TEORIA DOS CONJUNTOS - PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO – NOTAS DE AULA 
CAPÍTULO 01 – TEORIA DOS CONJUNTOS 
PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
SITUAÇÃO PROBLEMA 01 (FUVEST – GV 1991): Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de 
três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: 
A – 48%. 
B – 45%. 
C – 50%. 
A e B – 18%. 
B e C – 25%. 
A e C – 15%. 
Nenhuma da três – 5%. 
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? 
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três 
marcas? 
RESOLUÇÃO: 
a) A resolução do item a ficará mais bem compreendida empregando-se o diagrama de Venn, 
que consiste em converter as informações dadas, de maneira estratégica, em regiões, com a 
finalidade de empregar a 
linguagem matemática 
significativamente. Assim 
sendo, analise a figura ao 
lado: 
Com efeito, a 
circunferência denotada 
pela letra A, faz menção a 
marca A e o mesmo 
ocorre com a 
circunferência denotada 
pela letra B, que faz 
menção a marca B e com 
a circunferência C, que 
faz menção a marca C. 
Define-se as regiões da 
seguinte maneira: 
 REGIÃO 1: , como este valor não foi definido no problema, diz-se 
convenientemente que . 
 REGIÃO 2: . 
 REGIÃO 3: . 
 REGIÃO 4: . 
Assim com as quatro primeiras regiões bem definidas algebricamente, pode-se construir o 
raciocínio em relação as demais regiões. 
 REGIÃO 5: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto A. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 REGIÃO 6: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto B. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 REGIÃO 7: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto C. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Todas as REGIÕES foram definidas. Pode-se assim, dar continuidade a resolução do 
problema. 
Deve-se recordar que o problema menciona que das pessoas envolvidas não consomem 
nenhum dos produtos listados. Esta informação não deve ser descartada, ela é importante 
para a solução final que segue: 
Somando-se todos os valores encontrados (valores das REGIÕES) anteriormente e percetual 
de pessoas que não consomem os produtos listados, obtém-se a totalidade que corresponde 
a . 
Com efeito, tem-se: 
 
 
 
 
Resposta: A porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas é . 
b) Os entrevistados que consomem apenas uma das três marcas estão nas REGIÕES 5, 6 e 7 
apenas, pois nestas REGIÕES o consumo é exclusivo da respectiva marca. Portanto: 
 REGIÃO 5: ( ) . 
 REGIÃO 6: ( ) . 
 REGIÃO 7: ( ) . 
 
Resposta: A porcentagem de entrevistados que consomem apenas uma das três 
marcas é . 
 
SITUAÇÃO PROBLEMA 02 (UFES – 1996): As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, 
num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a 
tabela a seguir: 
MARCAS CONSUMIDAS N° DE CONSUMIDORES 
A 150 
B 120 
S 80 
A e B 60 
B e S 40 
A e S 20 
A, B e S 15 
Outras 70 
 
a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram a cerveja S? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 
 
RESOLUÇÃO: 
a) A resolução do item a ficará mais bem compreendida empregando-se o diagrama de Venn, 
que consiste em converter as informações dadas, de maneira estratégica, em regiões, com a 
finalidade de empregar a linguagem matemática. 
 
Assim sendo, analise a figura ao lado: 
Com efeito, a 
circunferência 
denotada pela 
letra A, faz 
menção a marca 
A e o mesmo 
ocorre com a 
circunferência 
denotada pela 
letra B, que faz 
menção a marca 
B e com a 
circunferência S, 
que faz menção a 
marca S. 
Define-se as 
regiões da 
seguinte maneira: 
 REGIÃO 1: , como este valor não foi definido no problema, diz-se 
convenientemente que . 
 REGIÃO 2: . 
 REGIÃO 3: . 
 REGIÃO 4: . 
Assim com as quatro primeiras regiões bem definidas aritméticamente, pode-se construir o 
raciocínio em relação as demais regiões. 
 REGIÃO 5: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto A. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 REGIÃO 6: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto B. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 REGIÃO 7: Número de elementos, exclusivamente, do conjunto S. Denota-se por: ( ). 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Todas as REGIÕES foram definidas. Pode-se assim, dar continuidade a resolução do 
problema. 
Deve-se recordar que o problema menciona que o campo “outras” totalizando 70 pessoas dos 
consumidores envolvidos. Esta informação não deve ser descartada, ela é importante para a 
solução final que segue: 
Somando-se todos os valores encontrados (valores das REGIÕES) anteriormente e o campo 
“outras”, obtém-se a totalidades, com é proposto. 
 
 
 
Resposta: Nesse dia, 315 beberam cerveja no bar. 
b) Verifica-se que os que consumiram apenas duas são os consumidores que ocupam as 
REGIÕES 2, 3 e 4. 
 
Resposta: Dentre os consumidores A, B e S, 75 beberam apenas duas dessas marcas. 
c) Verifica-se que os que não consumiram a cerveja S são os consumidores que ocupam as 
REGIÕES 5, 2, 6 e mais o campo “outras”. 
 
Resposta: 235 pessoas não consumiram a cerveja S. 
d) Verifica-se que os que não consumiram a marca B nem a marca S, são exatamente os que 
consumiram exclusivamente a marca A e também os que escolheram as outras marcas. 
Estes, ocupam a REGIÃO 5 e mais o campo “outras”. 
 
Resposta: 155 pessoas não consumiram a marca B nem a marca S. 
 
 
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM – TESTES DE VESTIBULARES – TEORIA DOS 
CONJUNTOS 
QUESTÂO 01 (UFJF – 2003): Uma pesquisa realizada com os alunos do ensino médio de um 
colégio indicou que 221 alunos gostam da área de saúde, 244 da área de exatas, 176 da área de 
humanas, 36 da área de humanas e de exatas, 33 da área de humanas e de saúde, 14 da área de 
saúde e de exatas e 6 gostam das três áreas. O número de alunos que gostam apenas de uma das 
três áreas é: 
a) 487. 
b) 493. 
c) 564. 
d) 641. 
e) 730. 
QUESTÂO 02 (EAESP – FGV): Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas 
acerca de suas preferências em relação a três produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa 
indicaram que: 
 210 pessoas 
compraram o produto 
A; 
 210 pessoas 
compraram o produto 
B; 
 250 pessoas 
compraram o produto 
C; 
 20 pessoas 
compraram os três 
produtos; 
 100 pessoas não 
compraram nenhum 
dos três produtos; 
 60 pessoas 
compraram o produto 
A e B; 
 70 pessoas 
compraram o produto 
A e C; 
 50 pessoas 
compraram o produto 
B e C. 
Com base nessas informações, pergunta-se: quantas pessoas foram entrevistadas?a) 670. 
b) 970. 
c) 870. 
d) 610. 
e) 510. 
QUESTÂO 03 (CESESP): Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos 
lêem o jornal X e 60% lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos 
dois jonais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos. 
a) 80%. 
b) 14%. 
c) 40%. 
d) 60%. 
e) 48%. 
QUESTÂO 04 (FGV – 1995): Em certo ano, ao analisar os dados dos candidatos ao Concurso 
Vestibular para o Curso de Graduação em Administração, nas modadlidades Administração de 
Empresas e Administração Pública, concluiu-se que: 
 80% do número total de candidatos optaram pela modalidade Administração de Empresas; 
 70% do número total de candidatos eram do sexo masculino; 
 50% do número de candidatos à modalidade Administração Pública eram do sexo masculino; 
 500 mulheres optaram pela modalidade Administração Pública. 
O número de candidatos do sexo masculino à modalidade Administração de Empresas foi: 
a) 4 000. 
b) 3 500. 
c) 3 000. 
d) 1 500. 
e) 1 000. 
QUESTÂO 05 (MACKENZIE – 1996): Se * + * +, então: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÂO 06 (PUC/MG – 1997): Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a resvista A, 80% 
lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de 
funcionários que lêem as duas revistas é: 
a) 20%. 
b) 40%. 
c) 60%. 
d) 75%. 
e) 140%. 
QUESTÂO 07 (UNESP – 1990): Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 
de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de Históira é: 
a) Exatamente 16. 
b) Exatamente 10. 
c) No máximo 6. 
d) No mínimo 6. 
e) Exatamente 18. 
QUESTÂO 08 (COVEST – 1997): Numa cidade de 10 000 habitantes são consumidas cervejas de 
dois tipos A e B. Sabendo que 45% da população tomam cerveja A, 15% tomam os dois tipos de 
cerveja e 20% não tomam cerveja. Quantos são os habitantes que tomam da cerveja B? 
a) 3 500. 
b) 5 000. 
c) 4 000. 
d) 4 500. 
e) 2 000. 
QUESTÂO 09 (UNIRIO – 1999): Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas “A”, “B” e 
“C”, descobriu-se que 81 pessoas lêem, pelo menos, uma das revistas; 61 pessoas lêem somente 
uma delas e 17 pessoas lêem duas das três revistas. 
Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas dentre as 81 é: 
a) 3. 
b) 5. 
c) 12. 
d) 29. 
e) 37. 
QUESTÂO 10 (PUC/MG – 1997): Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: 
 * +. 
 * +. 
 * +. 
 * +. 
 * +. 
O número de elementos do conjunto ( ) é: 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
GABARITO – TEORIA DOS CONJUNTOS 
QUESTÃO 01: Alternativa B. 
QUESTÃO 02: Alternativa D. 
QUESTÃO 03: Alternativa C. 
QUESTÃO 04: Alternativa C. 
QUESTÃO 05: Alternativa B. 
QUESTÃO 06: Alternativa B. 
QUESTÃO 07: Alternativa D. 
QUESTÃO 08: Alternativa A. 
QUESTÃO 09: Alternativa A. 
QUESTÃO 10: Alternativa A.