Monografia Nelson

Prévia do material em texto

9 
 
Dedicatória 
Dedico este trabalho aos meus pais em primeiro lugar, Luís Bantene Aleixo e Balbina Guente 
Aliz e ao meu irmão João Luís Bantene. 
Agradecimento 
Em primeiro lugar quero agradecer a Deus Jeová todo-poderoso, criador deste vasto universo 
pela vida que tem me proporcionado. 
Ao meu supervisor Msc. Igor Karaban pelo apoio, força, dedicação, paciência e pela 
elaboração deste trabalho. Também a todos os docentes do curso de Matemática que 
colaboraram com críticas e valiosas sugestões. 
A minha querida Fernanda Lastone, pelo apoio moral, também aos meus colegas do curso: 
Mardino Vilanculos, Lourenço Correia e Osvaldo Gouveia pelo apoio e colaboração. 
Declaração de honra 
Declaro por minha honra que este trabalho de pesquisa é o resultado do meu fruto de 
investigação pessoal com ajuda e orientação do meu supervisor. O conteúdo que nele consta é 
original e todas as fontes citados estão na bibliografia 
Declaro também que este trabalho nunca foi apresentado em nenhuma outra instituição para a 
obtenção doe qualquer outro grão académico. 
Resumo 
O estudo das inequações fraccionárias tem sido um tema pouco falado nos manuais de ensino 
de Matemática, facto este que contribuí para o fraco desempenho do aprendizado, também os 
pressupostos anteriores contribui para a percepção deste, assim sendo o aprendizado de novos 
conteúdos é prejudicado em função dos erros recorrentes. 
O estudo feito tem por objectivo minimizar alguns erros cometidos no ensino médio na 11ᵃ 
Classe na resolução das inequações fraccionárias lineares. Desse estudo participaram 95 
alunos respondendo a compreensão do enunciado, como resultado percebeu-se que os alunos 
apresentaram inúmeras dificuldades e erros proveniente das lacunas das classes anteriores na 
resolução das equações lineares, prejudicando consequentemente o aprendizado no ensino das 
inequações fraccionárias. 
10 
 
Portanto é crucial salientar que ao analisar os erros do aluno o professor deve definir 
estratégias que possam auxiliar o aluno a superar suas dificuldades. 
 
 
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO 
Nos últimos anos, o desempenho de estudantes no ensino geral em teste de Matemática tem 
sido um objecto de actividades entre os pesquisadores da área. Estes testes revelam que 
existem muitas dificuldades no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, tanto por 
parte dos alunos quanto por parte dos professores. A maioria dos alunos apresenta um nível 
baixo de perceção em relação a essa disciplina. 
No Processo de Ensino e Aprendizagem (PEA), do Sistema Nacional de Educação (SNE), 
verifica-se dificuldades que apresentam em relação a resolução de inequações fraccionárias. 
Segundo DANTE (1991:8), existem professores que chegam a considerar a resolução de 
problemas como a principal razão de se aprender e ensinar Matemática, porque é através dela 
que o aluno se inicia no modo de pensar matemático e realiza algumas aplicações da 
Matemática no nível elementar. 
Todavia segundo o autor, a maior parte dos docentes não utiliza esta estratégia, predominando 
o emprego de listas com exercícios básicos, cuja resolução depende basicamente de uma 
técnica operatório de uso de princípios conhecidos, ou ainda processos de memorização. 
Também não é exigida a criação de estratégias para resolver as inequações fraccionárias. 
O presente trabalho de Pesquisa surge das reflexões feitas ao longo do dia-a-dia das 
actividades desenvolvidas durante o estágio pedagógico. 
Foi com estes e muitos e outros argumentos que nos propomos a desenvolver este trabalho 
intitulado “Estratégias para minimizar os erros cometidos na resolução de inequações 
fraccionárias lineares-pelo método analítico”. 
Este projecto está estruturado em, Introdução, que apresenta a Justificativa da escolha do tema 
até os resultados esperados; em seguida, a Fundamentação Teórica que apresenta a tese de 
alguns autores acerca do tema; e por fim a Metodologia que explica como será conduzida a 
pesquisa. 
11 
 
Com esse projecto pretende-se identificar as causas que condicionam a fraca percepção dos 
passos usados durante a resolução analítica de inequações faccionarias lineares. 
É de salientar que para a elaboração deste projecto baseou-se nas referencias bibliográficas 
citado no próprio trabalho no acompanhamento do supervisor, para a orientação do próprio 
projecto e pelo fruto do trabalho empreendido pelo autor. 
1.1-Justificativa da escolha do tema 
Nos parâmetros curriculares nacionais, as Inequações fraccionárias no Ensino Secundário 
Geral é um espaço significativo de abstração e generalização e uma poderosa ferramenta para 
resolver problemas relacionados na vida. Na prática docente é comum observar que os 
professores estão cada vez mais distantes do ensino que é abordado no PEA. 
Assim sendo a motivação da escolha do tema foi pelo facto do currículo local no PEA, que 
pretende analisar a interligação dos conhecimentos no dia-a-dia do aluno com a realidade 
científica. Nesta ordem de ideia, é imperativo ao professor, procurar as interpretações claras 
ou coerentes na resolução analítica de Inequações fraccionárias (lineares) com maior precisão, 
visto que para que haja o melhor desempenho no PEA é extremamente crucial saber como 
motivar e apoiar os alunos de modo a perceberem o conteúdo. 
A Educação tanto como o ensino não são apenas uma ferramenta de memória, mais sim um 
processo adequado em que os alunos aprendem, exploram e tenham as suas criatividades e 
suas práticas. 
Os profissionais de ensino da Matemática, devem ter em conta o conhecimento do estudante 
no caso das inequações fraccionárias, ele depara-se com situações novas, onde o professor 
deve implementar uma didáctica, métodos, critérios baseadas em livros e em alguns casos 
direcionados além dos muros da escola, incentivando eles a serem criativos e colocar em 
prática o que se aprende na sala de aula. 
Neste ponto de vista o aprendizado deve inculcar um raciocínio lógico de possuir 
características próprias, pois as actividades propostas pelo pessoal docente visam a 
concretização da auto-estima e da confiança em si, estimulando e desenvolvendo habilidades 
com maior facilidade estando activo em todos os exercícios propostos. 
Assim sendo na resolução das inequações fraccionárias, deve se ter em conta que os 
princípios já estudados nas classes anteriores, regras facto este que irá ajudar a colocar esse 
objecto em prática para buscar as soluções esperadas. 
12 
 
Desta concepção colocar-se-á varias estratégias utilizadas para facilitar a resolução das 
inequações fraccionárias e também exemplos pelo qual se destacam, como uma das principais 
formas de fixação e aplicação dos conteúdos estudados. Elas serão introduzidas também para 
minimizar os erros destacados durante a resolução das tais inequações, considerando a serem 
introduzidas no ensino médio concretamente na 11ª classe onde pouco se enfatiza nas salas de 
aulas, facto esse que nos leva a criar recursos, metodologias que devem envolver exercícios 
práticos abrangendo conteúdos específicos relacionados a aula. 
Portanto, o aprendizado deve também possuir pesquisas adicionais em livros didácticos de 
exercícios práticos para melhor fixar seus estudos, onde obterá uma visão geral do que 
aprendeu e como será cobrado o conhecimento adquirido durante a vida estudantil visando o 
progresso de si mesmo. 
 
1.2-Descrição e colocação do problema 
Os tempos modernos têm-se verificado as psicologias de aprendizagem e as filosofias que 
desenvolvem formas ou metodologias em educação de natureza matemática, onde o ensino 
implica em aprendizagem ou seja ensinar implica alguém aprender. A compreensão não nasce 
da explicação do professor,assim como o esforço não pode ser por ele dado ao aluno. 
A compreensão brota da maturidade, do mesmo modo que o esforço surge do interesse. Neste 
caso usa-se o raciocínio da inteligência para poder resolver certos ploblemas, assim sendo 
pode-se definir a inteligência como a capacidade de resolver problemas, compreender e 
interpretar ideias transformando-as em conhecimento e também a capacidade de criar atitudes 
que levam a encontrar trespostas satisfatórias. 
Segundo GARDNER, cada pessoa é um sujeito impar com forças cognitivas diferentes. Cada 
individuo aprende de forma e estilos diferentes dos outros mesmo que sejam ambos oriundos 
da mesma sociedade ou meio cultural. Ele afirma que as inteligências não mudam com a 
idade humana, mais sim com experiencia como sendo um atributo ou faculdade do individuo. 
A inteligência não nasce pronta nos indivíduos, ainda que alguns possam apresentar níveis 
mais elevadas do que os outros nesta ou naquela inteligência. Entretanto, na Matemática 
existe varias técnicas que nos ajudam a resolver exercícios onde tem como por objectivo as 
possíveis soluções satisfatórias. Portanto falando das inequações fraccionarias tem se 
verificado muitas dificuldades na resolução delas, principalmente pelo método analítico, 
13 
 
método este que necessita de conhecimentos prévios, já estudados como no caso, da 
factorização, aplicação de alguns princípios, ter conhecimento de domínio de existência, tanto 
como outras metodologias para melhor se chegar a uma conclusão certa e confiante. 
Assim sendo, podemos nos deparar com exercícios de natureza quociente onde é logo a prior 
ter noção de que se trata de uma inequação fraccionária e ter em mente de que para a sua 
resolução pelo método analítico deve-se saber, quando é que um quociente é positivo, e 
quando é que é negativo, caso este que nos leva a colocar o seguinte exemplo: 
Resolver em ℝ a seguinte inequação quociente: 
2
1
43



x
x
. 
Face a esta situação que para a sua resolução pelo método analítico, leva o pesquisador a 
levantar a seguinte questão: 
Será que é eficiente a metodologia usada para o melhoramento da aprendizagem na 
resolução analítica das inequações fraccionárias? 
Questão essa que irá nos levar a traçar algumas estratégias que poderão nos ajudar a 
ultrapassar alguns erros cometidos durante a sua resolução. 
Assim sendo, os sinais tais como 

 (maior que) e 

 (menor que) estão ligados ao matemático 
Thomaz Harrlot que foi o fundador da escola Inglesa da álgebra. No entanto, os sinais 

 e 

 
viriam a surgir mais tarde, em 1734, com o francês Pierre Bougner. (HEITOR e NETO, 
2009:41). 
 
1.3-Objectivos 
1.3.1-Objectivo geral 
 Conhecer as diferentes formas metodológicas que ajudam a compreender e interpretar os 
passos usados na resolução analítica de inequações fraccionárias. 
 
1.3.2-Objectivos específicos 
 Analisar a solução na resolução de inequações fraccionárias, isto é, verificar o domínio de 
existência da expressão. 
14 
 
 Desenvolver alternativas que visam explicar claramente quando é que uma fracção é 
negativa ou positiva; 
 Propor sugestões metodológicas na resolução analítica de inequações fraccionárias; 
 
 
1.4-Hipóteses 
 O recurso á situação do problema da vida real poderá ser eficiente a metodologia por 
resolução analítica, que consiste na melhoria da aprendizagem das inequações 
fraccionárias; 
 Se os professores resolvessem inequações fraccionárias como forma de aquisição de 
alguns conceitos tais como: domínio, teoria de conjunto, princípios de equivalência, 
factorização, domínio de números inteiros e desenvolvessem conhecimentos algébricos 
proporcionais na construção de soluções e raízes da função que poderiam contribuir na 
assimilação da matéria. 
 Se os professores criassem condições adequados que faça com que os alunos trabalhem 
em grupo, criariam os caminhos que levam a cabo a resolução analítica de inequações 
fraccionárias com objectivo a chegar a conclusões mais exactas. 
 
1.5-Motivação do tema 
O que motivou o autor a escolha do tema para a realização desta pesquisa foram os seguintes 
pontos: 
A cada dia, vê-se na sala de aula que o estudo da álgebra esta inteiramente ligada a 
manipulação simbólica, descrição, resolução e interpretação dos passos usados na resolução 
de inequações fraccionárias lineares, que são apresentados de maneira mais concisa, com 
pouca aplicações e com exercícios meramente mecânicos, sem se ter uma ideia de os porquês 
que se estuda aquilo. 
Assim sendo é de extrema importância que o professor e o aluno percebam os conceitos 
algébricos e as estruturas que estão em sua volta bem como os símbolos matemáticos que se 
usam para expressar ideias algébricas. 
15 
 
Antes de estudar os aspectos didácticos propriamente ditos, é muito importante reflectir um 
pouco sobre o sentido da actividade docente. E, para ter consciência do sentido da sua 
actividade, o professor precisa se perguntar: 
 Para que ensino? 
 Para que serve o que estou fazendo? 
Isso não quer dizer que os aspectos didácticos não sejam importantes. Significa, apenas, que 
eles devem estar subordinados a definição de propósitos educativos válidos para orientar 
nosso trabalho. “os objectivos que nos propomos alcançar junto as crianças são o elemento 
fundamental em nosso trabalho lectivo e quando realmente nos propomos ser educadores.” 
(NIDELCOFF, 1983: 21). 
O aprendizado da Matemática deve ter como o principal objectivo contribuir na formação da 
cidadania. A sua evolução esta associada a inserção do individua, no mundo do trabalho no da 
cultura e no das relações sociais. 
De que forma a Matemática está ligada com o mundo do trabalho na cultura e nas relações 
sociais? 
O mercado de trabalho exige profissionais atentos, criativos, polivalentes, portanto a 
Matemática tem como objectivo promover uma educação que coloque o aluno em contacto 
com desafios que possam desenvolver soluções com responsabilidade, compromisso, 
possibilitando a identificação dos seus direitos e deveres. 
Este autor diz que o aluno desenvolve habilidades que adquirem os conhecimentos 
matemáticos como: 
a) Criatividade; 
b) Capacidade de trabalhar em grupo e resolver problemas; 
c) Técnicas para abordar e trabalhar problemas. (DANIELLE DE MIRANDA) 
 
1.6-Delimitação do tema 
Esta pesquisa foi realizada na Escola João XXIII, Cidade da Beira, Província de Sofala no 
período de três meses, isto é, de Julho até Agosto do ano corrente. 
 
16 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Segundo os Parâmetros Curriculares de Matemática a organização do trabalho pedagógico a 
partir da resolução de inequações estabelece um conhecimento matemático onde ganha 
significado quando se tem situações desafiadoras para resolver e desenvolver estratégias de 
resolução. 
A resolução de inequações fraccionárias é vista como uma situação onde deve-se descrever os 
procedimentos a serem usados e os princípios, que ajudam a resolver como sendo um 
processo de aprendizagem, uma vez que o aluno está inserido num movimento de 
pensamentos e elaboração de conhecimentos, visando resolver as inequações para qual deve 
ser encontrada a resposta. 
De acordo com PONTE (2002: 9) “investigar não representa obrigatoriamente trabalhar com 
problemas difíceis”. “Significa, pelo contrário, trabalhar com questões que interpelam e que 
apresentam no início de modo confuso, mais que procuramos clarificar e estudar de modo 
organizado”. 
O modelo proposta por PÓLYA (1994), para a resolução de inequações, tem inspirado muitos 
daqueles que buscam neste recurso um caminho para conduziro processo de aprendizagem 
em Matemática. O modelo prevê quatro etapas para a resolução das inequações: (a) 
compreensão do problema, (b) construção de uma estratégia de resolução, (c) execução da 
estratégia escolhida e, (d) revisão da solução. 
O método para a resolução das inequações fraccionarias não é uma actividade para ser 
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mais uma orientação para a 
aprendizagem, pois proporciona o contesto em que se pode aprender conceitos, procedimentos 
e atitudes matemáticos. 
17 
 
Neste contexto é preciso desenvolver hábitos que permitem verificar os resultados ou a 
solução encontrada, testar os efeitos e comparar cominhos para a obtenção da solução. Desta 
forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor de processo de resolução. 
De acordo com DINIZ (1991) o aprendizado de Matemática só esta se realizando no momento 
em que o aluno é capaz de transformar o que é ensinado e de criar a partir do que ele sabe. 
Caso essa autonomia para transformação e criação não exista o que se tem é um aluno 
adestrado, em que repete os processos de resolução criados por outros. 
Uma das estratégias que pode se usar para a verificação de que medidas os alunos 
desenvolvem habilidades de resolver certas inequações fraccionárias, é a análise de erros, 
também denominada análise da produção escrita dos alunos. 
Essa análise pode revelar sob alguns aspectos a efectividade do trabalho pedagógico realizado 
e indicar os procedimentos de sucesso futuro dos alunos na aprendizagem da Matemática 
Escolar, pois indica o tipo de erros recorrentes e apresentados pelos alunos. 
Os erros mais recorrentes cometidos durante a resolução das inequações fraccionárias por 
exemplo segundo RADATZ (2004: 3) são: 
a) Dificuldade de linguagem tanto do aluno como do professor incluindo-se ai os problemas 
com a simbolização em Matemática; 
b) Dificuldades em obter informações espaciais por parte dos alunos que tem problema de 
visualização: 
c) Domínio deficiente de conteúdos, factos e habilidades considerados pré- requisitos: 
d) Associações incorrectas entre conteúdos ou rigidez de pensamento representada pela 
dificuldade de transformar informações: 
e) Aplicação de regras ou estratégias irrelevantes na resolução das inequações fraccionárias. 
Segundo o autor, a análise de erros pode ser utilizada em qualquer circunstância, desde 
que sejam observadas as seguintes premissas: 
 Respeitar o aluno, desenvolvendo a ele a análise feita e discutindo os resultados com o 
objectivo de explorar suas próprias potencialidades: 
 Elaborar estratégias que permitem distinguir os erros, propondo questões que envolvem os 
interesses do aluno: 
 Para cada questão proposta ou solicitada, fazer uma análise crítica dos erros que surgem, 
com o grupo de alunos, para aproveitar todas as oportunidades de faze-los pensar sobre 
seu próprio pensamento (CURY, 2004, p. 8) 
18 
 
 
2.1- Estratégias usadas no processo de ensino-aprendizagem 
Para PETRUCCT e BITISTON (2006: 263), a palavra estratégia esteve historicamente 
vinculada a arte militar no planeamento das ações a serem executadas nas guerras, e 
actualmente largamente utilizada no ambiente empresarial. Porem os autores admitem que: 
A palavra „„estratégia‟‟ possui estreita ligação com o ensino. Ensinar requer arte por parte do 
docente, que precisa envolver o aluno e fazer com que ele se encante com o saber. O professor 
precisa promover a curiosidade a segurança e a criatividade para que o principal objectivo 
educacional, a aprendizagem do aluno, seja alcançado. 
Deste modo o uso termo „„estratégia de ensino‟‟ refere-se aos métodos utilizados pelos 
docentes na articulação do processo de ensino, de acordo com cada actividade e resultados 
esperados. 
ANASTASLOU e ALVES (2004: 71) advertem que: As estratégias visam a consecução de 
objectivos, portanto, há que ter clareza sobre aonde se quer chegar naquele momento com o 
processo de ensinam. Por isso, os objectivos que norteiam devem ser claros para os sujeitos 
envolvidos- Professores e alunos e estarem presente no contrato didáctico, registado no 
programam de aprendizagem correspondente ao modulo, fase ou curso, etc… 
LUCKES (1994) considera que os procedimentos de ensino geram consequência para a 
prática docente: Para se definir procedimentos de ensino com certa precisão, é necessário ter 
clara uma proposta pedagógica, é preciso compreender que os processos de ensino 
selecionados ou construídos são mediações de proposta metodológica, devendo estar 
estreitamente articulado se a intenção é que efectivamente a proposta metodológica se traduza 
em resultados concretos tendo-se relacionar ou construir procedimentos que conduzam a 
resultados ainda que parciais porem complexos com a dinâmica do tempo e da história ao lado 
da proposta pedagógica, o educador deve lançar mão de conhecimentos científico disponíveis, 
estar permanentemente alerta para que esta se fazer, avaliando actividade e tomando novas e 
subsequentes decisões. 
No processo de ensino-aprendizagem vários são os factores que interferem nos resultados 
esperados: as condições estruturais da instituição de ensino, as condições de trabalho de 
docentes, as condições sociais dos alunos e os recursos disponíveis. O outro factor é de que as 
19 
 
estratégias de ensinos utilizados pelos docentes, devem ser capaz de satisfazer (motivar) e de 
envolver os alunos à actividades do aprendizado, deixando claro o papel que lhe cabe.. 
O uso de formas e procedimentos de ensino deve-se considerar que o modo pelo qual o aluno 
aprende não é um acto isolado, ou seja, escolhido ao acaso, mais sim uma análise dos 
conteúdos programados sem considerar as habilidades para a execução dos objectivos a 
alcançar. 
Segundo ANASTASIOU, e ALVES (2004), MARIOU, PETRUCCI e BATISTON (2006), 
nota-se que as estratégias recomendadas pelos profissionais da pedagogia não diferem muito 
daquelas recomendadas pelos profissionais docentes da área das ciências aplicadas. Assim 
sendo segue-se algumas estratégias usadas no processo de ensino- aprendizagem: 
 
Tabela 01: Definição das estratégias de ensino 
 
Estratégias Descrição 
 
 
 
Aula expositiva dialogada 
 É uma exposição dos conteúdos, com a participação 
activa dos estudantes cujo conhecimento prévio deve 
ser considerado e pode ser tomado como o ponto de 
partida. O professor leva os estudantes a questionar, 
interpretar e discutirem, o objectivo de estudo a partir 
do reconhecimento e do confronto com a realidade 
(ANASTASIOU e ALVES, 2004: 79). 
 
 
Tempestade cerebral 
 É uma possibilidade de estimular a geração de novas 
ideias de forma espontânea, e natural deixando 
funcionar a imaginação. Não há certo ou errado, tudo o 
que for levantado será considerado, solicitando-se se 
necessário uma explicação posterior do estudante. 
(ANASTASIOU, ALVES, 2004: 82). 
 
 
Estudo dirigido 
 É o acto de estudar sob a orientação e directividade do 
professor visando sanar as dificuldades específicas. É 
preciso ter claro: o que é a sessão, para que, e como é 
preparada. (ANASTASIOU e ALVES, 2004: 84). 
20 
 
 
 
 
 
Estudo dirigido e aulas orientadas 
Permite o aluno situar-se criticamente, extrapolar o 
texto para a realidade vivida, compreender e interpretar 
os problemas propostos, sanar dificuldades de 
entendimentos e propor alternativas de solução, 
exercida no aluno e habilidade de escrever o que foi 
proposto e interpreta-lo, ter a prática dinâmica, criativa 
e crítica da leitura. (MARION, 2006: 42). 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 O estudo por meio de tarefas concretas epráticas tem 
como a finalidade a assimilação de conhecimentos 
habilidades e hábitos sob a orientação do professor. 
(MARION, 2006: 46). 
 
 
 
Solução de problema 
É o enfrentamento de uma situação nova exigindo 
pensamento reflexivo, critico e a partir dos dados 
expressos na descrição do problema, demanda a 
aplicação de princípios, leis que podem ou não serem 
expressos em formulas Matemáticas. (ANASTASIOU, 
2006: 46). 
 
 
Ensino em pequenos grupos 
É uma estratégia praticamente valida em grandes 
turmas, pois consiste em separar a turma em pequenos 
grupos, para facilitar a discissão. Assim despertará no 
aluno a iniciativa de pesquisar, de descobrir aquilo que 
precisa aprender. (PETRUCCI, 2006: 278-279) 
 
 
Seminários 
É um espaço em que as ideia devem germinar ou serem, 
semeadas. Portanto, é um espaço onde um grupo debate 
ou discute temas ou ploblemas que são colocados em 
discussão. (ANASTASIOU e ALVES, 2004: 90) 
 
 
Estudo de casos 
É análise minuciosa e objectiva de uma situação real 
que necessita de ser investigada e é desafiadora para os 
envolvidos. (ANASTASIOU e ALVEIS, 2004: 91) 
 
 
Ensino individual 
O ensino individualizado é a estratégia que procura 
ajustar o processo de ensino-aprendizagem as reais 
necessidades e características do discente. (PETUCCI e 
21 
 
BATISTON, 2006: 294-298) 
 
PETRUCCI e BATISTON (2006), esses autores dizem que as estratégias apresentadas não 
são absolutas, nem imutáveis, constituindo-se em ferramentas que podem ser adaptadas, 
modificadas pelo professor conforme julgar conveniente ou necessário. 
PIMENTA e ANASTISION (2002: 214) concebem que “ao aprender um conteúdo aprende-se 
também determinada forma de pensa-lo, motivo pelo qual cada área exige formas de ensinar e 
aprender específicas, que explicitem as respectivas lógicas”. 
Para LUCKESI (1994: 155) os procedimentos de ensino articulam-se em cada pedagogia 
tanto com a óptica teórica quanto com a óptica técnica do método. Os procedimentos 
metodológicos usados durante o processo de ensino aprendizagem operacionalizam os 
resultados desejados dentro de uma determinada óptica teórica. 
Neste caso, do ponto de vista, os professores deveriam estruturar a sua própria didáctica, de 
modo a contemplar as diversas possibilidades que facilitam e elevam os resultados a alcançar 
durante o processo de ensino. 
 
2.1.1- Estratégia que pode ajudar os professores para motivar os alunos a resolver 
inequações fracionarias pelo método analítico. 
No processo de ensino aprendizagem o professor deve ser capaz de propor estratégias 
metodológicas que podem ajudar ou motivar os interesses dos alunos a pautarem pelo método 
em uso neste caso na resolução das inequações fracionarias. 
Toda via, para que isso aconteça de um modo significativo é necessário que haja uma boa 
motivação no processo de ensino aprendizagem. Assim sendo, os professores devem fazer o 
seu máximo de modo a colocar as melhores estratégias para estimular os seus estudantes. 
Para tal, mesmo que o professor crie suas estratégias de ensino deve se ter em conta que não 
existe uma estratégia melhor para fazer perceber os alunos em todas as salas. E para que haja 
uma aula bem dada na melhor maneira possível, contendo motivação ou estratégias na sala de 
aula o pessoal docente deve ter em conta os seguintes itens: 
 O professor deve ensinar (praticar), além de informa-lo, isto é, deve ter um plano solido e 
bem estruturado; 
22 
 
 Preparar antes de ir a sala de aula, terminar com os objetivos e por vezes se perguntar por 
si próprio: O que eu gostaria de ver aos meus alunos a aprender e praticar, e como devo 
fazer isso? 
Portanto o professor também deve fazer uma tomada de nota da aula ao começar com um 
conteúdo novo e buscar trazer para a sala de aula temas através do qual pode suscitar a 
curiosidade do aluno. Também deve criar mecanismos de conhecer o ambiente que lhe rodeia, 
pois assim poderá ter melhores resultados conhecendo a natureza de cada aluno na sala. 
Durante a resolução de exercícios o professor deve também ser pratico, isto é, por se tratar de 
aula de Matemática a aula não deve ser muito expositiva mais sim, muita pratica ou seja haver 
mais atividade para resolver, assim poderá estimular mais a curiosidade deles, e também 
simplificar a linguagem caso for necessário. Pois neste caso o professor deve ser criativo a 
fim de conseguir os melhores resultados esperados, e a aprendizagem por parte do aluno será 
mais significativo. 
Em relação a aprendizagem significativa o AUSEBEL (1918) diz que quanto mais sabemos 
mais aprendemos. “ Para ele aprender significativamente é ampliar e reconfigurar ideias já 
existentes na estrutura mental e com isso ser capaz de relacionar e a cessar novos conteúdos”. 
Ao passo que para o PIAGET o conhecimento lógico matemático segundo ele (1978) é uma 
construção que resulta da construção mental da criança sobre o mundo construindo a partir 
das relações que a criança elabora na sua atividade de pensar o mundo e também das ações 
sobre os objetos. 
PIAGET ainda afirma que o ensino deveria formar o raciocínio conduzindo a compreensão e 
não a memorização onde desenvolve-se um espirito criativo. Nestas condições o professor 
tem de criar condições que leva o aluno a encontrar soluções corretas de acordo com o seu 
nível de conhecimento adquirido na sala de aula através de métodos práticos individuas, em 
grupo mesmo com a elaboração conjunta com ajuda do professor. 
 
2.2- Conceitualização 
Segundo BARRETO, SILVA, diz que considerando 
)(xf e )(xg funções de variável x , 
chama-se de inequação quociente desigualdades como: 
23 
 
0
)(
)(

xg
xf
; 
0
)(
)(

xg
xf
; 
0
)(
)(

xg
xf
; 
0
)(
)(

xg
xf
. 
Ele diz que na resolução de uma inequação quociente deve-se lembrar que o denominador é 
diferente de zero e a regra de sinais é a mesma tanto para a multiplicação como para a divisão, 
no conjunto dos reais. 
Segundo BUCCCHI, PAIVA, SILVA, uma inequação quociente na variável 
x
são aquelas 
apresentadas nas formas: 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
; 
0
)(
)(

xg
xf
 
Ele diz que na resolução de uma inequação quociente devemos lembrar que o denominador 
deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para a multiplicação como para 
a divisão, no conjunto dos reais. 
Na resolução de uma inequação quociente deve-se considerar os seguintes passos: 
 Fazer o estudo dos sinais das funções dadas pelos factores; 
 Determinar para cada 
x
 o sinal do quociente, aplicando a regra de sinais; 
 Determinar o conjunto de valores de 
x
 que tornam a inequação verdadeira. 
Para este caso, as inequações fraccionárias ou apenas quociente, deve-se lembrar sempre 
excluir os valores de 
x
 que anulam o denominador. 
Portanto, não se deve esquecer dos princípios de equivalência usados durante a sua resolução: 
 Adicionando um mesmo numero a ambos os membros de uma inequação, ou subtraindo 
um mesmo numero de ambos os membros, a desigualdade se mantem; 
 Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma inequação por um mesmo numero 
positivo, a desigualdade se mantem. 
Nota: dividindo ou multiplicando por um mesmo numero negativo ambos os membros de uma 
inequação do tipo 

,

,

 ou 

, a desigualdade inverte o sentido. 
Exemplo 1: Resolver a inequação 
0
3
2

x
. 
Resolução: condição de existência 
03 x  3x
. 
24 
 
Como o numerador de 
3
2
xé positivo, a fracção será negativa, ou seja 
03 x 
3033 x  3x
 
 3:  xxS
ou 
 3;S
 
Resolver a seguinte inequação 
0
12
3



x
x
. Como o segundo membro da inequação dada é 
zero, neste caso é necessário analisar a fracção de acordo com o sinal da desigualdade. 
0
12
3



x
x
. Condição de existência 
03 x  012 x  3x 
2
1
x
 







2
1
:3 xxS
 
Resolução: 
0
12
3



x
x
, como já dito temos que analisar o sinal o sinal da fracção, onde 
teremos: 
1º Caso 





012
03
x
x ou 2º 





012
03
x
x 





10112
3033
x
x ou





0112
033
x
x  





12
3
x
x ou





12
3
x
x 






1
2
1
2
2
1
3
x
x ou 






1
2
1
2
2
1
3
x
x 







2
1
3
x
x ou






2
1
3
x
x 






 3
2
1
: ouxxxS
 
Exemplo 3. 
3
1
1



x
x
. Neste exemplo o segundo membro e diferente de zero, pois precisamos 
fazer com que o segundo membro tenha zero, deste modo teremos: 
3
1
1



x
x 
333
1
1



x
x 
03
1
1



x
x 
0
1
)1(31



x
xx 
0
1
331



x
xx 
 
 
 1
 
 1x
 
0
1
42



x
x
. Analisando o sinal da fração tem-se: 
25 
 
1º Caso: 





01
042
x
x
ou 2º 





01
042
x
x 





1011
40442
x
x
ou





1011
4442
x
x 





1
42
x
x
ou 





1
42
x
x 






1
4
2
1
)2(
2
1
x
x ou 






1
4
2
1
)2(
2
1
x
x






1
2
x
x
ou





1
2
x
x






1
2
x
x
ou





1
2
x
x
 
 12:  xxxS
 
 
Segundo PAIVA, IEZZI e MURAKAMI inequação fraccionaria é a inequação que se pode 
reduzir a forma 
0
)(
)(

xQ
xP
, 
0
)(
)(

xQ
xP
, 
0
)(
)(

xQ
xP
ou 
0
)(
)(

xQ
xP
, onde 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) são 
polinómios. 
A metodologia de resolução de inequação faccionária pode passar pelos seguintes passos: 
 Determinar as zeros de 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥); 
 Construir uma tabela onde se estuda o sinal 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) separadamente. 
De acordo com BOSQUILHA, et all (2003:22) “Para a resolução de uma inequação quociente 
devemos estudar os sinais das funções separadamente, transportar os resultados para poder 
efectuar o produto dos seguintes sinais, assim obtemos o valor de x que satisfazem a 
desigualdade estudada. 
Segundo GOMES, NEVES e VIEGAS, uma inequação é fraccionária porque a variável x 
aparece no denominador. 
Para estudar o sinal temos de ter atenção o sinal do denominador e do numerador 
simultaneamente. 
O processo mais simples consiste na elaboração de um quadro onde se estuda o sinal do 
numerador e do denominador separadamente e, em seguida o sinal da fracção. 
Exemplo 1: Resolve a seguinte inequação: 
0
5
2



x
x
. Se a fracção é positiva, os termos tem o 
mesmo sinal, ou seja, são ambos positivos ou negativos. 
26 
 
Vejamos a resolução: 
0
5
2



x
x 
 
𝑥 − 2 > 0
5 − 𝑥 > 0
 

 
𝑥 − 2 < 0
5 − 𝑥 < 0
 

 
𝑥 > 2
−𝑥 > −5
 

 
𝑥 < 2
−𝑥 < −5
 

 
𝑥 > 2
𝑥 < 5
 

 
𝑥 < 2
𝑥 > 5
 

 
𝑥 > 2
𝑥 < 5
 
 52  x
 
Solução: 
[5;2]x
 
Outro processo de resolução da inequação: 
0
5
2



x
x
. A variável x toma valores desde menos 
 ∞ a +∞, mais a dois números “mais importantes” dos outros para este problema, que são o 
2 e o 5, respectivamente, zero do numerador e zero do denominador. 
x
 -∞ 2 5 +∞ 
2x
 _ 0 + + + 
x5
 + + + 0 _ 
0
5
2



x
x
 
_ 0 + s.s _ 
 
A função é positiva para 
 5,2x
. 
Exemplo 2: Resolve a seguinte inequação 
1
3
6



x
x
 
Resolução:
1
3
6



x
x
 

 
01
3
6



x
x 
0
3
36



x
xx 
0
3
9

x
 
(1) (x-3) 
𝑋 -∞ 3 +∞ 
9 9 9 9 
x-3 _ 0 + 
3
9
x
 
_ s.s + 
 
Solução: 
 3;x
 
27 
 
De um modo geral resolve-se a inequação fraccionária reduzindo a forma: 
0
)(
)(

xB
xA
ou 
0
)(
)(

xB
xA
, e em seguida, elabora-se um quadro idêntico ao apresentado onde se 
estuda separadamente o sinal do numerador, o sinal do denominador e o sinal da fracção. 
Segundo Reis uma inequação do primeiro grau é fraccionária, quando possuir a incógnita em 
denominador. Sua resolução será feita de forma bastante diferente de uma equação 
fraccionária do primeiro grau. 
Para resolver precisamos analisar os sinais da fracção algébrica resultante: 
O numerador é um número real qualquer e o denominador é uma expressão ou (função) do 
primeiro grau. 
Exemplo1 resolver: 
0
13
4

x
 
Como o numerador é um número positivo, para que a fração algébrica 
13
4
x
seja menor que 
zero, será necessário que o denominador 
13 x
seja negativo. 
Assim: 
013 x  13 x 
3
1
x
. 
A fracção 
13
4
x
será menor que zero para qualquer valor de 
3
1
x
. 
Exemplo2 resolver: 
0
72
1



x
 
Como o numerador é um número negativo, para que a fração algébrica 
72
1


x
seja menor que 
zero, será necessário que o denominador 
72 x
seja positivo. 
Assim: 
072 x  72 x 
2
7
x
. A fração 
72
1


x
será menor que zero para qualquer 
valor de 
x
 menor que 
2
7
. 
Segundo caso: O numerador e o denominador são expressões (ou função) do primeiro grau. 
28 
 
Exemplo, resolver: 
0
12
3



x
x
. Para que a fracção algébrica 
12
3


x
x
seja maior que zero 
precisamos analisar duas situações: 
Primeira situação: Ambas as expressões são negativas 
3 − 𝑥 < 0
2𝑥 − 1 < 0
 ou a segunda situação: 
Ambas as situações são positivas 
3 − 𝑥 > 0
2𝑥 − 1 > 0
 
Resolvendo a primeira situação teremos: 
03  x  3x  012 x  12 x 
2
1
x
. 
E nesse caso a solução mais abrangente será: Ø (não existe numero que seja, simultaneamente 
maior que 3 e menor que 
2
1
). 
Resolvendo a segunda situação teremos 
03  x  3x  012 x  12 x 
2
1
x
, e 
nesse caso a solução será: 
3
2
1
 x
ou 
2
1
3  x
. 
Exemplo 2. Resolver: 
3
5
3



x
x
. Antes de mais nada, precisamos “desiguala-la” a zero, para 
podermos analisar os sinais da fracção algébrica resultante, para tal precisamos ter zero no 
segundo membro. 
Assim: 
3
5
3



x
x 
03
5
3



x
x 
0
5
1533


x
xx 
0
5
124



x
x   
0
5
34



x
x 
0
5
3
4 


x
x
e dividindo ambos os membros por 4, teremos 
0
5
3



x
x
 para que a fracção 
algébrica 
5
3


x
x
seja maior que zero, precisamos analisar duas situações: 
Primeira situação: Ambas expressões são negativas 
𝑥 − 3 < 0
𝑥 − 5 < 0
 ou segunda situação: Ambas 
as situações são positivas 
𝑥 − 3 > 0
𝑥 − 5 > 0
 . Resolvendo a primeira situação teremos: 
03 x 
3x 
e 
05 x  5x
. Nesse caso a solução abrangente será 
3x
. 
Resolvendo a segunda situação teremos 
03 x  3x
e 
05 x  5x
. Nesse caso a 
solução abrangente será: 
5x
, com isso: 
3
5
3



x
x
quando 𝑥 < 3 ou 𝑥 > 5. 
29 
 
Observação: Num mesmo sistema de inequações a solução é intercessão dos conjuntos 
solução. Em sistemas diferentes de inequações a solução é união dos conjuntos solução, como 
no exemplo acima. 
 
CAPÍTULO III: METODOLOGIA 
A metodologia é a descrição detalhada dos métodos, técnicas e processos seguidos nas 
pesquisas, explicando as hipóteses ou pressupostos, população ou amostra, os instrumentos e 
a coleta de dados. 
 
3.1-População e amostra 
A população em estudo será os alunos e os professores da Escola João XXIII. Desta, farão 
parte da pesquisa 95 alunos e 5 professores de Matemática, que irá constituir nesse caso a 
nossa amostra. O tipo da amostragem que será usada é aleatório simples; nesta amostragem, 
todos os elementos da população terão a mesma probabilidade de pertencer a amostra. 
 
3.2-Métodos 
Nesta pesquisa serão usados os seguintes métodos: 
 Método comparativo: este método será usado com finalidade de pesquisar e entender os 
aspectos específicos em gerais de cada fenómeno. Os dados serão analisados de forma a 
perceber e identificar aspectos semelhantes e divergentes. 
 Inquérito: será usado para recolher informações com base no instrumento de pesquisa. O 
inquérito será padronizado para assegurar a confiança, generalidade e a validade das 
questões que serão apresentadas aos alunos. Neste caso cada aluno deverá ser apresentado 
com as mesmas questões e na mesma ordem. 
 
 
 
 
 
30 
 
3.3- PROCEDIMENTOS 
Para a realização desta pesquisa ela se caracteriza quanto aos objetivos que a descrevem, a 
abordagem onde possui o método comparativo, método este que foi usado com a finalidade de 
pesquisar e entender os aspetos específicos de cada fenómeno e o inquérito também usado 
para recolher informações assegurando a confiança e a validade das questões apresentadas aos 
alunos. 
 
 
CAPÍTULO IV: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS 
Neste presente capítulo pretende-se apresentar os critérios, e as estratégias usadas para levar a 
cabo esse trabalho de pesquisa, sendo dado os objetivos propostos de modo a alcançar os 
resultados concretos. 
O pesquisador faz as possíveis buscas de minimizar os erros cometidos na resolução das 
inequações do tipo quociente. Para esta pesquisa foram escolhidos alunos do ensino medio, da 
11ᵃ Classe, pois estes já deveriam ter desenvolvidos habilidades para resolver situações de 
natureza inequações quociente, onde este conteúdo fala-se muito pouco nas aulas, caso este 
que também contribui para a fraca aquisição de conhecimento a cerca de conteúdo. 
Este trabalho visa ao aluno desenvolver, compreender, praticar e encontrar as possíveis 
soluções existentes na resolução das inequações fracionarias lineares. 
E tendo em conta os objetivos as hipóteses traçados neste trabalho procurou-se encontrar as 
soluções destes com a finalidade de atingir a meta que se pretende alcançar que foram as 
condições inicias a partir das quais, com base num raciocínio lógico elaborou-se os tais 
objetivos e as hipóteses. Então a analise dos dados em que consiste em detalhar ou 
caracterizar irá constituir os resultados do teste diagnóstico e o teste final. 
No que diz respeito ao teste diagnóstico irá se realçar uma análise sobre tudo as respostas 
obtidas sendo elas, certas, incorretas ou erradas nas fichas distribuídas aos alunos que 
participaram na pesquisa. 
 
 
31 
 
4.1- Teste diagnóstico 
Para este teste diagnóstico ira se fazer uma modalidade do tipo questionário, modalidade esta 
que foi utilizada com o propósito de perceber ate que ponto os alunos conseguem resolver as 
inequações fracionarias lineares pelo método analítico. Para tal, deste diagnostico houve uma 
participação de um numero total de 95 alunos dos quais todos do nível médio da 11ᵃ Classe 
em duas turmas da Escola João XXIII. 
Portanto o questionário dado visa corresponder o que já foi dito nos objetivos pois era 
composto por 2 (duas) questões, todas envolvendo as inequações fracionarias lineares, onde a 
primeira questão era exatamente pra saber quando é que uma o quociente de 2 (dois) números 
reais é positivo ou negativo, e a segunda questão tinha 6 (seis) alíneas que apresentava 
diversas situações para resolve-la. 
Eis as questões: 
1. Quando é que o quociente de 2 (dois) números reais é positivo? E quando é negativo? 
2. Resolva as seguintes questões usando o método analítico: 
 
a) 
0
3
1

x
 
b) 
0
2
3



x
 
c) 
0
2

 x
x
 
d) 
0
5


x
x
 
e) 
0
42
2



x
x
 
f) 
1
13
32



x
x
 
g) 
2
3
24
36



x
x
 
 
 
 
32 
 
Tabela02: Resultados do teste diagnóstico 
Os resultados do teste foram os seguintes: 
Alínea 
Certas Incompletas Erradas 
Total 
 % % % 
a) 33 35% 29 31% 33 35% 95 
b) 19 20% 33 35% 43 45% 95 
c) 38 40% 27 28% 30 32% 95 
d) 23 24% 38 40% 34 36% 95 
e) 29 30% 30 32% 36 38% 95 
f) 0 0% 40 42% 55 58% 95 
g) 0 0% 36 38% 59 62% 95 
 
Fonte: Autor com base nos resultados dos testes. 
 
4.1.1-Os resultados dos testes diagnósticos 
Aqui vamos descrever todos os passos usados pelos alunos nas suas resoluções, passos estes 
que irão contribuir para o efeito deste trabalho. 
Começando com o número 1 onde o objetivo era de procurar saber a definição duma 
inequação fracionaria linear, para este caso % dos alunos conseguiram dizer corretamente o 
que é uma inequação fracionaria linear, destes % tentaram aproximar a resposta mais sem 
sucesso, ao passo que % não conseguiram dizer o que é uma inequação fracionaria linear, ou 
seja estes tiveram resoluções erradas. 
Para o número dois (2), onde era preciso efetuar os cálculos teve-se os seguintes resultados: 
Para a expressão da a), nesta alínea 35% dos alunos tiveram as suas resoluções corretamente, 
onde usaram todos os passos necessários, 31% tiveram as suas resoluções apresentando 
algumas lacunas, onde consideravam a inequação fracionaria linear como se fosse uma 
equação fracionaria lineares não determinavam o domínio de existência, e 35% tiveram 
resoluções erradas. 
33 
 
A expressão da b) 20% dos alunos certaram a resolução, tendo usado todos os passos 
precisos, 35% estes cometeram o erro de não considerar o sinal do numerados, pois era uma 
constante negativo e o denominador positivo, onde era preciso analisar a fração, uma vez que 
para que ela seja negativa tendo o numerador uma constante negativa o denominador tinha 
que ser positiva, e destes 45% tiveram as suas resoluções erradas. 
Na expressão da c), nesta alínea 40% dos alunos tiveram resoluções corretas, 28% resolveram 
mais sem chegarem a soluções certas, alguns não apresentando a solução no eixo real, e 32% 
não conseguiram acertar a tarefa. 
Na expressão da d) 24% tiveram as suas resoluçõescorretas apresentando todos os passos 
necessários, ao passo que 40% resolveram como se fosse uma equação, anulando para zero o 
denominador, e 36% dos alunos resolveram erradamente, não tendo em conta a definição 
duma inequação fracionária. 
Na expressão da e), 30% dos alunos tiveram as suas corretas, usando todos os passos 
necessários, ao passo que 32% resolveram mais mostrando algumas dificuldades na 
apresentação da solução, e 38% não conseguiram acertar as tarefas, as suas resoluções foram 
erradas. 
Na expressão da f), nenhum aluno acertou a tarefa, 42% resolveram mais tendo algumas 
dificuldades, por se tratar do segundo membro aparecer um numero diferente de zero, o 
principal erro estava na passagem do deste para o primeiro membro de modo que no segundo 
tenha o zero, onde dai podia se resolver usando todos os procedimentos necessários, e destes 
52% não conseguiram acertar a tarefa. 
Nesta ultima g), também não houve resoluções certas tendo 0%, e 38% resolveram mais 
apresentando neste caso inúmeras dificuldades onde na sua resolução ignoravam o segundo 
membro como aconteceu na alínea anterior, e não determinavam o domínio de existência, 
condição esta para se chegar ao resultado certo, e 62% não conseguiram apresentar nenhuma 
resolução correta. 
Nestas ultimas duas alíneas f) e g), os alunos podem não ter acertado porque este tipo de 
inequação, em que o segundo membro tem-se um número diferente de zero, podem não ter 
sido bem tratado nas salas de aulas, contribuindo negativamente nas resoluções destes. 
Destes resultados mostram claramente que ainda existem um grande número de alunos que 
tem inúmeras dificuldades na resolução das inequações fracionarias lineares. 
34 
 
Portanto, nota-se claramente que alguns alunos obtiveram bons resultados, na resolução das 
inequações fracionarias lineares, onde a inequação apresentava o segundo membro o numero 
zero (0), e tiveram dificuldades em inequações cuja o numerador possuía um numero 
(constante), não uma função, pois era preciso analisa-la em função do sinal do numerador e do 
sinal da desigualdade, também nas inequações em que o segundo membro possuía um numero 
diferente de zero (0), apresentaram inúmeras dificuldades nestas alíneas, onde para a sua 
resolução era preciso passar o tal numero para o primeiro membro de modo que o segundo 
tenha zero, e procedendo deste modo a sua resolução usando todos os passos necessários, e 
para tal ira se introduzir algumas intervenções didáticas com vista a motivar os alunos a 
pautarem em praticar mais nas inequações fracionarias lineares, e também não deixando de 
aderirem as recomendações sugeridas por ARAUJO, e pelos autores PAIVA, SILVA , 
BUCCHI e outros baseadas nas teorias mencionadas neste trabalho e algumas estratégias 
sugeridas. 
4.2- Intervenções didácticas 
No que foi requerido anteriormente a essas intervenções foram submetidas aos alunos uma 
serie de questões onde estes mesmos participaram do questionário contribuindo para a 
realização deste trabalho. Assim sendo na resolução das inequações fracionarias lineares 
como já foi dito onde é preciso a prior uma análise do sinal antes de resolve-la, procurou-se 
também incentivar nos alunos quando as resolverem, devem ter em conta as sugestões tanto 
como as estratégias sugeridas, e alguns métodos sugeridos pelos alguns autores como o 
Araújo, atendendo as estratégias baseadas nas teorias de aprendizagem mencionadas no 
presente trabalho. 
Segundo Guia do livro Didáctico (2007: 18-20), diz que por mais diversidade que sejam as 
concepções e praticas de ensino e aprendizagem, promover a aquisição do conhecimento 
implica na escolha de alternativas metodológicas apropriadas, de modo que as opções feitas 
contribuam satisfatoriamente para a consecução dos objetivos e a obra apresente coerência em 
relação a elas. 
Alem disso, o desenvolvimento metodológico dos conteúdos requerem estratégias que 
mobilizem e desenvolvam várias competências cognitivas básicas, como observação, 
argumentação, organização, analise, síntese, comunicação de ideias Matemáticas, 
planejamento, memorização etc. 
35 
 
Portanto, o livro matemático que deixar de contemplar de forma evidente o desenvolvimento 
simultâneo dessas competências poderá comprometer o desenvolvimento do aluno. Saber 
raciocinar matematicamente, calcular mentalmente, descodificar a linguagem Matemática e 
expressar-se por meio dela, requer habilidades e competências que necessitam ser trabalhadas. 
Nesse sentido, qualquer que seja sua opção, o livro didático deve atender a dois requisitos 
metodológicos básicos: 
 Em primeiro lugar, não deve privilegiar, entre as habilidades e competências que devem 
mobilizar e desenvolver, uma única, visto que raciocínio, calculo mental, interpretação e 
expressar em Matemática envolve necessariamente varias delas; 
 Em segundo lugar, deve ser coerente com a proposta que explícita, respeitando os 
preceitos que lhe dão identidade e permitem não só identifica-las, mas compreender seu 
alcance. No caso de o livro didático recorrer a mais de um modelo metodológico, deve 
indicar claramente a articulação entre elas. 
4.3- Comentários das resoluções das resoluções dos alunos 
Para a resolução de uma inequação fracionaria linear, é necessário ter em conta alguns 
conceitos, conceitos estes que levarão os alunos a chegarem a conclusões certas. Pois é crucial 
saber que primeiro trata-se de uma inequação fracionaria, não uma equação pelo que, é 
preciso analisar logo a prior o que deve se fazer. Pra tal dada uma inequação faccionaria linear 
para a sua resolução deve se ter em conta analisar de acordo com a desigualdade do sinal, 
onde muitas das vezes tem sido um dos erros cometidos. Estes erros tendem a crescer ainda 
mais pelo facto de que não se ter o hábito de analisar também os conteúdos estudados nas 
classes anteriores como é o caso de alguns princípios matemáticos e algumas propriedades. 
Durante a resolução verificou-se alguns erros mais frequentes na resolução das inequações 
fracionarias: 
Da pergunta colocada para se saber quando é que o quociente de dois (2) números reais é 
positivo ou negativo, alguns alunos responderam da seguinte forma: 
Intervenções didáticas 
Para a importância do ensino-aprendizagem as inequações fracionárias devem ser situadas no 
campo mais amplo do estudo dos números racionais e de suas representações. Segundo os 
parâmetros curriculares, a construção do conceito do número racional pressupõe uma 
36 
 
organização do ensino que possibilite experiencias com diferentes significados e 
representações. 
 No que foi requerido anteriormente a essas intervenções foram submetidas aos alunos uma 
serie de questões onde estes mesmos participaram do questionário contribuindo para a 
realização deste trabalho. Assim sendo na resolução das inequações fracionarias lineares 
como já foi dito onde é preciso a prior uma análise do sinal antes de resolve-la, procurou-se 
também incentivar nos alunos quando as resolverem, devem ter em conta as sugestões tanto 
como as estratégias sugeridas, e alguns métodos sugeridos pelos alguns autores como o 
Araújo, atendendo as estratégias baseadas nas teorias de aprendizagem mencionadas no 
presente trabalho. 
Tendo-se feita a primeira aula em que se procedeu pela resolução passo-a-passo das 
inequações fracionarias lineares que foram apresentadas no teste diagnostico, pois para a 
resolução destas tarefas, pensou-se em colocar os alunos em pequenos grupos de modo a 
facilitar a interação destes com outros. 
Na primeira aula colocou-se alguns exemplos alguns exemplos das inequações fracionarias 
lineares, onde se procedeu com a resolução destas. 
Eis alguns exemplos resolvidosna primeira aula das inequações fracionarias lineares: 
a) 
0
1
5

x
 
b) 
0
2
1



x
 
c) 
0
5
1



x
x
 
d) 
1
24
1



x
x
 
Para a efetuação das resoluções destas inequações colocadas lembrou-se aos alunos em alguns 
métodos a usar sugeridas per ARAUJO, e SILVA, segundo ARAUJO, para a resolução 
analítica das inequações fracionarias lineares do tipo 
0
)(
)(

xg
xf
, poe exemplo, ele diz que a 
resolução das inequações-quociente é similar ao da inequação produto, pois no conjunto dos 
37 
 
números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais. 
Assim cada termo do quociente 
5
1


x
x
, representa uma expressão do primeiro grau. 
Ao passo que SILVA, diz que na resolução de uma inequação-quociente, o denominador deve 
ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma tanto para o produto como para a divisão 
no conjunto dos números reais. E a solução da inequação-quociente é obtida a partir da 
integração das analises das variações de sinais das expressões 
)(xf
 e 
)(xg
, representadas. 
Após aplicar a regra de sinais do quociente dos números reais e analisarmos o resultado final 
encontrado, teremos a solução final da inequação. 
A resolução analítica das inequações fracionarias podem ser efetuadas da seguinte forma: 
1. Inequação do tipo 
0
)(

xf
c
, 
0
)(

xf
c
, 
0
)(

xf
c
, ou 
0
)(

xf
c
, onde c é constante 
diferente de zero 
)0( c
. 
a) Primeiro, determinar o domínio de existência; 
b) Segundo, caso o numerador seja positivo
0
)(

xf
c
 por exemplo, então para que essa 
fração seja maior que zero, o denominador deve ser positivo, e vice-versa; 
c) Para 
0
)(

xf
c
, caso o numerador seja positivo, para que a fração seja menor que zero, o 
denominador deve ser negativo, e vice-versa; 
d) Dar a solução que satisfaz a inequação. 
2. Inequação do tipo 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
 ou 
0
)(
)(

xg
xf
, para este caso: 
a) Primeiro temos de encontrar o domínio de existência; 
b) Determinar os zeros das funções 
0)( xf
e 
0)( xg
; 
c) Construir uma tabela onde vai se estudar os sinais das funções; 
d) Dar solução a inequação que satisfaz a inequação; 
3. Inequação do tipo 
c
xg
xf

)(
)(
, 
c
xg
xf

)(
)(
, 
c
xg
xf

)(
)(
ou 
c
xg
xf

)(
)(
, onde c é constante e 
diferente de zero 
)0( c
. 
a) Antes de mais nada precisamos fazer com que o segundo membro tenha zero, onde se 
prossegue os outros passos‟ 
b) Determinar o domínio de existência; 
38 
 
c) Determinar os zeros das funções 
0)( xf
e 
0)( xg
; 
d) Construir uma tabela onde vai se estudar os sinais das funções; 
e) Dar a solução que satisfaz a inequação. 
A seguir mostra-nos os exemplos resolvidos usando os passos sugeridos: 
Primeiro exemplo 
0
1
5

x
, como já foi dito, temos que encontrar o domínio de existência D: 
01x  1x
 
Resolução: 
0
1
5

x
, para que esta fração seja menor que zero, 
01x  1x
 
 
Segundo 
0
2
1



x
,domínio 
02  x  2 x  2x
; 
Resolução 
0
2
1



x
, para que esta fração seja maior que zero, 
02  x  2 x 
2x
 
 
Terceiro 
0
5
1



x
x
, domínio 
05 x  5x
; 
Resolução 
0
5
1



x
x
, determinando o zero das funções de 
1)(  xxf
e 
5)(  xxg
 
01x  1x
 e 
05 x  5x
 
Como o número 5, raiz de g anula o denominador, devemos exclui-lo da solução. 
Estudando os sinais das funções temos: 
39 
 
 
𝐱 −∞ −𝟓 𝟏 +∞ 
𝐱 − 𝟏 - - - 0 + 
𝐱 + 𝟓 - 0 + + + 
𝐱 − 𝟏
𝐱 + 𝟓
 + ∄ - 0 + 
Solução: 𝑥 ∈] − ∞; −5 ∪ 1; +∞[ 
 
Quarto 
1
24
1



x
x
, 
01
24
1



x
x   
0
24
2411



x
xx 
0
24
241



x
xx 
 
 
 1
 
 x24 
 
0
24
241



x
xx 
0
24
3



x
x
, Domínio 
024  x  42  x 
2
4


x
 2x
 
0
24
3



x
x
, Determinando o zero das funções 
3)(  xxf
e 
xxg 24)( 
 
03  x  3 x  3x
 e 
024  x  42  x 
2
4


x
 2x
 
Como o número 2, a raiz de g anula o denominador, devemos exclui-lo da solução. 
Estudando os sinais das funções temos: 
40 
 
 
 
𝐱 −∞ 𝟐 𝟑 +∞ 
−𝐱 + 𝟑 + + + 0 - 
−𝟐𝐱 + 𝟒 + 0 - - - 
−𝐱 + 𝟑
−𝟐𝐱 + 𝟒
 + ∄ - 0 + 
Solução: 𝑥 ∈] − ∞; 2[∪ [3; +∞[ 
 
4.4- Teste final 
O teste final tinha como objetivo analisar o nível da assimilação dos conteúdos durante as 
intervenções didáticas, onde participou cerca de 83 alunos em comparação com 95 dos quais 
participaram no teste diagnostico. 
Este último teste foi composto por 6 expressões (inequações fracionarias lineares), destes 
organizou-se em três (3) grupos sendo: 
 Duas inequações do tipo 
0
)(

xf
c
, 
0
)(

xf
c
; 
 Duas inequações do tipo 
0
)(
)(

xg
xf
, 
0
)(
)(

xg
xf
 
 Duas inequações do tipo 
c
xg
xf

)(
)(
, 
c
xg
xf

)(
)(
, onde c é constante 
)0( c
. 
 
41 
 
Resolva as inequações fracionarias, usando todos os passos possíveis: 
a) 
0
12
4

x
 d) 
0
22
13



x
x
 
b) 
0
1
5



x
 e) 
1
2
3



x
x
 
c) 
0
5
32



x
x
 f) 
2
2
36



x
x
 
Tabela 03: Resultados do teste final 
Alínea 
Certas Incompletas Erradas 
Total 
 
% 
 
% 
 
% 
a) 33 39,75% 23 27,71% 27 32,53% 83 
b) 39 46,98% 21 32,53% 23 27,71% 83 
c) 28 33,73% 19 22,89% 36 43,37% 83 
d) 19 22,89% 23 27,71% 41 49,39% 83 
e) 17 20,48% 20 24,09% 46 55,42% 83 
f) 18 21,68% 17 20,48% 48 57,83% 83 
 
 
4.5- Instrumentos usados na pesquisa 
O instrumento utilizado neste trabalho foi de 2 (dois) itens onde envolveu a definição de um 
quociente e a resolução das tarefas constituídas por 6 (seis) alíneas envolvendo as inequações 
fracionárias lineares. 
Comentários das resoluções dos alunos 
Comentando as resoluções feitas pelos alunos acerca das inequações fracionárias lineares, 
para a sua efetuação depende de alguns pressupostos, como o domínio das equações lineares, 
as funções lineares, pois muitos dos princípios, métodos usados na resolução destas também 
se utilizam para as inequações fracionarias lineares, assim sendo sem se ter o domínio destes 
pode fazer com que os alunos tenham fraco domínio dos conteúdos abordados durante a 
resolução. 
Também durante a resolução houve erros comuns observados durante a correção como: 
42 
 
 Os alunos usavam o cálculo do domínio de existência como sendo a própria resolução; 
 Alguns não conseguiam diferenciar quando uma inequação fracionaria é positiva ou 
negativa; 
 Esboço do gráfico da função linear; 
 Determinação do conjunto solução. 
Os resultados do teste final mostram que: 
Na expressão da a), 75,9% acertaram a resolução destes, tendo seguido os passos necessários, 
18,07% destes alunos resolveram mais ainda apresentando algumas dificuldades,e 6.024% 
cometeram o erro não considerar o sinal da fração, o que levou ao erro deste. 
Na expressão da b), 72,28% tiveram as suas resoluções certas, também seguindos todosos 
passos, ao passo que 24,09% cometeram o mesmo erro da a), o que lhes levou a soluções 
erradas, e 3,61% não conseguiram acertar nenhuma daas tarefas; 
Na expressão da c), 69,87% dos alunos resolveram corretamente as questões tendo mostrados 
os possíveis passos, 25.3% cometeram o erro de analisar a fração em função do sinal da 
desigualdade, e 4,81% tiveram totalmente o erro na sua resolução; 
Na expressão da d), 68,67% tiveram resoluções certas usando todos os passos, 22,89% 
também cometeram o mesmo erro da c), visto que era da mesma natureza, e 8,43% 
cometeram o erro de não calcular os zeros da funcos o que condicionou a sua resolução; 
Na expressão e), 59,03% dos alunos acertaram a tarefa tendo utilizado todos os passos, 
24,09% estes cometeram o erro de não passar o termo do segundo membro para o primeiro de 
modo a ter zero no segundo membro, e 16,86% resolveram erradamente na apresentação da 
solução; 
Na expressão f), 56,62% dos alunos tiveram suas resoluções certas, também tendo utilizados 
todos passos, 20,48% cometeram o mesmo erro da e) de não desigualar o segundo membro a 
zero, e 22,89% cometeram o erro primeiro de não considerar o domínio, e por fim não 
seguindo todos os passos o que levou o erro da sua resolução. 
 
 
 
43 
 
CAPITULO V: CONSIDERACOES FINAIS 
Este capítulo, esta relacionada em três partes principais a primeira concernente a 
fundamentação teórica, as conclusões deste trabalho e a última refere-se as recomendações ou 
as sugestões deste trabalho. 
Neste capítulo vai-se apresentar os resultados obtidos neste trabalho, segundo os objetivos 
inicialmente estabelecidos, isto é, como os alunos utilizam a linguagem Matemática, como 
explicam seus procedimentos e como interpretam os resultados ou seja a solução das tarefas 
dadas, em relação as inequações fracionarias lineares. Por outro lado as teorias apresentadas 
neste trabalho dão a ideia de que os alunos devem construir suas próprias metodologias de 
aprendizagem a colocar em prática por conta própria. 
No que concerne aos dados relevantes ao teste diagnostico, pode-se concluir que os alunos 
apresentaram muitas dificuldades na resolução das inequações fracionarias lineares, sobre 
tudo a própria definição tanto como os procedimentos usados durante a resolução e a 
interpretação dos resultados obtidos. Portanto é de salientar no que diz respeito ao enfoque 
das inequações fracionarias lineares, constatou-se uma aprendizagem significativa, pois estes 
recorreram as experiencias já adquiridas sem o auxílio do professor, onde desenvolveram as 
suas próprios metodologias, ou técnica de analisar, resolver e interpretar os resultados duma 
inequação fracionária. 
Tal como se constatou ao longo dessa intervenção os alunos foram aprendendo a desenvolver 
a análise, a linguagem Matemática, os símbolos através do seu uso o que visa melhorar a 
aprendizagem. A justificação dos passos ou procedimentos usados por parte dos alunos 
apresentou-se em diferentes formas: 
Constatou-se que os alunos não mostravam todos os procedimentos na resolução destas 
inequações, o que complica o processo de correção ou a avaliação do professor. Também, 
após se ter detetado algumas dificuldades dos alunos em não usar os procedimentos 
incentivou-se aos alunos ao longo das aulas justificarem os seus critérios, mesmo que não 
forem solicitados. 
Sugestões 
No que concerne as limitações deste trabalho tem-se a referir duas situações. A primeira esta 
relacionada com a necessidade de cumprir com o programa prevista para 11ᵃ classe. Dado o 
conteúdo no que diz respeito as inequações fracionarias tendo em conta o número de aulas 
44 
 
prevista não possibilita fazer aprender da melhor forma aos alunos o que contribui o fraco 
domínio dos conteúdos. 
Aos professores: 
Em salas de aulas é muito importante a consulta sistemática ao Manual do professor, visto que 
as questões propostas aos alunos contemplam apenas parcialmente aos conteúdos e objetivos 
usados. A exploração deste depende na maioria das vezes das contemplações apresentadas nas 
externas recomendações incluídas no Manual do professor. A sistematização dos conteúdos 
também é deixada a cargo do professor que precisa planeja-las e ajudar seus alunos. É 
importante que o professor leve isso em conta no planejamento, e se organize para discuti-los 
com os estudantes. A metodologia adotada pressupõe que a aprendizagem é favorecida pela 
ação e interação entre os estudantes. Assim é necessário que o professor organize a sala de 
aula para possibilitar um trabalho desse tipo. É importante também que a dinâmica das aulas 
permita a expressão de ideias e interação entre alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
BIBLIOGRAFIA 
BRITO, Maria Luísa Carvalho e NEVES, Maria A. Ferreira; Matemática – 11º ano de 
escolaridade; Porto Editora; Vol.1. 
Caraça, B. J.; Conceitos fundamentais de Matemática; Gradiva; Lisboa; 1998. 
GOMES, Francelino e VIEGAS, Cristina; Matemática 11º ano; Vol.2. 
IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos; Fundamentos de Matemática elementar; Atual 
Editora; 3ª Edição; Vol.1. 
NEVES, Maria A. Ferreira e SILVA, Jorge Nuno; Matemática 11ª classe; Plural editores. 
PILETTI, Cláudio, Didáctica especial, 14 ͣ edição, Editora Ática, São Paulo-Brasil, 1997. 
www.matematicamuitofacil.com/inequacoesfrac.html