Limites Laterais

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Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Matema´tica I - GAN 00150
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2013
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Suma´rio
1 Limites Laterais
2 Teorema
3 Exemplos
Matema´tica I
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Ricardo
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Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Suma´rio
1 Limites Laterais
2 Teorema
3 Exemplos
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Limites
Laterais
Teorema
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Suma´rio
1 Limites Laterais
2 Teorema
3 Exemplos
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Limites Lateral a` Direita
Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Limites Lateral a` Direita
Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes.
Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
Matema´tica I
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Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Limites Lateral a` Direita
Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Limites Lateral a` Direita
Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),
dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L,
denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a,
implica
que f (x)→ L.
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Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Antes de dar a definic¸a˜o formal do limite, vimos um exemplo
de uma func¸a˜o definida por partes. Nesse exemplo, usamos em
forma emp´ırica os limites laterais, a seguir damos a definic¸a˜o
matema´tica.
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (a, c),dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela direita e´ L, denotado por
lim
x→a+
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores maiores que a, implica
que f (x)→ L.
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Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸o˜es
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Observac¸o˜es
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a,
equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ),
para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ),
para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈(a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0,
existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0,
tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)
⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
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lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores maiores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a, a + δ), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
Denotar
lim
x→a+
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a, a + δ)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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Limites Lateral a` Esquerda
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Limites Lateral a` Esquerda
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Limites Lateral a` Esquerda
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a),
dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Limites Lateral a` Esquerda
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L,
denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Limites Lateral a` Esquerda
Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Definic¸a˜o
Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
f (x) = L
quando x → a atrave´s de valores menores que a,
implica
que f (x)→ L.
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Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
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quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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Se f esta´ definida em um intervalo (d, a), dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a a pela esquerda e´ L, denotado por
lim
x→a−
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quando x → a atrave´s de valores menores que a, implica
que f (x)→ L.
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
Observac¸a˜o
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x→a−
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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equivale a
dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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A condic¸a˜o x → a atrave´s de valores menores que a, equivale a
dizer que x ∈ (a− δ, a),
para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
f (x) = L
significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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significa que, dado � > 0,
existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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significa que, dado � > 0, existe δ > 0, tal que
se x ∈ (a− δ, a)
⇒ f (x) ∈ (L− �, L + �)
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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x→a−
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dizer que x ∈ (a− δ, a), para δ > 0, bem pequeno.
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Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L,
se e somente se, lim
x→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se,
lim
x→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x)
= L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x)
= L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L
= lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Teorema
Teorema
lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Laterais
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x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
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lim
x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe,
se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
- GAN 00150
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x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se,
os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
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Ricardo
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Exemplos
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x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
Matema´tica I
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x→a f (x) = L, se e somente se, limx→a+
f (x) = L = lim
x→a−
f (x)
Observac¸a˜o
O teorema diz que o limite existe, se e somente se, os limites
laterais existem e sa˜o iguais.
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Ricardo
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Teorema
ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
Matema´ticaI
- GAN 00150
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u
a
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
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ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
Matema´tica I
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Laterais
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Teorema
ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
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ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
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ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
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Teorema
ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplos
Teorema
ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplos
Teorema
ua
a−
-
lim
x→a−
f (x)
ff
a+
lim
x→a+
f (x)
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Laterais
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Exemplos
Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
- GAN 00150
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Laterais
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Exemplos
Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x)
= lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1
= 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x)
= lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1
= −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
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Ricardo
Fuentes
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos,
aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplo 1
Usando os limites laterais, verifique se o limite de f em x = 0
existe. Se
f (x) =
{
1, se x > 0
−1, se x ≤ 0
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
1 = 1
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
−1 = −1
Como os limites laterais sa˜o distintos, aplicando o teorema, o
limite na˜o existe.
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0
0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Laterais
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Laterais
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe
1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u
0 0+
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ffe1
0−
-
-u
−1
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Exemplos
Exemplo 1
Gra´fico
.
6
Y
u0 0+
ff
ffe1
0−
-
-u−1
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Laterais
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Exemplos
Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Laterais
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x)
= lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1)
= 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1
= 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x)
= lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2
= (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1,
aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
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Exemplo 2
Verificar se o limite de f em x = 1 existe. Se
f (x) =
{
2x − 1, se x > 1
x2, se x ≤ 1
Temos que, lim
x→1+
f (x) = lim
x→1+
(2x − 1) = 2(1)− 1 = 1
lim
x→1−
f (x) = lim
x→1−
x2 = (1)2 = 1
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 1, aplicando o
teorema,
lim
x→1
f (x) = 1
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 2
Gra´fico
.
-
6
u
1ff
1+
�
�
�
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���e
-
1−
u
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Ricardo
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Laterais
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Exemplos
Exemplo 2
Gra´fico
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Laterais
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Exemplo 2
Gra´fico
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Exemplo 2
Gra´fico
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1+
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Exemplo 2
Gra´fico
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6
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1+
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Exemplo 2
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1ff
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1−
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1−
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1−
u
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Fuentes
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Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
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Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
Matema´tica I
- GAN 00150
RicardoFuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x)
= lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
Matema´tica I
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Laterais
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Exemplos
Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x)
= lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
Matema´tica I
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x)
= 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x)
= lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Laterais
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2
= (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4,
aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Verificar se o limite de f em x = 2 existe. Se
f (x) =
{
x2, se x ≤ 2
8− 2x , se x > 2
Temos que, lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
(8− 2x) = 8− 2(2) = 4
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
x2 = (2)2 = 4
Como os limites laterais existem e sa˜o iguais a 4, aplicando o
teorema,
lim
x→2
f (x) = 4
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Exemplo 3
Gra´fico
.
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u
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2+
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Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 4
Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Exemplo 4
Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x)
= lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2)
= 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f(x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2
= 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x)
= lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2)
= 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2
= 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x)
= 7
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Laterais
Teorema
Exemplos
Exemplo 4
Use limites laterais para verificar se existe ou na˜o o limite de f
em x= -2, se
f (x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2
lim
x→−2+
f (x) = lim
x→−2+
(11− x2) = 11− (−2)2 = 7
lim
x→−2−
f (x) = lim
x→−2−
(3 + x2) = 3 + (−2)2 = 7
lim
x→−2
f (x) = 7
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Laterais
Teorema
Exemplos
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Os limites laterais tem as mesmas propriedades do limite.
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Laterais
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Observac¸a˜o
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Os limites laterais tem as mesmas propriedades do limite.
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Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Os limites laterais tem as mesmas propriedades do limite.
Matema´tica I
- GAN 00150
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Limites
Laterais
Teorema
Exemplos
Observac¸a˜o
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