Aula 06 - DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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AULA 6 - DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Na aula anterior fizemos vimos algumas regras de derivação, que facilitam e 
muito no cálculo de derivadas, evitando de termos sempre que recorrer a 
definição. Nesta aula vamos discutir as derivadas das funções trigonométricas. 
Estas funções são muito importantes para as áreas da Engenharia e 
Matemática, pois podem modelar vários fenômenos físicos. Para discutir as 
funções trigonométricas com facilidade é importante que você revise alguns 
conceitos básicos de trigonometria. A fim de facilitar seus estudos, iremos 
inserir sempre que possível um pequeno resumo de tais conceitos básicos, para 
que você consiga iniciar algumas reflexões. 
 
DEFININDO OBJETIVOS 
Com esta aula esperamos que vocês sejam capazes de: 
 
 Fazer o cálculo de derivadas das principais funções trigonométricas 
(função seno e função cosseno); 
 Fazer o cálculo das demais funções trigonométricas; 
 
DESENVOLVENDO O CONTEÚDO 
 
Derivadas das Funções Trigonométricas (Função Seno e Função Cosseno) 
 
 Vamos entender o que seria a função seno, vamos discutir elementos da 
função seno no triângulo retângulo ou no circulo trigonométrico. É importante 
que você visualize a relação entre essas duas abordagens para lidar com a 
função seno. 
Na Figura 01 tem-se um triângulo retângulo. Observe as características 
enumeradas. 
Figura 01: Triângulo Retângulo 
 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
1) O triangulo ABC e retângulo. O angulo A é o angulo reto (mede 90 
graus); 
2) A hipotenusa do triangulo dado mede a, e os catetos medem b e c; 
3) O cateto b é oposto ao ângulo 𝛽 e adjacente ao ângulo 𝛼; 
4) O cateto c é oposto ao ângulo 𝛼 e adjacente ao ângulo 𝛽; 
5) Vale o Teorema de Pitágoras: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2; 
6) Valem as relações que define 𝑠𝑒𝑛 𝛽 e 𝑠𝑒𝑛 𝛼; 
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
 e 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
 
 
Você pode fazer uma formatação várias expressões envolvendo ângulos 
e lados de um triângulo retângulo. Ao fazer isto você estará analisando a 
trigonometria no triângulo retângulo. 
Veja agora como isso se procede em um círculo trigonométrico (circulo 
de raio 1). Observe a figura 02, e tente visualizar a relação citada 
anteriormente. Já que o triangulo OAP tem como medida de sua hipotenusa o 
valor 1, a relação trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 𝛼 fica geometricamente representado por 
segmento, vejamos 
Figura 02: Ciclo trigonométrico seno 
 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑃𝐴
1
= 𝑃𝐴 = 𝐵0 
 
Função Trigonométrica 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
Praticamente já definimos a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥. Essa função é 
definida a partir do círculo trigonométrico, vejamos. 
Considere 𝑥 um numero real que representa a medida em radianos de 
um angulo central desenhado no circulo trigonométrico, como mostra a Figura 
03 Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do angulo com a 
circunferência. Denominamos de 𝑠𝑒𝑛𝑜 de 𝑥 a ordenada 𝑂𝑃1 do ponto P, como 
já fizemos anteriormente. 
Figura 03: Ciclo Trigonométrico 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 
 
 Fazendo variar o valor de 𝑥, é possível construirmos a seguinte tabela, 
onde temos os valores de x e seus respectivos resultados. 
 
 
 Agora vejamos esse comportamento no gráfico abaixo: 
 
 
 
Figura 04: Representação Gráfica da função seno. 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 
 
 Observe que: 
 O domínio desta função é o conjunto dos reais e o conjunto 
imagem é o conjunto [−1,1]; 
 É uma função periódica de período igual a 2𝜋, ou seja, 
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥; 
 Tem intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
De maneira análoga vamos definir a função cosseno, neste caso valem 
as relações que define 𝑐𝑜𝑠 𝛽 e 𝑐𝑜𝑠 𝛼; (tomando como base a figura 01) 
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
 e 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
 
 
Veja agora como se procede o cosseno em um círculo trigonométrico 
(circulo de raio 1). Observando a figura 02, tente visualizar a relação citada. Já 
que o triângulo OAP tem como medida de sua hipotenusa o valor 1, a relação 
trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 𝛼 fica geometricamente representado por segmento, 
vejamos 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑂𝐴
1
= 𝑂𝐴 
 
Função Trigonométrica 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
Analogamente como a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, praticamente já definimos 
a função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Essa função é definida a partir do círculo 
trigonométrico, vejamos. 
Considere 𝑥 um numero real que representa a medida em radianos de 
um angulo central desenhado no circulo trigonométrico, como mostra a Figura 
03 Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do angulo com a 
circunferência. Denominamos de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 de 𝑥 a ordenada 𝑂𝑃2 do ponto P, 
como já fizemos anteriormente. 
 
 
 Fazendo variar o valor de 𝑥, é possível construirmos a seguinte tabela, 
onde temos os valores de x e seus respectivos resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora vejamos esse comportamento no gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05: Gráfico da função cosseno 
 
 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 Observe que: 
 O domínio desta função é o conjunto dos reais e o conjunto 
imagem é o conjunto [−1,1]; 
 É uma função periódica de período igual a 2𝜋, ou seja, 
𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥; 
 Tem intervalos de crescimento e decrescimento. 
 
Após definidas as funções 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) nos reais, 
vamos agora entender como se procedem as suas derivadas. A seguir 
apresentaremos de maneira direta a derivada da função 𝑠𝑒𝑛𝑜 e da função 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜, a demonstração das mesmas pode ser facilmente encontrada na 
bibliografia indicada. Os cálculos das derivadas das demais funções 
trigonométricas serão feitos mais adiante aplicando a regra da derivada do 
quociente de funções. Para o cálculo das derivadas dessas funções, as variáveis 
independentes são consideradas em radiano. 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 nos reais, então 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥. 
Exemplo 01: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2 − 3) definida nos reais, então 
calcule a sua derivada. 
 
 
 
 Solução: 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥2 − 3) . (𝑥2 − 3)′ = cos(𝑥2 − 3) . 2𝑥 =
2𝑥. cos(𝑥2 − 3) (fazendo uso da regra da cadeia) 
 
 Exemplo 02: Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 definida nos reais, então calcule a 
sua derivada. 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 2𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥. (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ = 2𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥. cos 𝑥 = 2. cos 𝑥 . 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 
(fazendo uso da regra da cadeia) 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 nos reais, então 𝑓′(𝑥) = −sen 𝑥. 
 
Exemplo 01: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥4 − 2𝑥) definida nos reais, então 
calcule a sua derivada. 
 
 Solução: 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (3𝑥4 − 2𝑥). (3𝑥4 − 2𝑥)′ = −(12𝑥3 −
2). 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥4 − 2𝑥) = (−12𝑥3 + 2). 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥4 − 2𝑥) (fazendo uso da regra da 
cadeia) 
 
 Exemplo 02: Seja 𝑓(𝑥) = 3 ln (cos 𝑥) definida nos reais, então calcule 
a sua derivada. 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 3
1
cos 𝑥
(cos 𝑥)′ =
3
cos 𝑥
(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
−3𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 (fazendo 
uso da regra da cadeia) 
 
Exemplo 03: Seja 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥2. cos(2𝑥 + 1) definida nos reais, 
então calcule a sua derivada. 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 3
1
cos 𝑥
(cos 𝑥)′ =
3
cos 𝑥
(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) =
−3𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 (fazendo 
uso da regra da cadeia) 
 
Exemplo 04: Seja 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1−cos 𝑥
 definida nos reais, então calcule a sua 
derivada. 
 
 
Solução: 𝑓′(𝑥) =
(1−cos 𝑥).(𝑠𝑒𝑛 𝑥)′−(1−cos 𝑥)′.(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(1−cos 𝑥)2
=
(1−cos 𝑥).(cos 𝑥)−(𝑠𝑒𝑛 𝑥).(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(1−cos 𝑥)2
=
cos 𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥
(1−cos 𝑥)2
=
−1.(− cos 𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥)
(1−cos 𝑥)2
=
−1.(− cos 𝑥+1)
(1−cos 𝑥)2
=
−1.(1−cos 𝑥)
(1−cos 𝑥)2
=
−1
1−cos 𝑥
 
Lembrando a relação trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1. 
 
Exemplo 05: Seja 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 √𝑥 + cos 3𝑥 definida nos reais, entãocalcule a sua derivada. 
Solução: 𝑓′(𝑥) = 3 cos √𝑥 . (√𝑥)
′
− 𝑠𝑒𝑛 3𝑥. (3𝑥)′ =
3 cos √𝑥 .
1
2
. 𝑥1−
1
2 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥. 3 = 3 cos √𝑥 .
1
2
. 𝑥−
1
2 − 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 =
3 cos √𝑥
2√𝑥
−
3𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
 
Explorando outras razões trigonométricas. 
 
Analisando mais uma vez o triângulo retângulo é possível verificar 
mais uma razão trigonométrica conhecida como tangente. 
 
 Figura 06: Triângulo Retângulo 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Valem as relações que define 𝑡𝑔 𝛽 e 𝑡𝑔 𝛼; 
𝑡𝑔 𝛽 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑏
𝑐
 e 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐
𝑏
 
 
Uma relação muito importante! 
 
 
 
Existe uma relação entre 𝑠𝑒𝑛 𝛼, cos 𝛼 e 𝑡𝑔 𝛼, vejamos: 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
 
Por que essa relação é válida? Tomando como base o mesmo triângulo 
retângulo da figura 01, temos que: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐
𝑎
→ 𝑐 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝛼 e 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑎
→ 𝑏 = 𝑎. cos 𝛼, fazendo as 
substituições temos que: 
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑐
𝑏
=
𝑎.𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎.cos 𝛼
 eliminando o 𝑎, temos 𝑡𝑔 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
. 
 
Veja agora como isso se procede em um círculo trigonométrico (circulo 
de raio 1). Observe a figura 07, a reta tangente a circunferência no ponto E é 
quem defini a tangente de uma ângulo qualquer no ciclo trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
Figura 07: Ciclo trigonométrico tangente 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são definidas 
em função de seno e cosseno. 
 
 
 
𝑡𝑔 𝑥 =
sen 𝑥
cos 𝑥
 
 
𝐶𝑜𝑡𝑔 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
 
 
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
Agora vamos calcular as suas derivadas: 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 definida nos reais, então a sua derivada será: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(cos 𝑥). (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ − (cos 𝑥)′. (𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
(cos 𝑥). (cos 𝑥) − (−𝑠𝑒𝑛 𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= (
1
cos 𝑥
)
2
= 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 definida nos reais, então a sua derivada será: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(sen 𝑥). (𝑐𝑜𝑠 𝑥)′ − (sen 𝑥)′. (𝑐𝑜𝑠 𝑥)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
(sen 𝑥). (−sen 𝑥) − (𝑐𝑜𝑠 𝑥)(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
−𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
−1. (𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
−1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= − (
1
sen 𝑥
)
2
= −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 definida nos reais, então a sua derivada será: 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
1
cos 𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(cos 𝑥). (1)′ − (cos 𝑥)′. (1)
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
(cos 𝑥). 0 −(−𝑠𝑒𝑛 𝑥). 1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
.
1
cos 𝑥
= 𝑡𝑔 𝑥. sec 𝑥 
 
 
 
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 definida nos reais, então a sua derivada será: 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 = 
1
sen 𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(sen 𝑥). (1)′ − (sen 𝑥)′. (1)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
(sen 𝑥). 0 −(𝑐𝑜𝑠 𝑥). 1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
=
− cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= −
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
.
1
sen 𝑥
= −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. cossec 𝑥 
 
 Veja no quadro resumo abaixo: 
 
Funções 
trigonométricas 
Funções em razão de 
seno e cosseno 
Derivada das funções 
trigonométricas 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓′(𝑥) = −sen 𝑥 
𝑓(𝑥) = tg 𝑥 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐
2𝑥 
𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
2𝑥 
𝑓(𝑥) = sec 𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
cos 𝑥
 
𝑓′(𝑥) = sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 
𝑓(𝑥) = cossec 𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
sen 𝑥
 
𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
 
Exemplo 06: Seja 𝑓(𝑥) = 3. 𝑡𝑔 √𝑥
3
 + sec x definida nos reais, então calcule a 
sua derivada. 
 
Solução: 𝑓(𝑥) = 3. 𝑡𝑔 √𝑥
3
+ sec 𝑥 = 3. 𝑡𝑔𝑥
1
3 + sec 𝑥 → 𝑓′(𝑥) =
3. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
1
3. (𝑥
1
3)
′
+ sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 = 3. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
1
3. (
1
3
. 𝑥
1
3
−1) + sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 =
3. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
1
3. (
1
3
. 𝑥−
2
3) + sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 = 3. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
1
3.
1
3 √𝑥2
3 + sec 𝑥. 𝑡𝑔 𝑥 
 
Exemplo 07: Seja 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+𝑡𝑔 𝑥
 definida nos reais, então calcule a sua 
derivada. 
 
 
 
Solução: 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+𝑡𝑔 𝑥
→ 𝑓′(𝑥) =
(1+𝑡𝑔 𝑥).(𝑠𝑒𝑛 𝑥)′−(1+𝑡𝑔 𝑥)′.(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(1+𝑡𝑔 𝑥)2
=
(1+𝑡𝑔 𝑥).(cos 𝑥)−(𝑠𝑒𝑐2𝑥).(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(1+𝑡𝑔 𝑥)2
=
(cos 𝑥)+(𝑡𝑔 𝑥.cos 𝑥)−(𝑠𝑒𝑐2𝑥).(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(1+𝑡𝑔 𝑥)2
 
 
Exemplo 08: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑥3 + 3𝑥 − 1) definida nos reais, então 
calcule a sua derivada. 
 
Solução: 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑥3 + 3𝑥 − 1) → −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑥3 + 3𝑥 −
1). 𝑐𝑜𝑡𝑔 (2𝑥3 + 3𝑥 − 1). (2𝑥3 + 3𝑥 − 1)′ = 
−(6𝑥2 + 3)𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (2𝑥3 + 3𝑥 − 1). 𝑐𝑜𝑡𝑔 (2𝑥3 + 3𝑥 − 1) 
 
Exemplo 09: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) definida nos reais, então calcule a sua 
derivada. 
 
Solução: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) → 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) . 𝑡𝑔 (
𝑥+1
𝑥−1
) . (
𝑥+1
𝑥−1
)
′
=
𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) . 𝑡𝑔 (
𝑥+1
𝑥−1
) .
(𝑥−1)(𝑥+1)′−(𝑥−1)′(𝑥+1)
(𝑥−1)2
=
𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) . 𝑡𝑔 (
𝑥+1
𝑥−1
) .
(𝑥−1)−(𝑥+1)
(𝑥−1)2
=
−2
(𝑥−1)2
. 𝑠𝑒𝑐 (
𝑥+1
𝑥−1
) . 𝑡𝑔 (
𝑥+1
𝑥−1
) 
 
Atividade 01 
 
01) Encontre a derivada das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑟) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 (2𝑥 + 1) 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑡𝑔 𝑥
2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) = (
ln 𝑥
𝑡𝑔 𝑥
)
2
 
d) 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
e) 𝑓(𝑢) =
1
𝑥
− cos 𝑥 
f) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥3
+ 𝑒−𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 3𝑥 
 
 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
5𝑥3+3𝑥
2𝑥2−1
) 
i) 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥 − 3)−1 
j) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑔 (1 + 2𝑥) 
 
02) Calcule o valor da derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 no 
ponto 𝑥0 =
𝜋
2
. 
 
03) Calcular 𝑓′(0), se 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥 cos 3𝑥. 
 
04) Dada 𝑓(𝑥) = 1 + cos 𝑥, mostre que 𝑓(𝑥) é par e 𝑓′(𝑥) é ímpar. 
 
05) Dada 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥. cos 3𝑥, mostra que 𝑓(𝑥) é impar e 𝑓′(𝑥) é par. 
 
 
Derivadas das funções trigonométricas inversas 
 
Derivada da função arco seno 
Seja 𝑓: [−1,1] → [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥. Então, 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
é derivável em (−1, 1) e 𝑦′ =
1
√1−𝑥2
. A demonstração das mesmas pode ser 
facilmente encontrada na bibliografia indicada. 
 
Exemplo 10: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥, determine 𝑦′. 
 
Solução: 𝑦′ =
1
√1−(2𝑥)2
. (2𝑥)′ =
1
√1−4𝑥2
. 2 =
2
√1−4𝑥2
. 
 
Derivada da função arco cosseno 
Seja 𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋] definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Então, 𝑦 = 𝑓(𝑥) é 
derivável em (−1, 1) e 𝑦′ = −
1
√1−𝑥2
. A demonstração das mesmas pode ser 
facilmente encontrada na bibliografia indicada. 
 
Exemplo 11: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos(2𝑥 + 1), encontre 𝑦′. 
 
 
Solução:𝑦′ = −
1
√1−(2𝑥+1)2
. (2𝑥 + 1)′ = −
1
√1−4𝑥2−4𝑥−1
. 2 =
−
2
√−4𝑥2−4𝑥
= −
2
√4(−𝑥2−𝑥)
= −
2
2√(−𝑥2−𝑥)
= −
1
√(−𝑥2−𝑥)
 
 
Derivada da função arco tangente 
Seja 𝑓: 𝐼𝑅 → [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥. Então, 𝑦 = 𝑓(𝑥) é 
derivável e 𝑦′ =
1
1+𝑥2
. A demonstração das mesmas pode ser facilmente 
encontrada na bibliografia indicada. 
 
Exemplo 12: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 tg(𝑥 + 1), encontre 𝑦′. 
Solução:𝑦′ =
1
1+(𝑥+1)2
. (𝑥 + 1)′ =
1
1+𝑥2+2𝑥+1
. 1 =
1
𝑥2+2𝑥+2
 
Solução: essa função pode ser escrita da seguinte maneira 𝑦 = 𝑢4, onde 
𝑢 =
2𝑥+1
4𝑥−3
, fazendo uso da regra da cadeia, temos: 
 
Derivada da função arco cotangente 
Seja 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. Então, 𝑦 é derivável e 𝑦′ = −
1
1+𝑥2
. A demonstração 
das mesmas pode ser facilmente encontrada na bibliografia indicada. 
 
Exemplo 13: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cotg 𝑥2, encontre 𝑦′. 
Solução:𝑦′ = −
1
1+(𝑥2)2
. (𝑥2)′ = −
1
1+𝑥4
. 2𝑥 = −
2𝑥
1+𝑥2
 
 
Derivada da função arco secante 
Seja 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑥, |𝑥| ≥ 1 Então, 𝑦 é derivável e 𝑦′ =
1
|𝑥|√𝑥2−1
, |𝑥| > 1. 
A demonstração das mesmas pode ser facilmente encontrada na bibliografia 
indicada. 
 
Exemplo 14: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑥2, encontre 𝑦′.Solução: 𝑦′ =
1
𝑥2√(𝑥2)2−1
. (𝑥2)′ =
1
𝑥2√𝑥4−1
. 2𝑥 =
2𝑥
𝑥2√𝑥4−1
 
 
 
 
 
Derivada da função arco cosecante 
Seja 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥, |𝑥| ≥ 1 Então, 𝑦 é derivável e 𝑦′ =
−
1
|𝑥|√𝑥2−1
, |𝑥| > 1. A demonstração das mesmas pode ser facilmente 
encontrada na bibliografia indicada. 
 
Exemplo 15: Dada a função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cosec 𝑥2, encontre 𝑦′. 
Solução: 𝑦′ = −
1
𝑥2√(𝑥2)2−1
. (𝑥2)′ = −
1
𝑥2√𝑥4−1
. 2𝑥 = −
2𝑥
𝑥2√𝑥4−1
 
 
Atividade 02 
Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐√𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥)3 
c) 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐 cos (𝑠𝑒𝑛 𝑡) 
d) 𝑓(𝑡) = 2𝑡2𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (3𝑡 + 2) 
e) 𝑓(𝑠) =
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(
𝑠
2
)
𝑠+1
 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos
3𝑥
2
 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
2
1−𝑥2
 
 
 
[LEMBRE-SE! – 
 
[RESUMINDO 
 
Nesta aula, fizemos um breve resumo sobre trigonometria e estudamos as 
regras de derivação para as funções trigonométricas, bem como o estudo das 
derivadas das trigonométricas inversas. Na aula seguinte veremos como 
poderemos aplicar esse estudo em diversos aspectos dentre eles na construção 
de gráficos. 
 
[LEITURAS COMPLEMENTARES 
 
 
 
AVALIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
 
01) Se 𝑓(𝑥) = 3. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2. cos 𝑥, calcule 𝑓′(𝜋). 
 
02) Calcule as derivadas abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑡) = 4. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑥 
c) 𝑔(𝑡) = 𝑥2. cos 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) =
1+𝑠𝑒𝑛 𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥. sec 𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 √𝑥2 + 1 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − cos 3𝑥 
i) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥(1 − 𝑥2) 
j) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
04) Sabendo que 𝑓(𝑥) = 𝑒cos 𝑥, calcule 𝑓′(0). 
 
05) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥. 𝑒𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3 ln 5𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑒5𝑥+1) 
 
 
CONHECENDO AS REFERÊNCIAS 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 3. Ed. São Paulo: 
Ática, 2008. 
 
 
 
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A. 6. Ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. Ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2001. 1v. 
 
IEZZI, Gelson, MACHADO, Nilson José, MURAKAMI, Carlos. Fundamentos 
de Matemática Elementar: limites, derivadas, noções de integral. 6. Ed. São 
Paulo: Atual, 2005.