Aula 05-2 - Direções e planos cristalográficos

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Aula 05: 
Direções e planos 
cristalográficos
Prof. Dr. Marcus Varanis
Universidade Federal da Grande Dourados 
Faculdade de Engenharia
Índices de Miller: direções cristalográficas
 Direção cristalográfica: vetor que une dois pontos da rede
cristalina.
 Procedimento para determinação dos índices de Miller de uma
direção cristalográfica:
 transladar o “vetor direção” de maneira que ele passe pela
origem do sistema de coordenadas.
 determinar a projeção do vetor em cada um dos três eixos
de coordenadas. Essas projeções devem ser medidas em
termos dos parâmetros de rede (a,b,c)
 multiplicar ou dividir esses três números por um fator
comum, tal que os três números resultantes sejam os
menores inteiros possíveis.
 representar a direção escrevendo os três números entre
colchetes: [u v w].
Direções cristalográficas : exemplo
021redução a mínimos
inteiros
[120]notação
01½projeções em
termos de a,b e c
0 x c1 x b½ x aprojeções
zyx
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de direções equivalentes, ou seja,
conjunto de direções que possuem o mesmo espaçamento atômico.
Famílias de direções são representadas por <hkl>.
Por exemplo, a família <100> é composta pelas direções [100], [010],
[001], ].100[]010[],001[ e
Planos e Direções Cristalográficas
 Terminologia
 Direções: [ ]
 Planos: ( )
 Famílias de direções: < >
 Famílias de planos equivalentes: { }
VETORES!!!!
[110] CCC
[110] CFC
Como representar as direções dos átomos?
1- Posicionar o vetor passando pela origem
2- Determinar os comprimentos das projeções (a,b e c)
(Ex: a, b/2 e 0, ou seja, a=1, b=1/2 e c=0) ou (x=1, y=1/2, z=0)
3- Dividir ou multiplicar os três números por um fator comum
(Ex: 2,1,0)
4- Representação: [210]
a
b
c
Direções Cristalográficas
 [100]
 [110]
 [111]
 [021]
 [011]
 [200]
 [210]
z
x
y
Direções Cristalográficas
 [100]
 [011]
 [011]
x
y
z
 Índices
de
Miller:
Direções
Cristalográficas
Direções
e
Planos
CristalográficosDireções
e
Planos
Cristalográficos
x
y
z
[100]
[120]
[012]
Direções Cristalográficas
x
y
z
[1 0 0]
[0 1 1]
[1 1 1]
Direções Cristalográficas
0,0,1
1,1,0
1,1,1
1,1,2
[001] [112]
[111]
[110]
Esboçar as direções [001], [112], [111] e [110]
Direções Cristalográficas
Família de Direções :
Direções equivalentes, mesmo que não paralelas!!!
Espaçamento entre os átomos ao longo
de cada direção é o mesmo
Representação: < >
< 100>
Direções Cristalográficas
 <100>
 [100]
 [010]
 [001]
 [100]
 [010]
 [001]
x
y
z
Uma <família de direções> inclui todas as direções
possíveis com as mesmas coordenadas básicas
<Família de Direções>
Direções Cristalográficas
x
y
z
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
Família <111>
Direções Cristalográficas
Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
 No sistema CCC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal do cubo, que
corresponde a família de
direções <111>.
 Então, a direção <111> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema
CCC.
Direções Cristalográficas
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC
 No sistema CFC os átomos
se tocam ao longo da
diagonal da face, que
corresponde a família de
direções <110>.
 Então, a direção <110> é a
de maior empacotamento
atômico para o sistema
CFC.
Aspectos importantes dos índices de Miller para
as direções que precisam ser observados
1. Como as direções são vetores, determinada direção e seu negativo
não são idênticos. De fato [100] não equivale a ; eles
representam a mesma linha, mas em sentidos opostos;
2. Toda direção e seu múltiplo são idênticos. De fato, [100] representa
a mesma direção que [200]; apenas esquecemos de fazer a redução
para menores números inteiros;
3. Certos grupos de direções são equivalentes. Em um sistema
cúbico, por exemplo, uma direção [100] será a direção [010] se
redefinirmos o sistema de coordenadas; e
4. Podemos nos referir a grupos de direções equivalentes como
famílias de direções < >.
]001[
Índices de Miller: Planos Cristalográficos
Determinação dos índices de Miller de um plano cristalográfico:
 determinar os interceptos do plano com os eixos do sistema de
coordenadas em termos dos parâmetros de rede a, b e c. Se o
plano passar pela origem, transladar o plano para uma nova
posição no sistema de coordenadas.
 obter os recíprocos desses três interceptos. Se o plano for paralelo
a um dos eixos, considera-se o intercepto infinito e o seu recíproco
zero.
 representar na forma ( h k l )
Nota : às vezes é necessário multiplicar os três números resultantes
 por um fator comum para assim obter três índices inteiros. 
Como representar as posições dos planos cristalinos?
1. Desenhe a origem e a célula unitária
2. O plano x, y, z interceptará os eixos em 1/x, 1/y e 1/z.
(Ex: 1,1,1)
3. Dividir ou multiplicar os três números por um fator comum
(Ex: 1,1,1)
4. Representação por meio dos índices de Miller, entre
parênteses: (111)
Planos Cristalográficos
x
y
z
(Planos)
 (xyz)
 (100)
 (110)
 (111)
 (100)
x
y
z
Índices de Miller
Planos Cristalográficos
Planos Cristalográficos
FAMÍLIA DE PLANOS: conjunto de planos
cristalograficamente equivalentes, ou seja,
planos com o mesmo empacotamento atômico.
Famílias de planos são representadas por {hkl}.
Por exemplo, a família {111} é composta pelos
planos:
).111( )111( ),111( ),111(
),111( ),111(),111( ),111(
e
Planos Cristalográficos
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os três eixos
x
y
z
Planos Cristalográficos: Exemplos
Aspectos importantes dos índices de Miller
para os planos que precisam ser observados
1. Os planos e seus negativos são idênticos (o que não ocorre com as
direções). Portanto, (020 ) = .
2. Os planos e seus múltiplos não são idênticos (o que também difere do que
vimos com as direções). Podemos demonstrar esse fato definindo as
densidades planares e frações de empacotamento planar.
3. Em cada célula unitária, as famílias de plano representam grupos de planos
equivalentes que tem índices específicos, devido à orientação das
coordenadas. Representamos esses grupos de planos por meio da notação
{ }.
4. No caso de sistemas cúbicos, uma direção com os mesmos índices de
um plano é perpendicular a esse plano.
)020(
Densidade planar é o número de átomos por unidade de área, considerando que os
centros desses átomos estão situados no plano; fração de empacotamento, é a parcela
da área do plano efetivamente coberta por tais átomos.
Alotropia e Polimorfismo
 Polimorfismo: fenômeno no qual um sólido (metálico ou não metálico)
pode apresentar mais de uma estrutura cristalina, dependendo da
temperatura e da pressão (por exemplo, a sílica, SiO2 como quartzo,
cristobalita e tridimita).
 Alotropia: polimorfismo em elementos puros.
 Exemplo: o diamante e o grafite são constituídos por átomos de carbono
arranjados em diferentes estruturas cristalinas.
Diamante Grafite
Hibridização sp3 Hibridização sp2
Alotropia do Ferro
CCC
CFC
CCC
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
 Na temperatura ambiente, o Ferro
tem estrutura CCC, número de
coordenação 8, fator de
empacotamento de 0,68 e um raio
atômico de 1,241 Å.
 A 910°C, o Ferro passa para
estrutura CFC, número de
coordenação 12, fator de
empacotamento de 0,74 e um raio
atômico de 1,292 Å.
 A 1394°C o ferro passa novamente
para CCC.
Alotropia do Titânio
FASE α
 Existe até 883ºC
 Apresenta estrutura hexagonal compacta
 É mole
FASE β
 Existe a partir de 883ºC
 Apresenta estruturaCCC
 É dura
Materiais Monocristalinos e Policristalinos
 Monocristalinos: constituídos por
um único cristal em toda a extensão
do material, sem interrupções.
 Policristalinos: constituído de
vários cristais ou grãos, cada um
deles com diferentes orientações
espaciais. Material policristalino
Os contornos de grão são regiões separando cristais de
diferentes orientações em um material policristalino.
PLANOS CRISTALINOS
Por quê são importantes?
· Para a determinação da estrutura cristalina Os métodos de
difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de
pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para
determinar os parâmetros do reticulado de um cristal.
· Para a deformação plástica
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo
deslizamento dos átomos, escorregando uns sobre os outros no cristal.
Este deslizamento tende a acontecer preferencialmente ao longo de
planos direções específicos do cristal.
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos
do reticulado. Estes são usados para determinar os ângulos
interaxiais de um cristal.
2
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Densidade Atômica Planar
• Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à
densidade volumétrica de átomos, podemos definir a densidade
atômica planar
DAP = Área Total de Átomos/Área do Plano
• Exemplo
Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC
1/4 de átomo
1 átomo
Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
Área total de átomo = 2 x Área de 1 átomo = 2pR2
Área do Plano = a2 e 4R = a2 => a = 2R2 
DAP = 2pR2/a2 = 2pR2/8R2 = p/4 = 0,785
3
Densidade Atômica Linear
• Análogo à DAP podemos definir a densidade atômica linear 
DAL = Comprimento Total de Átomos/Comprimento de uma direção 
(igual ao fator de empacotamento em uma dimensão)
Fração de átomos interceptados por uma linha
• Exemplo 
Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC
1/2 átomo
Número total de átomos = 1 + 1 = 2
Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R 
Comprimento da Direção = a e 4R = a2 => a = 2R2 
DAL = 2R/a = 2R/ 2R2 = 1/2 = 0.707
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Planos e Direções Compactas
• Como já vimos, as redes CFC e HC são as mais densas do ponto 
de vista volumétrico. 
• Por outro lado, em cada rede, existem planos e direções com 
valores diferentes de DAP e DAL. 
• Em cada rede, existe um certo número de planos e direções 
compactos (maior valor de DAP e DAL) 
As direções compactas estão contidas em planos compactos 
Estes planos e direções serão fundamentais na deformação 
mecânica de materiais. 
A deformação mecânica normalmente se dá através do 
deslizamento de planos.
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Sistemas de deslizamento
•O deslizamento ocorrerá mais facilmente em certos planos e 
direções do que em outros. 
•Em geral, o deslizamento ocorrerá paralelo a planos compactos, 
que preservam sua integridade.
•Dentro de um plano de deslizamento existirão direções 
preferenciais para o deslizamento.
•A combinação entre os planos e as direções forma os sistemas de 
deslizamento (slip systems), característicos das diferentes estruturas 
cristalinas.
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Sistemas de deslizamento (cont.)
Distância
Plano não 
denso
Plano denso
Distância
 O deslizamento é mais 
provável em planos e 
direções compactas 
porque nestes casos a 
distância que a rede 
precisa se deslocar é 
mínima. 
 Dependendo da simetria 
da estrutura, outros 
sistemas de 
deslizamento podem 
estar presentes.
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Deslizamento de um plano compacto 
Pequeno deslizamento  Pequena energia 
 Mais provável
Deslizamento de um plano não compacto 
Grande deslizamento  Grande energia 
 Menos provável
Sistemas de deslizamento (cont.)
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Determinação da estrutura
• Pergunta básica 
 Como se pode determinar experimentalmente a estrutura 
cristalina de um material ? 
• Uma boa resposta 
 Estudar os efeitos causados pelo material sobre um feixe de 
radiação. 
• Qual radiação seria mais sensível à estrutura ? 
 Radiação cujo comprimento de onda seja semelhante ao 
espaçamento interplanar (da ordem de 0.1 nm). 
 Difração de raios-x.