Curso de Raciocínio Lógico-Quantitativo

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1 
 
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 21 
Regressão Linear Simples 
 
21  Regressão Linear Simples ................................................................................................. 9 
21.1  A Reta de Regressão ................................................................................................... 9 
21.2  Valores Esperados dos Estimadores ................................................................... 10 
21.3  Variâncias e Covariâncias dos Estimadores ..................................................... 10 
21.4  Distribuições Amostrais ........................................................................................... 12 
21.5  O Teorema de Gauss-Markov ................................................................................ 14 
21.6  O Coeficiente de Determinação ............................................................................ 14 
21.7  Relaxamento dos Pressupostos do Modelo ...................................................... 19 
21.8  Regressão sem o Intercepto .................................................................................. 20 
21.9  Intervalos de Confiança ........................................................................................... 24 
21.10  Testes de Hipóteses ................................................................................................ 29 
21.11  Análise de Variância ............................................................................................... 32 
21.12  Memorize para a prova .......................................................................................... 38 
21.11  Exercícios de Fixação ............................................................................................. 40 
21.12  Gabarito ....................................................................................................................... 45 
21.13  Resolução dos Exercícios de Fixação ............................................................... 46 
 
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2 
 
E aí pessoal, tudo bem? Esta é a última aula do módulo de Estatística Básica e 
Avançada. Reconhecemos que “pegamos pesado” com vocês. Mas a intenção é 
a melhor possível: a sua aprovação! Procure digerir o conteúdo apresentado, 
porque tudo que ensinamos poderá cair na prova. 
 
Erratas 
 
Já caiu em prova! (AFPS/2002/ESAF), pág. 16 da Aula 18 
 
Corrija o início da segunda linha da solução para 
 
“Primeiramente, devemos descartar a opção C, pois é absurda.” 
 
Ou seja, a opção absurda é a “C” e não a “D”. 
 
Resolução da questão 13 da Aula 18 
 
Corrija parte da terceira linha da solução para 
 
“σ2(nX ) = n2σ2(X ) = n2 × σ
2
n
= nσ2 = n ×1 = n” 
 
Note que havia um n sobrando na variância da média amostral. 
 
Antes de iniciarmos a aula de hoje, daremos resoluções detalhadas (e mais 
didáticas!) das questões 1 e 14 da Aula 17 e uma outra solução para a questão 
1 da Aula 18. 
 
Resoluções Detalhadas das Questões 1 e 14 da Aula 17 
 
1. (ICMS-RJ/2007/FGV) A probabilidade de um candidato acertar esta 
questão de múltipla escolha, (Y = 1), é função da proficiência em matemática, 
θ, do candidato e pode ser calculada por meio de: 
 
,
1
)|1( 2,05,0
2,05,0
θ
θ
θ +−
+−
+== e
eYP 
 
sendo θ um número real que representa a medida de proficiência em 
matemática do candidato. Pode-se, então, afirmar que: 
 
A) a cada acréscimo de uma unidade na medida θ de proficiência matemática, 
a probabilidade de o candidato acertar a questão aumenta em 20%. 
B) a probabilidade de acertar a questão (Y=1) é maior do que a probabilidade 
de errar a questão (Y=0), para todos os candidatos com θ > 0. 
C) essa função de probabilidade tem máximo em θ =0. 
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D) candidatos com θ = 2,5 de proficiência têm probabilidade 0,5 de acertar a 
questão. 
E) a razão entre a probabilidade de acertar e a de errar é uma função linear 
em θ, e expressa por -0,5 + 0,2θ. 
 
Resolução 
 
Análise da alternativas 
 
(A) “a cada acréscimo de uma unidade na medida θ de proficiência 
matemática, a probabilidade de o candidato acertar a questão aumenta em 
20%.” 
 
A probabilidade de um candidato acertar esta questão de múltipla escolha, (Y 
= 1), é função da proficiência em matemática, θ, do candidato, e é dada por: 
 
.
1
)|1( 2,05,0
2,05,0
θ
θ
θ +−
+−
+== e
eYP 
 
Então, P(Y=1|θ) denota a probabilidade de que Y = 1 para um dado θ. A 
probabilidade P(Y=1|θ) NÃO representa que, a cada acréscimo de uma 
unidade na medida θ de proficiência matemática, a probabilidade de o 
candidato acertar a questão aumenta em 20%. Ademais, a função P(Y=1|θ) 
não é linear, ou seja, não é do tipo y = a + bθ (equação que descreve uma 
reta), em que y é a variável dependente (eixo vertical), a denota o intercepto, 
b é a declividade da reta e θ é a variável independente (eixo horizontal). Logo 
a alternativa é INCORRETA. 
 
(B) “a probabilidade de acertar a questão (Y=1) é maior do que a 
probabilidade de errar a questão (Y=0), para todos os candidatos com θ > 0.” 
 
Para resolver este item, é preciso responder à seguinte pergunta: 
 
⇒ Será que a razão 
 
P(Y =1 |θ)
P(Y = 0 |θ) =
e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
1− e
−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
 
 
é maior do que 1 para todo θ > 0? 
 
Repare que é mais fácil analisar o comportamento do logaritmo de uma razão 
entre funções exponenciais do que a razão propriamente dita. Tal 
procedimento é bastante usual em matemática. É o que faremos a partir deste 
ponto. 
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Tomando o logaritmo neperiano da razão entre P(Y =1 |θ) e P(Y = 0 |θ), obtemos 
 
W = ln P(Y =1 |θ )
P(Y = 0 |θ )
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ = ln
e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
1− e
−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
= ln
e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ − e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
 
 
W = ln
e−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ
1
1+ e−0,5+0,2θ
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
= ln e
−0,5+0,2θ
1+ e−0,5+0,2θ ×
1+ e−0,5+0,2θ
1
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ = ln e
−0,5+0,2θ( ) 
 
Lembrando que ln en = n ln e = n, pois ln e = 1, temos que 
 
W = (−0,5 + 0,2θ ) × lne = (−0,5 + 0,2θ) ×1 = −0,5 + 0,2θ . 
 
Observe que a relação W = -0,5 + 0,2θ é a equação de uma reta. Ou seja, W é 
uma função linear de θ. O gráfico de W em função de θ está representado na 
figura a seguir. 
 
 
 
 
 
A função W é igual a zero para θ = 2,50 (é a raiz da equação -0,5 + 0,2θ = 0) 
e W = -0,5 para θ = 0. 
 
Analisemos o comportamento da função W no intervalo 0< θ <2,5. Considere, 
por exemplo, o valor θ = 1 para a variável independente. Neste caso, W = -0,5 
+ 0,2 x 1 = -0,5 + 0,2 = -0,3. Então (*) 
 
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5 
 
W = ln P(Y =1 |θ =1)
P(Y = 0 |θ =1)
⎡ 
⎣ ⎢ 
⎤ 
⎦ ⎥ = −0,3 ⇒
P(Y =1 |θ =1)
P(Y = 0 |θ =1) = e
−0,3 = 0,74 ⇒ menor que 1! 
 
(*) ln a = b ⇒ a = eb 
 
Como foi obtido P(Y =1 |θ) /P(Y = 0 |θ ) <1 para um valor positivo de θ, então é 
falso afirmar que a probabilidadede acertar a questão (Y=1) é maior do que a 
probabilidade de errar a questão (Y=0), para todos os candidatos com θ > 0. 
Alternativa INCORRETA. 
 
(C) “essa função de probabilidade tem máximo em θ =0.” 
 
O gráfico da função 
 
θ
θ
θ 2,05,0
2,05,0
1
)|1( +−
+−
+== e
eYP 
 
tem o seguinte comportamento assintótico: 1)/1( →= θYP para ∞→θ e 
0)/1( →= θYP para −∞→θ . Portanto, não há um máximo da função quando 
0=θ ⇒ afirmação INCORRETA. 
 
(D) “candidatos com θ = 2,5 de proficiência têm probabilidade 0,5 de acertar a 
questão.” 
 
P(Y=1|θ=2,5) = 5,0
11
1
11 0
0
5,22,05,0
5,22,05,0
=+=+=+ ×+−
×+−
e
e
e
e
 ⇒ afirmação CORRETA. 
 
(E) “a razão entre a probabilidade de acertar e a de errar é uma função linear 
em θ, e expressa por -0,5 + 0,2θ.” 
 
É o logaritmo neperiano da razão entre a probabilidade de acertar e a de 
errar que é uma função linear em θ, expressa por -0,5 + 0,2θ ⇒ afirmação 
INCORRETA. 
 
GABARITO: D 
 
14. (ICMS-RJ/2009/FGV) Utilizando uma análise de regressão linear 
simples, um pesquisador obteve um ajuste Y  =  a1X  +  b1 e um coeficiente de 
determinação 21R . Um segundo pesquisador analisou os mesmos dados, mas 
antes aplicou a cada observação de Y a transformação Y´ = 10Y + 100, obtendo 
um outro ajuste Y´ = a2X + b2, com um coeficiente de determinação 22R . Considere 
as afirmativas abaixo, relativas à comparação entre os valores obtidos nas 
duas análises: 
 
I. a2 = 10a1 ; 
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6 
II. b2 = b1 + 100; 
III. 21
2
2 RR = . 
 
Assinale: 
 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
B) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
C) se somente as afirmativas I e III forem verdadeiras. 
D) se somente as afirmativas II e II forem verdadeiras. 
E) se todas as afirmativas forem verdadeiras. 
 
Resolução 
 
11 bXaY += ⇒ Y '=10Y +100 =10(a1X + b1) +100 = (10a1)X + (10b1 +100) = a2X + b2 
 
Logo, 12 10aa = e 10010 12 += bb . 
 
Análise das afirmativas: 
 
(I) VERDADEIRA, pois 12 10aa = , conforme demonstrado acima. 
 
(II) FALSA, dado que 10010 12 += bb . 
 
(III) Dados: 
 
- ajuste y = a1x + b1 implica um coeficiente de determinação 21R ; 
 
- aplicação da transformação linear y, = 10y + 100 resulta no coeficiente de 
determinação 22R . 
 
Vimos que a correlação amostral R é dada por 
 
⇒ R = sxy
sxsy
 = cov. amostral/(desvio padrão amostral de X . desvio padrão amostral de Y) 
 
Então, 
 
R1 =
sxy
sxsy
=
1
n
(xi − x )(yi − y )∑
1
n
(xi − x )2∑ × 1n (yi − y )2∑
=
1
n
(xi − x )(yi − y )∑
1
n
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
(xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( )
 
 
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7 
 
R1 =
1
n
(xi − x )(yi − y )∑
1
n
(xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( )=
(xi − x )(yi − y )∑
(xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( ) 
 
e 
 
R2 =
(xi − x )(yi, − E[y ,])∑
(xi − x )2∑( ) (yi, − E[y ,])2∑( ) 
 
em que E[y ,] = E[10y +100] = E[10y]+ E[100] =10E[y]+100 =10y +100. Substituindo 
E[y ,] =10y +100 na expressão acima, obtemos 
 
R2 =
(xi − x )(10yi +100 −10y −100)∑
(xi − x )2∑( ) (10yi +100 −10y −100)2∑( )=
(xi − x )(10yi −10y )∑
(xi − x )2∑( ) (10yi −10y )2∑( )= 
 
R2 =
10(xi − x )(yi − y )∑
(xi − x )2∑( ) 100(yi − y )2∑( )=
10 (xi − x )(yi − y )∑
100 (xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( )=
10 (xi − x )(yi − y )∑
10 (xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( )
 
R2 =
(xi − x )(yi − y )∑
(xi − x )2∑( ) (yi − y )2∑( )= R1 ⇒ R2
2 = R12 
 
Conclui-se que a transformação linear Y´ = 10Y + 100 não altera a qualidade da 
regressão original Y = a1X + b1, uma vez que R2
2 = R12. Portanto, a assertiva (III) é 
VERDADEIRA. 
 
GABARITO: C 
 
Outra solução para a questão 1 da Aula 18 
 
1. (Analista Técnico-SUSEP-2006-ESAF) Seja X1, X2, ... uma sucessão de 
variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média μ e 
variância σ2, tendo a propriedade de qualquer número finito delas são 
independentes. Então, para cada z 
 
),(...lim 1 zz
n
nXXP n
n
Φ=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ <−++∞→ σ
μ
 
 
onde )(zΦ é uma função de distribuição: 
 
A) Normal reduzida. 
,
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8 
B) Normal. 
C) Qui-quadrado. 
D) Log-normal. 
E) Binomial. 
 
Resolução 
 
Sejam nXXX ,...,, 21 variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com média μ e variância σ2. De acordo com o TCL, se 
nn XXXS +++= ...21 , então 
 
n
nS
SVar
SES n
n
nn
σ
μ−=−
)(
)(
 
 
é assintoticamente normal (isto é, tende para a normal quando n tende 
para infinito) com média nula e desvio-padrão igual a um (normal padrão ou 
reduzida). 
 
Ou seja, 
 
lim
n → ∞ P
Sn − nμ
σ n < z
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ = P(Z < z) = Φ(z) , 
 
em que Z é a variável aleatória N(0,1). 
 
O TCL também é verdadeiro sob condições mais gerais. Por exemplo, ele vale 
quando nXXX ,...,, 21 são variáveis independentes com a mesma média e 
variância, mas não necessariamente identicamente distribuídas. 
 
GABARITO: A 
 
 
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9 
 
21 Regressão Linear Simples 
 
Esta aula aborda as propriedades dos estimadores de mínimos quadrados, a 
inferência estatística e a análise de variância do modelo de Regressão Linear 
Simples (RLS). 
 
21.1 A Reta de Regressão 
 
A análise de regressão estuda a dependência de uma variável, chamada de 
independente, em relação outras variáveis, chamadas de explanatórias, com o 
objetivo de estimar valores da primeira, dados os valores das segundas. 
 
Na aula 17 usamos o modelo 
 
(1) εβα ++= XY , 
 
em que α é o intercepto, β é a declividade e ε denota a componente 
aleatória da variação de Y (ε é uma variável aleatória). 
 
Vimos também que os estimadores a (do intercepto α ) e b (da declividade são 
dados por 
 
(2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
xbya
S
S
b
xx
xy
 
 
em que 
 
(3) ),)(( yyxx
n
yx
yxS i
i
i
i
i
i
i
i
iixy −−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑∑ ∑∑ 
 
e 
 
(4) ∑ ∑∑ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
i i
i
i
i
ixx xxn
x
xS 2
2
2 )( 
 
Interpretação Geométrica do Intercepto e da Declividade 
 
O intercepto α é o valor estimado de y quando x = 0, e β representa a 
variação estimada de y quando x varia uma unidade, conforme ilustrado pela 
figura abaixo . 
 
 
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10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21.2 Valores Esperados dos Estimadores 
 
Pode-se demonstrar que os estimadores a e b de (2) têm média dadas por 
 
(5) 
⎩⎨
⎧
=
=
β
α
)(
)(
bE
aE
 
 
(*) As demonstrações não são elementares e tampouco serão cobradas em 
prova. Assim, preferimos omitir as demonstrações. 
 
Logo os estimadores de α e β, a e b (às vezes denotados por αˆ e βˆ ), são 
justos (ou não viesados ou não tendenciosos), pois suas médias são iguais aos 
verdadeiros valores dos parâmetros. Isso quer dizer que se coletarmos várias 
amostras de iguais tamanhos, e aplicarmos as equações de (2), os valores 
médios das estimativas encontradas de a e b tenderão a α e β, 
respectivamente. 
 
O resultado acima é verdadeiro somente quando são válidos os pressupostosdo modelo apresentados na aula 17. O pressuposto 6, da normalidade dos 
erros, não é necessário para o resultado (5), mas será importante para o 
estudo da inferência sobre o modelo de regressão. 
 
21.3 Variâncias e Covariâncias dos Estimadores 
 
Por definição, temos que 
 
Var(a) = E [a – E [a]]2 = E [a – α]2, 
 
0 
x 
y 
α 1 
β 
 
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11 
Var(b) = E [b – E [b]]2 = E [b – β]2, 
 
Cov(a,b) = E [(a – α)(b – β)]. 
 
Sendo σ2 a variância do erro aleatório ε do modelo, pode-se demonstrar que 
(vide nota anterior) 
 
(6) 
xxS
b
2
)var( σ= , 
 
em que ∑ −= 2)( xxS ixx , 
 
(7) var(a) = σ2 xi
2∑
nSxx
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ , 
 
(8) Cov(a,b) = σ2 −x 
Sxx
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ . 
 
Como o termo xxS/
2σ aparece em (6), (7) e (8), podemos reescrever (7) e (8) 
como 
 
var(a) = var(b) xi
2∑
n
 
 
e 
 
Cov(a,b) = −x var(b), 
 
respectivamente. 
 
Do exposto, percebe-se que: 
 
• Quanto maior a variância do termo de erro ε (dada por σ2) maiores 
serão as variâncias de a e b e a covariância entre eles. 
• Quanto mais concentrados os valores de x estiverem em torno de 
sua média x , menor será o valor de Sxx (lembre que Sxx = (xi − x )2∑ ) e 
maiores serão as variâncias de a e b e a covariância entre eles. Isso 
pode ser visto graficamente na próxima figura. 
• O sinal da covariância ),( baCov é oposto ao sinal de x . Note que o 
gráfico da reta ajustada passa pelo ponto das médias ),( yx . Assim, ainda 
na figura, mantendo-se fixo o ponto ),( yx , um aumento em b diminui o 
intercepto a da reta ajustada. 
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12 
 
 
 
 
 
21.4 Distribuições Amostrais 
 
Sob a hipótese da normalidade dos erros, a e b também são distribuídos 
normalmente 
 
(9) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
xxS
Nb
2
,~ σβ 
 
(10) a ~ N α,var(b) xi
2∑
n
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ 
 
(11) 
xxS
xbaCov
2
),( σ−= (repetida por conveniência) 
 
Falta-nos agora apenas definir um estimador para a variância do erro aleatório 
σ2. Prova-se, e apelamos mais uma vez para a sua fé nos seus professores, 
que 
 
ˆ σ 2 = ei
2∑
n − 2 
 
é um estimador não tendencioso de σ2, ou seja, 22 )ˆ( σσ =E , em que 
iiiii bxayyye −−=−= ˆ
 
(*). 
 
(*) O “2” que é subtraído do denominador é o número de parâmetros de 
regressão ),( βα no modelo, e essa subtração torna o estimador 2σˆ não 
tendencioso. 
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13 
 
 
Os resultados desta seção são muito importantes para o estudo da inferência 
estatística. 
 
Exemplo. Voltemos a um dos exemplos da aula 17, em que foi obtida reta 
xy 217,0174,0ˆ += ( 42=xxS ). Foi dada a tabela a seguir: 
 
ix iy ii yx 2ix 
2
iy 
1 0,5 0,5 1 0,25 
2 0,6 1,2 4 0,36 
3 0,9 2,7 9 0,81 
4 0,8 3,2 16 0,64 
5 1,2 6,0 25 1,44 
6 1,5 9,0 36 2,25 
7 1,7 11,9 49 2,89 
8 2,0 16,0 64 4,00 
36=∑ ix 2,9=∑ iy 5,50=∑ ii yx 2042 =∑ ix 64,122 =∑ iy 
 
 
Vamos substituir, na tabela acima, as suas três últimas colunas,como abaixo: 
 
 
ix iy iyˆ iii yye ˆ−= 21e 
1 0,5 0,174+0,217x1=0,392 0,108 0,0117 
2 0,6 0,174+0,217x2=0,608 -0,008 0,0001 
3 0,9 0,174+0,217x3=0,825 0,075 0,0056 
4 0,8 0,174+0,217x4=1,042 -0,242 0,0584 
5 1,2 0,174+0,217x5=1,258 -0,058 0,0034 
6 1,5 0,174+0,217x6=1,475 0,025 0,0006 
7 1,7 0,174+0,217x7=1,692 0,008 0,0001 
8 2,0 0,174+0,217x8=1,908 0,092 0,0084 
36=∑ ix 2,9=∑ iy 2,9ˆ =∑ iy 0=∑ ie 0883,02 =∑ ie 
 
 
Repare que 
 
(a) ∑∑ = ii yy ˆ (demonstrável); 
(b) , consequência direta de (a). 
 
Estimemos as variâncias de a e b , bem como ),( baCov . A primeira etapa é 
estimar σ2: 
 
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14 
ˆ σ 2 = ei
2∑
n − 2 =
0,0833
6
= 0,0147. 
 
Agora, vamos utilizar as fórmulas (6), (7) e (8), substituindo σ2 
(desconhecido) pela sua estimativa 2σˆ : 
 
6
2
10350
42
0147,0ˆ)var( −×===
xxS
b σ , 
 
var(a) = xi
2∑
n
var(b) = 204
8
× 350 ×10−6 = 8,925 ×10−3, 
 
cov(a,b) = −x var(b) = − 36
8
× 350 ×10−6 = −1,575 ×10−3. 
 
Assim, assumindo a normalidade do erro aleatório ε do modelo, obtemos as 
seguintes estimativas: 
 
b ~ N(0,217; 350x10-6) 
 
a ~ N(0,175; 8,925x10-3) 
 
21.5 O Teorema de Gauss-Markov 
 
O teorema Gauss-Markov nos garante que, de todos os estimadores lineares 
possíveis não viesados para α e β, os estimadores de mínimos quadrados a e 
b , definidos por (2), são os de menor variância. Ou seja, os estimadores a e b 
são os Melhores Estimadores Lineares Não Viesados (MELNV). 
 
Uma consequência lógica do teorema é que, se há estimadores de menor 
variância que a e b para α e β, estes ou são viesados ou são não lineares. Nós 
não nos preocuparemos com o seu estudo. A demonstração deste teorema 
foge ao escopo desta aula. 
 
21.6 O Coeficiente de Determinação 
 
Os resíduos iii yye ˆ−= , embora utilizados para avaliar a aderência da reta 
ajustada de mínimos quadrados aos pontos (xi,yi), têm o inconveniente de 
serem afetados pela unidade utilizada. Para superar esse obstáculo, 
voltaremos à discussão sobre o coeficiente de determinação R2 visto na aula 
17. 
 
Primeiramente, temos que a variação total de y é dada por 
 
(12) 2)( yyS
i
iyy −= ∑ 
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15 
 
Nosso objetivo é separar a variação total de y em 2 partes: uma 
explicada pela regressão e outra associada ao termo de erro (ou não 
explicada pela regressão). 
 
 
 
 
 
Considere a identidade 
 
(13) )ˆ()ˆ( yyyyyy iiii −+−=− . 
 
Elevando ambos os membros de (13) ao quadrado e somando as n 
observações, obtemos: 
 
(14) .)ˆ)(ˆ(2)ˆ()ˆ()( 222 ∑∑∑∑ −−+−+−=− i iiii ii iii i yyyyyyyyyy 
 
Demonstra-se que o último termo de (14) é nulo e segue-se então que 
 
∑∑∑ −+−=− i ii iii i yyyyyy 222 )ˆ()ˆ()( 
 
 
(15) SQT = SQE + SQR 
 
em que: 
 
⇒ SQT = Soma dos quadrados total = Syy = ∑ −i i yy 2)( (ou variação total) 
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16 
 
⇒ SQE = Soma dos quadrados dos erros = ∑ −i ii yy 2)ˆ( (ou variação 
residual) 
⇒ SQR = Soma dos quadrados da regressão = ∑ −i i yy 2)ˆ( (ou variação 
explicada) 
 
Dividindo ambos os membros de (15) por SQT, resulta 
 
(16) 
SQT
SQR
SQT
SQE +=1 . 
 
Finalmente, definimos o coeficiente de determinação por 
 
(17) 
SQT
SQE
SQT
SQRR −== 12 . 
 
Da definição, tem-se que 0 ≤ R2 ≤ 1. O coeficiente R2 mede a proporção ou 
a porcentagem da variação total em y explicada por x dentro do 
modelo de regressão. O R2 quantifica o grau de ajuste de um conjunto de 
dados à reta de regressão estimada. Quanto mais próximo de 1 estiver R2 
melhor terá sido nosso trabalho para explicar a variação em y, com bxay +=ˆ , e 
maior será a capacidade de previsão de nosso modelo sobre todas as 
observações amostrais, ou seja, R2 nos diz o quão próximos os valores 
estimados (ou previstos) de Y estão de seus valores observados. 
 
O coeficiente R2 é uma medida descritiva. É, às vezes, chamado medida de 
aderência.Por si mesmo, não mede a qualidade do modelo de regressão. 
Não se pode julgar o mérito de um modelo com base somente no valor de seu 
R2. Os parâmetros estimados podem conter informações úteis mesmo quando 
esse número é baixo (como R2=0,32). Isto pode ocorrer, por exemplo, quando 
aplicamos a regressão linear simples no contexto de variáveis econômicas1. 
 
Há outras formas de apresentar R2. Sabemos que ii bxay +=ˆ e y = a + bx . 
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos 
 
ˆ y i − y = b(xi − x ) ⇒ ( ˆ y i − y )2 = b2(xi − x )2. 
 
Fazendo o somatório de ambos os membros da equação, 
 
( ˆ y i − y )2i∑ = b2(xi − x )2i∑ = b2 (xi − x )2i∑ , 
 
obtemos, 
 
 
1 GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 
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17 
 
(18) xxSbSQR
2= , 
 
logo, 
(19) 
yyxx
xy
yy
xx
SS
S
S
SbR
2
22 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
 
Vimos que o coeficiente de correlação linear de Pearson R é dado por 
 
yyxx
xy
SS
S
R = 
 
Então, 
 
(20) 2|| RR += . 
 
Repare que, no ajuste perfeito, ou seja, quando todas as observações se 
encontram na reta ajustada, todos os resíduos são nulos e R2 =1, assim como 
o módulo do coeficiente de correlação linear de Pearson (veja a figura abaixo). 
 
 
 
 
 
Voltando ao exemplo anterior (item 21.4), 
 
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18 
 
SQT = ∑ −i i yy 2)( = yi2 −
yi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
ni
∑ ≈ 2,06 (calculado anteriormente) 
 
SQE = 0883,0)ˆ( 2 =−∑i ii yy 
 
SQR = 972,142217,0 22 =×=xxSb 
 
O coeficiente R2 é dado por 
 
957,0
06,2
42217,0 222 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
yy
xx
S
SbR 
 
O resultado acima nos diz que 95,7% da variação de y é explicada pelo modelo 
de regressão (veja a figura abaixo). Podemos dizer que a reta ajustada tem 
uma boa aderência aos pontos (xi,yi). 
 
 
 
 
 
Exemplo. O coeficiente de determinação de um modelo de regressão linear é 
uma ferramenta de avaliação do grau de ajustamento do modelo aos dados. 
 
A respeito desse coeficiente, assinale a afirmativa incorreta. 
 
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19 
A) Seu valor varia entre 0 e 1. 
B) É invariante a uma mudança de escala das variáveis independentes. 
C) Não diz o quão próximos os valores estimados de Y estão de seus valores 
efetivos. 
D) É uma quantidade não negativa. 
E) Representa a participação relativa da soma dos quadrados da regressão 
sobre a soma dos quadrados total. 
 
Resolução 
 
Análise das alternativas: 
 
A) Vimos que 0≤R2≤ 1, portanto esta afirmativa é CORRETA. 
B) A qualidade de uma regressão não muda se multiplicarmos as variáveis 
independentes por um valor constante (= mudança de escala), portanto esta 
afirmativa é CORRETA. 
C) A afirmação correta é a contrária, ou seja, R2 diz o quão próximos os 
valores estimados (ou previstos) de Y estão de seus valores efetivos ⇒ opção 
INCORRETA. 
D) Opção correta, pois 0≤R2≤ 1. 
E) Vimos que R2 = SQR/SQT. Deste modo, representa a participação relativa 
da soma dos quadrados da regressão sobre a soma dos quadrados total ⇒ 
CORRETA. 
 
GABARITO: C 
 
21.7 Relaxamento dos Pressupostos do Modelo 
 
Heterocedasticidade 
 
Lembremos da seguinte premissa do modelo de regressão linear clássico: 
 
⇒ A variância do termo de erro é sempre constante, ou seja, Var(ei) = 
E[ei2] = σ2 
 
Quando a variância dos erros é constante, dizemos que os erros são 
homocedásticos. Todo o estudo que fizemos até o momento está baseado 
nesta premissa. 
 
Entretanto, muitas vezes no mundo real os erros são heterocedásticos, ou 
seja, suas variâncias não são constantes. Posto em equação, 
 
Var(ei) = E[ei2] = σ2(i). 
 
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20 
 
A heterocedasticidade pode ser causada por várias fatores. Por exemplo, o 
aperfeiçoamento da coleta de dados pode levar a uma diminuição na variância 
dos erros das observações mais recentes. 
 
Autocorrelação 
 
A Autocorrelação ocorre quando não se observa o seguinte pressuposto: 
 
⇒ Os termos de erro são estatisticamente independentes. Isso implica 
que Cov(ei,ej) = E[eiej] = 0, para i ≠ j. 
 
Simbolicamente, quando há autocorrelação, 
 
Cov(ei,ej) = E[eiej] ≠ 0 para i ≠ j. 
 
A autocorrelação dos erros é muito comum em séries temporais (por exemplo, 
o gráfico do índice BOVESPA ao longo dos últimos 10 anos é uma série 
temporal). 
 
Há modelos de regressão linear que “corrigem” os problemas de 
heterocedasticidade e autocorrelação. Entretanto, julgamos desnecessário, até 
mesmo prejudicial (a menos que você tenha tempo de sobra - concurseiro com 
tempo de sobra??), estudá-los para a prova, pois acreditamos ser desprezível 
a probabilidade de serem cobrados. 
 
21.8 Regressão sem o Intercepto 
 
Em certas situações da vida prática, sabemos que a reta de regressão dos 
dados deve passar pela origem. Considere, por exemplo, um estudante de 
engenharia elétrica que está fazendo o levantamento experimental da famosa 
Lei de Ohm, dada por V = RI, em que R é o valor de uma resistência, V é a 
tensão aplicada em um resistor e I é a corrente que atravessa o resistor. Note 
que a equação V = RI passa pela origem do gráfico da tensão (eixo vertical) 
versus corrente (eixo horizontal). O valor da resistência dá a declividade da 
reta. 
 
A regressão sem o intercepto é também chamada regressão sem termo 
constante ou regressão que passa pela origem. Neste caso nosso modelo 
passa a ser 
 
εβ += XY 
 
e a condição imposta passa a ser 
 
min ei
2 =
i
∑ min (yi − ˆ y i)2 = min (yi − bxi)2
i
∑
i
∑ 
 
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21 
 
Aplicando então o método de mínimos quadrados, obtemos as seguintes 
fórmulas para b e sua variância (*) 
 
(21) ∑
∑= 2
i
ii
x
yx
b 
 
(22) ∑= 2
2
)var(
ix
b σ , 
 
em que σ2 é estimado por 
 
(23) 
1
ˆ
2
2
−=
∑
n
eiσ 
 
(*) a prova pode ser encontrada no apêndice do capítulo 6 da referência 
GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2000. 
 
É interessante comparar tais fórmulas com as que se obtêm quando o termo 
de intercepto está incluído no modelo: 
 
b = Sxy
Sxx
= (xi − x )(yi − y )∑
(xi − x )2∑ 
 
∑ −= 2
2
)(
)var(
xx
b
i
σ 
 
ˆ σ 2 = ei
2∑
n − 2 
 
As diferenças entre os dois conjuntos de fórmulas são evidentes: no modelo 
com intercepto usamos somas de quadrados e produtos cruzados (isto é, 
produtos entre X e Y) ajustados em relação à média. Além disso, o número de 
graus de liberdade para calcular 2σˆ é (n-1) na regressão sem o intercepto e 
(n-2) na regressão com intercepto. A estatística 2σˆ tem (n-1) graus de 
liberdade na regressão sem o intercepto porque a obtenção dos iyˆ necessita 
da estimativa de somente um parâmetro do modelo. 
 
Aprendemos, quando estudamos o modelo de regressão linear com intercepto, 
que ∑= 22ˆ ieσ = SQE = SQT – SQR. Vimos que SQR = b2Sxx = b2∑ − 2)( xxi , por 
conseguinte 
 
∑ ∑∑ −−−= 2222 )()( xxbyye iii (regressão com intercepto). 
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22 
 
 
Para o modelo com intercepto zero, pode-se mostrar analogamente que 
 
∑ ∑∑ −= 2222 iii xbye . 
 
Note que as somas dos quadrados de Y e X não são ajustadas pela 
média na fórmula acima. 
 
Se o exercício não mencionar qual é o modelo, sempre resolva a questão 
usando o modelo com intercepto. 
 
Já caiu em prova! (Especialista em Regulação de Aviação 
Civil/ANAC/2009/UnB-CESPE). Um estudo sobre a duração de uma 
operac ̧ão de carregamento mostrou haver relação linear na forma Yk = βXk + 
εk, em que Yk é o tempo (horas) do carregamento k; Xk é o volume total (em 
toneladas) do carregamento k; β é o coeficiente angular; e εk representa um 
erro aleatório com média zero e variância σ2. 
 
De uma amostra aleatória de 341 operações de carregamento, 
observam-se os seguintes resultados: ∑
=
=
341
1
988
k
kkYX ; ∑
=
=
341
1
2 704.1
k
k
X ; ∑
=
=
341
1
682
k
k
X ; 
∑
=
=
341
1
2 681
k
k
Y ; ∑
=
=
341
1
341
k
k
Y . 
 
Com base nessas informac ̧ões, julgue os itens a seguir. 
 
O coeficiente R2 (ou coeficiente de determinação ou explicação) do modelo 
apresentado é igual a 0,81, o que indica que 81% da variação total do tempo 
de carregamento são explicadas pelo volume total do carregamento. 
 
Resolução 
 
Note que a regressão passa pela origem, pois o modelo especificado é Yk = βXk 
+ εk. 
 
O coeficiente R2 mede a proporção da variação total em Y (tempo em horas do 
carregamento) explicada por X (volume total em toneladas do carregamento) 
dentro do modelo de regressão. Não precisamos calcular o valor de R2 para 
resolver o item, pois o mesmo afirma que “81% da variação total do tempo de 
carregamento são explicadas pelo volume total do carregamento”. Ora, quem 
explica é o modelo de regressão e não a variável independente X. Logo o item 
está errado. 
 
Determinemos o valor de R2. Aprendemos que a correlação linear entre Y e X, 
dada por R, pode ser calculada pela fórmula 
 
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23 
 
yyxx
xy
SS
S
R = 
 
Sxy = XkYk −
Xk∑( )× Yk∑( )
n∑ = 988 − 682 × 341341 = 306 
Sxx = X k2 −
Xk∑( )2
n∑ =1.704 − 682 × 682341 = 340 
Syy = Yk2 −
Yk∑( )2
n∑ = 681 − 341 × 341341 = 340 
 
Logo, R = 306
340 × 340 =
306
340
= 0,9 ⇒ R2 = 0,81. 
 
Você percebeu a “pegadinha” para os desatentos? O coeficiente de 
determinação é, de fato, igual a 81%. Mas o problema é que a definição de R2 
está errada. Moral da história: leia os itens com todo a atenção, pois a sua 
futura carreira no serviço público depende disso! 
 
GABARITO: E 
 
A correlação linear entre o tempo de carregamento e o volume total do 
carregamento é superior a 0,85. 
 
Resolução 
 
O item está certo, pois vimos que R = 0,9. Calcular o R no item anterior não 
foi uma perda de tempo! 
 
GABARITO: C 
 
Sendo os erros aleatórios distribuídos segundo uma normal, então a estimativa 
de máxima verossimilhança para o coeficiente β é inferior a 0,60 e superior a 
0,55. 
 
Resolução 
 
A banca “pegou pesado” neste item, pois assumiu que o candidato soubesse a 
seguinte propriedade (memorize para a prova!): 
 
⇒ Se admitirmos os erros aleatórios do modelo de regressão distribuídos 
normalmente, os estimadores de mínimos quadrados e de máxima 
verossimilhança dos coeficientes da regressão são idênticos (GUJARATI, D. N. 
“Econometria Básica”, 3ª Ed., Pearson Makron Books, 2000). 
 
Trata-se de uma regressão sem o intercepto. Logo, 
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24 
 
 
b = XkYk∑
Xk
2∑ =
988
1.704
= 0,58. 
 
Note que 0,55 < b = 0,58 < 0,60 ⇒ item certo. 
 
GABARITO: C 
 
Sendo y , x e βˆ , respectivamente, a média dos tempos de carregamento, a 
média dos volumes totais do carregamento e a estimativa de mínimos 
quadrados do coeficiente angulardo modelo, então xy βˆ= . 
 
Resolução 
 
O modelo é Yk = βXk + εk. Logo, 
 
E(Yk) = E(βXk + εk) = E(βXk) + E(εk) = βE(Xk) + E(εk) = βE(Xk), pois E(εk) = 0. 
 
Note que E(Yk) = βE(Xk) ≠ βˆ E(Xk). Item errado. 
 
Nota: mais uma “pegadinha” da banca. Errou a questão quem confundiu a 
estimativa do coeficiente angular, dada por βˆ , com o próprio coeficiente 
angular β. 
 
GABARITO: E 
 
21.9 Intervalos de Confiança 
 
A partir deste ponto, abandonaremos a notação α e β para os parâmetros do 
modelo εβα ++= XY de RLS e adotaremos em seus lugares β1 e β2, 
respectivamente. A razão disso é que empregaremos o termo α daqui para 
frente para designar o nível de significância do teste, como logo veremos. 
 
O modelo de RLS fica então na forma 
 
(24) Y = β1 + β2X + ε 
 
em que 1βˆ e 2βˆ denotam as estimativas de β1 e β2 , respectivamente. 
 
Se os pressupostos do modelo (24) se verificam, inclusive o da normalidade 
dos erros, pode-se provar que 
 
(25) 222
2
ˆ
−=− ntsβ
ββ
)
 
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25 
 
segue distribuição t de Student com n–2 graus de liberdade, em que 
xxSs /ˆ
22
ˆ
2
σβ = é a variância amostral de 2βˆ (lembre que 2σˆ denota a variância 
amostral dos resíduos do modelo). 
 
O número de graus de liberdade (GL) é o número de observações subtraído do 
número de parâmetros do modelo. No modelo de RLS, GL = n-2. 
 
Da tabela auxiliar da t de Student encontramos valores críticos tc tais que 
P{−tc ≤ t ≤ tc} =1 − α . Segue-se que αββ β −=≤−≤− 1}/)ˆ({ 22 cc tstP ) , e, rearranjando 
a inequação anterior, obtemos 
 
(26) αβββ ββ −=+≤≤− 1}{ 22 222 ))
))
ststP cc 
 
Exemplo. Considere o nível de significância α = 0,05 = 5% e a estatística t 
com 30 graus de liberdade. Podemos ver na figura abaixo que α−1 = 0,95 = 
95% é a área sob a densidade t (curva azul) no intervalo -2,042 ≤ t ≤ 2,042 
(tc = 2,042 para α= 5%, confira!) e 2α = 0,025 = 2,5% é a área de cada 
uma das caudas da distribuição. 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Distribuição da estatística t, N=30
t
D
en
si
da
de
Prob = 0.025
t>2.042
Prob = 0.025
t<-2.042
Area = 0,95
-2.042<t<2.042 
 
 
 
O intervalo observado 
) β 2 ± tcs ) β 2 é denominado intervalo com )%1(100 α− de 
confiança para o parâmetro 2β . A interpretação de um intervalo de confiança é 
que se um número infinito de amostras aleatórias for coletado e um intervalo 
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26 
com )%1(100 α− de confiança para 2β for calculado a partir de cada amostra, 
então )%1(100 α− desses intervalos conterão o valor verdadeiro de 2β . 
 
Na prática, obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos uma 
estimativa do intervalo de confiança. Uma vez que esse intervalo conterá ou 
não o valor verdadeiro de 2β , não é razoável fixar um nível de probabilidade 
para essa realização. A afirmação apropriada é a seguinte: o intervalo 
observado contém o valor verdadeiro de β, com )%1(100 α− de confiança. Essa 
afirmação tem uma interpretação de freqüência; ou seja, não sabemos se a 
afirmação é verdadeira para essa amostra específica, mas o método usado 
para obter o intervalo 
22 ββ )
)
stc± resulta em afirmações corretas em )%1(100 α− 
do tempo 
 
Para o intercepto1β , a estimação dos intervalos de confiança (IC) funciona 
rigorosamente da mesma maneira que para 2β . Assim, podemos reescrever 
(26) como 
 
(27) αβββ ββ −=+≤≤− 1}{ 11 111 ))
))
ststP cc 
 
em que 
 
(28) 
 
ss ) β 1 =
ˆ σ 2 xi2∑
nSxx
 
 
Exemplo. Retornemos ao exemplo de RLS que temos utilizado ao longo desta 
aula. A reta estimada é xy 217,0174,0ˆ += e as distribuições estimadas de 1β e 2β 
são: 
 
⎩⎨
⎧
)008938,0;174,0(:
)0003505,0;217,0(:
1
2
N
N
β
β
 
 
Se quisermos calcular os intervalos de confiança de 95% para 1β e 2β , temos 
de escolher corretamente o valor crítico tc. Lembre que n=8 observações. 
Logo, t6 = 2,447, o que implica 2,5% de área para cada cauda. 
 
 
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27 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Distribuição da estatística t, N=30
t
D
en
si
da
de
Prob = 0.025
t>2.447
Prob = 0.025
t<-2.447
 
 
 
O IC de 2β no nível de 95% de confiança é dado por 
 
046,0217,00003505,0447,2217,0
22
±=×±=± ββ )
)
stc . 
 
O IC de 1β no nível de 95% de confiança é dado por 
 
231,0174,0008938,0447,2174,0
11
±=×±=± ββ )
)
stc . 
 
Já caiu em prova! (TÉCNICO DE DEFESA AÉREA E CONTROLE DE 
TRÁFEGO AÉREO – DECEA/2009/CESGRANRIO) Uma determinada 
empresa resolveu estudar a relação do ativo total (em bilhões de reais) e a 
receita líquida (em milhões de reais) das 17 maiores instituições financeiras do 
país. O estudo forneceu os seguintes resultados: 
 
Estatística de regressão 
R2 0,55 
R2 Ajustado 0,52 
Erro padrão 2,86 
Observações 17 
 
 
 
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28 
 Coeficientes Erro padrão T valor-P 
Interseção 4,5 1,43 3,1 0,007 
Receita 
líquida 
0,1 0,02 4,3 0,001 
 
Com base nos resultados, o intervalo de confiança de 95%, bilateral, para a 
inclinação da reta, β, é, aproximadamente, 
(A) 0,1 ± 1,64 x 0,02 
(B) 0,1 ± 1,75 x 0,02 
(C) 0,1 ± 1,96 x 0,02 
(D) 0,1 ± 2,13 x 0,02 
(E) 0,1 ± 4,30 x 0,02 
 
Resolução 
 
Seja o modelo de RLS Y = β1 + β2X + ε , em que a inclinação da reta β2 é o β 
mencionado pelo enunciado, X é a variável independente (ativo) e Y é a 
variável dependente (receita líquida). 
 
Pede-se o intervalo de confiança (IC) de β2. Vimos ele é dado por 
 
02,03,41,0
22
×±=± ββ )
)
stc ⇒ opção correta (E), certo? ERRADO! Você caiu numa 
“pegadinha” da banca. 
 
O valor T da tabela é a estatística de teste da Hipótese nula Ho: β2=0. 
O IC é dado por 
22 ββ )
)
stc± , onde tc é o valor crítico de t extraído da tabela 
auxiliar t de Student. 
 
No modelo de RLS, para n=17 observações, temos n–2 = 15 graus de 
liberdade (GL). Para o IC bilateral 95% de confiança e 15 GL, tc=2,131 ≅ 2,13. 
Como 1,02 =β
)
 e 02,0
2
=β)s , temos que: 
 
IC: 02,013,21,0
22
×±=± ββ )
)
stc . 
 
Nota: a estatística “R2 Ajustado” é definida no estudo da regressão linear 
múltipla, que está fora do escopo desta aula. Essa estatística não é usada na 
RLS. Na prova, você teria condições de resolver esta questão mesmo sem 
saber a definição de R2 Ajustado. 
 
GABARITO: D 
 
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29 
 
21.10 Testes de Hipóteses 
 
A hipótese nula H0 
 
A hipótese nula é geralmente o oposto do que queremos provar. Por exemplo, 
no modelo de RLS εββ ++= XY 21 , ao calcularmos 2βˆ estamos supondo que 
existe uma relação entre as variáveis X e Y. Assim, uma hipótese nula (H0) 
usualmente adotada é H0: 2β =0. 
 
A hipótese alternativa H1 
 
A hipótese alternativa contradiz a hipótese nula. Por exemplo, quando a 
hipótese nula é H0: 2β = 0 a hipótese alternativa pode ser H1: 2β ≠0 ou H1: 
2β <0 ou ainda H1: 2β >0. 
 
A preocupação de definir as hipóteses é do examinador, nós só teremos de 
testá-las. E para isso precisaremos de uma estatística de teste. 
 
Vimos que 
2
ˆ22 /)ˆ( βββ s− segue distribuição t com n-2 graus de liberdade. Se a 
hipótese nula H0: 2β = k, em que k é uma constante, for aceita, então 
2
ˆ22 /)ˆ( ββ sktn −=− também possui distribuição t com n-2 graus de liberdade. Esta 
será a estatística usada no teste. Ressaltamos que, na maioria dos exames, a 
hipótese nula é H0: 2β =0 e tn −2 = ˆ β 2 /s ˆ β 2, embora isso nem sempre ocorra. 
 
A Região de Rejeição 
 
Se a estatística tn −2 = ( ˆ β 2 − k) /s ˆ β 2 for muito grande em módulo (valor absoluto), 
rejeitamos H0. A lógica está no fato de, se 2βˆ ficar muito distante de k, 
provavelmente H0 está errada. 
 
Mas o quão grande tem de ser a estatística acima para rejeitarmos H0 em 
favor de H1: 2β ≠ 0? A resposta a essa pergunta é a escolha de um nível de 
significância α . A região de rejeição é composta por valores t tais que P{t ≥ 
tc} = P{t ≤ -tc} = α/2, conforme ilustrado pela figura abaixo. 
 
 
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30 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Distribuição da estatística t, N=30
t
D
en
si
da
de
Prob = α/2
t>tc
Prob = α/2
t<-tc
P(-tc<t<tc) = 1-α
NÃO REJEITAR H0 REJEITAR H0REJEITAR H0
 
 
 
Tipos de erro (revisão!) 
 
Sempre que aplicamos um teste de hipóteses corremos o risco de errar. Há 
dois tipos de erro. 
 
Erro tipo I: rejeitar H0 sendo ela verdadeira. Neste caso, H0 é verdadeira 
e P{−tc ≤ ( ˆ β 2 − k) /s ˆ β 2 ≤ tc} =1 − α , pois ( ˆ β 2 − k) /s ˆ β 2 segue a distribuição tn-2. Assim, a 
probabilidade de cometer um erro tipo I é α . 
 
Erro tipo II: aceitar a hipótese H0 sendo ela falsa. Entretanto, essa 
probabilidade não pode ser calculada, pois não sabemos o verdadeiro valor do 
parâmetro. Mas podemos dizer que a probabilidade de um erro nível II 
aumenta à medida que diminui a probabilidade de um erro nível I, quando se 
escolhe um menor nível de significância α . 
 
Exemplo. Com os dados do exemplo do exemplo anterior, teste a hipótese H0: 
β1=0 em favor da hipótese alternativa H1: β1≠0 nos níveis de 10% e 20% de 
significância. 
 
As mesmas fórmulas enunciadas para β2 se aplicam para β1 . A estatística de 
teste é 
 
tn −2 = ( ˆ β 1 − k) /s ˆ β 1 = 0,174 / 0,008938 =1,84 . 
 
a) α = 0,10 
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31 
 
 
P{t ≥ tc} = P{t ≤ -tc} = α /2= 0,05 
 
Como n=8, temos n–2 = 6 GL. Da tabela auxiliar, tc=1,94. Como −tc < tn −2 < tc , 
tn-2 se encontra na região de aceitação. Portanto, não rejeitamos a hipótese 
nula no nível de significância de 10%. 
 
b) α = 0,20 
 
P{t ≥ tc} = P{t ≤ -tc} = α /2= 0,10 
 
Da tabela auxiliar, tc = 1,44. Como tn-2>tc, tn-2 encontra-se na região de 
rejeição. Portanto, a hipótese nula é rejeitada no nível de significância 
de 20%. 
 
Testes unilaterais (unicaudais) 
 
Até agora estudamos os testes bilaterais ou bicaudais, que se caracterizam 
pela hipótese nula H0: iβ =0 (i=1,2), contra a alternativa H1: iβ ≠0. 
 
Se rejeitarmos H0 em favor da alternativa H1: iβ ≠0, estaremos considerando 
que iβ pode assumir qualquer valor negativo ou positivo, menos o zero. 
Ocorre às vezes, pela natureza das variáveis, que iβ não pode ser negativo e, 
dessa forma, estabelecemos a hipótese alternativaH1: iβ >0. O que você 
precisa saber para a prova está explicado na sequência. 
 
Em um teste bilateral, a região de rejeição é composta por valores t tais que 
P{t ≥ tc} = P{t ≤ -tc} = α /2. Em um teste unilateral à direita, a região de 
rejeição é composta por valores t tais que P(t≥tc) = α . Na próxima figura, 
temos α = 5% e tc = 1,697 (30 graus de liberdade). 
 
 
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32 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Distribuição da estatística t
t
D
en
si
da
de
Rejeitar se t > 1.697
Prob = 0.05
 
 
 
O restante do procedimento é idêntico ao já estudado. 
 
21.11 Análise de Variância 
 
Seja o modelo de RLS dado por εββ ++= XY 21 e sua reta estimativa 
xy 21 ˆˆˆ ββ += . Vimos no item 21.6 que SQT = SQR + SQE, ou seja, 
 
∑∑∑ −+−=− 222 )ˆ()ˆ()( iiii yyyyyy . 
 
A expressão acima é a equação básica da análise de variância ou ANOVA 
(ANalysis Of VAriance). Veremos que a análise de variância pode ser usada 
para testar a significância da regressão. Já aprendemos que os 
componentes ∑ − 2)ˆ( yyi (SQR) e ∑ − 2)ˆ( ii yy (SQE) medem, respectivamente, a 
variação em y devida à reta de regressão e a variação residual deixada sem 
explicação pela reta de regressão. 
 
A ideia é usar a equação da ANOVA para testar a hipótese de não haver 
regressão (β2=0). Se não há regressão, 1ˆˆ β=y e y=1ˆβ (pois 
yxyxy =−=−= .0ˆˆ 21 ββ ). Portanto, 0)()ˆ()ˆ( 2212 ∑∑∑ =−=−=− yyyyyi β (SQR é 
nula). Neste caso, SQT = SQE e isto quer dizer que a variância total de Y (σy2) 
é igual a variância residual σ2 (variância do erro aleatório ε do modelo), ou 
seja, σy2 = σ2. 
 
Vamos agora dividir os termos dos lados esquerdo e direito da equação da 
ANOVA pela variância residual σ2: 
 
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33 
(yi − y )2∑
σ2 =
( ˆ y i − y )2∑
σ2 +
(yi − ˆ y i)2∑
σ2 . 
 
Observe que a divisão de SQT por σ2 (lado esquerdo da expressão acima), 
 
1
σ2 (yi − y )
2∑ = yi − y σ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 
2
=∑ χn −12 , 
 
resulta numa variável aleatória qui-quadrado com n-1 graus de liberdade, pois 
assumimos que σy2 = σ2 (lembre que a média amostral y causa a subtração de 
1 grau de liberdade na estatística). 
 
Seguindo a mesma linha de raciocínio, temos que a estatística 
 
1
σ2 (yi − ˆ y i)
2∑ = yi − ˆ y iσ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 
2
=∑ χn −22 
 
é uma variável aleatória qui-quadrado com n-2 graus de liberdade (a 
diminuição de 2 graus de liberdade é causada pela estimação dos parâmetrods 
1ˆβ e 2βˆ ). 
 
Ainda falta analisar a estatística 
( ˆ y i − y )2∑
σ2 =
ˆ β 22Sxx
σ2 (lembre que xxSSQR
2
2βˆ= ). A 
variável aleatória 2βˆ é normal. Sendo 02 =β por hipótese, temos que 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
xxS
N
2
2 ,0~ˆ
σβ . Considere a variável normal reduzida 
 
z = ˆ β 2 − 0σ / Sxx =
ˆ β 2 Sxx
σ . 
 
Elevando ao quadrado ambos os membros da expressão acima, obtemos, 
 
z2 = ˆ β 2 − 0σ / Sxx
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ 
2
= ˆ β 2
2Sxx
σ 2 =
SQR
σ 2 , 
 
e concluímos que a divisão de SQR por σ2 resulta numa variável aleatória qui-
quadrado com 1 grau de liberdade. 
 
Assim, a equação 
 
(yi − y )2∑
σ2 =
( ˆ y i − y )2∑
σ2 +
(yi − ˆ y i)2∑
σ2 
 
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34 
pode ser reescrita como 
 
2
2
2
1
2
1 −− += nn χχχ , 
 
se, de fato, é válida a hipótese 02 =β . 
 
Aprendemos na aula 18 que uma variável resultante da soma de duas outras 
variáveis independentes 2
1n
χ e 2
2n
χ é uma variável 2
21 nn
χ + . Uma consequência da 
propriedade de aditividade da qui-quadrado é a seguinte: se três variáveis 2nχ , 
2
1n
χ e 2
2n
χ são tais que 2nχ = 
2
1n
χ + 2
2n
χ , então a condição necessária e suficiente 
para que 2
1n
χ e 2
2n
χ sejam independentes é que n = n1 + n2. 
 
(*) o termo técnico seria “corolário”. 
 
Concluímos que 21χ = (SQR/σ2) e 2 2−nχ = (SQE/σ2) são variáveis qui-quadrado 
independentes, pois o número de graus de liberdade de SQT/σ2 é n-1, caso a 
premissa 02 =β seja válida. 
 
Considere a estatística F 
 
(29) F =
SQR /σ2
1
SQE /σ2
n − 2
= χ1
2 /1
χn −22 /(n − 2) =
SQR /1
SQE /(n − 2) =
ˆ β 22Sxx
ˆ σ 2 , 
 
em que 2σˆ denota a variância residual amostral. Note que F tem 1 grau de 
liberdade no numerador e n-2 graus de liberdade no denominador. Então (29) 
pode ser usada para se testar, pela ANOVA, a hipótese H0 de não haver 
regressão. O teste será unilateral, uma vez que, sendo falsa H0, o numerador 
tenderá a crescer. A variável (29) deverá ser comparada com o valor crítico 
F1,n −2,α em que α é o nível de significância do teste de hipóteses. Daremos um 
exemplo de teste pela ANOVA mais adiante. 
 
O teste acima descrito é equivalente ao teste bilateral da hipótese nula 02 =β , 
porque demonstra-se que o F de (29) é o quadrado do tn-2 quando 02 =β , ou 
seja, F1,n-2 = t2n-2. 
 
Podemos resumir tudo o que foi visto neste item na tabela de ANOVA abaixo 
(memorize para a prova!). 
 
 
 
 
 
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35 
Fonte de 
Variação 
Soma de 
Quadrados 
Graus de 
Liberdade 
Quadrado 
Médio 
F Fα 
Regressão SQR 1 SQR/1 
)2/(
1/
−nSQE
SQR
 
F1,n-2,α Residual SQE n-2 SQE/(n-2) 
Total SQT n-1 
 
 
Pelo que foi visto até o momento, tanto faz usar t ou F no modelo de RLS. Na 
verdade, F é muito útil para a inferência do modelo de regressão linear 
múltipla, cujo estudo está fora do escopo desta aula. É por isso que demos 
maior ênfase ao estudo dos testes com a estatística t. 
 
Nota: cuidado com a notação. Alguns autores não adotam as mesmas 
abreviaturas que são usadas neste curso. Vimos que 
 
SQR = Soma dos quadrados da regressão = ( ˆ y i − y )2i∑ (variação explicada). 
 
Alguns autores a chamam de Soma dos Quadrados Explicada (SQE) pela 
regressão. 
 
Vimos também que 
 
SQE = Soma dos quadrados dos erros = (yi − ˆ y i)2i∑ (variação residual). 
 
Alguns autores a chamam de Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR). 
 
Neste caso inverte-se a notação. Na prova, o examinador terá de explicar a 
qual soma estará se referindo. Você tem apenas de estar bem atento. 
 
Exemplo. Testar pela ANOVA a existência de regressão linear para os dados 
do exemplo do item 21.4, ao nível de 10% de significância. Considere F1;6;0,1 = 
3,776. 
 
Dados: 174,01ˆ =β (intercepto estimado), 217,0ˆ2 =β (inclinação estimada), Syy = 
2,06; Sxx = 2,06, Sxy = 9,1 e n = 8. 
 
Solução: 
 
Vamos testar as hipóteses 
 
 H0: β2 = 0, 
 H1: β2 ≠ 0. 
 
SQR = 978,142217,0ˆ 222 ≈×=× xxSβ . 
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36 
SQE = SQT – SQR = Syy – SQR = 2,06 – 1,978 = 0,082. 
 
F = SQR/[SQE/(n–2)] = 1,987/(0,082/6) ≅ 144,73. 
 
Como F = 144,73 >> 3,776, rejeitamos H0 e concluímos que há regressão. A 
próxima figura ilustra a distribuição amostral de F. A área azul corresponde a 
P(F > fc) = 10%, em que o valor crítico fc = 3,776. 
 
0 20 40 60 80 100 120 140
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Distribuição da estatística F
f
D
en
si
da
de
P(F > 3.776) = 0,10
curva F
área = 10%
 
 
Fonte de 
Variação 
Soma de 
QuadradosGraus de 
Liberdade 
Quadrado 
Médio 
F Fα 
Regressão 1,978 1 1,978 =
014,0
978,1
 
144,73 
3,776 Residual 0,082 6 0,014 
Total 2,060 7 
 
 
Já caiu em prova! (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF). A partir de 
uma amostra aleatória (X1 ,Y1), (X2 ,Y2),..., (X20 ,Y20) foram obtidas as 
estastísticas: 
 
médias X = 12,5 e Y = 19, variâncias amostrais sx
2 = 30 e sy
2 = 54 e 
covariância Sxy = 36. 
 
Qual a reta de regressão estimada de Y em X? 
 
A) ˆ Y i =19 + 0,667Xi 
B) ˆ Y i =12,5 +1,2Xi 
C) ˆ Y i = 4 +1,2Xi 
D) ˆ Y i =19 +1,2Xi 
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37 
E) ˆ Y i = 80 + 22,8Xi 
 
Resolução 
 
A reta a estimar é 
 
ii XY 21 ˆˆˆ ββ += , 
 
em que o parâmetro 2βˆ (estimativa da declividade) é dado por 
 
ˆ β 2 = SxySxx =
(Xi − X )(Yi −Y )i=1
n∑
(Xi − X )2i=1
n∑ , 
 
e o parâmetro 1ˆβ (estimativa do intercepto) por 
 
XY 21 ˆˆ ββ −= . 
 
Observe que estamos usando uma notação diferente do enunciado: a 
quantidade Sxy definida acima não é a covariância entre X e Y. 
 
Podemos calcular b adaptando a fórmula dada acima: 
 
ˆ β 2 =
(Xi − X )(Yi −Y )i=1
n∑
n −1
(Xi − X )2i=1
n∑
n −1
= sxy
sx
2 . 
 
Ou seja, 2βˆ pode ser calculado, de forma alternativa, pela razão entre a 
covariância amostral sxy (estamos usando uma notação diferente da do 
enunciado, mas que está coerente com a desta aula!) e a variância amostral 
sx
2. Logo, 2,130/36ˆ2 ==β e 0,45,122,1191ˆ =×−=β . Deste modo, a reta de 
regressão estimada de Y em X é ˆ Y i = 4 +1,2Xi. 
 
GABARITO: C 
 
Já caiu em prova! (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF). Com os 
dados da questão anterior, determine o valor da estatística F para testar a 
hipótese nula de que o coeficiente angular da reta do modelo de regressão 
linear simples de Y em X é igual a zero. 
 
A) 144 
B) 18 
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38 
C) 36 
D) 72 
E) 48 
 
Resolução 
 
Sabemos que F = SQR
SQE /(n − 2) . 
 
80,820]3019[44,1])1[(2,1ˆ 2222 =×=−×== xxx snSSQR β 
 
026.15419)1( 2 =×=−== yyy snSSQT 
 
20,20580,820026.1 =−=−= SQRSQTSQE 
 
Assim, 
 
72
18/20,205
80,820 ==F 
 
GABARITO: D 
 
21.12 Memorize para a prova 
 
- Equação do modelo de RLS: εβα ++= XY , em que α é o intercepto, β é a 
declividade e ε denota o erro aleatório do modelo, suposto N ~(0, σ2), isto é, 
normalmente distribuído com média nula e variância σ2. 
 
- Sxx = xi2 −
xi∑( )2
n∑ 
 
- Syy = yi2 −
yi∑( )2
n∑ 
 
- Sxy = xiyi −
xi∑( )× yi∑( )
n∑ 
 
- Reta estimativa: bxayxYE +== ˆ)|( 
 
- 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
xbya
S
S
b
xx
xy
 
 
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39 
- ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
xxS
Nb
2
,~ σβ 
 
- ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∑
n
x
bNa i
2
)var(,~ α 
 
- SQT = SQR + SQE (Equação da ANOVA) 
 
- yyi SyySQT =−= ∑ 2)( 
 
- ∑ =−= xxi SbyySQR 22)ˆ( 
 
- ∑∑ =−= 22)ˆ( iii eyySQE , em que os ie são os resíduos do modelo. Os resíduos 
são realizações do erro aleatório do modelo. 
 
- ∑ ∑∑ −−−== 2222 )()( xxbyyeSQE iii 
 
- variância dos resíduos: ˆ σ 2 = ei
2∑
n − 2 =
SQE
n − 2 ⇒ é a estimativa da variância σ
2 de ε. 
 
- Coeficiente de determinação: 
SQT
SQE
SQT
SQRR −== 12 
 
- Estatística t para testar se há regressão (H0: β = 0): 
bs
kbt −= , em que 
xxS
s
b
2
2 σˆ= . 
 
- Intervalo de confiança para β: bcstb ± . 
 
- Estatística F: 
)2( −= nSQE
SQRF . 
 
 
 
 
 
 
- ANOVA: 
 
Fonte de 
Variação 
Soma de 
Quadrados 
Graus de 
Liberdade 
Quadrado 
Médio 
F Fα 
D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8
D a n i e l a M i t i W a d a , C P F : 2 2 3 5 1 2 7 1 8 5 8
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40 
Regressão SQR 1 SQR/1 
)2/(
1/
−nSQE
SQR
 
F1,n-2,α Residual SQE n-2 SQE/(n-2) 
Total SQT n-1 
 
- Regressão sem o intercepto: εβ += XY : 
 
⇒ b = xiyi∑
xi
2∑ , ∑= 2
2
)var(
ix
b σ e ˆ σ 2 = ei
2∑
n −1 
 
⇒ SQE = ei2∑ = yi2 − b2 xi2∑∑ 
 
- Se admitirmos os erros aleatórios do modelo de regressão distribuídos 
normalmente, os estimadores de mínimos quadrados e de máxima 
verossimilhança dos coeficientes da regressão são idênticos. 
 
21.11 Exercícios de Fixação 
 
1. Ajuste o modelo linear simples Yi = α + βXi + ε i para os dados da tabela abaixo 
e determine o resíduo correspondente a X=7 e Y=15. 
 
X 5 6 7 9 11 12 
Y 20 19 15 12 12 8 
 
A) 1,08 
B) 1,42 
C) -0,71 
D) -1,42 
E) -1,08 
 
2. Seja o modelo Yi = α + βXi + ε i. São dados: 
 
60=∑ ix 12602 =∑ ix 320=∑ iy 
 
160002 =∑ iy 2400=∑ ii yx 
 
n = 10 observações 
 
Calcule s2. Dica: SQE = SQT − SQR = Syy − b2Sxx 
 
A) 5760 
B) 720 
C) 550,4 
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41 
D) 688 
E) 60 
 
Julgue o item a seguir. 
 
3. No modelo Yi = α + βXi + ε i os estimadores de mínimos quadrados de α e β são 
os de menor variância possível. 
 
(Analista BACEN - Área 4/2006/FCC) Considere as informações a seguir 
para resolver as questões de números 4 e 5. 
 
Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais 
em pesquisa e desenvolvimento (X), em milhares de reais, e o acréscimo anual 
nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por utilizar o modelo 
linear simples Yi = α + βXi +ε i, em que Yi é o acréscimo nas vendas no ano i, Xi é 
o valor gasto em pesquisa e desenvolvimento no ano i e εi o erro aleatório com 
as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples(α e β 
são parâmetros desconhecidos). Considerou para o estudo as seguintes 
informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa: 
 
Yi =160
i=1
10∑ Xi =100
i=1
10∑ XiYi =1.900
i=1
10∑ 
 
Xi
2 =1.200
i=1
10∑ Yi2 = 3.060
i=1
10∑ 
 
4. Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, 
obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma 
previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se 
considerou para o gasto em pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi 
 
A) 14,0 
B) 13,75 
C) 13,0 
D) 12,4 
E) 12,0 
 
5. Montando o quadro de análise de variância, tem-se que 
 
A) a variação residual apresenta um valor igual a 100. 
B) o valor da estatística F necessária para o teste de existência da regressão é 
igual a nove. 
C) o valor do correspondente coeficiente de determinação (R2) é igual a 90%. 
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42 
D) a variação total apresenta um valor igual a 550. 
E) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão, apresenta um 
valor igual a 500. 
 
(Analista BACEN – 2001/ESAF) As questões 6 e 7 dizem respeito ao 
enunciado seguinte. 
 
A Cia. Delta presta serviço de manutenção a uma marca de microcomputador. 
O gerente da Cia. Delta está interessado em estudar a associação existente 
entre o tempo (y) em minutos gasto em um atendimento e o número (x) de 
micros atendidos. 
 
Neste contexto anota as realizaçõesyt e xt dessas variáveis em 16 chamadas 
de serviço. O gerente postula o modelo linear Yt = α + βXt +ε t, t=1...16, onde α 
e β são parâmetros desconhecidos e os εt são erros não correlacionados com 
média zero e variância constante σ2. Os resultados obtidos com o ajuste pelo 
método de quadrados mínimos para esse modelo são apresentados a seguir. 
 
Parâmetro Estimativa Desvio-padrão 
α -2,3 2,6 
β 14,7 0,5 
σ2 20 - 
 
Sabe-se que (yt − m)2 =14.000t∑ , onde m é o tempo médio das 16 chamadas. 
 
6. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de determinação do modelo 
linear. 
 
A) 0,98 
B) 0,90 
C) 0,88 
D) 0,28 
E) 0,20 
 
7. Assinale a opção que dá a estimativa do aumento esperado no tempo de 
atendimento decorrente do aumento de uma unidade no número de micros 
atendidos. 
 
A) 17,0 
B) 12,4 
C) -2,3 
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43 
D) 0,2 
E) 14,7 
 
8. No ajuste do modelo linear simples Yi = α + βXi + ε i são dados: 
 
196=∑ ix 160=∑ iy 3318=∑ ii yx 
 
a = -11,5 n = 28 observações 
 
Calcule ∑ 2ix . 
 
A) 2198 
B) 2265,5 
C) 2450 
D) 3318 
E) 893,5 
 
Julgue o item a seguir. 
 
9. Sejam dados a tabela abaixo e o modelo Y = βX + ε 
 
X 10 12 14 16 18 
Y 8 11 13 15 19 
 
A estimativa de mínimos quadrados de β é maior que um. 
 
(Analista BACEN – 1997/CESPE) Para as questões de 10 a 14, utilize as 
informações a seguir. 
 
O gerente do setor de compras de uma organização bancária deseja estudar 
um modelo de predição do tempo gasto para o processamento de faturas 
relativas à importação de equipamentos eletrônicos. Durante trinta dias, foram 
coletados dados relativos ao tempo de processamento das faturas (em horas) 
e o número de faturas processadas. Considerando tratar-se de uma relação 
linear, cuja variável dependente é o TEMPO, os dados foram processados e os 
resultados preliminares são apresentados nas tabelas a seguir. 
 
 
 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
Fontes Graus de Soma de Quadrado Valor F Prob > f 
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44 
 Liberdade Quadrado Médio 
Modelo 1 25,94382 
 
25,94382 
 
232,220 
 
0,0001 
 
Erro 
 
28 3,12818 
 
0,11172 
 
 
Total 
 
29 29,07200 
 
 
 
 
R Quadrado (Coeficiente de 
determinação) 
 
C.V. ( Coeficiente de Variação ) 
 
0,8924 16,38464 
 
ESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS 
 
 
Variável 
 
Graus de 
Liberdade 
Estimativas 
 
Erro 
Padrão 
T 
 
Prob 
>│T│ 
INTERCEPTO 
 
1 0,402375 
 
0,12358250 
 
3,256 
 
0,0030 
 
FATURAS 
 
1 0,012607 
 
0,00082729 
 
15,239 
 
0,0001 
 
 
Representando por Yi o tempo gasto e por Xi o número de faturas processadas 
no dia i, julgue os itens de 10 a 14. 
 
10. O modelo estimado é igual a E (Yi) = 0,402375 + 0,012607Xi + εi, em que 
E (Yi) representa o tempo médio e εi representa o resíduo estimado para o i-
ésimo dia. 
 
11. O resultado obtido indica que a cada aumento de uma fatura processada 
corresponde um aumento de 0,012607 no tempo esperado estimado. 
 
12. Para o modelo proposto, o teste de adequabilidade do modelo é 
equivalente a testar Ho: β1 = 0 contra Ha: β1 ≠ 0, em que β1 é o parâmetro 
associado à variável que indica o número de faturas processadas a cada dia. 
 
13. Para que o analista rejeite a hipótese nula Ho: INTERCEPTO = 0, o nível de 
significância usado deve ser inferior a 0,003. 
 
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45 
14. Aproximadamente 16,38% da variação no tempo de processamento são 
explicados pela variação no número de faturas processadas. 
 
15. São dados para o modelo εβα ++= XY 
 
36=∑ ix 1622 =∑ ix 0=∑ iy 270=∑ ii yx 
 
50,13ˆ 2 =σ 12=n 
 
Determine a estatística t para testar a hipótese H0: β = 0 
 
A) 10 
B) 15 
C) 20 
D) 23,57 
E) 28,48 
 
Julgue os próximos itens com base no enunciado abaixo. 
 
Seja o modelo estimado ii xy 290 −= , em que a variância amostral do intercepto 
é 22, a variância amostral da declividade é 0,06. Foram coletadas 7 
observações. 
 
16. O intervalo de confiança de 90% para a declividade é )51,1;49,2( −− . 
 
17. Considere o teste de hipóteses H0: 100=α contra H1: α ≠100 a um nível de 
significância de 5%. Então deve-se rejeitar H0. 
 
21.12 Gabarito 
 
1 – D 
2 – D 
3 – ERRADO 
4 – E 
5 – C 
6 – A 
7 – E 
8 – B 
9 – ERRADO 
10 – ERRADO 
11 – CERTO 
12 - CERTO 
13 - ERRADO 
14 – ERRADO 
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46 
 
15 – A 
16 - CERTO 
17 - ERRADO 
 
21.13 Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
1. Ajuste o modelo linear simples Yi = α + βXi + ε i para os dados da tabela abaixo 
e determine o resíduo correspondente a X=7 e Y=15. 
 
X 5 6 7 9 11 12 
Y 20 19 15 12 12 8 
 
A) 1,08 
B) 1,42 
C) -0,71 
D) -1,42 
E) -1,08 
 
Resolução 
 
O problema pede o resíduo da 3ª observação, ou seja, e3 = y3 − ˆ y 3. 
 
Estimativas de a e b: 
 
ix iy ii yx 2ix 
5 20 100 25 
6 19 114 36 
7 15 105 49 
9 12 108 81 
11 12 132 121 
12 8 96 144 
50=∑ ix 86=∑ iy 655=∑ ii yx 4562 =∑ ix 
 
 
Sxy = xiyi −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ × yii∑
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
ni
∑ = 655 − 50 × 866 = −61,67 
Sxx = xi2 −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
n
= 456 − 50
2
6
= 39,33
i
∑
 
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47 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×−−=−=
−=−==
40,27
6
50)57,1(
6
86
57,1
33,39
67,61
xbya
S
S
b
xx
xy
 
 
Assim, a reta ajustada encontrada foi xy 57,140,27ˆ −= . 
 
ˆ y 3 = 27,40 −1,57 × 7 =16,42 
 
Finalmente, e3 = y3 − ˆ y 3 =15 −16,42 = −1,42. 
 
GABARITO: D 
 
2. Seja o modelo Yi = α + βXi + ε i. São dados: 
 
60=∑ ix 12602 =∑ ix 320=∑ iy 
 
160002 =∑ iy 2400=∑ ii yx 
 
n = 10 observações 
 
Calcule s2. Dica: SQE = SQT − SQR = Syy − b2Sxx 
 
A) 5760 
B) 720 
C) 550,4 
D) 688 
E) 60 
 
Resolução 
 
Lembre que 
 
s2 = ˆ σ 2 = ei
2
i
∑
n − 2 =
SQE
n − 2 
Syy = yi2 −
yi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
n
=
i
∑ 16000 − 320210 = 5760 
Sxx = xi2 −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
n
=1260 − 60
2
10
= 900
i
∑
 
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48 
 
Sxy = xiyi −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ × yii∑
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
ni
∑ = 2400 − 60 × 32010 = 480 
 
Logo, 
 
53,0
900
480 ===
xx
xy
S
S
b e 
 
SQE = SQT − SQR = Syy − b2Sxx = 5760 − 0,532 × 900 = 5504 
 
s2 = ei
2
i
∑
n − 2 =
SQE
n − 2 =
5504
8
= 688 
 
GABARITO: D 
 
Julgue o item a seguir. 
 
3. No modelo Yi = α + βXi +ε i os estimadores de mínimos quadrados de α e β são 
os de menor variância possível. 
 
Resolução 
 
Os estimadores de mínimos quadrados da RLS são os de menor variância 
possível dentre os não tendenciosos. É o que assegura o Teorema de 
Gauss-Markov. Podem existir estimadores lineares tendenciosos cujas 
variâncias sejam menores que os do modelo de RLS. 
 
GABARITO: ERRADO 
 
(Analista BACEN - Área 4/2006/FCC) Considere as informaçõesa seguir 
para resolver as questões de números 4 e 5. 
 
Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais 
em pesquisa e desenvolvimento (X), em milhares de reais, e o acréscimo anual 
nas vendas (Y), também em milhares de reais, optou por utilizar o modelo 
linear simples Yi = α + βXi + ε i, em que Yi é o acréscimo nas vendas no ano i, Xi é 
o valor gasto em pesquisa e desenvolvimento no ano i e εi o erro aleatório com 
as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples(α e β 
são parâmetros desconhecidos). Considerou para o estudo as seguintes 
informações referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa: 
 
Yi =160
i=1
10∑ Xi =100
i=1
10∑ XiYi =1.900
i=1
10∑ 
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49 
 
 
Xi
2 =1.200
i=1
10∑ Yi2 = 3.060
i=1
10∑ 
 
4. Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, 
obteve-se, para um determinado gasto em pesquisa e desenvolvimento, uma 
previsão de acréscimo nas vendas no valor de 19 mil reais. O valor que se 
considerou para o gasto em pesquisa e desenvolvimento, em mil reais, foi 
 
A) 14,0 
B) 13,75 
C) 13,0 
D) 12,4 
E) 12,0 
 
Resolução 
 
Sxx = xi2 −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
n
=1200 − 100
2
10
= 200
i
∑
 
Sxy = xiyi −
xi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ × yii∑
⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
ni
∑ =1900 − 160 ×10010 = 300 
 
Logo 
 
5,1
200
300 ===
xx
xy
S
S
b 
1
10
100)5,1(
10
160 =×−=−= xbya 
 
Assim, encontramos a reta ajustada xy 5,11ˆ += . 
 
Do enunciado, 19ˆ =y (lembrar que a unidade é R$1.000) 
 
x5,1119 += ⇒ x = 12 
 
Logo, o valor que se considerou para o gasto em pesquisa e desenvolvimento 
foi de R$ 12.000,00. 
 
GABARITO: E 
 
5. Montando o quadro de análise de variância, tem-se que 
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50 
 
 
A) a variação residual apresenta um valor igual a 100. 
B) o valor da estatística F necessária para o teste de existência da regressão é 
igual a nove. 
C) o valor do correspondente coeficiente de determinação (R2) é igual a 90%. 
D) a variação total apresenta um valor igual a 550. 
E) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão, apresenta um 
valor igual a 500. 
 
Resolução 
 
SQT = Syy = yi2 −
yi
i
∑⎛ ⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
2
n
=
i
∑ 3060 − 160210 = 500 
 
SQR = b2Sxx =1,52 × 200 = 450 
 
R2 = SQR
SQT
= 450
500
= 0,9 = 90% 
 
GABARITO: C 
 
(Analista BACEN – 2001/ESAF) As questões 6 e 7 dizem respeito ao 
enunciado seguinte. 
 
A Cia. Delta presta serviço de manutenção a uma marca de microcomputador. 
O gerente da Cia. Delta está interessado em estudar a associação existente 
entre o tempo (y) em minutos gasto em um atendimento e o número (x) de 
micros atendidos. 
 
Neste contexto anota as realizações yt e xt dessas variáveis em 16 chamadas 
de serviço. O gerente postula o modelo linear Yt = α + βXt +ε t, t=1...16, onde α 
e β são parâmetros desconhecidos e os εt são erros não correlacionados com 
média zero e variância constante σ2. Os resultados obtidos com o ajuste pelo 
método de quadrados mínimos para esse modelo são apresentados a seguir. 
 
Parâmetro Estimativa Desvio-padrão 
α -2,3 2,6 
β 14,7 0,5 
σ2 20 - 
 
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51 
Sabe-se que (yt − m)2 =14.000t∑ , onde m é o tempo médio 
das 16 chamadas. 
 
6. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de determinação do modelo 
linear. 
 
A) 0,98 
B) 0,90 
C) 0,88 
D) 0,28 
E) 0,20 
 
Resolução 
 
A questão pede o coeficiente de determinação R2. 
 
Sendo m a média, 
 
SQT = (yi − y )2 =14.000i∑ 
 
s2 = ˆ σ 2 = ei
2
i
∑
n − 2 =
SQE
14
= 20∴SQE = 20 ×14 = 280 
 
Então 
 
R2 = SQR
SQT
=1− SQE
SQT
=1− 280
14.000
= 0,98  
 
GABARITO: A 
 
7. Assinale a opção que dá a estimativa do aumento esperado no tempo de 
atendimento decorrente do aumento de uma unidade no número de micros 
atendidos. 
 
A) 17,0 
B) 12,4 
C) -2,3 
D) 0,2 
E) 14,7 
 
Resolução 
 
O enunciado cita a interpretação de β para o caso apresentado. 
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52 
 
 
GABARITO: E 
 
8. No ajuste do modelo linear simples são dados: 
 
196=∑ ix 160=∑ iy 3318=∑ ii yx 
 
a = -11,5 n = 28 observações 
 
Calcule ∑ 2ix . 
 
A) 2198 
B) 2265,5 
C) 2450 
D) 3318 
E) 893,5 
 
Resolução 
 
y = a + bx ⇒ 160
28
= −11,5 + b × 196
28
⇒ b = 2,46
 
2198
28
1601963318 =×−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑∑
i
i
i
i
i
iixy n
yx
yxS 
 
b = Sxy
Sxx
∴Sxx =
Sxy
b
= 2.198
2,46
= 893,5 
 
Mas ∑∑∑ ∑ =⇒−=⇒
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
i
i
i
i
i
i
i
ixx xxn
x
xS 5,2265
28
1965,893 2
2
2
2
2
 
GABARITO: B 
 
Julgue o item a seguir. 
 
9. Sejam dados a tabela abaixo e o modelo Y = βX + ε 
 
X 10 12 14 16 18 
Y 8 11 13 15 19 
 
A estimativa de mínimos quadrados de β é maior que um. 
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53 
 
Resolução 
 
A questão utiliza o modelo de regressão sem intercepto. 
 
∑ =
i
ix 020.1
2
 
 
∑ =
i
ii yx 976 
 
965,0
020.1
976
2 === ∑
∑
i i
i
ii
x
yx
b 
 
GABARITO: ERRADO 
 
(Analista BACEN – 1997/CESPE) Para as questões de 10 a 14, utilize as 
informações a seguir. 
 
O gerente do setor de compras de uma organização bancária deseja estudar 
um modelo de predição do tempo gasto para o processamento de faturas 
relativas à importação de equipamentos eletrônicos. Durante trinta dias, foram 
coletados dados relativos ao tempo de processamento das faturas (em horas) 
e o número de faturas processadas. Considerando tratar-se de uma relação 
linear, cuja variável dependente é o TEMPO, os dados foram processados e os 
resultados preliminares são apresentados nas tabelas a seguir. 
 
ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
 
Fontes 
 
Graus de 
Liberdade 
 
Soma de 
Quadrado 
 
Quadrado 
Médio 
 
Valor F 
 
Prob > f 
 
Modelo 1 25,94382 
 
25,94382 
 
232,220 
 
0,0001 
 
Erro 
 
28 3,12818 
 
0,11172 
 
 
Total 
 
29 29,07200 
 
 
 
R Quadrado (Coeficiente de 
determinação) 
 
C.V. ( Coeficiente de Variação ) 
 
0,8924 16,38464 
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ESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS 
 
 
Variável 
 
Graus de 
Liberdade 
 
Estimativas 
 
Erro 
Padrão 
 
T 
 
Prob 
>|T| 
 
INTERCEPTO 
 
1 0,402375 
 
0,12358250 
 
3,256 
 
0,0030 
 
FATURAS 
 
1 0,012607 
 
0,00082729 
 
15,239 
 
0,0001 
 
 
Representando por Yi o tempo gasto e por Xi o número de faturas processadas 
no dia i, julgue os itens de 10 a 14. 
 
10. O modelo estimado é igual a E(Yi) = 0,402375 + 0,012607Xi + εi, em que 
E(Yi) representa o tempo médio e εi representa o resíduo estimado para o i-
ésimo dia. 
 
Resolução 
 
O modelo estimado é E(Yi) = 0,402375 + 0,012607Xi, lembrando queE(εi) = 
0. 
 
GABARITO: ERRADO 
 
11. O resultado obtido indica que a cada aumento de uma fatura processada 
corresponde um aumento de 0,012607 no tempo esperado estimado. 
 
Resolução 
 
Segue direto de E (Yi) = 0,402375 + 0,012607Xi. 
 
GABARITO: CERTO 
 
12. Para o modelo proposto, o teste de adequabilidade do modelo é 
equivalente a testar Ho: β1 = 0 contra Ha: β1 ≠ 0, em que β1 é o parâmetro 
associado à variável que indica o número de faturas processadas a cada dia. 
 
Resolução 
 
Deve-se testar se há regressão, ou seja, se Ho: β1 = 0 contra Ha: β1 ≠ 0, em 
que β1 é o parâmetro associado à variável que indica o número de faturas 
processadas a cada dia. Afirmação correta. 
 
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GABARITO: CERTO 
 
13. Para que o analista rejeite a hipótese nula Ho: INTERCEPTO = 0, o nível de 
significância usado deve ser inferior a 0,003. 
 
Resolução 
 
Lembrando da regra prática: 
 
Se p ≤ α , rejeitamos H0 
Se p > α , não rejeitamos H0 
 
Do enunciado, valor p = 0,003. Assim, para rejeitarmos H0 α tem de ser 
superior a 0,003. 
 
GABARITO: ERRADO 
 
14. Aproximadamente 16,38% da variação no tempo de processamento são 
explicados pela variação no número de faturas processadas. 
 
Resolução 
 
Porcentagem da variação explicada pelo modelo = R2 = 89,24% 
 
GABARITO: ERRADO 
 
15. São dados para o modelo Y = α + βX + ε 
 
36=∑ ix 1622 =∑ ix 0=∑ iy 270=∑ ii yx 
 
50,13ˆ 2 =σ 12=n 
 
Determine a estatística t para testar a hipótese H0: β = 0 
 
A) 10 
B) 15 
C) 20 
D) 23,57 
E) 28,48 
 
Resolução 
 
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56 
 
270
12
036270 =×−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= ∑ ∑∑
i
i
i
i
i
iixy n
yx
yxS
 
∑ ∑ =−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
i
i
i
ixx n
x
xS 54
12
36162
2
2
2 
5
54
270 ===
xx
xy
S
S
b 
25,0
54
50,13ˆ 22 ===
xx
b S
s σ 
 
Lembrando que 
 
10
25,0
05
102 =−=⇒−=− ts
kbt
b
n 
 
GABARITO: A 
 
Julgue os próximos itens com base no enunciado abaixo. 
 
Seja o modelo estimado ii xy 290 −= , em que a variância amostral do intercepto 
é 22, a variância amostral da declividade é 0,06. Foram coletadas 7 
observações. 
 
16. O intervalo de confiança de 90% para a declividade é )51,1;49,2( −− 
 
Resolução 
 
Cada cauda da distribuição t com n–2 = 5 GL deve ter 5% de área. 
Consultando a tabela auxiliar, achamos tc = 2,015. 
 
)506,1;494,2(494,0206,0015,22: −−=⇒±−=×±−=± ICstbIC bc . 
 
GABARITO: CERTO 
 
17. Considere o teste de hipóteses H0: 100=α contra H1: α ≠100 a um nível de 
significância de 5%. Então deve-se rejeitar H0. 
 
Resolução 
 
A estatística do teste é 
 
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57 
13,2
22
10090
2 =−=−=−
a
n s
kat 
 
Para acharmos tc, repare que para um nível de significância de 5% tem de 
haver 2,5% em cada cauda. Como GL =5, achamos os valores críticos de 
571,2± . Como a estatística teste encontra-se entre esses dois valores, não 
podemos rejeitar a hipótese nula H0. 
 
GABARITO: ERRADO. 
 
Até a próxima aula. Bom estudo! 
 
Alexandre e Moraes Jr.