01. Relatório de Aletas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
LABORATÓRIO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE (102224) 
 
ESTUDO DOS PERFIS DE TEMPERATURA DE SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
CILÍNDRICAS E A DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE CONVECTIVO EM UM 
EXPERIMENTO DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 
Carlos Philipe Silva Rocha 
Júlio Cesar Dantas Silva 
Lucas Fernando Santos de Jesus 
Marcelo Diaz Nascimento 
Marcelo Teixeira Rossi 
Vinícius Fernandes Mendonça Dantas 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
NOVEMBRO DE 2013
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DOS PERFIS DE TEMPERATURA DE SUPERFICIES ESTENDIDAS 
CILINDRICAS E A DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE CONVECTIVO EM UM 
EXPERIMENTO DE TRANSFERENCIA DE CALOR 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
Relatório referente ao experimento laboratorial 
conforme exigências da disciplina Laboratório de 
Fenômenos de Transporte, ministrada pelos 
professores Dr. Manoel Marcelo do Prado e Drª. 
Luanda Gimeno Marques. Todas as etapas desta 
prática foram realizadas por todos os integrantes 
do grupo. 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
NOVEMBRO DE 2013 
3 
 
RESUMO 
Tanto na indústria como no dia-a-dia é possível perceber questões que envolvem um 
fenômeno onde ocorrem trocas térmicas, assim o compreender científico destes foi, e ainda é 
de grande importância para a evolução do homem. Neste dado trabalho, foi realizado um 
experimento laboratorial para o estudo da distribuição de temperaturas em um sistema 
composto por aletas de formato cilíndrico com comprimentos iguais, diferindo em suas 
composições materiais e diâmetros. Para o estudo do fenômeno de transferência de calor 
nestas superfícies estendidas, cada uma destas barras estava com uma de suas extremidades 
submersa em um banho termostático, com temperatura controlada, e a outra extremidade 
exposta à temperatura ambiente do laboratório. Com a ajuda de termopares posicionados ao 
longo destas barras, foi possível obter diferentes medidas de temperaturas em dez posições 
na extensão destes corpos. Com a modelagem do fenômeno e, utilizando os parâmetros 
adequados juntamente com os dados obtidos neste experimento, foi possível a construção 
dos perfis de temperatura e, consequentemente, a determinação do coeficiente de convecção 
natural. A partir dos resultados numéricos obtidos, realizaram-se todas as análises cabíveis 
fundamentadas para o entendimento do fenômeno em questão. 
 
4 
 
SUMÁRIO 
 
1 – OBJETIVOS 4 
2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 5 
3 - MATERIAIS E MÉTODOS 19 
4 - RESULTADOS E DISCUSSÃO 21 
5 – CONCLUSÃO 28 
6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 29 
ANEXO A 30 
ANEXO B 33 
 
 
 
4 
 
1- OBJETIVOS 
Dada a importância do projeto de aletas em um processo de transferência de calor, a 
prática laboratorial objetivou estudar o perfil de temperaturas em aletas de diferentes materi-
ais e diâmetros, analisar a influência do diâmetro e do material empregados em aletas cilín-
dricas e estimar a eficiência e o valor médio do coeficiente de convecção natural para cada 
situação. 
 
5 
 
2- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
2.1 Introdução 
O fenômeno de Transferência de Calor é observado quando um dado corpo em um 
sistema se encontra com uma temperatura maior em relação a outro corpo (ou quando em 
um mesmo corpo existem diferenças de temperaturas em sua extensão espacial), assim há 
uma concessão de energia térmica do corpo de temperatura mais elevada para o de menor 
temperatura. 
A transferência de qualquer tipo de energia pode ser vista em dois regimes: 
permanentes ou transientes. Conforme praticamente todos os autores da literatura de 
engenharia e processos químicos, o termo permanente diz respeito a processos nos quais não 
há variação de temperatura ao longo do tempo enquanto nos transientes há uma dependência 
da temperatura com o tempo. 
Este calor é transferido através de três fenômenos: condução, convecção e radiação. E 
para que qualquer um destes ou todos estes ocorra deve haver uma diferença de temperatura 
infinitesimal que seja. 
2.1.1 Fenômeno Condutivo 
Este fenômeno é caracterizado pela transferência de energia em forma de calor através 
do contato (interação) das partículas mais energéticas de sistema para as partículas 
adjacentes menos energéticas. No caso de gases, além da colisão de partículas adjacentes, a 
difusão de moléculas em movimento aleatório também é responsável pela difusão. 
De acordo com Incropera et al. (2008), a condução ocorre tanto em sólidos e líquido 
como no gases. Em líquidos e gases, a condução deve-se às colisões e difusão das moléculas 
em seus movimentos aleatórios. Nos sólidos, o fenômeno é devido à combinação das 
vibrações das moléculas em uma rede, e a energia é transportada através dos elétrons livres. 
Esse mecanismo de transferência de calor é expresso fisicamente pela Lei de Fourier 
da condução térmica: 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (1) 
6 
 
onde 𝑑𝑇 𝑑𝑥⁄ é o gradiente de temperatura, A é a área de transferência de calor [m²] e k é a 
condutividade térmica do material [W/(m.K)]. 
2.1.2 Fenômeno Convectivo 
De acordo com Çengel (2009), convecção é o modo de transferência de energia entre 
uma superfície sólida e um fluido que abrange dois mecanismos. Além de transferência de 
energia devido ao movimento molecular (difusão), a energia também é transferida através do 
movimento global, ou macroscópico, do fluido. 
Segundo Incropera et al. (2008) e Moran et al. (2005), independente da natureza 
específica do processo de transferência de calor por convecção, este fenômeno é descrito 
pela Lei de Newton de resfriamento: 
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝐴𝑠(𝑇𝑠 − 𝑇∞) (2) 
onde, ℎ é o coeficiente de transferência de calor por convecção, [W/m2K], 𝐴 é a área da 
superfície de transferência de calor, [m
2
], 𝑇𝑠 é a temperatura da superfície [K] e 𝑇∞ é a 
temperatura do fluido (distante da superfície), [K]. 
A grande problemática no estudo de trocas térmicas por convecção é a determinação 
do coeficiente convectivo, que depende tanto da geometria da superfície em questão, como 
também das condições de escoamento (Moran et al., 2005). Por estas razões, o coeficiente 
de convecção é um parâmetro que só pode ser determinado experimentalmente (Çengel, 
2008). 
Segundo Incropera et al. (2008), o fenômeno convectivo é classificado quanto a 
natureza do escoamento do fluido, sendo assim podendo ser natural ou forçada. A convecção 
natural ocorre quando o escoamento é induzido por forças de empuxo originadas pela 
diferença de densidade causada pelo gradiente de temperatura no fluido e, a convecção 
forçada, ocorre quando o escoamento é causado por meios externos. Um exemplo da 
convecção natural pode ser ilustrado pelo fenômeno que ocorre naturalmente ao passar do 
tempo em um ambiente, e a convecção forçada é aquela que ocorre por conta do fluxo 
forçado de algum fluido, como no caso de um ventilador de ar ou soprador de gás. Estas 
duas convecções podem ser combinadas, porem todas elas são regidas pela Lei do 
resfriamento de Newton. 
7 
 
2.1.3 Radiação 
O fenômeno de transferência térmica por radiação ocorre quando a energia emitida 
pelo corpo é na forma de ondas eletromagnéticas como resultado de mudanças nas 
configurações atômicas ou moleculares deste corpo. Este tipo de transferência é mais rápida 
do que os outros e não exige a presença de um meio interveniente ou qualquer tipo de 
contato. É um mecanismo que todos os sólidos, líquidos e fases realizam, emitindoou 
absorvendo calor. (Incropera et al., 2008). 
A radiação emitida pelas superfícies reais é representada pela lei de Stefan-Boltzman, 
expressa abaixo: 
𝑞𝑟𝑎𝑑 = ԑ𝜎𝐴𝑠(𝑇𝑠
4 − 𝑇∞
4 ) (3) 
em que ԑ é a emissividade da superfície e 𝜎 é a constante de Stefan-Boltzman. 
Nos casos em que ocorre paralelamente o mecanismo condutivo, convectivo e 
radiação, a transferência de calor pode ser determinada incluindo na formulação físico-
matemática as contribuições de todos estes. Assim, define-se um coeficiente de transferência 
de calor combinado (ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏): 
ℎ𝑐𝑜𝑚𝑏 = 𝜀𝜎𝐴𝑠(𝑇𝑠 + 𝑇∞)(𝑇𝑠
2 + 𝑇∞
2) (4) 
Uma das inúmeras ramificações dos princípios fenomenológicos da transferência de 
calor é o estudo do comportamento de superfícies estendidas, também conhecidas como 
Aletas. Neste fenômeno, o calor é removido principalmente através de um processo 
convectivo e assim dissipado em sua vizinhança. 
 
2.2 Superfícies Estendidas 
Incropera et al. (2008) entende que o termo superfície estendida é comumente usado 
para o importante caso especial de transferência de calor por condução no interior de um 
sólido e a transferência de calor por convecção (e/ou radiação) nas fronteiras do sólido, onde 
a direção dessa transferência é feita perpendicularmente à direção principal daquela. 
8 
 
Para Braga Filho (2004), a importância do uso de superfícies estendidas em diversas 
situações de engenharia existe pela necessidade de aumento da eficiência da troca de calor, 
quer na coleta de energia (a exemplo dos coletores solares), quer na sua dissipação (como 
nos motores). 
2.2.1 Aletas 
A fim de aumentar a taxa de transferência de calor, da lei de Newton do resfriamento: 
𝑄𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ. 𝐴𝑠. (𝑇𝑠− 𝑇∞) (5) 
Pode-se observar que aumentando o coeficiente de transferência de calor por 
convecção h ou aumentando a área da superfície As. Porém a exigência da instalação de 
bomba ou ventilador, ou substituição do equipamento existente com um de maior dimensão 
pode ser prática ou não. Além disso, pode também não ser suficiente para aumentar o h a 
valores que resultem em uma determinada taxa de transferência de calor. Por isso, uma 
alternativa seria a instalação de aletas, geralmente feitas de materiais altamente condutores, 
que aumentem As. Superfícies aletadas são fabricadas por extrusão, solda ou fixando uma 
fina folha de metal (a exemplo do alumínio) sobre uma superfície e, assim, aumentam a 
transferência de calor por convecção e/ou radiação (Incropera et al., 2008). 
Çengel (2009) define aletas como sendo as superfícies estendidas comumente 
utilizadas na prática para aumentar a transferência de calor pela exposição de maior área à 
convecção e/ou radiação entre as fronteiras e a superfície do sólido. Alguns exemplos de 
aplicações de aletas são apresentados na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1– Exemplos de aplicação das aletas: (a) radiador de carro, (b) tubo para troca térmica entre 
fluidos industriais, (c) circuito eletrônico e (d) transformador elétrico. 
9 
 
 
As placas finas de metal soldadas ao tubo da Figura 1b aumentam a área para 
convecção e então a taxa de transferência de calor por convecção entre o tubo e o fluido 
externo é elevada muitas vezes. 
Existe uma variedade de modelos de aletas disponíveis no mercado e apenas são 
limitados pela imaginação (Çengel, 2009). Adicionalmente, Incropera et al. (2008) classifica 
as aletas segundo sua geometria, como pode ser visto na Figura 2. Uma aleta plana como 
qualquer superfície estendida que se encontra fixada a uma parede plana. Ela pode ter uma 
área de seção transversal uniforme ou variando com a distância em uma coordenada normal 
à parede. Uma aleta anular é aquela que se encontra fixada circunferencialmente a um 
cilindro e sua seção transversal varia com o raio a partir da parede do cilindro. Para aletas 
que possuam seção transversal retangular, a área é expressa como um produto entre a 
espessura da aleta e a sua largura, no caso de aletas retas, ou a área de sua circunferência, no 
caso de aletas anulares. Em contraste, uma aleta piniforme, ou pino, é uma superfície 
estendida de área de seção transversal circular, podendo ser uniforme ou não. Em qualquer 
aplicação, a seleção de uma determinada configuração de aletas pode depender de 
considerações de espaço, de peso, de fabricação e custos, bem como uma extensão na qual 
as aletas reduzem o coeficiente convectivo na superfície aletada, a queda de pressão 
associada ao escoamento sobre as aletas. 
 
Figura 2 – Configurações de aletas: (a) aleta plana com seção transversal uniforme, (b) aleta plana 
com seção transversal não-uniforme, (c) aleta anular e (d) aleta piniforme. Fonte: Incropera et al., 
2008. 
 
10 
 
2.2.2 Aletas de Seção Transversal Uniforme 
Considera-se a aleta de pino com a forma de uma haste apresentada na Figura 3, cuja 
base está instalada em uma superfície à temperatura Ts. A aleta é resfriada ao longo de sua 
superfície por um fluido à temperatura T∞. Ela tem uma área transversal Atr uniforme e é 
constituída por um material de condutividade k uniforme; o coeficiente de transferência de 
calor entre a superfície da aleta e o fluido é ℎ𝑐̅̅ ̅. Do pressuposto de que os gradientes 
transversais de temperatura são tão pequenos que a temperatura em qualquer seção 
transversal da haste é uniforme T=T(x) somente. 
 
Figura 3 – Esquema de uma aleta de pino projetando-se de uma parede. Fonte: Kreith, 2003. 
Para a análise diferencial de transferência de calor na aleta, utilizaremos das seguintes 
hipóteses simplificadoras inerentes à física do problema: 
 Regime permanente e ausência de fontes internas; 
 Seção reta e perímetros constantes; 
 Condução unidimensional ao longo da aleta; 
 Temperatura uniforme na seção transversal; 
 Propriedades constantes com a temperatura; 
 Coeficiente de transferência de calor por convecção médio invariável; 
 Sem resistência térmica considerável entre a base e o início da aleta. 
11 
 
Fazendo-se o balanço de energia para o volume de controle da aleta da Figura 3, tem-
se: 
(
Taxa de condução
de calor em 𝑥
) = (
Taxa de condução 
de calor em x + dx
) + (
Taxa de convecção
de calor
) 
Logo, teremos: 
𝑞𝑘,𝑥 = 𝑞𝑘,𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐 (6) 
onde, o segundo termo pode ser representado por: 
𝑞𝑘,𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑘,𝑥
𝑑𝑞𝑘,𝑥
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 (7) 
Da lei de Fourier e da lei de Newton do resfriamento na sua forma diferencial: 
𝑞𝑘,𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (8) 
𝑑𝑞𝑐 = ℎ𝑑𝐴𝑠(𝑇 − 𝑇∞) (9) 
onde dAs é a área superficial diferencial. 
Substituindo (8) em (7): 
𝑞𝑘,𝑥+𝑑𝑥 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −𝑘
𝑑
𝑑𝑥
(𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 (10) 
No balanço, teremos, então: 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
+ (
1
𝐴𝑡𝑟
𝑑𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑥
)
𝑑𝑇
𝑑𝑥
−
1
𝐴𝑡𝑟
ℎ
𝑘
𝑑𝐴𝑠
𝑑𝑥
(𝑇 − 𝑇∞) = 0 (11) 
A Equação (11) é a forma geral da equação de energia para uma superfície estendida. 
Tendo-se as condições de contorno apropriadas, pode-seobter a distribuição de temperaturas 
para determinada situação. 
Welty et al. (2008) observa que o gradiente de temperatura dT/dx e a temperatura da 
superfície T são expressos em função apenas da posição x. Esse tratamento assume que a 
temperatura está “aglomerada” na direção transversal. Isso é fisicamente realístico quando a 
seção transversal é fina ou quando a condutividade térmica do material é grande. Essas 
12 
 
condições se aplicam no caso de aletas. Essa aproximação, para o presente caso, levará ao 
equacionamento que se segue. 
Do esquema apresentado na Figura 3, tem-se que a temperatura da base está fixada em 
T(0)=Ts e se estende para o interior de um fluido à temperatura T∞. Tem-se ainda que Atr é 
constante e As=Px, onde As é a área da superfície medida da base até x, e P é o perímetro da 
aleta. Assim, teremos que, com dAtr/dx = 0 e dAs/dx = P, a Equação (7) se reduz a: 
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
−
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
(𝑇 − 𝑇∞) = 0 (12) 
Introduzindo-se a variável temperatura em excesso Ѳ: 
Ѳ(x) = T(x)– T∞ (13) 
Substituindo a Equação (13) na Equação (12), sabendo T∞ é uma constante, tem-se: 
𝑑2Ѳ
𝑑𝑥2
−𝑚2Ѳ = 0 (14) 
onde 
𝑚2 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑡𝑟
 (15) 
ou, simplesmente, para a aleta em estudo: 
𝑚2 =
2ℎ
𝑘𝑟
 (16) 
onde r é o raio da aleta piniforme. 
Pelo conhecimento da teoria fundamental das equações diferenciais, sabe-se que a 
Equação (14) é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, 
com coeficientes constantes, e que tal equação tem duas soluções linearmente independentes 
e a sua solução geral é a combinação linear dessas duas soluções. Um exame cuidadoso da 
equação diferencial revela que subtraindo um múltiplo constante da solução Ѳ da sua 
derivada segunda resulta em zero. Assim, conclui-se que a função Ѳ e suas derivadas 
segundas devem ser múltiplos constantes entre si. As únicas funções cujas derivadas são 
múltiplos constantes das próprias funções são as funções exponenciais (ou uma combinação 
de funções exponenciais, como as funções seno e co-seno hiperbólico). Por isso, as soluções 
13 
 
da equação diferencial acima são as funções exponenciais e
-mx
 ou e
mx
, ou múltiplos 
constantes delas. Verifica-se essa conclusão que pela substituição direta dessas funções na 
Equação (14) (Çengel, 2009). Logo, a solução geral dessa equação tem a seguinte forma: 
Ѳ(𝑥) = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥 (17) 
ou 
Ѳ(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑚𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑚𝑥) (18) 
C1, C2, A e B são constantes, e podem ser facilmente determinadas pela especificação das 
condições de contorno. Essas condições advêm da condição na base da aleta e em sua ponta. 
Aquela normalmente é dada pela temperatura da base, que na maioria dos casos é conhecida 
e igual a T(0)=Ts. Tem-se então, na base da aleta uma condição de temperatura conhecida: 
Ѳ(0) = Ѳ𝑠 = 𝑇𝑠 − 𝑇∞ (19) 
A segunda condição, especificada pelas condições da ponta da aleta (x=L), está de uma 
entre quatro situações fisicamente possíveis. A primeira condição (condição de contorno na 
base da aleta) será igual para os casos a seguir. 
2.2.2.1 Primeiro Caso: Convecção na extremidade da aleta 
Quando a aleta não está isolada na extremidade, considera-se haver transferência de 
calor por convecção com o meio ambiente. Nesta situação, o calor chegando na ponta por 
condução é dissipado por convecção. Aplica-se então, um balanço de energia nessa 
superfície de controle, obtendo-se: 
ℎ𝐴𝑡𝑟[𝑇(𝐿) − 𝑇∞] = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 (20) 
ou 
ℎѲ(𝐿) = −𝑘
𝑑Ѳ
𝑑𝑥
 (21) 
Que se lê por: a taxa na qual a energia é transferida para o fluido por convecção na 
extremidade da aleta deve ser igual à taxa na qual a energia atinge a extremidade por 
condução através da aleta. Substituindo a Equação (17) na Equação (19) e na Equação (21), 
obtemos, respectivamente: 
14 
 
Ѳ𝑠 = 𝐶1 + 𝐶2 (22) 
e 
ℎ(𝐶1𝑒
𝑚𝐿 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝐿) = 𝑘𝑚(𝐶2𝑒
−𝑚𝐿−𝐶1𝑒
𝑚𝐿) (23) 
Braga Filho (2004) destaca que o coeficiente de troca de calor na ponta da aleta nem 
sempre é igual àquele na superfície lateral da mesma, como no caso de convecção natural, 
mas a correção é imediata, onde h do parâmetro m é devido à troca de calor ao longo da 
superfície lateral, e h da Equação (23) se refere ao coeficiente de troca ao longo da 
superfície vertical, ou seja, na ponta da aleta. 
A solução final do perfil de temperaturas pode ser obtida pela manipulação algébrica, e 
se mostra ser: 
Ѳ 
Ѳ𝑠
=
cosh m (L−x)+(ℎ 𝑚𝑘⁄ )𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚 (𝐿−𝑥)
cosh 𝑚𝐿+(ℎ 𝑚𝑘) 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿⁄
 (24) 
Há uma tendência de o valor do gradiente de temperatura diminuir com o aumento de 
x. Isso é uma consequência da redução na transferência de calor por condução qk,x(x) com o 
aumento de x devido à contínua perda de calor por convecção na superfície da aleta 
(Incropera et al., 2008). 
Como há grande interesse em se obter a quantidade total de calor transferida na aleta, 
calcula-se esta quantificando a energia conduzida na superfície estendida na base por: 
𝑞𝑎 = 𝑞𝑠 = −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑥
|
𝑥=0
= −𝑘𝐴𝑡𝑟
𝑑Ѳ
𝑑𝑥
|
Ѳ=0
 (25) 
onde qa é a taxa de calor transferida da aleta. 
Resulta do cálculo da Equação (25) com o perfil de temperaturas da Equação (24) 
em: 
𝑞𝑎 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟Ѳ𝑠
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿+(ℎ 𝑚𝑘) cosh 𝑚𝐿⁄
cosh 𝑚𝐿+(ℎ 𝑚𝑘) 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿⁄
 (26) 
2.2.2.2 Segundo Caso: Extremidade da aleta isolada 
A situação mais realista é uma transferência de calor desprezível a partir da ponta da 
aleta, pois a transferência de calor a partir da aleta é proporcional à área da sua superfície e a 
15 
 
superfície da ponta da aleta normalmente é uma fração desprezível de sua área total. Então, a 
ponta da aleta pode ser assumida como sendo adiabática (Çengel, 2009). Se a aleta for de 
comprimento finito, mas a perda de calor a partir de sua extremidade for desprezível, ou se 
sua extremidade for isolada, leva à condição de contorno na ponta: 
𝑑Ѳ
𝑑𝑥
= 0 𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿 (27) 
Substituindo a Equação (27) na Equação (17), teremos: 
𝐶1𝑒
𝑚𝐿 − 𝐶2𝑒
−𝑚𝐿 = 0(28) 
Que resultará na solução particular: 
Ѳ
Ѳ𝑠
=
𝑇(𝑥)−𝑇∞
𝑇𝑠−𝑇∞
=
cosh 𝑚(𝐿−𝑥)
cosh 𝑚𝐿
 (29) 
O cálculo da taxa de transferência de calor a partir da aleta resulta em: 
𝑞𝑎 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟(𝑇𝑠 − 𝑇∞) tanh 𝑚𝐿 (30) 
2.2.2.3 Terceiro Caso: Temperatura conhecida na extremidade da aleta 
Se a temperatura na extremidade da aleta for medida, T(L) = TL, a segunda condição 
de contorno será: 
Ѳ(𝐿) = Ѳ𝐿 𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿 (31) 
Essa condição de contorno, conjunta com a condição de contorno na base da aleta, leva 
à solução particular: 
Ѳ
Ѳ𝑠
=
(Ѳ𝐿 Ѳ𝑠) 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝑥+𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚(𝐿−𝑥)⁄
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿
 (32) 
e 
𝑞𝑎 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟Ѳ𝑠
cosh 𝑚𝐿− Ѳ𝐿 Ѳ𝑠⁄ 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑚𝐿
 (33) 
2.2.2.4 Quarto Caso: Aleta infinitamente comprida 
Em geral, as aletas normalmente empregadas não são geometricamente longas. Isso 
implica que, pelo comum, T(ponta) ≠ T∞. Entretanto, em diversas situações, podemos 
16 
 
considerá-las fisicamente longas, pois a diferença entre aquelas duas temperaturas é tão 
pequena que a modelagem passa a ser correta. Assim, pela característica desse tipo de aleta, 
a constante C1 do perfil geral de temperaturas deve ser nula para manter finita a temperatura 
naquela extremidade (Braga Filho, 2004). 
Assim, a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura ambiente 𝑇∞ e, 
portanto, Ѳ aproxima-se de zero. Isto é, 
Ѳ(𝐿) = T(L) – 𝑇∞ = 0 para L  ∞ (34) 
Implicando na solução particular: 
Ѳ
Ѳ𝑠
=
𝑇(𝑥)−𝑇∞
𝑇𝑠−𝑇∞
= 𝑒−𝑚𝑥 (35) 
O calor trocado na aleta é obtido simplesmente pela Lei de Fourier: 
𝑞𝑎 = −𝑘𝐴𝑡𝑟(−𝑚)Ѳ𝑠𝑒
−𝑚𝑥 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟Ѳ𝑠𝑒
−𝑚𝑥 (36) 
Naturalmente, o valor relevante é aquele trocado na raiz da aleta, pois é indicativo do 
aumento promovido pelo acréscimo de superfície. Assim: 
𝑞𝑎 = √ℎ𝑃𝑘𝐴𝑡𝑟Ѳ𝑠 (37) 
Braga Filho (2004) observa ainda que o comprimento da aleta não afeta a troca de 
calor na raiz, já que seu comprimento (teoricamente infinito) é tal que em sua extremidade a 
temperatura já é a do meio ambiente. 
2.2.3 Seleção e Projeto de Aletas 
Aletas são usadas para aumentar a transferência de calor, e a utilização das aletas em 
uma superfície não pode ser recomendada a menos que o aumento da transferência de calor 
justifique o aumento de custo e de complexidade associado com as aletas. Na verdade, não 
existe nenhuma garantia de que a inclusão das aletas em uma superfície irá aumentar a 
transferência de calor em relação ao caso sem aletas. 
A seleção das aletas é feita com base no desempenho térmico e no custo, a seleção de 
uma geometria adequada para aleta exige compromisso entre custo, peso, espaço disponível 
e queda de pressão do fluido de transferência de calor, bem como, das características de 
17 
 
transferência de calor da superfície estendida. Levando-se em conta o desempenho térmico o 
tamanho, a forma e o comprimento mais desejável das aletas podem ser avaliados por meio 
de analises como a eficácia e eficiência das aletas. 
2.2.3.1 Eficácia da Aleta 
O desempenho aletas é avaliado com base na eficácia da aleta definida como sendo a 
razão entre a taxa de transferência de calor a partir da aleta com área de base 𝐴𝑡𝑟, pela taxa 
de transferência de calor a partir da superfície com área 𝐴𝑡𝑟. Representada pela equação 
abaixo: 
𝜀𝑎𝑙𝑒 =
𝑞𝑎
𝑞𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑒𝑡𝑎
 (38) 
ou seja, 
𝜀𝑎𝑙𝑒 =
𝑞𝑎
ℎ 𝐴𝑡𝑟(𝑇𝑠−𝑇∞)
 (39) 
ou 
𝜀𝑎𝑙𝑒 =
𝑞𝑎
ℎ 𝐴𝑡𝑟Ѳ𝑠
 (40) 
2.2.3.2 Eficiência de Aleta 
No estudo de aletas, é comum a definição de um fator de performance denominado de 
eficiência, que é dada pela relação entre a taxa de transferência de calor real a partir da aleta 
pela taxa de transferência de calor ideal a partir da aleta se toda a aleta estivesse na 
temperatura da base, cuja a expressão é dada por: 
𝜂 =
𝑞𝑎
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑞𝑎
ℎ𝐴𝑎(𝑇𝑠−𝑇∞)
 (41) 
ou pela equação: 
𝜂 =
𝑞𝑎
𝑞𝑚𝑎𝑥
=
𝑞𝑎
ℎ𝐴𝑎Ѳ𝑠
 (42) 
onde 𝐴𝑎 é a superfície total da aleta. 
Uma consideração importante no projeto de superfícies estendidas é a seleção correta 
do comprimento da aleta L. Normalmente, quanto maior for o comprimento da aleta maior 
18 
 
será a areia de troca térmica logo assim aumentando a taxa de transferência de calor a partir 
da aleta. Porem quanto maior for a aleta maior será a massa, o preço e o atrito com o fluido. 
Logo aumentar o comprimento da aleta além de um certo valor pode não ser justificado, a 
não ser que os benefícios adicionais superem os custos adicionais. Além disso, o aumento do 
comprimento da aleta acarreta na diminuição da sua eficiência, devido à diminuição da 
temperatura com o comprimento. Comprimentos que provocam queda de eficiência abaixo 
de 60% devem ser evitados, pois não é justificada economicamente, a maioria das aletas 
utilizadas na pratica possuem eficiência acima de 90% (Çengel, 2009). 
 
19 
 
3- MATERIAIS E MÉTODOS 
 3.1 Materias: 
 Um banho termostático; 
 Termômeto; 
 Painel de controle digital de temperaturas; 
 Barra A de Aço Inox, com 1 in de diâmetro nominal e 1,3 m de comprimento; 
 Barras B, C e D de Aço Inox, Alumínio e Cobre, respectivamente, com diâmetro 
nominal de ½ in e 1,3 m de comprimento. 
 Conjunto de 40 termopares, sendo empregados 10 em cada barra, em pontos simétri-
cos entre as mesmas. 
 3.2 Método: 
Antes de darmos início ao experimento verificamos toda aparelhagem do experimento 
e observamos que o nível de líquido do banho termostático estava abaixo do padrão, tivemos 
que completar até o nível requerido, para darmos início ao experimento. 
Ao iniciar o experimento, anotaremos todas as leituras de temperatura fornecida pelo 
painel de controle, tanto dos termopares nas barras, quanto do termômetro fixado sobre o 
painel de controle, para verificarmos algum desvio que poderia ocorrer. 
Após isso, regulamos a temperatura do banho termostático, nossa fonte quente, para 32 
°C. Aguardamos alguns minutos até que o Regime Permanente de Transferência de Calor ao 
longo das barras fosse atingido, e anotamos todos os valores das temperaturas nos diferentes 
pontos das barras apresentados pelos leitores do painel. A temperatura da fonte quente 
quando atingiu o Regime permanente também foi anotada, sendo igual a 32,2. Procedemos o 
mesmos método para outras duas faixas de temperatura: 42°C e 52°C, e obtivemos os valo-
res de 42°C e 51,7°C para a fonte quente quando em Regime Permanente deTransferência 
de Calor. 
A Figura 6 abaixo mostra esquematicamente todo o mecanismo experimental utilizado. 
Sendo ele composto por quatro barras de 1,3 m afixadas paralelamente, ligadas a uma fonte 
quente. E nestas foram afixados dez termopares em cada, com distancias pré-estabelecidas, a 
20 
 
fim de comparar as mudanças de temperaturas. No painel digital as colunas representam as 
barras A, B, C e D, e as linhas os termopares a uma dada distancia “x” da fonte quente. 
 
Figura 4 – Figura esquemática do equipamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
4- RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Os dados obtidos no experimento, sob a hipótese de regime permanente, são expressos 
nas Tabelas 1, 2 e 3. 
Tabela 1: Dados obtidos para temperatura do banho igual a 32,2ºC e temperatura ambiente 
igual a 26,1 ºC 
Posição do Termopar (m) Barra A 
Barra 
B 
Barra 
C 
Barra 
D 
 
TA 
(°C) 
TB 
(°C) 
TC 
(°C) 
TD 
(°C) 
0 32,2 32,2 32,2 32,2 
0,05 28 28 29 29 
0,1 26 27 29 29 
0,15 25* 26 29 29 
0,25 26 25* 28 27 
0,35 25* 25* 27 28* 
0,45 25* 26 26 26 
0,6 25* 25* 26 26 
0,75 26 26 25* 27* 
0,9 26 26 27* 26 
1,15 26 26 25* 26 
 
 
Tabela 2: Dados obtidos para temperatura do banho igual a 42ºC e temperatura ambiente 
igual a 26,3 ºC 
Posição do Termopar (m) 
Barra 
A 
Barra 
B 
Barra 
C 
Barra 
D 
 
TA 
(°C) 
TB 
(°C) 
TC 
(°C) 
TD 
(°C) 
0 42 42 42 42 
0,05 33 32 35 36 
0,1 30 29 35 34 
0,15 27 27 33 34 
0,25 26 26 30 30 
0,35 26 25* 29 30 
0,45 25* 26 27 29 
0,6 25* 26 27 28 
0,75 26 26 26 27 
0,9 26 26 27* 26 
1,15 26 26 26 26 
 
22 
 
Tabela 3: Dados obtidos para temperatura do banho igual a 51,7ºC e temperatura ambiente 
igual a 26,2 ºC 
Posição do Termopar (m) 
Barra 
A 
Barra 
B 
Barra 
C 
Barra 
D 
 
TA 
(°C) 
TB 
(°C) 
TC 
(°C) 
TD 
(°C) 
0 51,7 51,7 51,7 51,7 
0,05 36 35 40 42 
0,1 31 31 39 39 
0,15 28 27 36 38 
0,25 26 26 32 33 
0,35 26 25* 30 32 
0,45 25* 26 28 30 
0,6 25* 26 27 28 
0,75 26 26 26 29 
0,9 26 26 28* 27 
1,15 26 26 26 26 
 
Os valores assinalados (asterisco) nas Tabelas 1, 2 e 3 foram considerados erros expe-
rimentais e assim invalidados. A provável causa é a má calibração dos termopares que ficou 
evidente pela reincidência de valores incoerentes fornecidos pelos mesmos termopares, sen-
do estes localizados nas posições: 0,45 e 0,6 metros da barra A; 0,35 metros na barra B e 0,9 
metros na Barra C. Percebe-se ainda, pela análise destes dados, que os mesmos não condi-
zem com a realidade física, pois parte destes assumiram valores menores que a temperatura 
ambiente, sugerindo que a transferência de calor ocorria de forma inversa à esperada, entre-
tanto, os valores adjacentes reforçam esta invalidade. 
De acordo com os dados considerados, as barras se comportaram como aletas infinitas, 
pois quando 𝑥 → ∞ a temperatura tende a temperatura ambiente e caso as barras fossem 
aletas projetadas para dissipar calor do banho nas temperaturas aqui trabalhadas, estas esta-
riam superdimensionadas visto que as barras estão a temperatura ambiente em boa parte de 
seu comprimento, sendo está em regiões caracterizadas pelo equilíbrio térmico, não havendo 
permuta de calor. 
Seguem abaixo os gráficos referentes aos perfis de temperatura para as barras A, B, C 
e D nas diferentes temperaturas da base, Figuras 5, 6 e 7. Para facilitar a visualização foi 
utilizado o recurso de “Dispersão com Linhas Suaves e Marcadores” da ferramenta Micro-
soft Excel 2010. 
23 
 
 
Figura 5 - Perfis de temperatura para as barras A, B, C e D com temperatura da base sendo 32,2ºC 
 
Figura 6- Perfis de temperatura para as barras A, B, C e D com temperatura da base sendo 42,2ºC 
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
) 
Posição do Termopar (m) 
Barra A
Barra B
Barra C
Barra D
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
) 
Posição do Termopar (m) 
Barra A
Barra B
Barra C
Barra D
24 
 
 
Figura 7 - Perfis de temperatura para as barras A, B, C e D com temperatura da base sendo 51,7 ºC 
Pela analise das barras A e B a uma mesma temperatura da base, verifica-se que a in-
fluência do diâmetro só foi suavemente perceptível na Figura 5, no entanto mesmo para este 
gráfico a baixa sensibilidade dos instrumentos (termopares) torna a análise pouco confiável. 
Nos demais gráficos (Figuras 6 e 7) não é possível avaliar a influência do diâmetro no perfil 
de temperatura pelos motivos técnicos já citados. Vale ressaltar que o esperado era que ma-
teriais com mesma condutividade e com diâmetro diferentes apresentassem perfis diferentes, 
sendo que para um maior diâmetro a temperatura média ao longo da barra deveria ser menor, 
pois a área superficial de troca térmica seria maior, resultando em uma maior perda de calor. 
Em relação à condutividade térmica, o esperado era que quanto maior a condutividade, 
maior a temperatura média da barra. Isto foi mostrado pelo experimento, como é observado 
nas Figuras 5, 6 e 7, para as quais os materiais com condutividade maior (cobre e alumínio) 
obtiveram uma maior temperatura média, Tabela 4. A única exceção é para temperatura da 
base de 32,2ºC, se comparando as barras C e D, observa-se uma diminuição da temperatura 
média, o que não era esperado, entretanto esta pode ser explicada pela baixa sensibilidade 
dos instrumentos e também pela pouca quantidade de dados de temperatura na barra. Esta 
última dificulta a precisão na integração numérica, influenciando no resultado da média. 
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral
1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral
T
em
p
er
at
u
ra
 (
°C
) 
Posição do Termopar (m) 
Barra A
Barra B
Barra C
Barra D
25 
 
Seguem abaixo as Tabelas 4 e 5 mostrando, respectivamente, as temperaturas médias e 
as condutividades das barras A, B, C e D. A demonstração do calculo da média segue no 
anexo A. 
Tabela 4 – Temperaturas médias das barras A, B, C e D 
 
Temperatura média (°C) 
Temperatura da Base (°C) Barra A Barra B Barra C Barra D 
32,2 26,22 26,27 26,85 26,72 
42 26,89 26,80 28,43 29,07 
51,7 27,34 27,23 29,60 30,99 
 
Tabela 5 – Temperaturas médias das barras A, B, C e D 
Material Condutividade térmica (W/m-K) 
Aço Inoxidável AISI 302 (Barras A e B) 15,1 
Alumínio (Barra C) 237 
Cobre (Barra D) 401 
Fonte: Incropera et al. (2008) 
 
No cálculo do adimensional b foi verificado que alguns valores foram negativos, 
como se observa nas Tabelas 6, 7 e 8, pois as temperaturas medidas em certos pontos assu-
miram valores menores que a temperatura ambiente. Fato que ocorreu devido às incertezas 
nas medições de temperatura, que nos termopares foi 1°C e nos medidores da temperatura 
ambiente e do banho foi 0,1°C, além disso, a má calibração de alguns termopares ficou evi-
dente, como já citado anteriormente. 
Percebe-se também que para uma parte dos dados a incerteza foi maior que o valor da 
variável (b), contudo, não se pode afirmar que estes valores são estatisticamente inváli-
dos, pois são adimensionais. 
 
 
 
 
 
26 
 
Tabela 6 – Dados adimensionais utilizados na estimação docoeficiente de transferência de calor, h, 
para a temperatura da base igual a 32,2 °C e temperatura ambiente de 26,1 ºC 
 Barra A Barra B Barra C Barra D 
Posição do 
Termopar (m) 
b b b b 
0 1,000 ± 0,023 1,000 ± 0,023 1,000 ± 0,023 1,000 ± 0,023 
0,05 0,311 ± 0,164 0,311 ± 0,164 0,475 ± 0,164 0,475 ± 0,164 
0,1 -0,016 ± 0,165 0,148 ± 0,165 0,475 ± 0,165 0,475 ± 0,164 
0,15 -0,180 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 0,475 ± 0,165 0,475 ± 0,164 
0,25 -0,016 ± 0,165 -0,180 ± 0,165 0,311 ± 0,165 0,148 ± 0,165 
0,35 -0,180 ± 0,165 -0,180 ± 0,165 0,148 ± 0,165 0,311 ± 0,164 
0,45 -0,180 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 
0,6 -0,180 ± 0,165 -0,180 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 
0,75 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 -0,180 ± 0,165 0,148 ± 0,165 
0,9 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 0,148 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 
1,15 -0,016 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 -0,180 ± 0,165 -0,016 ± 0,165 
 
 
Tabela 7 – Dados adimensionais utilizados na estimação do coeficiente de transferência de calor, h, 
para a temperatura da base igual a 42 °C e temperatura ambiente de 26,3 ºC 
 
Barra A Barra B Barra C Barra D 
Posição do 
 Termopar (m) 
b b b b 
0 1,000 ± 0,009 1,000 ± 0,009 1,000 ± 0,023 1,000 ± 0,009 
0,05 0,311 ± 0,064 0,363 ± 0,064 0,311 ± 0,164 0,618 ± 0,064 
0,1 -0,016 ± 0,064 0,172 ± 0,064 0,148 ± 0,165 0,490 ± 0,064 
0,15 -0,180 ± 0,064 0,045 ± 0,064 -0,016 ± 0,165 0,490 ± 0,064 
0,25 -0,016 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,180 ± 0,165 0,236 ± 0,064 
0,35 -0,180 ± 0,064 -0,083 ± 0,064 -0,180 ± 0,165 0,236 ± 0,064 
0,45 -0,180 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,016 ± 0,165 0,172 ± 0,064 
0,6 -0,180 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,180 ± 0,165 0,108 ± 0,064 
0,75 -0,016 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,016 ± 0,165 0,045 ± 0,064 
0,9 -0,016 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,016 ± 0,165 -0,019 ± 0,064 
1,15 -0,016 ± 0,064 -0,019 ± 0,064 -0,016 ± 0,165 -0,019 ± 0,064 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Tabela 8 – Dados adimensionais utilizados na estimação do coeficiente de transferência de calor, h, 
para a temperatura da base igual a 52 °C e temperatura ambiente de 26,2 ºC 
 
Barra A Barra B Barra C Barra D 
Posição do 
 Termopar (m) 
b b b b 
0 1,000 ± 0,006 1,000 ± 0,006 1,000 ± 0,006 1,000 ± 0,006 
0,05 0,384 ± 0,039 0,345 ± 0,039 0,541 ± 0,039 0,620 ± 0,039 
0,1 0,188 ± 0,039 0,188 ± 0,039 0,502 ± 0,039 0,502 ± 0,039 
0,15 0,071 ± 0,039 0,031 ± 0,039 0,384 ± 0,039 0,463 ± 0,039 
0,25 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 0,227 ± 0,039 0,267 ± 0,039 
0,35 -0,008 ± 0,039 -0,047 ± 0,039 0,149 ± 0,039 0,227 ± 0,039 
0,45 -0,047 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 0,071 ± 0,039 0,149 ± 0,039 
0,6 -0,047 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 0,031 ± 0,039 0,071 ± 0,039 
0,75 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 0,110 ± 0,039 
0,9 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 0,071 ± 0,039 0,031 ± 0,039 
1,15 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 -0,008 ± 0,039 
 
A Tabela 9 exibe os valores dos coeficientes médios de transferência de calor, h, cal-
culados utilizando os dados experimentais através do ajuste exponencial, os gráficos referen-
tes aos ajustes, assim como as tabelas com os dados obtidos através do software OriginPro 
8.0, são mostrados no anexo B. Percebe-se que para os coeficientes, h, das barras A, C e D 
na temperatura da base igual a 32°C, os erros encontrados foram maiores que o próprio coe-
ficiente, o que nesse caso mostra que estes resultados eram inválidos. Para os demais verifi-
ca-se que uma parte dos coeficientes está dentro do esperado, isto é, entre 2 e 25 W/m²K 
(INCROPERA & DeWith, 2003), enquanto os demais estão acima. Os desvios, destes últ i-
mos, são explicados pelos erros de medição ocasionados pela má calibração ou funciona-
mento dos termopares, como já citado anteriormente. Vale ressaltar que as imprecisões tam-
bém podem ter sido consequência da não validade da hipótese de regime permanente, pois 
devido às dificuldades técnicas, a observação do estado de regime tornou-se difícil. 
Tabela 9 - Tabela com os coeficientes de transferência de calor (em W/m
2
-K) calculados, com resul-
tados inválidos ou fora do esperado coloridos de vermelho 
Temperatura do banho Barra A Barra B Barra C Barra D 
32 66,49 ± 14,12 25,00 ± 3,14 33,29 ± 11,04 60,27 ± 20,44 
42 25,92 ± 2,78 18,57 ± 1,54 30,03 ± 5,4 37,90 ± 7,50 
52 31,01 ± 1,76 19,23 ± 2,01 36,32 ± 6,62 38,00 ± 7,09 
 
 
 
 
28 
 
 
5- CONCLUSÃO 
 
A importância das aletas industrialmente é notável. Praticamente todos os equipamen-
tos elétricos, eletrônicos, mecânicos entre outros, geram calor como resultado de seu funcio-
namento, havendo a necessidade da dissipação do calor. 
No presente trabalho foi possível visualizar, mesmo que de maneira limitada, o perfil 
de temperatura de aletas cilíndricas. Analisou-se a influencia do diâmetro na formação do 
perfil e, como era esperado, percebeu-se, mesmo que suavemente, o aumento da temperatura 
média com a redução do diâmetro, como mostrou a Figura 1. Apesar das Figuras 2 e 3 serem 
de difícil análise, pois as incertezas dos termopares tornou os dados ruins. 
A influencia da condutividade do material, k, das aletas na formação do perfil foi tam-
bém verificada. Percebeu-se que quanto maior o valor do parâmetro, maior é a temperatura 
média da aleta. Entretanto as barras C e D a temperatura da base de 32,2 ºC, apresentaram 
comportamento inverso, porém esse resultado é fruto da má calibração e falta de precisão 
dos equipamentos. 
Fica-se claro que o diâmetro e a condutividade influencia o perfil de temperatura. Sen-
do o maior diâmetro o que proporciona maior área superficial e a dissipação maior em um 
menor comprimento da barra, assim como a maior condutividade proporciona uma maior 
temperatura media. 
O cálculo dos coeficientes de transferência de calor por convecção natural produziu 
três grupos de resultados: os esperados; os não esperados e os invalidados estatisticamente. 
O primeiro grupo apresentou resultados com certa confiabilidade, onde o afirmado pela lite-
ratura foi verificado. O segundo grupo apresentou resultados pouco acima do esperado. E o 
terceiro apresentou incertezas maiores que os coeficientes. No entanto, sabe-se que os desvi-
os e erros foram provocados pela má calibração e imprecisão do equipamento. 
No presente trabalho foi possível analisar criticamente o problema da dissipação de ca-
lor, onde foi exigido dos membros a aplicação dos conhecimentos obtidos ao longo do cur-
so. Apesar das dificuldades técnicas encontradas, o experimento foi proveitoso para todos os 
membros, visto que simula dificuldades que poderão ser encontradas na vida profissional. 
Recomenda-se a análise técnica do equipamento, pois ficou evidenciada a má calibra-
ção de alguns termopares, assim como o mau funcionamento de outros. 
29 
 
6- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Braga Filho, W. Transmissão de Calor. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004, 614p. 
Çengel, Y. A. Transferência de Calor e Massa: Uma Abordagem Prática. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2009, 3ª ed., 906p. 
Incropera, F. P.; Dewitt, D. P.; Bergman, T. L.; Lavine, A. S. Fundamentos de transferência 
de calor e de massa. Rio de Janeiro: LTC, 2008, 6ª ed., 645p. 
Kreith, F.; Bohn, M. S. Princípios de transferência de calor. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003, 6ª ed., 760p. 
Moran, M. J.; Shapiro, H. N.; Munson, B. R.; Dewitt, D. P. Introdução a Engenharia de 
Sistemas Térmicos. Rio de Janeiro: LTC, 2005, 604p. 
Welty, J. R.; Wicks, C. E.; Wilson, R. E.; Rorrer, G. L. Fundamentals of Momentum, Heat, 
and Mass Transfer. New York: John Wiley & Sons, 2008, 5ª ed., 740p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Anexo A – Memorial de Cálculo 
 Temperatura médiana barra 
Utilizando o teorema do valor médio, pode-se calcular a média da temperatura nas bar-
ras: 
�̅� =
1
𝑏−𝑎
∫ 𝑇(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 (1) 
Logo para o problema em questão, no caso para a Barra A e com temperatura da base 
igual a 32,2°C: 
�̅� =
1
1,15−0
∫ 𝑇(𝑥)𝑑𝑥
1,15
0
 (2) 
Resolvendo numericamente, admitindo aproximação por trapézios e excluindo os pon-
tos que não condizem com a realidade, por motivos já citados anteriormente, tem-se: 
�̅� =
1
1,15−0
(
32,2+28
2
(0,05 − 0) +
28−26
2
(0,1 − 0,05) +
26+26
2
(0,25 − 0,1) +
26+26
2
(0,75 −
0,25) +
26+26
2
(0,9 − 0,75) +
26+26
2
(1,15 − 0,9)) (3) 
�̅� ≈ 26,222 °𝐶 
Para as demais barras, nas temperaturas da base de 32,2; 42 e 51,7ºC foi efetuado o 
mesmo procedimento para o cálculo. 
 Adimensionalização dos dados de temperatura 
Tomando como base a Barra B, com temperatura do banho a 32,2ºC. Fez-se a seguinte 
adimensionalização para o sistema: 
𝜃
𝜃𝑏
=
𝑇−𝑇∞
𝑇𝑏−𝑇∞
 (4) 
Sendo a temperatura ambiente 26,1°C e a temperatura da base 32,2°C, e como exem-
plo, usando-se o ponto três (T = 27ºC), calcula-se o adimensional 𝜃/𝜃𝑏: 
𝜃
𝜃𝑏
=
27 − 26,1
32,2 − 26,1
 
31 
 
𝜃
𝜃𝑏
= 0,147 
Propagando-se o erro para este adimensional pela seguinte expressão: 
𝜎𝜃 = √(
𝜕𝜃
𝜕𝑇
∙ 𝜎𝑇)
2
+ (
𝜕𝜃
𝜕𝑇∞
∙ 𝜎𝑇∞)
2
+ (
𝜕𝜃
𝜕𝑇𝑏
∙ 𝜎𝑇𝑏)
2
 (5) 
Por uma questão de simplicidade de notação o adimensional 𝜃/𝜃𝑏 foi chamado de 𝜃. 
𝜕𝜃
𝜕𝑇
=
1
Tb−T∞
 (6) 
𝜕𝜃
𝜕𝑇∞
=
𝑇−T∞
(Tb−T∞)
2 −
1
Tb−T∞
 (7) 
𝜕𝜃
𝜕𝑇b
−
𝑇−T∞
(Tb−T∞)
2 (8) 
As incertezas das variáveis são dadas por: 
𝜎𝑇 = 1 °𝐶 
𝜎𝑇∞ = 0,1 °𝐶 
𝜎𝑇𝑏 = 0,1 °𝐶 
Logo, a incerteza é: 
𝜎𝜃 = 0,165 
Então, o adimensional relativo ao perfil de temperatura é: 
𝜃
𝜃𝑏
= 0,147 ± 0,165 
 Determinação do coeficiente convectivo e cálculo de sua incerteza 
Fez-se o ajuste não linear, utilizando o software OriginPro 8.0, seguindo o seguinte 
modelo: 
𝑦 = 𝑒−𝑚 𝑥 (9) 
Sendo que 𝑦 =
𝜃
𝜃𝑏
=
𝑇−𝑇∞
𝑇𝑏−𝑇∞
 e x é a posição do termopar na barra e tomando como ba-
se a Barra B, com temperatura do banho a 32,2ºC. Logo, obtém-se: 
𝑚 = (22,57 ± 1,42) 𝑚−1 
Manipulando algebricamente, isola-se o coeficiente h: 
32 
 
𝑚 = √
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴𝑐
 (10) 
ℎ =
𝑚2 𝑘 𝐴𝑐
𝑝
 (11) 
Sendo: 
k: Condutividade térmica da barra; 
Ac: Área da secção transversal da barra; 
p: Perímetro da barra; 
m: Coeficiente estimado por regressão não-linear. 
Considerando os dados abaixo: 
D = 0,013 m 
p = πD 
p = 0,041 m 
Ac = 0,25 πD2 
Ac =1,33∙10-4 m2 
Pode-se obter o valor de h, utilizando-se a Equação 11. 
ℎ = 25,006 𝑊/𝑚2𝐾 
A sua incerteza é dada pela seguinte expressão: 
𝜎ℎ = √(
𝜕ℎ
𝜕𝑚
∙ 𝜎𝑚)
2
=
𝜕ℎ
𝜕𝑚
∙ 𝜎𝑚 =
2 𝑚 𝑘 𝐴𝑐
𝑝
 (12) 
Logo para a Barra B, com temperatura da base sendo 32,2 °C 
𝜎ℎ = 3,137 
Sendo então o resultado final dado por: 
ℎ = 25,006 ± 3,137 𝑊/𝑚2𝐾 
 
33 
 
ANEXO B 
 
Tabela 10 – Dados obtidos do ajuste exponencial para temperatura da base igual a 32,2 °C 
 
m erro R² 
Barra A 26,54 2,82 0,998 
Barra B 22,57 1,42 0,999 
Barra C 6,57 1,09 0,988 
Barra D 6,80 1,15 0,990 
 
Tabela 11 – Dados obtidos do ajuste exponencial para temperatura da base igual a 42 °C 
 
m erro R² 
Barra A 16,57 0,89 0,999 
Barra B 19,45 0,81 0,999 
Barra C 6,24 0,56 0,960 
Barra D 5,39 0,53 0,990 
 
Tabela 12 – Dados obtidos do ajuste exponencial para temperatura da base igual a 51,7 °C 
 m erro R² 
Barra A 18,13 0,52 0,9997 
Barra B 19,79 1,04 0,999 
Barra C 6,87 0,63 0,993 
Barra D 5,40 0,50 0,963 
 
34 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 4 - Ajuste exponencial para a Barra A para temperatura da base de 32,2 °C 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 5 - Ajuste exponencial para a Barra B para temperatura da base de 32,2 °C 
35 
 
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 6 - Ajuste exponencial para a Barra C para temperatura da base de 32,2 °C 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar
 
Figura 7 - Ajuste exponencial para a Barra D para temperatura da base de 32,2 °C 
 
36 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 8 - Ajuste exponencial para a Barra A para temperatura da base de 42 °C 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 9 - Ajuste exponencial para a Barra B para temperatura da base de 42 °C 
37 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 10 - Ajuste exponencial para a Barra C para temperatura da base de 42 °C 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 11 - Ajuste exponencial para a Barra D para temperatura da base de 42 °C 
38 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 12 - Ajuste exponencial para a Barra A para temperatura da base de 52 °C 
 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 13 - Ajuste exponencial para a Barra B para temperatura da base de 52 °C 
 
39 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 14 - Ajuste exponencial para a Barra C para temperatura da base de 52 °C 
 
 
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

 b
Posição do Termopar (m)
 
Figura 15 - Ajuste exponencial para a Barra D para temperatura da base de 52 °C