
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Considerar g = 10 N/kg.
Determinar:
a) a massa do bloco C.
b) a força tensora T no fio AD.
 
 
5. Um bloco de massa m = 20 kg encontra-se em repouso sobre um plano inclinado que faz um ângulo 
 com a horizontal. Adotar g = 10 N/kg.
Determinar a força normal e a força de atrito sobre o bloco quando = 17,5°.
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6. A peça abaixo é puxada pela força de intensidade F = 100 N e que faz um ângulo 37° com a
horizontal conforme ilustração.
 
a) Esquematize o DCL da peça.
b) Qual a força normal e força de atrito?
 
 
7. Uma peça metálica articulada em 0 está sujeita a três forças pertencentes ao plano Oxy, conforme
indicadas na Figura.
FisI_3-12.png
Figura 1. A peça metálica é articulada em 0 e está sujeita ao sistema de forças coplanares , e .
 
A tabela resume as informações das forças e dos vetores posição, em relação ao eixo Oz, que passa
pela origem do referencial, dos pontos de aplicação de cada força.
 
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8. Vamos considerar a mesma situação do exercício anterior, agora tendo como conhecidos os braços
das forças conforme ilustrado na Figura.
Figura 1. Em relação ao polo 0, o braço de é B = 30 cm e o de é B = 40 cm. O braço de é B = 0, pois
a sua linha de ação passa por 0.
Calcular os módulos e sentido de giro dos torques das forças envolvidas.
 = -100 (N)
 = -0,2 + 0,3
LaTeX: \vec{j} (m)
 = - 75 LaTeX: \vec{j}
 (N)
 = 0,4 - 0,2
LaTeX: \vec{j} (m)
 = F + F
 (N)
 = 0
 
Calcular o torque de cada força em relação ao polo O.
 
 
F1 F2 F3
3x 3y
LaTeX: \vec{j}
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9. A figura ilustra a força = , exercida pelo bíceps contraído no ponto B do antebraço. Um
sistema de referência xyz foi desenhado de modo que o eixo 0z “saia” do plano do papel. O peso do
antebraço tem intensidade 20 N e é localizado no centro de gravidade CG ; a bola, com centro de
gravidade CG tem peso de intensidade 50 N. 
Figura 1. Esquema da força do bíceps sobre o antebraço. 
 
Sendo x = 4,5 cm; x = 15 cm e x = 30 cm, calcule F e a reação na articulação LaTeX: \vec{R}_0.
 
 
GABARITO
 
1. Os apoios em A e em B são feitos sobre rolete simples. A estrutura – em virtude da força peso com
que é puxada para baixo pela Terra – pressiona os roletes e estes, reagem, aplicando na estrutura as
reações normais e , ambas verticais para cima. A seguir o DCL da estrutura.
anteb
bola
1 2 3 B
A B
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2. No ponto B atua a força tensora LaTeX: \vec{T} do fio horizontal e no ponto C o peso transmitida
pelo fio que sustenta o objeto. Se retirarmos o pino da articulação A, a estrutura irá se movimentar;
portanto, o pino irá exercer uma força de reação que restringe os graus de liberdade de movimento da
estrutura. Esta força é mais bem representada por suas componentes horizontal e vertical, ou seja, 
LaTeX: \vec{A}x e LaTeX: \vec{A}y. Confira o DCL a seguir.
Ex2.png
 
3. 
A intensidade do peso da luminária é p = m.g = (20 kg)x(10 N/kg) = 200 N o que corresponde ao
peso p = 20 kgf.
 
a.
Primeiramente, vamos desenhar o DCL da luminária. 
Ex3.png
 
Sobre a luminária atuam duas forças externas: o peso p = -200. LaTeX: \vec{j} (newtons) e a
força tensora LaTeX: \vec{T} = T. LaTeX: \vec{j} que sustenta a luminária, não a deixando cair.
Observe que o DCL da luminária pode ser desenhado considerando-a um ponto material e as
forças nele concentradas.
b.
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4. Primeiramente, vamos analisar o equilíbrio dos blocos B e C. Como vimos no exemplo anterior, a
força tensora nos fios que os sustentam tem a mesma intensidade dos pesos dos respectivos blocos.
Assim, T = p m g = 60N e T = p ? (pois não se conhece o valor de m ).
Estas forças tensoras são transmitidas para o anel A que é puxada horizontalmente para a esquerda
pela força tensora T e verticalmente para baixo pela força tensora T . 
Ex4.png
Deste modo, o anel puxa o fio AD e, em reação a essa ação, o fio AD puxa o anel com uma força
tensora T = ? Analise o DCL do anel e confira as forças que nela atuam.
No equilíbrio \longrightarrow \Sigma \vec{F} = \vec{T_B} + \vec{T_C} + \vec{T} = 0.
Substituindo-se cada vetor pela sua respectiva expressão cartesiana, teremos:
\vec{T_B} = -60 ;
\vec{T_C} = -T J e
\vec{T} = (T.cos ) + (T.sen ) \vec{j}, como = 53 \longrightarrow \vec{T} = (T.0,60) + (T.0,80) 
\vec{j}.
Substituindo em \Sigma \vec{F} = \vec{T_B} + \vec{T_C} + \vec{T} = [0,6T - 60] + [-T + 0,8.T]
= 0. Para que a soma vetorial seja nula é necessário que [0,6T - 60] = 0 (I) e [-T + 0,8.T] = 0 (II). Temos
A resultante das forças, neste caso, é LaTeX: \vec{R} = + LaTeX: \vec{T} = 0 pois a
luminária encontra-se em “equilíbrio estático” . Isto implica em:
 + LaTeX: \vec{T} = 0 LaTeX: \longrightarrow LaTeX: \vec{T} = - = -(-200 LaTeX: \vec{j})
= 200 LaTeX: \vec{j} (newtons)
B B = B C C = C
B C
c
o
c 
c
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então duas equações e duas incógnitas: de (I) tem-se se 0,6T = 60 \therefore T = 100
newtons. Substituindo-se T = 100 em (II), resulta T = 0,8T = 0,8(100) = 80 newtons.
Finalmente, como T = m g → m = T /g = 80/10 = 8 kg.
Portanto: massa do bloco C é 8 kg e a força tensora no fio AD é 80 newtons.
 
 
5. Sobre o bloco atuam a força de campo | | = mg = 20×10 = 200 newtons e as forças de contato ( e 
\vec{F_{at}}) que surgem da interação bloco/plano inclinado. O DCL indica as forças sobre o bloco
considerado como ponto material com um referencial cartesiano com o eixo 0x na direção e o eixo 0y na
direção perpendicularao plano.
Ex5.1.png
Figura 1. DCL do bloco considerado como partícula.
Ex5.2.png
Figura 2. DCL com as projeções do vetor nos eixos 0x e 0y.
Como o bloco está em equilíbrio \longrightarrow \Sigma \vec{F} = + + \vec{F_{at}} = 0.
Escrevamos cada vetor na sua expressão cartesiana; observe que no DCL da esquerda, o peso foi
substituído pelas suas projeções p = psen = 200sen17,5° \cong 60 newtons e p = pcos =
200cos17,5° \cong = 191 newtons. Logo, as expressões cartesianas dos vetores são = -60 - 191
\vec{j}; = N \vec{j} e \vec{F_{at}} = F que substituídos em \Sigma \vec{F} = + + 
\vec{F_{at}} = 0 resulta: (-60 + F ) + (-191 + N) \vec{j} = 0. Portanto, para a soma ser nula, os
coeficientes de e \vec{j} devem ser simultaneamente nulas, ou seja,
-60 + F = 0 \longrightarrow F = 60 newtons 
-191 + N = 0 \longrightarrow N = 191 newtons
 
c
C C C C 
x y
at
at
at at 
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6. 
 
 
7. Torque de :
Duas maneiras analíticas de se calcular o torque. A 1ª será por meio do desenvolvimento do produto
vetorial: LaTeX: \vec\tau = LaTeX: \vec{r} × . Assim, 
 
Características do vetor torque LaTeX: \tau_1:
 
DCL 
Ex6.png
1.
N’ = 140 Newtons; F = 80 Newtons.2. at
Módulo: LaTeX: \tau_1 = 30 N.m;•
Direção: eixo Oz•
Sentido: positivo do eixo Oz, ou seja, um vetor “saindo do plano do papel”.•
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SENTIDO DE GIRO DO TORQUE:
Outra forma de caracterizar o torque é pelo sentido de “giro” que ele produz em relação ao eixo de
rotação (que neste caso é o eixo 0z). Para isso, usa-se a mão direita: o polegar na direção do eixo de
rotação (neste caso o eixo 0z) e os outros dedos giram seguindo a direção da força. O resultado, neste
caso, é um giro anti-horário. Resumindo: o torque da força F em relação ao eixo 0z tende a girar o
objeto no sentido anti-horário.
 
Torque de :
Outra forma analítica de se calcular o produto vetorial é por meio do seguinte determinante:
Ex7.2.png
Vamos escrever as expressões cartesianas completas dos vetores:
Ex7.3.png
Substituindo as componentes na matriz e resolvendo:
Ex7.4.png
Ex7.5.png
 
Características do vetor torque LaTeX: \tau_2
 
Torque de = 0, pois = 0.
1
Módulo: LaTeX: \tau_2 = 30 N.m;•
Direção: eixo Oz•
Sentido: negativo do eixo Oz, ou seja, um vetor “penetrando no plano do papel” (ou tendendo a
girar o objeto no sentido horário).
•
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8. Vamos adotar como positivos os torques antihorários em relação ao eixo de rotação que passa pelo
polo O. Assim:
 
Torque de 
LaTeX: \tau_{F1} = \mp B_{F1}\cdot {F}_1 = \mp 30cm\cdot 100N = \mp 3.000N.cm = \mp 30 N.m.
Escolha do sinal: como tende a girar o corpo no sentido antihorário, o sinal a ser adotado é +. Logo: 
 = + 30 N.m
 
Torque de 
Escolha do sinal: como tende a girar o corpo no sentido horário, o sinal a ser adotado é -. Logo: = 
-30 N.m
 
Torque de 
 ( pois, B = 0).
 
 
9. Esta situação NÃO trata de forças concentradas numa partícula. Trata-se de um sistema de forças
distribuídas ao longo de um corpo extenso. Este corpo extenso é o ANTEBRAÇO que para simplificar a
F3 
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análise iremos considerar como uma ALAVANCA com ponto de apoio em 0 (articulação) e, nela,
esquematizar as forças (ou seja, esquematizar o DCL da alavanca).
Figura 1. Modelo da alavanca para o antebraço
Os vetores = 4,5 ; = 15 e = 30 (em cm) representam os vetores posição dos pontos de
aplicação de cada força na alavanca em relação a origem 0 (articulação do antebraço, neste caso).
A situação em análise é uma situação ESTÁTICA, ou seja, uma situação na qual aceleração resultante
do sistema é = 0. Portanto, de acordo com a 2ª Lei de Newton, podemos escrever:
Ex9.2.png
Temos duas incógnitas (R e F ). Precisamos de outra relação entre as incógnitas. Esta relação será
obtida mediante uma função importantíssima das forças que os músculos exercem sobre os ossos: trata-
se da “rotação que as forças podem produzir nos ossos ao redor das articulações”. Esse “poder de
rotação” é denominado “Torque” ou “Momento da força” em relação à articulação.
O módulo do torque é = r.F.sin onde r.sin = b = braço de alavanca da força em relação à articulação.
0 B
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Figura 2. Detalhe do “braço” da força em relação ao eixo de rotação.
O torque será nulo se o braço da força b = 0, ou seja, se = 0°. Para = 90° ( ) → sin90° = 1 e = F.b 
(intensidade máxima do torque). Portanto, o torque de uma força é tal que 0 F.b.
No caso de forças cujas direções (linhas de ação) pertencem a um mesmo plano, os torques das
mesmas serão vetores perpendiculares ao plano. Em relação a um eixo de rotação perpendicular ao
plano, alguns torques serão no sentido horário e outros no sentido anti-horário. Se a soma dos torques
no sentido horário suplantar a soma dos torques no sentido anti-horário, o objeto sujeito às forças será
dotado de uma aceleração angular no sentido horário e vice-versa. No caso analisado, no entanto, o
objeto está em equilíbrio e destituído do movimento de rotação.
 
Calculando os torques:
Os produtos vetoriais (ver tópico VETORES) dos vetores cartesianos Ex9.4.png e Ex9.5.pngserão
utilizados nos cálculos dos torques.
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Ex9.8.png•
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Como o sistema encontra-se estático,
De (II), determinamos Ex9.11.png (vertical para cima) que, substituído em (I), determinamos 
Ex9.12.png (vertical para baixo).
Ex9.9.png•