PROBABILIDADE CONDICIONAL

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1 Probabilidade Condicional
Muitas vezes quando realizamos um experimento temos informac¸a˜o extra sobre a ocorreˆncia de um
evento. Neste caso, gostar´ıamos de utilizar esta informac¸a˜o extra para realocar probabilidades aos
outros eventos.
Se selecionarmos, ao acaso, um aluno da Unicamp e calculamos qual a Probabilidade dele estar
cursando Ca´lculo I, uma atribuic¸a˜o razoa´vel seria: nu´mero de alunos em Ca´lculo I/ nu´mero de alunos
na Unicamp. Entretanto, se soubermos que o curso no qual esta´ matriculado e´ Medicina, sabemos
que a probabilidade dele fazer Ca´lculo I e´ muito menor.
Exemplo 1.1 Sejam a seguinte distribuic¸a˜o de alunos em ME210/213/223 turma A
Homens (H) Mulheres (F) Total
Cursa˜o (C) 15 4 19
Estat´ıstica (E) 16 15 31
F´ısica (F) 6 0 6
Outros (O) 4 2 6
Total 41 21 62
Seja E : “Selecionar um aluno ao acaso” e defina os eventos:
H: o aluno selecionado e´ do sexo masculino
C: o aluno selecionado e´ do Cursa˜o
Note que P(H) = 41/62, P (E) = 19/62, mas dentre os alunos do cursa˜o temos que a probabilidade
dele ser do sexo masculino e´: 15/19. Ist e´,
P(H|C) = 15/19
Exemplo 1.2 Se dois dados (um vermelho e o outro verde) sa˜o lancados, qual a probabilidade da
soma ser 8 dado que o dado verde saiu 3?
Dado que o dado verde teve como resultado 3, temos agora somente 6 resultados poss´ıveis: (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5) e (3,6).
1
Como originalmente estes 6 resultados eram equiprova´veis, eles ainda deveriam conservar esta
probabilidade.
Definic¸a˜o 1.3 Sejam E e F dois eventos, se P(F ) > 0 enta˜o:
P(E|F ) := P(E ∩ F )
P(F )
.
Exemplo 1.4 Uma moeda honesta e´ lana¸da 2 vezes ao acaso. Qual a probabilidade condicional de
ambos os resultados serem caras dado que o primeiro lana¸mento resultou em cara?
1
2
Exemplo 1.5 Uma urna conte´m 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola e´
escolhida ao acaso da urna e verifica-se que na˜o e´ preta, qual a probabilidade de ser amarela?
A = a bola selecionada e´ amarela
B = a bola selecionada e´ preta
P(A|Bc) = P(A ∩B
c)
P(Bc)
=
P(A)
P(Bc)
=
5/25
15/25
=
1
3
.
Teorema 1.6 Teorema da Multiplicac¸a˜o
1. P(A ∩B) = P(A).P(B|A)
2. P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) . . .P(An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)
Exemplo 1.7 Seja um lote formado de 20 laˆmpadas defeituosas e 80 na˜o defeituosas. E: Escolhemos
ao acaso duas pea¸s.
1. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
Sejam os eventos:
A : primeira laˆmpada e´ defeituosa
2
B : segunda laˆmpada e´ defeituosa
C : ambas sa˜o defeituosas.
Da´ı A ∩B = C e
P(C) = P(A ∩B) = P(A)P(B|A) = 20
100
× 19
99
=
380
990
= 0, 3838...
2. Qual a probabilidade da segunda pea¸ ser defeituosa?
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac)
= P(A)P(B|A) + P(Ac)P(B|Ac)
=
20
100
× 19
99
+
80
100
× 20
99
=
20
100
Definic¸a˜o 1.8 Dizemos que os eventos A1, A2, . . . formam uma partic¸a˜o de Ω se:
• A1 ∪ A2 ∪ . . . = Ω
• Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j.
Teorema 1.9 Lei da probabilidade Total. Se A1, A2, . . . formam uma partic¸a˜o de Ω enta˜o
P(B) =
∞∑
k=1
P(Ak)P(B|Ak).
Teorema 1.10 Teorema de Bayes. Se A1, A2, . . . formam uma partic¸a˜o de Ω enta˜o
P(Ar|B) = P(Ar)P(B|Ar)∑∞
k=1 P(Ak)P(B|Ak)
.
1. Uma caixa conte´m 3 moedas, duas honestas e uma de duas caras. Retirar uma moeda ao acaso
e joga´-la. Qual a probabilidade condicional da moeda escolhida ter duas caras dado que o
resultado final foi cara?
2. Suponha que a ocorreˆncia de chuva dependa somente das condio¸es de tempo do dia imedi-
atamente anterior. Admita-se que se chove hoje chovera´ amanha˜ com probabilidade 0.7 e se
3
na˜o chove hoje chovera´ amanha˜ com probabilidade 0.4. Sabendo-se que choveu hoje, qual a
probabilidade de chover depois de amanha˜?
0.7× 0.7 + 0.3× 0.4 = 0.61
3. Em um teste de mu´ltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a resposta e´ p. Havendo m
escolhas se ele sabe a resposta ele acerta, se na˜o, ele “chuta” qualquer alternativa com igual
probabilidade. Qual a probabilidade do aluno saber a resposta se ele acertou a pergunta?
p
1
m
+ p
(
1− 1
m
)
4. Um teste de laborato´rio tem 5% de falsos negativos e 1% de falsos positivos em detectar
diabetes. Se a prevaleˆncia de diabetes em uma certa populac¸a˜o e´ de 0.5%, qual a probabilidade
de uma pessoa ter a doenc¸a quando o teste deu positivo?
(.95)(.005)
(.95)(.005) + (.01)(.995)
≈ .323
4