07 Modulo III Parte 2

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EE103 – Laboratório de Engenharia Elétrica I 
Módulo III – CIRCUITOS DE 2a ORDEM, AMORTECIMENTO, RESSONÂNCIA SÉRIE, FATOR DE 
QUALIDADE 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA, FILTRO SEPARADOR DE BAIXAS E ALTAS FREQUÊNCIAS 
Parte 2 
 
Proposição III.3 
RESSONÂNCIA SÉRIE, FAIXA DE PASSAGEM, 
LARGURA DE BANDA, FATOR DE QUALIDADE 
 
Objetivo: Verificar o fenômeno da ressonância, sintonia, faixa de passagem e fator de qualidade 
de um circuito RLC série. 
 
Introdução: 
 
Já vimos anteriormente que os circuitos indutivo e capacitivo introduzem defasagens contrárias 
entre tensão e corrente. Vimos também que a defasagem depende da frequência da tensão de 
alimentação. Veremos agora que a frequência não determina apenas a defasagem, mas afeta 
também as magnitudes dos sinais de tensão ou corrente resultantes. Para observar esses efeitos 
vamos considerar a frequência uma variável independente no circuito RLC série abaixo. 
 
Observe que se trata do mesmo circuito analisado na Proposição III.1, porém agora a análise do 
comportamento será no domínio da frequência. 
 
Ensaios e Questões: 
 
(i) ► Monte o circuito abaixo. Ajuste a fonte senoidal em 1 kHz, Vp = 6 V sob carga. Ajuste o 
valor de R em 300 Ω. Conecte o osciloscópio conforme indicado na figura, para observar 
os sinais de corrente e tensão da fonte respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = década 
 
L = 100 mH 
 
C = 0,1 µF 
 
Rsh = 10 Ω 
 
2 
 
 
(ii) ► Preencha a tabela a seguir para R = 300 Ω e R = 100 Ω. Mantenha a tensão da fonte 
constante durante o ensaio. 
 
 
f [kHz] 
R = 300 Ω R = 100 Ω 
f [kHz] 
R = 300 Ω R = 100 Ω 
 I [mA] (*) I [mA] (*) I [mA] (*) I [mA] (*) 
 1,00 1,60 
 1,20 1,65 
 1,30 1,70 
 1,40 1,80 
 1,45 2,00 
 1,50 2,20 
maxIf (**) → 2,40 
 (*) Valores RMS 
 (**) Frequência para a qual a corrente é máxima 
 
(iii) Compare a frequência (
maxIf ) que provoca a máxima corrente (Imax), com a frequência 
natural
π2
0
0
ω
=f obtida na Proposição III.2 (ver Módulo III, parte 1). O que você conclui? 
 
(iv) Calcule Imax em função dos parâmetros do circuito e da tensão aplicada para os dois 
valores de R. Compare com os valores medidos. 
 
(v) ► Verifique que: 
 
• Na frequência 
maxIf a corrente está em fase com a tensão da fonte. 
• Abaixo desta frequência, a corrente fica adiantada em relação à tensão da fonte. 
• Acima desta frequência, a corrente fica atrasada em relação à tensão da fonte. 
 
Imprima as formas de onda referentes às situações acima e explique. 
 
(vi) ► Modifique a conexão do osciloscópio, conforme a figura abaixo, para visualizar as 
tensões sobre os bipolos reativos (L e C). Ajuste a fonte senoidal em Vp = 6 V sob carga. 
Ajuste o valor de R em 100 Ω e a frequência que produz Imax. 
 
 
 
Obtenha as tensões vL e vC e verifique que, nesta condição, a soma das tensões (vL+ vC) é 
mínima. Imprima as formas de onda e dê uma explicação física ao fenômeno (não se 
esqueça de inverter o CH1). 
 
3 
 
 
 
 
(vii) ► Meça os valores de pico de vL e vC e compare com o valor de pico da tensão da fonte. 
Explique esses valores. 
 
(viii) ► Varie R e observe o que ocorre com as tensões vL e vC. Explique porque isso ocorre. 
 
(ix) ► Conecte o osciloscópio de modo a medir a corrente i(t). Determine os dois valores de 
frequência de corte {fA, fB}, para os quais o valor eficaz da corrente pelo circuito é 
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maxII = (Imax é o máximo valor eficaz): 
 
 fA [Hz] fB [Hz] 
R = 300 Ω 
R = 100 Ω 
 
(x) Trace em um mesmo gráfico as curvas [ ]fI × para R = 300 Ω e R = 100 Ω. 
 
Note através das curvas [ ]fI × traçadas em (x) que o valor de R não afeta a frequência de 
ressonância, porém modifica a "altura" e a "largura" da curva [ ]fI × , ou seja, modifica a 
"sintonia" do circuito. Essa sintonia pode ser quantificada em função da faixa de passagem de 
frequência. A faixa de passagem é definida em função das frequências (fA e fB) para as quais a 
potência cai para a metade do valor absorvido na ressonância. Essa definição é conveniente, uma 
vez que a potência absorvida na ressonância é máxima e vale: 
2
max
2
max IR
R
V
P T
T
⋅== 
em que I e V são valores eficazes, e RT é a resistência total do circuito. Portanto, a condição de 
meia potência ocorre para: 
2
maxmax
22






=
I
R
P
T
 
 
As frequências nas quais ocorre essa condição são chamadas frequências de corte. Define-se, 
então, a largura de faixa (B) como sendo a diferença entre as frequências de corte (correspon-
dentes à metade da potência, ou a 
2
maxI ), ou seja, é a diferença entre fB e fA medidas no item (ix): 
 
AB
fffB −=∆= 
AB
ff > 
 
(xi) Obtenha as larguras de faixa para os dois valores de R. 
 
(xii) Através dos parâmetros do circuito e das medições realizadas, verifique que a largura de 
faixa pode ser expressa na forma ∆ω = 2pi∆f e também diretamente como função dos 
parâmetros do circuito série RLC através de: 
 
α
L
R
Δω T 2== 
 
4 
 
 
 
Uma outra forma de quantificar a sintonia do circuito é através do fator de qualidade Q definido 
por: 
 
C
L
R
Q
TL
R
LC
T
1
1
0
==
∆
=
ω
ω
 
 
Fica claro que, enquanto a largura de faixa aumenta linearmente com RT, o fator de qualidade 
varia inversamente. Além disso, Q depende dos três parâmetros (R, L e C), enquanto que B só 
depende de dois (RT e L). 
 
 
0 
frequência 
I 
 fA fB 
Imax 
 0,707·Imax 
 f0 
 
 
(xiii) Calcule os valores de Q resultantes para os casos estudados. 
 
(xiv) Qual a relação analítica entre o fator de qualidade (Q) e o amortecimento (α) do circuito? 
 
(xv) O circuito RLC é usualmente conhecido como um circuito de sintonia (usado em 
receptores de rádio e televisão). Explique qual dos dois casos (300 Ω e 100 Ω) 
representaria um circuito mais seletivo do ponto de vista de recepção do sinal, e por quê. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Proposição III.4 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA, 
FILTRO SEPARADOR DE BAIXAS E ALTAS FREQUÊNCIAS 
 
Objetivo: Verificar as características de filtragem de circuitos RL e RC. 
 
Introdução: 
 
Como vimos, um circuito RL é um derivador de corrente: 
 
dt
tdiLtiRtv )()()( +⋅= 
 
enquanto que um circuito RC é um integrador de corrente: 
 
)0()(1)()( CvdttiCtiRtv ++⋅= ∫ 
 
Isto significa que se a tensão v é imposta ao circuito, com R, L e C dados, o circuito RL funciona 
como um limitador de derivada (taxa de variação) da corrente e o circuito RC como um limitador 
de integração (taxa de acumulação) da corrente. Em outras palavras, podemos dizer que o indutor 
não admite variações bruscas de corrente (limita altas frequências) e que o capacitor limita 
variações de carga, ou seja, não permite que um degrau de corrente seja sustentado (limita baixas 
frequências). 
 
Essa característica de filtragem dos circuitos RL e RC pode ser explorada, por exemplo, para obter 
a separação dos sinais de áudio de alta e baixa frequência, dirigindo-os a alto-falantes projetados 
especialmente para cada faixa, melhorando o desempenho acústico do aparelho de som. 
 
Ensaios e Questões: 
 
(i) ► Para a bobina de 1 H, meça: 
 
RL = Ω (ohmímetro) 
L = H (medidor LCR) 
 
(ii) ► Para observar a separação de altas e baixas frequências, faça a seguinte montagem: 
 
 
 
R = 1 kΩ 
 
Décadas: 
L = 1 H 
C = 0,1 µF 
 
6 
 
 
(iii) Calcule a frequência de ressonância natural (sem amortecimento) [em Hz] do circuito com 
base nos parâmetros medidos.(iv) Obtenha as expressões analíticas e calcule as frequências de corte de cada ramo do 
circuito em função das respectivas constantes de tempo (vistas nos módulos II e III-1). 
Veja que na frequência de corte o módulo da tensão no resistor será igual ao módulo da 
tensão no indutor (ramo RL) e será igual ao módulo da tensão no capacitor (ramo RC). 
 
(v) ► Levante a resposta em frequência dos dois ramos, preenchendo a tabela a seguir, 
mantendo constante a tensão da fonte senoidal em Vp = 6 V. Verifique que a tensão vRL 
apresenta um nível CC para elevados valores de frequência. Trabalhe com acoplamento 
CA. 
 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
f [Hz] VRL [Vrms] VRC [Vrms] 
50 
100 
150 
200 
250 
300 
 (*) 
500 
600 
800 
1.000 
1.200 
1.500 
1.800 
2.000 
3.000 
5.000 
(*) frequência para a qual VRL = VRC 
 
(vi) Trace as respostas em frequência [ ]fVRL × e [ ]fVRC × em um único gráfico, com o eixo 
das frequências em escala logarítmica. 
 
(vii) Demonstre que, se as resistências dos ramos forem iguais, na frequência natural do 
circuito tem-se RCRL VV = . Esta condição determina então a frequência de cruzamento 
(crossover) de um ramo para outro do circuito. 
 
(viii) Obtenha a frequência natural do circuito no gráfico das respostas em frequência. 
 
(ix) ► Meça as frequências de corte, para as quais as tensões nas resistências correspondem a 
����/√2 em cada um dos ramos ( maxV é o máximo valor eficaz em cada um dos ramos - 
quando a parcela reativa tende à zero). Compare os valores medidos com os obtidos do 
gráfico das respostas em frequência e com aqueles calculados no item (iv). 
 
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(x) Verifique que a frequência de ressonância medida se aproxima da média geométrica das 
frequências de corte. Obtenha a expressão analiticamente. 
 
210 cc fff ×= 
 
Justifique eventuais diferenças. 
 
(xi) Suponha que as resistências do circuito fossem alto-falantes. Explique como o som se 
distribuiria pelos dois ramos em função da frequência (graves e agudos).