Cálculo III - Aula 05 - Teorema de Green - Parte 02

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CÁLCULO III: TEOREMA DE 
GREEN – PARTE 02 
Rodrigo Tavares Teixeira 
por Rodrigo Tavares Teixeira - rodrigot83@hotmail.com 1 
Nessas notas buscaremos entender quais as 
regiões onde o Teorema de Green é válido 
além da região limitada, fechada e simples. 
Extensão do Teorema de Green 
por Rodrigo Tavares Teixeira - rodrigot83@hotmail.com 
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Região formada por curvas orientadas 
 Considere uma 
região 𝐷 ⊂ ℝ2 , 
onde sua fronteira é 
formada por curvas 
orientadas, isto é, 
𝜕𝐷 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪
⋯𝐶𝑛. 
 Cada curva 𝐶𝑖 é 
orientada de modo 
que 𝐷 ⊂ ℝ2 tenha 
uma orientação 
positiva. 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 𝜕𝐷+ = 𝐶1
+ ∪ 𝐶2
− ∪ 𝐶3
− ∪ 𝐶4
−
 
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Exemplo: 
 Consideremos 
a região 
entre duas 
curvas 
orientadas 
em sentidos 
opostos: 
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A fronteira de 𝐷 orientada 
positivamente é 𝜕𝐷+ = 𝐶1
+⋃𝐶2
− 
Teorema: 
 Seja 𝐴 ⊂ ℝ2 um 
conjunto aberto e um 
campo de vetores 
𝐹: 𝐴 ⊂ ℝ2 → ℝ2 de 
classe ∁1 , de funções 
coordenadas 𝐹1, 𝐹2 . 
 Considere a região 
𝐷 ⊂ 𝐴 onde a fronteira 
𝜕𝐷 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 ∪⋯𝐶𝑛. 
 Então, nessas condições 
do teorema de Green: 
 
 𝐹𝐶𝑖
+
𝑛
1 =
 
𝜕𝐹2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐹1
𝜕𝑦𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
 
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Problema: 
 Seja 𝐷 uma região 
limitada pela curva 
𝑥2 + 𝑦2 = 9 
externa ao 
retângulo de 
vértices 1,−1 , 
(2,−1) , 2, 1 , 
1, 1 , orientada 
positivamente. 
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Calcule 2𝑥 − 𝑦3 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦𝜕𝐷+ 
Problema: 
 Calcule 𝐹𝐶 , onde 
𝐹 𝑥, 𝑦 =
−𝑦
𝑥2+𝑦2
,
𝑥
𝑥2+𝑦2
+ 2𝑥 
e 𝐶 é uma curva 
limitada pela curva 
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1 e externa 
ao círculo de raio 1 
centrado na origem. 
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Obrigado pela atenção!! 8 
por Rodrigo Tavares Teixeira - rodrigot83@hotmail.com