Apostila 15 - Inequações modulares

Matemáti ca INEQUAÇÕE S MODULAR ES 2 SUMÁRIO Introdução ........................................................................................................................................ 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 3 Conceitos .......................................................................................................................................... 3 Inequações ....................................................................................................................................... 3 Inequação modular ......................................................................................................................... 4 Exercícios ................................................................................................................................ ......... 4 Gaba rito ............................................................................................................................................ 4 Resumo ................................................................................................ ............................................. 5 3 Introduçã o Nesta aula abordarem os o tema \u201cinequações modulares\u201d, buscando entender o que é e qual sua importância, bem como aprend er a resolver alguns exercícios sobre esse tema. Objetivos \u2022 Entender o que são i nequações modulares \u2022 Aprender sua u tilidade \u2022 Resolver exer cícios utilizando o tema Concei tos O módulo de um núm ero é basicamente a distância entre ele e zero. Uma inequação, por sua vez, é uma expressão que possui a propri edade de expressar desigualdade, diferentemente de uma equação que expressa igualdade. Portan to, uma i nequação modular é uma expressão de desigualdade envolven do módulos. Inequaç ões Vimos anteriormen te que eq uações são expressões que expressam igualdade, ou seja, possuem sinal de ig ual (=). Nas i nequações, por su a vez, utilizaremos o utros símbolos matem áticos, tais como: > : Mai or \u2265 : Mai or ou igual \u2264 : Menor ou igual Para resolver inequações, segui mos passos se melhantes ao de equações, porém, podemos representar os r esultados de uma inequação em uma reta real tam bém. Exemplo: 2 7 1 2 2 1 2 7 2 8 2 26 3 { / 3 } x x x x x x R x + \uf03e \u2212 + \uf03e \u2212 + \u2212 \uf03e \u2212 + \uf03e\u2212 \uf03e\u2212 \uf0ce \uf03e \u2212 4 Inequaç ão m odula r Uma in equação modular é toda inequação cuj a incógnita aparece em módulo , sendo que o módulo de um v alor é sempre positivo (ex: | \u2212 3| = 3 ). A segui r, vej a alguns exem plos de inequações modulares. | | 6 6 ou 6 | | 4 4 ou 4 | | 7 7 o u 7 x x x x x x x x x \uf03e \u2192 \uf03c \u2212 \uf03e \uf0a3 \u2192 \uf0b3 \u2212 \uf0a3 \uf03c \u2192 \uf03e \u2212 \uf03c Exercíci os 1. En contre a solução da inequação | \ud835\udc65 \u2212 4 | \u2265 2 2. R esolva a inequação modular a seguir: |2\ud835\udc65 + 1| > \ud835\udc65 + 5 3. Mu ltiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneam ente as desigualdades |\ud835\udc65 \u2212 2| \u2264 3 e |3\ud835\udc65 \u2212 2| > 5 , obtemos: Gabari to 1. Pa ra encontrarmos a solução, basta resolvermos a inequação, tal que: | 4 | 2 | | 2 4 | | 6 x x x \u2212 \uf0b3 \uf0b3+ \uf0b3 Portan to, x \u2265 6 ou x \u2264 -6 2. In icialmente precisamos determinar os valores do módulo, isto é, o módulo |2x + 1| poderá assumi r duas resoluções a depe nder do v alor de x, são elas: 1 | 2 1 | 2 1 se 2 1 | 2 1 | 2 1 se - 2 x x x xx + = + \uf03e \u2212 + = \u2212 \u2212 Temos então que ana lisar essas duas possibilidades, portanto: 2 1 5 2 5 1 4 xx xx x + \uf03e + \u2212 \uf03e \u2212 \uf03e 2 1 5 2 5 1 36 2 xx xx x x \u2212 \u2212 \uf03e + \u2212 \u2212 \uf03e + \u2212\uf03e \uf03c\u2212 5 3. Vam os resolver cada i nequação separadamen te para depois compa rar s uas soluções: | 2 | 3 3 2 3 15 x x x \u2212\uf0a3 \u2212 \uf0a3 \u2212 \uf0a3 \u2212 \uf0a3 \uf0a3 A primeira inequação é s atisfeita pelos valores de 15 x \u2212 \uf0a3 \uf0a3 . Vamos então resolver a segun d a inequação: | 3 2 | 5 5 3 2 5 3 3 7 1 3 2, 33 x x x x \u2212\uf03e \u2212 \uf03e \u2212 \uf03e \u2212 \uf03e \uf03e \u2212 \uf03e \uf03e Os valores que sat isfazem a se gunda inequação são v alores de x tais q ue \u22121 > 3\ud835\udc65 > 2 , 33 O exercí cio question a acerca dos valores inteiros de x que satisfazem sim ultaneamente as duas i nequações. Os únicos valores qu e obedecem a essa exigência são os valores d e 3, 4 e 5. O produto entre eles é dado por: 3 4 5 6 0 \uf0d7 \uf0d7 = Resumo Inequações Inequações são desigua ldades que p odem ser representadas por: > : Mai or \u2265 : Mai or ou igual \u2264 : Menor ou igual Inequações modulares Uma in equação modular é toda inequação cuj a incógnita aparece em módulo , sendo que o módulo de um v alor é sempre positi vo.

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