Lista 3 - Cálculo III

Prévia do material em texto

3a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2/4 + y2 = 1 e os planos z =
12− 3x− 4y e z = 1
2. Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2/a2 + z2/c2 = 1 e os planos
y = (b/a)x, y = 0, z = 0 com x ≥ 0.
3. Determine o volume do sólido limitado pel parabolóide z = (a2 − x24y2)/a e o plano
z = 0.
4. Calcule a integral
(a)
∫ 1
0
∫ x
0
∫ x−y
0
x dz dy dx (b)
∫ 2
0
∫ √2x−x2
−√2x−x2
∫ 4−x2−y2
4−2x
dz dy dx
(c)
∫ 4
2
∫ 1
1/z
∫ √yz
0
xyz dx dy dz
5. Em cada caso, descreva a região W e faça um esboço do seu gráfico.
(a)
∫ 4
0
∫ z
0
∫ √z2−y2
−
√
z2−y2
f(x, y, z)dx dy dz
(b)
∫ √2
−√2
∫ √4−y2
y
∫ √25−x2−y2
√
4−x2−y2
f(x, y, z)dz dx dy
(c)
∫ 4
0
∫ √16−x2
−√16−x2
∫ √16−x2−y2
−
√
16−x2−y2
f(x, y, z)dz dy dx
(d)
∫ 2√3
−2√3
∫ √12−y2
0
∫ 10−x2−y2
−2
f(x, y, z)dz dx dy
6. Calcule
∫∫∫
D
x2y, onde D = {(x, y, z) / 0 ≤ z ≤ pi/2, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ x ≤ y cos z}
7. Calcule o volume da região limitada pelas superfícies y = 2x, y = 2x2, x+ y + z = 3,
x+ y + z = 4.
8. Calcule o volume da região limitada pelas superfícies x2+3y2− z = 0, 4− y2− z = 0.
9. Dada a integral
∫ 1
0
∫ √y−y2
−
√
y−y2
∫ y
x2+y2
dz dx dy, encontre os limites para a ordem de in-
tegração dz dy dx.
10. Calcule o volume da região determinada pelos planos x = 0, y = x e a superfície
z2 = 1− y2.
11. Calcule o volume do solido, D, determinado pelas inequações x2 + y2 ≥ 1 e
0 ≤ z ≤ 9− x2 − y2.
12. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 2x, z = x e z = 2x.
13. Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 4 e o hiperbolóide
x2 + y2 − z2 = 1.
14. Determine o volume da região limitada superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e
inferiormente pelo cone z2 = 3(x2 + y2).
15. Determine o volume da região limitada superiormente pela esfera r = a e inferior-
mente pelo cone φ = b
16. Calcule o volume do sólido z2 ≥ x2+y2 que está no interior da esfera x2+y2+z2 = 1.
17. Calcule o volume do menor sólido limitado pelas superfícies z =
√
x2 + y2, z = 4,
2x = z.3
18. Em cada caso, esboce o sólido e calcule a integral
(a)
∫ pi/2
0
∫ 3
0
∫ e−r2
0
r dz dr dθ (b)
∫ 2pi
0
∫ √3
0
∫ 3−r2
0
r dz dr dθ
(c)
∫ 2pi
0
∫ pi/2
pi/6
∫ 4
0
r2 senφ dr dφ dθ (d)
∫ 2pi
0
∫ pi
0
∫ 5
2
r2 senφ dr dφ dθ
19. Em cada caso, escreva a integral(dada em coordenadas retangulares) em coordenadas
cilíndricas e esféricas
(a)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 4
x2+y2
x dz dy dx (b)
∫ a
−a
∫ √a2−x2
−√a2−x2
∫ a+√a2−x2−y2
a
x dz dy dx
20. Escreva a seguinte integral em coordenadas retangulares∫ pi
0
∫ pi
3pi/4
∫ 1
0
r5 cosφ sen2φ dr dφ dθ
21. Escreva a seguinte integral(dada em coordenadas cilíndricas) em coordenadas esfé-
ricas ∫ pi
0
∫ 5
0
∫ √25−z2
0
r2 sen θ dr dz dθ
22. Calcule o volume do sólido que é a interseção do exterior da superfície z2 = x2 + y2
e do interior da superfície x2 + y2 + z2 = 2x.
2
23. Calcule
∫∫∫
D
√
x2 + y2 + z2e−(x
2+y2+z2)dx dy dz se D é a região limitada pelas su-
perfícies x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = b2 com 0 < b < a.
24. Considere S a parte da esfera x2 + y2 + z2 ≤ 16a2 com a ≤ z ≤ 2a e x, y > 0.
Determine a massa de S se a densidade em cada ponto da esfera é ρ(x, y, z) = x2 + y2.
3