Cálculo III - Aula 05 - Teorema de Green - Parte 01

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CÁLCULO III: TEOREMA DE 
GREEN – PARTE 01 
Rodrigo Tavares Teixeira 
por Rodrigo Tavares Teixeira - rodrigot83@hotmail.com 1 
Nessas notas buscaremos compreender os 
conceitos básicos do teorema de Green. 
Teorema de Green 
por Rodrigo Tavares Teixeira - rodrigot83@hotmail.com 
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Região fechada e limitada ℝ2 
 Uma região 𝐷 ⊂ ℝ2 fechada e limitada é 
chamada uma região simples, se sua fronteira for 
uma curva simples, ou seja, existe uma curva 𝐶 que 
contorna 𝐷 formando uma curva simples 𝜕𝐷 = 𝐶 . 
𝑫 
𝜕𝐷 
𝑫 
𝜕𝐷 
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Orientação de uma curva fechada 
 Uma curva 𝐶 que é fronteira de uma região 
fechada e limitada 𝐷 ⊂ ℝ2, ou seja, 𝐶 = 𝜕𝐷 está 
orientada positivamente se é percorrida no sentido 
anti-horário. 
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Teorema de Green 
 Sejam 𝐴 ⊂ ℝ2 um 
conjunto aberto e um 
campo de vetores 
𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ2 → ℝ2 de 
classe ∁1, com funções 
coordenadas 𝐹1, 𝐹2 . 
 Seja 𝐷 ⊂ 𝐴 uma 
região fechada 
simples. 
 Se 𝐶 = 𝜕𝐷 tem uma 
parametrização de classe ∁1 
por partes e está orientado 
positivamente em relação a 𝐷, 
então: 
 
 𝐹𝜕𝐷 = 
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐹1
𝜕𝑦𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 
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Exemplo: 
 Calcule a integral 
de linha, 
 𝑦𝛾 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦, 
 𝛾 é a curva 
formada pelas 
retas 𝑥 = 1, 
𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥2 no 
sentido anti-
horário. 
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Consequências diretas do teorema 
 Nas hipóteses do 
Teorema de 
Green, se um 
campo de 
vetores 𝐹 é 
conservativo, 
então: 
 
 𝐹𝜕𝐷 = 0 
 A área da região 𝐷 é dada 
por: 
 𝐴 𝐷 = 𝑥𝜕𝐷 𝑑𝑦 
 ou 
 𝐴 𝐷 = − 𝑦𝜕𝐷 𝑑𝑥 
 ou 
 𝐴 𝐷 =
1
2
 𝑥𝜕𝐷 𝑑𝑦 − 𝑦𝜕𝐷 𝑑x 
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