Aula02

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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 02 
Expoentes e Radicais. 
Conteúdo 
3. Introdução – Parte 3 ............................................................................................................. 2 
3.1. Expoentes ou Potências ............................................................................................ 7 
3.1.1. Propriedades dos Expoentes .................................................................................... 8 
3.1.2. Notação Científica ...................................................................................................... 10 
3.2. Radicais ......................................................................................................................... 12 
3.2.1. Raiz Quadrada ............................................................................................................. 12 
3.2.2. Raiz Múltipla ................................................................................................................. 13 
3.2.3. Como calcular a raiz quadrada ............................................................................. 17 
3.3. Ordem das Operações .................................................................................................. 21 
3.4. Logaritmo ..................................................................................................................... 22 
3.5. Bases ................................................................................................................................... 24 
3.5.1. Base Decimal ............................................................................................................... 24 
3.5.2. Base Binária ................................................................................................................. 26 
3.6. Memorize para a prova ................................................................................................ 28 
3.7. Exercícios de Fixação .................................................................................................... 32 
3.8. Gabarito ............................................................................................................................. 38 
3.9. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................... 39 
Bibliografia ..................................................................................................................................... 63 
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3. Introdução – Parte 3 
É, chegamos à aula 2 (na verdade, a aula 3, se considerarmos a aula
demonstrativa).
Antes de iniciar a aula propriamente dita, gostaria de esclarecer duas dúvidas
para que não fiquemos com “dívidas” para a continuação do curso.
Dúvida 1: Como fazer a conta: 
1
5
1 x
=
−
? 
Repare que, para resolver esta equação, temos que achar o m.m.c (mínimo
múltiplo comum) dos denominadores, ou, para facilitar, “multiplicar em cruz”.
Vou fazer das duas maneiras:
I – Maneira 1: Achar o m.m.c dos denominadores.
1 1 5
5
1 1 1x x
= ⇒ =
− −
Como temos um denominador que é 1, o m.m.c vai ser justamente o outro
denominador: (1-x).
Portanto, teríamos:
1 1 5 1
1 1 1 1
1 5 (1 )
1 1
x
x x
x
x x
−
× = × ⇒
− −
× −
⇒ =
− −
Como os denominadores dos dois termos da igualdade são iguais, podemos
“cortar” um com outro:
1 5 (1 )
1 5 (1 ) 1 5 5
1 1
4
5 5 1 5 4
5
x
x x
x x
x x x
× −
= ⇒ = × − ⇒ = − ⇒
− −
⇒ = − ⇒ = ⇒ =
Beleza? Então, vamos ver a maneira 2.
II – Maneira 2: Multiplicar em cruz, ou seja, multiplicar o denominador de uma
fração com o numerador de outra fração e vice-versa.
1 1 5
5
1 1 1
1 1 5 (1 )
4
1 5 5 5 5 1 5 4
5
x x
x
x x x x
= ⇒ = ⇒
− −
⇒ × = × − ⇒
⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
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Está é bem mais rápida, não? Portanto, quando aparecer uma igualdade entre
frações, podemos “multiplicar em cruz”.
Dúvida 2: Como fazer a conta: 
1
1 x
−
−
 = 
1
1x −
? 
Repare que em
1
1 x
−
−
, o sinal de menos está multiplicando o numerador, certo?
Portanto, se multiplicarmos tanto o numerador como o denominador por -1
(menos um), a fração não se altera. Veja:
1 1 ( 1) ( 1) 1
1 1 (1 ) ( 1) (1 ) ( 1)x x x
− − − × −
× = =
− − − × − − × −
 
 
Agora se fizermos somente a conta do denominador, teríamos:
(1 ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1x x x x− × − = × − − × − = − + = −
Lembre-se que, na multiplicação, (-) x (-) = (+) (menos multiplicado por
menos é igual a mais).
Logo, o resultado seria:
1 1
1 1x x
−
=
− −
Como houve muitas perguntas sobre a questão 3 da aula passada, cujas
dúvidas acima estão relacionadas, vou resolver novamente, de forma mais
detalhada.
3.(Analista de Finanças e Controle-STN-2008-Esaf) A calculadora de
Eliane tem duas teclas especiais, T1 e T2, que realizam operações diferentes. A
tecla T1 transforma o número t que está no visor em 1/t. A tecla T2
transforma o número t que está no visor em 1 – t. Eliane digita um número no
visor. A seguir, de forma sucessiva e alternadamente, ela digita as duas teclas
especiais, iniciando por T1 , isto é: T1, T2, T1, T2, T1, T2 .... . Sabendo-se que
após 1204 operações o visor mostrava o número 5, pode-se corretamente
concluir que o número que Eliane digitou no visor é igual a:
a) 0,8
b) 0,7
c) 2,5
d) 0,42
e) 0,36
Resolução 
 
Para resolvermos a questão temos que descobrir alguma regra de formação
para a seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 ....
Suponha que Eliane digitou, inicialmente, um número x. A partir daí começou a
digitar as teclas na seqüência: T1, T2, T1, T2, T1, T2 ....
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Repare que T1 transforma t em 1/t, ou seja, transforma um número em seu
inverso.
 
Exemplos: 
Se digitar 2 e apertar a tecla T1, o resultado será
1
2
. 
Se digitar
1
2
e apertar a tecla T1, o resultado será 2.
Se digitar 3 e apertar a tecla T1, o resultado será
1
3
.
Se digitar
5
2
e apertar a tecla T1, o resultado será
1 2 2
1
5 5 5
2
= × = .
Por outro lado, a tecla T2 transforma t em 1 – t. 
 
Exemplos: 
Se digitar 2 e apertar a tecla T2, o resultado será 1 2 1− = − .
 
Se digitar -3 e apertar a tecla T2, o resultado será 1 ( 3) 1 3 4− − = + = .
Beleza até aqui? Então, continuando a questão:
Se eu digitar, inicialmente, x: 
Tecla 1: Entrada = x ⇒ T1 ⇒ Saída = 1/x
Tecla 2: Entrada = 1/x ⇒ T2 ⇒ Saída =
1 1 1 1 1 1
1
1 1
x x
x x x x x
−
− = − = × − =
(lembre-se que o m.m.c dos denominadores 1 e x é x).
Tecla 3: Entrada =
1x
x
−
⇒ T1 ⇒ Saída =
1
1
1 1 1
x x
x x x
x
= × =
− − −
(Divisão de frações: muda o sinal para multiplicação e inverte a fração do
denominador)
Tecla 4: Entrada =
1
x
x −
⇒ T2 ⇒
⇒ Saída =
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
x x x x x x
x x x x x x
− − −
− = − = × − = =
− − − − − −
(lembre-se que o m.m.c dos denominadores 1 e x-1 é x-1).
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Tecla 5: Entrada =
1
1x −
⇒ T1 ⇒ Saída =
1 1
1 1
1 1
1
x
x
x
−
= × = −
−
(Divisão de frações: muda o sinal para multiplicação e inverte a fração do
denominador)
Tecla 6: Entrada = 1 – x ⇒ T2 ⇒ Saída = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x
Ou seja, na sexta tecla, o valor retorna ao valor inicial x e começa tudo
novamente:
Tecla 7: T1 = 1/x
Tecla 8: T2 = 1 – (1/x) = (x – 1)/x
Tecla 9: T1 = x/(x – 1)
Tecla 10: T2 = 1 - x/(x – 1) = (x – 1 – x)/(x – 1) = -1/(x – 1) = 1/(1 – x)
Tecla 11: T1 = 1 – x
Tecla 12: T2 = 1 – (1 – x) = 1 – 1 + x = x
(….)
A questão pede o valor após 1.204 operações, ou seja, quando for digitada a
tecla 1.204.
Primeiro, vamos verificar o resultado da divisão de 1.204 por 6. Aqui, a divisão
é por 6, pois refere-se ao ciclo a partir do qual o número x aparece novamente
(ocorre, primeiro, após a tecla 6, depois, após a tecla 12, e assim
sucessivamente):
1.204 : 6 = 200 com resto 4.
Logo, o valor apurado será o equivalente à tecla 4, cujo resultado da divisão
por 6 também dá resto 4. Veja:
Tecla 1: se dividir 1 por 6, dá 0 com resto 1.
Tecla 2: se dividir 2 por 6, dá 0 com resto 2.
Tecla 3: se dividir 3 por 6, dá 0 com resto 3.
Tecla 4: se dividir 4 por 6, dá 0 com resto 4.
Tecla 5: se dividir 5 por 6, dá 0 com resto 5.
Tecla 6: se dividir 6 por 6, dá 1 com resto 0.
Tecla 7: se dividir 7 por 6, dá 1 com resto 1.
Tecla 8: se dividir 8 por 6, dá 1 com resto 2.
Tecla 9: se dividir 9 por 6, dá 1 com resto 3.
Tecla 10: se dividir 10 por 6, dá 1 com resto 4.
Tecla 11: se dividir 11 por 6, dá 1 com resto 5.
Tecla 12: se dividir 12 por 6, dá 2 com resto 0.
(...)
Portanto, as teclas que, ao dividir o número representativo da tecla por 6,
terão resto 4 são:
Tecla 4 = Tecla 10 = Tecla 16 = .... = Tecla 1.204 = 1/(1 – x)
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Logo, de acordo com a questão:
1
1 x−
= 5 ⇒
Multiplicando em cruz:
1 = 5 . (1 – x) ⇒ 1 = 5 – 5x ⇒ 5x = 5 - 1 ⇒ 5x = 4 ⇒
5x = 4 ⇒
5 4
5 5
x
= (se dividir os dois lados por 5, não altera a igualdade)
⇒ x = 
4
5
 = 0,8
GABARITO: A
Pronto para continuar? Então, como diria John Lennon, let´s go.
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3.1. Expoentes ou Potências 
Expoente ou potência é um número sobrescrito à direita de um número real,
chamado de base, que indica quantas vezes você multiplica o número real por
ele mesmo. Ou seja, foi um símbolo criado pelos matemáticos para que não
ficássemos escrevendo, repetidas vezes, o número multiplicado por ele
mesmo.
Xn = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). 
 
Onde,
X = base (pode ser qualquer número real)
n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele
mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo).
Relações importantes: 
x0 = 1 ⇒ qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Exemplos: 20 = 1; 30 = 1.
x1 = x ⇒ qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.
Exemplo: 201 = 20.
0n = 0 ⇒ zero elevado a qualquer número é igual a 0.
Exemplo: 010 = 0.
X-n =
1 1 1 1 1
...
n
X X X X X
  = × × × 
 
⇒ expoente negativo ⇒ inverte a base e o
sinal do expoente, ou seja, se um número X tiver um expoente negativo -n,
pode ser representando por
1
X
elevado a um número positivo n. 
Exemplos:
5-1=
1
1 1
5 5
  = 
 
2
21 5 5 5 25
5
−
  = = × = 
 
2-3=
3
1 1 1 1 1
2 2 2 2 8
  = × × = 
 
X-n=
1 1 1 1 1
...
n
X X X X X
  = × × × 
 
(
1
X
 multiplicado por ele mesmo n vezes).
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1
...
n
nX X X X X
X
−
  = = × × × 
 
(X multiplicado por ele mesmo n vezes).
Repare que é a mesma regra anterior para expoentes negativos: inverte a
base (de 1/X para X) e muda o sinal do expoente (de –n para n).
Nota: Se X for igual a 0, n não pode ser negativo, pois, neste caso, teríamos
um número dividido por 0, fato que não é possível.
 
Mais Exemplos: 
53 = 5 x 5 x 5 (5 multiplicado por ele mesmo 3 vezes) = 125
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (2 multiplicado por ele mesmo 5 vezes) = 32
34 = 3 x 3 x 3 x 3 (3 multiplicado por ele mesmo 4 vezes) = 81
72= 7 x 7 (7 multiplicado por ele mesmo 2 vezes) = 49
5-2=
2
1 1 1 1
5 5 5 25
  = × = 
 
2-6=
6
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 64
  = × × × × × = 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.1. Propriedades dos Expoentes 
I) xn . xm = xn + m ⇒ multiplicação de potências de mesma base ⇒ conserva a
base e soma os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! 
Exemplo:
22 x 24= 22+4= 26
Xn = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). 
 
Onde,
X = base (pode ser qualquer número real)
n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele
mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo).
x0 = 1 ⇒ qualquer número elevado a zero é igual a 1.
x1 = x ⇒ qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.
0n = 0 ⇒ zero elevado a qualquer número é igual a 0.
X-n=
1 1 1 1 1
...
n
X X X X X
  = × × × 
 
1
...
n
nX X X X X
X
−
  = = × × × 
 
 
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Repare que, se houver mais de uma base, você poderá aplicar a propriedade
acima por bases iguais. Veja o exemplo:
22 x 33 x 24 x 3= 22+4 x 33+1= 26 x 34
II) xn : xm = xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base
e subtrai os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! 
Exemplo: 28 : 22= 28-2= 26
Repare que, se houver mais de uma base, você poderá aplicar a propriedade
acima por bases iguais. Veja o exemplo:
2 3
4
2 3
2 3
×
×
= 22-4 x 33-1= 2-2 x 32
III) (xn)m= xn . m ⇒ potência da potência ⇒ multiplica os expoentes.
Exemplo: (24)2= 24.2 = 28
IV) (x . y)m = xm . ym ⇒ potencia de multiplicação ⇒ multiplicação de cada
termo elevado à potência.
Exemplos:
(2 x 3)2= 22 x 32 = 4 x 9 = 36
(5-3)5 = 5(-3)x5 = 5-15
(3-3)-5 = 3(-3)x(-5) = 315
V)
m m
m
x x
y y
 
= 
 
, y ≠ 0 ⇒ potencia de divisão ⇒ divisão de cada termo elevado
à potência.
Exemplo:
2 2
2
2 2 4
3 3 9
  = = 
 
E para resolver a expressão abaixo? Como faríamos?
(x2 . y4)-3 . (x-2 . y-3)-5. Primeiro temos que saber qual seria a ordem das
operações. A ordem é:
1. Calcular primeiro os valores entre parênteses:
(x2 . y4)-3 = x2x(-3) . y4x(-3) = x-6 . y-12
(x-2 . y-3)-5 = x(-2)x(-5) . y(-3)x(-5) = x10 . y15
2. Multiplicar as expressões obtidas no item 1:
x-6 . y-12 . x10 . y15 = x-6+10 . y-12+15 = x4 . y3
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2. Notação Científica 
É uma forma padrão de representar números muito grandes (Exemplo:
distâncias entre planetas) e números muito pequenos (Exemplo: tamanho dos
átomos), para que esses números possam caber em uma linha de um livro ou
caderno e possam ser comparados com maior facilidade.
Forma padrão: X . 10n 
Onde,
X = número entre 1 e 10 (Não pode ser menor que 1 e maiorou igual a 10); e
n = número inteiro positivo ou negativo
A potência de 10 vai ser positiva ou negativa, a depender que como
moveremos a vírgula.
Se a vírgula for para a direita, o expoente n será negativo. Se for para a
esquerda, o expoente n será positivo. Difícil? Vamos ver exemplos numéricos
então.
Exemplos: 
90.000 ⇒Notação Científica = 9,0 x 104
Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era
90.000,0 e ficou 9,0000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a
esquerda, n = 4 (positivo). 
 
123.000.000 ⇒Notação Científica = 1,23 x 108
Repare que andei a vírgula oito vezes para a esquerda: O número era
123.000.000,0 e ficou 1,23000000. Portanto, se andei a vírgula oito vezes
para a esquerda, n = 8 (positivo). 
0,25 ⇒Notação Científica = 2,5 x 10-1
Repare que andei a vírgula uma vez para a direita: O número era 0,25 e ficou
2,5. Portanto, se andei a vírgula uma vez para a direita, n = -1 (negativo). 
Propriedades: 
I) xn . xm= xn + m. As bases devem ser iguais.
II) xn : xm= xn – m. As bases devem ser iguais. 
III) (xn)m= xn . m 
IV) (x . y)m= xm . ym 
V) 
m m
m
x x
y y
 
= 
 
, y ≠ 0 
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0,000043 ⇒Notação Científica = 4,3 x 10-5
Repare que andei a vírgula cinco vezes para a direita: O número era 0,000043
e ficou 4,3. Portanto, se andei a vírgula cinco vezes para a direita, n = -5 
(negativo). 
Qual é o número maior? 123.000.000.000.000 ou 916.000.000.000?
123.000.000.000.000 ⇒Notação Científica = 1,23 x 1014
Repare que andei a vírgula catorze vezes para a esquerda: O número era
123.000.000.000.000,0 e ficou 1,23000000000000. Portanto, se andei a
vírgula catorze vezes para a esquerda, n = 14 (positivo). 
916.000.000.000 ⇒Notação Científica = 9,16 x 1011
Repare que andei a vírgula onze vezes para a esquerda: O número era
916.000.000.000,0 e ficou 9,16000000000. Portanto, se andei a vírgula
catorze vezes para a esquerda, n = 11 (positivo). 
 
Número 1 = 1,23 x 1014
Número 2 = 9,16 x 1011
Como a potência de 10 do número 1 (n = 14) é maior que a potência de 10 do
número 2 (n = 11), então, 1,23 x 1014> 9,16 x 1011.
Agora, você deve estar se perguntando: E se as potências forem iguais? Neste
caso, comparamos os números antes da potência. Veja um exemplo.
Quem é maior? 0,0000031 ou 0,0000043
0,0000031 ⇒Notação Científica = 3,1 x 10-6
Repare que andei a vírgula seis vezes para a direita: O número era 0,0000031
e ficou 3,1. Portanto, se andei a vírgula seis vezes para a direita, n = -6 
(negativo). 
0,0000043 ⇒Notação Científica = 4,3 x 10-6
Repare que andei a vírgula seis vezes para a direita: O número era 0,0000043
e ficou 4,3. Portanto, se andei a vírgula seis vezes para a direita, n = -6 
(negativo). 
Como, os expoentes são iguais (10-6), comparemos os números: 4,3 > 3,1.
Portanto, 4,3 x 10-6 > 3,1 x 10-6.
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
Notação Científica 
Forma padrão: X x 10n 
Onde,
X = número entre 1 e 10 (Não pode ser 10); e
n = número inteiro positivo ou negativo
 
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3.2. Radicais 
 
3.2.1. Raiz Quadrada 
 
Uma raiz quadrada é representada pelo símbolo (também conhecido como
radical). Portanto, para calcular a raiz quadrada de X teríamos:
Y = X . Em português, Y é igual a raiz quadrada de X ou Y multiplicado por
ele mesmo é igual X. Portanto:
Y = X ⇒Y2 = X. Como cheguei a esse resultado?
A raiz quadrada de um número também é representada por este número
elevado ao expoente
1
2
(o denominador 2 indica, justamente, que é raiz
quadrada).
X =
1
2X
Portanto, teríamos:
1
2Y X= .
Se elevarmos os dois termos ao quadrado, não alteramos a igualdade:
2
1 1 1
2
2 2 22 2 2Y X Y X Y X Y X
× 
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
Raízes quadradas mais comuns: 
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
49 7
64 8
81 9
100 10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
121 11
144 12
169 13
196 14
225 15
256 16
289 17
324 18
361 19
400 20
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
900 30
1.600 40
2.500 50
3.600 60
4.900 70
6.400 80
8.100 90
10.000 100
1.000.000 1.000
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
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(*) Os números 1 (12), 4 (22), 9 (32), 16 (42), 25 (52), 36 (62), 49 (72), 
64 (82),... são quadrados perfeitos, ou seja, um número da forma: 
 
X = A2 é um quadrado perfeito. 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
3.2.2. Raiz Múltipla 
Agora, se eu quisesse calcular a raiz cúbica de X. Neste caso, a representação
seria: 3 X . Repare que, na parte superior esquerda do radical “apareceu” o
número 3. Fazendo o mesmo procedimento anteriormente descrito:
3 X =
1
3X
Portanto, teríamos:
1
3Y X= .
Se elevarmos os dois termos ao cubo, não alteramos a igualdade:
3
1 1 1
3
3 3 33 3 3Y X Y X Y X Y X
× 
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
Nota: Quando é raiz quadrada, não há necessidade de colocar o 2 na parte
superior esquerda do radical.
Poderíamos calcular também a raiz cúbica de X elevado ao quadrado. Veja:
( )223 3X X= =
2
3X . Lembre que o índice do radical vai sempre para o
denominado do expoente.
Portanto, teríamos:
2
3Y X= .
Se elevarmos os dois termos ao cubo, não alteramos a igualdade:
3
2 2 2
3
3 3 3 23 3 3Y X Y X Y X Y X
× 
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 
 
Raiz Quadrada: 
X =
1
2X
Y = X ⇒Y2 = X
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Vamos generalizar, então?
( )mn x , x∈ℝ e , , 1n m n∈ >ℕ
Outra forma de representação de raízes:
m
nx
Propriedades: 
I) n nx y+ . Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se
calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos
radicais são diferentes).
Exemplo: 
2 5+
II) . .n na x b x+ . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro
dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais.
Exemplo:
2 3 2 (1 3) 2 4 2+ = + = 
III) . .n na x b x− . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro
dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais.
Exemplo:
5 2 3 2 (5 3) 2 2 2− = − = 
IV) .n n nx y xy= . A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos
radicais (n) são iguais.
Exemplos:
3 3 3 33 9 3 9 27 3× = × = = .
2 5 2 5 10× = × =
V) n n n
x
x y
y
÷ = . A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais
(n) são iguais.
Exemplos:
3
3 3 33
3
9 9
9 3 3
39
÷ = = = .
2 2
2 5
55
÷ = =
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VI) ( )nn x x= . Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado
é o próprio número.
Exemplo:
( ) ( )
55
5 53 3 3= =
VII) .m n m nx x= . Quando fazemos o “radical do radical”, o resultado pode ser
expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à
multiplicação dos índices dos dois radicais.
Exemplo:
3 5 3 5 154 4 4×= =
Outros pontos importantes: 
x2 = a ⇒ x =
1
2a a± = ±
Exemplo: 
(-2)2 = (-2)x (-2) = +4 (número par de sinais “menos” na multiplicação)
⇒ (-2) = - 4= -2 (ok)
(2)2 = 2 x 2 = 4 ⇒ 2 = 4= 2 (ok)
x3 = a ⇒ x =
1
3 3a a=
Exemplo: 
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8 (número ímpar de sinais “menos” na mult.)
⇒ (-2) = 3 8− = -2 (ok)
(2)3 = 2 x 2 x 2 = 8 ⇒ 2 = 3 8= 2 (ok)
x4 = a ⇒ x =
1
4 4a a± = ±
Exemplo: 
(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (número par de sinais “menos” na mult.)
⇒ (-2) = - 4 16= -2 (ok)
(2)4 = 2 x 2 x 2 x 2= 16 ⇒ 2 = 4 16= 2 (ok)
Repare, por estes exemplos, que não existem, entre os números reais, radicais
com índice par de número negativo. Não existe, por exemplo, 2− , pois não
há número real elevado ao quadrado que dê número negativo, tendo em vista
que um número negativo elevado ao quadrado se torna positivo (dois sinais
menos na multiplicação).
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Por outro lado, para radicais com índice ímpar, o valores dentro dos referidos
radicais podem ser positivos ou negativos, tendo em vista que um número
negativo elevado, por exemplo, ao cubo, continuará negativo (três sinais
menos na multiplicação).
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
Raiz Múltipla: 
( )mn x , x∈ℝ e , , 1n m n∈ >ℕ
Outra forma de representação de raízes:
m
nx
Propriedades: 
I) n nx y+ . Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se
calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos
radicais são diferentes).
II) . .n na x b x+ . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores
dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais.
III) . .n na x b x− . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores
dentro dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais.
IV) .n n nx y xy= . A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos
radicais (n) são iguais.
V) n n n
x
x y
y
÷ = . A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais
(n) são iguais.
VI) ( )nn x x= . Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado
é o próprio número.
VII) .m n m nx x= . Quando fazemos o “radical do radical”, o resultado pode ser
expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à
multiplicação dos índices dos dois radicais.
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3.2.3. Como calcular a raiz quadrada 
Como poderíamos fazer um cálculo simplificado para a raiz quadrada. Vamos
lá. Vou ensinar por meio de exemplos:
Para utilizar o método abaixo, você precisa saber os quadrados perfeitos até
99:
12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4
32 = 3 x 3 = 9 42 = 4 x 4 = 16
52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36
72 = 7 x 7 = 49 82 = 8 x 8 = 64
92 = 9 x 9 = 81
Exemplo 1: Calcule a raiz quadrada de 529. 
Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois
algarismos: 5.29
Primeiro grupo: 5
Segundo grupo: 29
Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou
igual) do número do primeiro grupo (5): 4. Logo, o primeiro número do
resultado da raiz quadrada é “2” (22 = 4).
Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (5) pelo quadrado perfeito
mais próximo: 5 – 4 = 1.
Passo 4: O resultado do passo “3” vai para o segundo grupo (colocar à
esquerda do número):
Segundo grupo: 129.
Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (2) encontrado por 2:
2 x 2 = 4.
 
Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
(Número obtido no Passo 5) Número x Número = 129 ⇒
⇒ 4 Número x Número = 129.
Tentativas:
41 x 1 = 41 ⇒ Não serve
42 x 2 = 84 ⇒ Não serve
43 x 3 = 129 (ok). Logo, “3” é o segundo número da raiz quadrada.
Passo 7: A raiz quadrada de 529 é igual a 23. 
 
Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 5.476. 
 
Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois
algarismos: 54.76
Primeiro grupo: 54
Segundo grupo: 76
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Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou
igual) do número do primeiro grupo (54): 49. Logo, o primeiro número do
resultado da raiz quadrada é “7” (72 = 49).
Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (54) pelo quadrado perfeito
mais próximo: 54 – 49 = 5.
Passo 4: O resultado do passo “3” vai para o segundo grupo (colocar à
esquerda do número):
Segundo grupo: 576.
Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (7) encontrado por 2:
7 x 2 = 14.
Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
(Número obtido no Passo 5) Número x Número = 576 ⇒
⇒ 14 Número x Número = 576.
Tentativas:
141 x 1 = 141 ⇒ Não serve
142 x 2 = 284 ⇒ Não serve
143 x 3 = 429 ⇒ Não serve
144 x 4 = 576 (ok). Logo, “4” é o segundo número da raiz quadrada.
Passo 7: A raiz quadrada de 5.476 é igual a 74. 
 
Exemplo 3: Calcule a raiz quadrada de 81.225. 
 
Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois
algarismos: 8.12.25
Primeiro grupo: 8
Segundo grupo: 12
Terceiro grupo: 25
Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou
igual) do número do primeiro grupo (8): 4. Logo, o primeiro número do
resultado da raiz quadrada é “2” (22= 4).
Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (8) pelo quadrado perfeito
mais próximo: 8 – 4 = 4.
Passo 4: O resultado do passo “3” vai para o segundo grupo (colocar à
esquerda do número):
Segundo grupo: 412.
Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (2) encontrado por 2:
2 x 2 = 4.
Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
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(Número obtido no Passo 5) Número x Número = 412 (ou o mais próximo)
⇒ 4 Número x Número = 412.
Tentativas:
41 x 1 = 41 ⇒ Não serve
42 x 2 = 84 ⇒ Não serve
43 x 3 = 129 ⇒ Não serve
44 x 4 = 176 ⇒ Não serve
45 x 5 = 225 ⇒ Não serve
46 x 6 = 276 ⇒ Não serve
47 x 7 = 329 ⇒ Não serve
48 x 8 = 384 ⇒ Este é o mais próximo, antes de 412.
49 x 9 = 441 ⇒ Não serve
Logo, o segundo número do resultado da raiz quadrada é “8”. 
Diferença = 412 – 384 = 28
Passo 7: Transfira a diferença acima para o terceiro grupo:
Terceiro grupo: 2825
Passo 8: Multiplicar o número do resultado obtido até o momento (28)
encontrado por 2: 28 x 2 = 56.
Passo 9: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
(Número obtido no Passo 8) Número x Número = 2.825 ⇒
⇒ 56 Número x Número = 2.825.
Tentativas:
561 x 1 = 56 ⇒ Não serve
562 x 2 = 1.124 ⇒ Não serve
563 x 3 = 1.689 ⇒ Não serve
564 x 4 = 2.256 ⇒ Não serve
565 x 5 = 2.825 ⇒ (ok). Logo, “5” é o terceiro número da raiz quadrada.
Passo 10: A raiz quadrada de 81.225 é igual a 285. 
 
Exemplo 4: Calcule a raiz quadrada de 121.801. 
 
Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em dois
algarismos: 12.18.01
Primeiro grupo: 12
Segundo grupo: 18
Terceiro grupo: 01
Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ou
igual) do número do primeiro grupo (12): 9. Logo, o primeiro número do
resultado da raiz quadrada é “3” (32= 9).
 
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Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (12)pelo quadrado perfeito
mais próximo: 12 – 9 = 3.
Passo 4: O resultado do passo “3” vai para o segundo grupo (colocar à
esquerda do número):
Segundo grupo: 318.
Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (3) encontrado por 2:
3 x 2 = 6.
Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
(Número obtido no Passo 5) Número x Número = 318 (ou o mais próximo)
⇒ 6 Número x Número = 318.
Tentativas:
61 x 1 = 61 ⇒ Não serve
62 x 2 = 124 ⇒ Não serve
63 x 3 = 189 ⇒ Não serve
64 x 4 = 256 ⇒ Este é o mais próximo, antes de 318.
65 x 5 = 325 ⇒ Não serve
Logo, o segundo número do resultado da raiz quadrada é “4”. 
Diferença = 318 – 256 = 62
Passo 7: Transfira a diferença acima para o terceiro grupo:
Terceiro grupo: 6201
Passo 8: Multiplicar o número do resultado obtido até o momento (34)
encontrado por 2: 34 x 2 = 68.
Passo 9: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:
(Número obtido no Passo 8) Número x Número = 6.201 ⇒
⇒ 68 Número x Número = 6.201.
Tentativas:
681 x 1 = 68 ⇒ Não serve
682 x 2 = 1.364 ⇒ Não serve
683 x 3 = 2.049 ⇒ Não serve
684 x 4 = 2.736 ⇒ Não serve
685 x 5 = 3.425 ⇒ Não serve
686 x 6 = 4.116 ⇒ Não serve
687 x 7 = 4.809 ⇒ Não serve
688 x 8 = 5.504 ⇒ Não serve
689 x 9 = 6.201 ⇒ (ok). Logo, “9” é o terceiro número da raiz quadrada.
Passo 10: A raiz quadrada de 121.801 é igual a 349. 
 
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3.3. Ordem das Operações 
 
Quando for calcular expressões com soma, subtração, divisão multiplicação,
potências, raízes a ordem de cálculo a ser adotada é:
1. Potências e raízes
2. Multiplicações e divisões
3. Adições e subtrações
Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [ ],
chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses
sinais.
Exemplos: 
I) 10 – 4 x 5 + 16
Como a multiplicação tem prioridade sobre adição e subtração, temos:
10 – 20 + 16
Após a multiplicação, faremos a adição e subtração (operações com a mesma
prioridade não possuem prioridade entre si):
10 – 20 + 16 = - 12 + 16 = 4
II)
3 (5 1)
2
× +
Como há parênteses (sinal de agrupamento), primeiro devemos fazer a
operação que está dentro dos parênteses (5 + 1 = 6).
3 (5 1) 3 6
2 2
× + ×
=
Após isso, faremos a multiplicação e a divisão ou vice-versa, pois operações
com a mesma prioridade não possuem prioridade entre si:
3 (5 1) 3 6 18
9
2 2 2
× + ×
= = =
III) 3 + 4 x 5 + 42 x (6 – 1)
A primeira operação a ser realizada é a que está entre parênteses:
3 + 4 x 5 + 42 x (6 – 1) = 3 + 4 x 5 + 42 x 5
Após isso, seguiremos a ordem de prioridade:
Potências: 3 + 4 x 5 + 42 x 5 = 3 + 4 x 5 + 16 x 5
Multiplicações: 3 + 4 x 5 + 16 x 5 = 3 + 20 + 80
Adições: 3 + 20 + 80 = 103
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
Ordem das Operações: 
1. Potências e raízes
2. Multiplicações e divisões
3. Adições e subtrações
Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [
], chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses
sinais.
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3.4. Logaritmo 
 
Primeiramente, temos que conhecer o que é um logaritmo:
x = logb a (em “português”, teríamos que o logartimo de a na base b é igual a
x).
 
a = logaritmando, a > 0.
b = base, b ≠ 1 e b > 0.
x = logaritmo
 
x = logb a ⇒ a = bx (se o logaritmo de a na base b é igual a x, então, a igual
a b elevado a x, ou seja, você deve pegar a base do logaritmo e elevar ao
logartimo para achar o logaritmando).
Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. 
 
Exemplos: 
 
1) log3 x = 2
x = logaritmando
3 = base
2 = logaritmo
log3 x = 2 ⇒ x= 32 = 9
2) log (x – 50) = 2 
(x – 50) = logaritmando
10 = base (quando não aparecer, a base é 10)
2 = logaritmo
log (x – 50) = 2 ⇒ x – 50 = 102 ⇒ x – 50 = 100 ⇒ x = 150 
 
Propriedades dos logaritmos: 
 
1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y.
Exemplo: 
log3 (9.27) = log3 243 = x ⇒ 3x = 243 ⇒ x = 5
ou aplicando a propriedade do logaritmo do produto:
log3 (9.27) = log3 9 + log3 27 = 2 + 3 = 5
Logo, log3 (9.27) = log3 9 + log3 27
2) Logaritmo do quociente: logb
x
y
= logb x - logb y
Exemplo: 
log3 (
9
27
)
(como 27 e 9 são divisíveis por 9, podemos dividir o numerador e o
denominador por 9 sem alterar a fração)
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log3 (
9
27
) = log3 (
1
3
) = x ⇒ 3x =
1
3
= 3-1 ⇒ x = -1
ou aplicando a propriedade do logaritmo do quociente:
log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27 = 2 - 3 = -1
Logo, log3 (
9
27
) = log3 9 - log3 27
3) Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x
 
Exemplo: 
log3 32 = x ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2
ou aplicando a propriedade do logaritmo da potência:
log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2
Logo, log3 32 = 2. log3 3
Nota: logb x1/n = (
1
n
) . logb x 
Nota: Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln) ⇒ é o logaritmo
na base “e”, onde e é igual 2,718281... (número de Euler).
Representação: ln a = x ⇒ a = ex
Exemplos: 
ln e2 = x ⇒ e2 = ex ⇒ x = 2
ln (
1
e
) = x ⇒
1
e
= ex
Lembra da propriedade da potência? X-1 =
1
X
⇒ e-1 = ex ⇒ x = -1
 
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5. Bases 
 
A base indica a quantidade de algarismos utilizados para definir a numeração.
Nós, normalmente, utilizamos a base de 10 (decimal) e representamos todos
os números com algarismos de 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 = Total de 10
algarismos).
Contudo, em prova, é possível aparecer questões com base binária (dois
algarismos ou símbolos), base três (três algarismos ou símbolos), base seis
(seis algarismos ou símbolos), base hexadecimal (dezesseis algarismos ou
símbolos).
3.5.1. Base Decimal 
 
A base decimal utiliza algarismos de 0 a 9 e as unidades, dezenas, centenas,
milhares, etc, de um número são representadas por potências de 10 (como são
10 algarismos – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – são potências de 10).
As potências de 10 serão colocadas da direita para a esquerda de um
algarismo, iniciando de 100 (primeiro número a direita = ordem zero) até 10n
(último número a esquerda = ordem n). Cada potência multiplicará seu
respectivo algarismo e todos os resultados serão somados para achar o
número. Não entendeu? Vamos ver exemplos numéricos:
Logaritmo: 
x = logb a ⇒ a = bx 
a = logaritmando, a > 0.
b = base, b ≠ 1 e b > 0.
x = logaritmo
 
Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. 
Propriedades dos logaritmos: 
1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y.
2) Logaritmo do quociente: logb
x
y
= logb x - logb y
3) Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x
Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln): 
Representação: ln a = x ⇒ a = ex
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Exemplos: 
I) 123 
Algarismos da direita para a esquerda:
3 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100.
2 = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por101.
1 = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102.
Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por:
123 = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100
Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual 1 e qualquer número
elevado a 1 é igual ao próprio número.
123 = 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 ⇒
⇒123 = 100 + 20 + 3 ⇒
⇒ 123 = 123 (ok).
II) 5.432 
Algarismos da direita para a esquerda:
2 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100.
3 = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101.
4 = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102.
5 = Algarismo de ordem 3. Representa as milhares. Será multiplicado por 103.
Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por:
5.432 = 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 ⇒
⇒ 5.432 = 5 x 1.000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2 ⇒
⇒ 5.432 = 5.000 + 400 + 30 + 2 ⇒
⇒ 5.432 = 5.432 (ok)
III) 105.432 
Algarismos da direita para a esquerda:
2 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100.
3 = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101.
4 = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102.
5 = Algarismo de ordem 3. Representa as milhares. Será multiplicado por 103.
0 = Algarismo de ordem 4. Representa as dezenas de milhares. Será
multiplicado por 104.
1 = Algarismo de ordem 5. Representa as centenas de milhares. Será
multiplicado por 105.
Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por:
105.432 = 1 x 105 + 0 x 104 + 5 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100 ⇒
⇒ 105.432 = 1 x 100.000 + 0 x 10.000 + 5 x 1.000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 2
⇒ 105.432 = 100.000 + 0 + 5.000 + 400 + 30 + 2 ⇒
⇒ 105.432 = 105.432 (ok)
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3.5.2. Base Binária 
 
A base binária utiliza os algarismos 0 e 1 e o número é representadas por
potências de 2 (como são dois algarismos, são potências de 2). O
procedimento é o mesmo da base decimal (vale para todas as bases).
Exemplos: 
I) 101 na base binária representa qual número na base decimal? 
Algarismos da direita para a esquerda:
1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 20.
0 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 21.
1 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 22.
Portanto, o número 101 (base binária), na base decimal, é representado por:
101 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 ⇒
⇒ 101 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 ⇒
⇒ 101 = 4 + 0 + 1 ⇒
⇒ 101 (base binária) = 5 (base decimal)
II) 1011 
Algarismos da direita para a esquerda:
1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 20.
1 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 21.
0 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 22.
1 = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 23.
Portanto, o número 1011 (base binária), na base decimal, é representado por:
1011 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 ⇒
⇒ 1011 = 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 ⇒
⇒ 1011 = 8 + 0 + 2 + 1 ⇒
⇒ 1011 (base binária) = 11 (base decimal)
III) 110001 
Algarismos da direita para a esquerda:
1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 20.
0 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 21.
0 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 22.
0 = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 23.
1 = Algarismo de ordem 4. Será multiplicado por 24.
1 = Algarismo de ordem 5. Será multiplicado por 25.
Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por:
110001 = 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 ⇒
⇒ 110001 = 1 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 ⇒
⇒ 110001 = 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 ⇒
⇒ 110001 (base binária) = 49 (base decimal)
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Vai, pode me perguntar. Sei que você está curioso. Como fazer para passar de
decimal para binário? Neste caso, você deve pegar o número decimal e ir
dividindo por 2 (base binária) até que o quociente da divisão seja menor que a
base e o número será formado pelo quociente da última divisão e todos os
restos. Confuso? Vamos verificar com um exemplo:
Qual seria a representação binária do número 49? 
49 2
- 48 24 2
1 -24 
0 12 2 
-12
0 6 2
 -6
 0 3 2
 -2
 1 1 
 
 
 
49 (base decimal) = 110001 (base binária)
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3.6. Memorize para a prova 
 
Expoentes ou Potências 
Xn = X.X.X.X...X (X multiplicado por ele mesmo n vezes). 
 
Onde,
X = base (pode ser qualquer número real)
n = expoente (indica o número vezes que o número é multiplicado por ele
mesmo e também pode ser qualquer número real, positivo ou negativo).
Relações importantes: 
x0 = 1 ⇒ qualquer número elevado a zero é igual a 1.
x1 = x ⇒ qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.
0n = 0 ⇒ zero elevado a qualquer número é igual a 0.
X-n =
1 1 1 1 1
...
n
X X X X X
  = × × × 
 
⇒ expoente negativo ⇒ inverte a base e o
sinal do expoente, ou seja, se um número X tiver um expoente negativo -n,
pode ser representando por
1
X
elevado a um número positivo n. 
 
Propriedades dos Expoentes 
I) xn . xm = xn + m ⇒ multiplicação de potências de mesma base ⇒ conserva a
base e soma os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! 
II) xn : xm = xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base
e subtrai os expoentes. Atenção! As bases devem ser iguais! 
III) (xn)m= xn . m ⇒ potência da potência ⇒ multiplica os expoentes.
IV) (x . y)m = xm . ym ⇒ potencia de multiplicação ⇒ multiplicação de cada
termo elevado à potência.
V)
m m
m
x x
y y
 
= 
 
, y ≠ 0 ⇒ potencia de divisão ⇒ divisão de cada termo elevado
à potência.
 
Notação Científica 
Forma padrão: X . 10n 
Onde,
X = número entre 1 e 10 (Não pode ser 10); e
n = número inteiro positivo ou negativo
A potência de 10 vai ser positiva ou negativa, a depender que como
moveremos a vírgula. Se a vírgula for para a direita, o expoente n será
negativo. Se for para a esquerda, o expoente n será positivo. Difícil? Vamos
ver exemplos numéricos então.
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Radicais 
Raiz Quadrada 
Y = X ⇒Y2 = X.
Raízes quadradas mais comuns: 
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
49 7
64 8
81 9
100 10
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
121 11
144 12
169 13
196 14
225 15
256 16
289 17
324 18
361 19
400 20
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
900 30
1.600 40
2.500 50
3.600 60
4.900 70
6.400 80
8.100 90
10.000 100
1.000.000 1.000
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
Raiz Múltipla 
( )mn x , x∈ℝ e , , 1n m n∈ >ℕ
Outra forma de representação de raízes:
m
nx
Propriedades: 
I) n nx y+ . Estes radicais não podem ser combinados (a menos que se
calcule o resultado de cada um e realize a soma, pois os valores dentro dos
radicais são diferentes).
II) . .n na x b x+ . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro
dos radicais são iguaise os índices dos radicais também são iguais.
III) . .n na x b x− . Estes radicais podem ser combinados, pois os valores dentro
dos radicais são iguais e os índices dos radicais também são iguais.
IV) .n n nx y xy= . A multiplicação pode ser realizada, pois os índices dos
radicais (n) são iguais.
V) n n n
x
x y
y
÷ = . A divisão pode ser realizada, pois os índices dos radicais
(n) são iguais.
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VI) ( )nn x x= . Quando se eleva a uma potência igual a do radical, o resultado
é o próprio número.
VII) .m n m nx x= . Quando fazemos o “radical do radical”, o resultado pode ser
expresso por um único radical cujo índice será o valor correspondente à
multiplicação dos índices dos dois radicais.
Outros pontos importantes: 
x2 = a ⇒ x =
1
2a a± = ±
x3 = a ⇒ x =
1
3 3a a=
x4 = a ⇒ x =
1
4 4a a± = ±
 
Ordem das Operações 
Quando for calcular expressões com soma, subtração, divisão multiplicação,
potências, raízes a ordem de cálculo a ser adotada é:
1. Potências e raízes
2. Multiplicações e divisões
3. Adições e subtrações
Contudo, se houver sinais de agrupamento, como parênteses ( ), colchetes [ ],
chaves { }, você deve fazer primeiro as operações que estão dentro desses
sinais.
Logaritmo 
x = logb a ⇒ a = bx 
 
a = logaritmando, a > 0.
b = base, b ≠ 1 e b > 0.
x = logaritmo
Nota: Quando não aparecer o valor da base, a base é igual a 10. 
 
Propriedades dos logaritmos: 
 
1) Logaritmo do produto: logb xy = logb x + logb y.
2) Logaritmo do quociente: logb
x
y
= logb x - logb y
3) Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x
 
Nota: Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural (ln) ⇒ é o logaritmo
na base “e”, onde e é igual 2,718281... (número de Euler).
Representação: ln a = x ⇒ a = ex
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Base Decimal 
A base decimal utiliza algarismos de 0 a 9 e as unidades, dezenas, centenas,
milhares, etc, de um número são representadas por potências de 10 (como são
10 algarismos – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 – são potências de 10).
Exemplo: 
I) 123 
Algarismos da direita para a esquerda:
3 = Algarismo de ordem 0. Representa as unidades. Será multiplicado por 100.
2 = Algarismo de ordem 1. Representa as dezenas. Será multiplicado por 101.
1 = Algarismo de ordem 2. Representa as centenas. Será multiplicado por 102.
Portanto, o número 123, na base decimal, é representado por:
123 = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100
Sabemos que qualquer número elevado a zero é igual 1 e qualquer número
elevado a 1 é igual ao próprio número.
123 = 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 ⇒
⇒123 = 100 + 20 + 3 ⇒
⇒ 123 = 123 (ok).
 
Base Binária 
A base binária utiliza algarismos de 0 a 1 e o número é representadas por
potências de 2 (como são dois algarismos, são potências de 2). O
procedimento é o mesmo da base decimal (vale para todas as bases).
Exemplo: 
I) 101 na base binária representa qual número na base decimal? 
Algarismos da direita para a esquerda:
1 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 20.
0 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 21.
1 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 22.
Portanto, o número 101 (base binária), na base decimal, é representado por:
101 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 ⇒
⇒ 101 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 ⇒
⇒ 101 = 4 + 0 + 1 ⇒
⇒ 101 (base binária) = 5 (base decimal)
Qual seria a representação binária do número 49? 
 
49 2
- 48 24 2
1 -24 
0 12 2 
-12
0 6 2
 -6
 0 3 2
 -2
 1 1 
 
 
49 (base decimal) = 110001 (base binária)
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3.7. Exercícios de Fixação 
 
1.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que
os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que
2 3
3 3
x
z
y
−=
−
Com essas informações, conclui-se que:
a) x. y = − 6
b) x + y = 6
c) x. y = 0
d) x/y = 6
e) x. y = 6
 
2.(Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN–2008-Esaf)
Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade:
f(x) − (x + 1) f( 2 − x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informações,
conclui-se que f(0) é igual a:
a) – 2-1/3
b) 2-1/3
c) – 21/3
d) 2-2/3
e) – 2-2/3
3.(Auxiliar de Administração-TJ-CE-2002-Esaf) Qual a fração que dá
origem à dízima 2,54646... em representação decimal?
a) 2.521 / 990
b) 2.546 / 999
c) 2.546 / 990
d) 2.546 / 900
e) 2.521 / 999
4.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Um certo número X, formado por dois
algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos
algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da
diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela
inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos
algarismos de X é, por conseguinte, igual a:
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11
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5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Um televisor custa,
inicialmente, R$ 1.000,00 e tem seu preço reajustado a cada semestre a uma
taxa de 10%, significando, portanto, que o preço do televisor, vigente em
cada semestre é acrescido de 10%. Neste processo de reajuste, o número de
semestres necessários para que o televisor atinja o valor de R$ 10.000,00,
será de
a) Log10 (10)-1
b) Log10 (1,1)-1
c) Log10 10
d) 1 - Log10 1,1
e) [Log10 1,1] -1
 
6.(TTN-1997-Esaf) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da
seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente
de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do
dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário,
ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por
exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por
1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x
21) + (1 x 20). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos
números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
7.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo
morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias,
onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se
forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que
serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados
13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e
a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar
que o total de processos do lote é um número
(A) par.
(B) divisível por 5.
(C) múltiplo de 3.
(D) quadrado perfeito.
(E) primo.
 
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8.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que
apenas um dentre 12 Técnicos Judiciáriosse aposenta e é substituído por um
concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das
idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que
se aposentou é um número
(A) menor que 65.
(B) quadrado perfeito.
(C) primo.
(D) divisível por 4.
(E) múltiplo de 11.
9.(Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da
forma
10n
x
, em que x ∈ Z e n ∈ N. Com base nessa definição, se
0,00342
10 0,36n
x
= , é correto concluir que:
(A) x < 100 e n > 5
(B) 50 < x < 80 e n < 5
(C) x + n = 100
(D) x é ímpar e n é par
(E) x e n são ímpares 
 
10.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no
Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no
qual um número inteiro N pode ser representado como:
N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 +...+ a2.102 + a1.101 + a0.100, em que 0 ≤
ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n.
Nesse sistema, por exemplo, 8 903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as
operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja
unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto 2 014 deltas em compras
numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100
reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda
brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a
quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era
(A) 155.
(B) 152.
(C) 145.
(D) 143.
(E) 134.
 
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11.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número
escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x
por 10n , sendo 1 ≤ x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão
do número
0,000000245 1.872.000.000
0,0000000325 49.000
N
×
=
×
na notação científica é
(A) 2,08 ×103.
(B) 2,88 ×104.
(C) 2,08 ×104.
(D) 2,88 ×105.
(E) 2,08 ×105.
 
12.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) Considere o conjunto numérico constituído por números da forma pq,
com p pertencente ao conjunto dos inteiros positivos, e q pertencente ao
conjunto dos números inteiros. Um número real que pertence a esse conjunto
é
(A) -1
(B)
1
2
−
(C) 0
(D) 1
(E) 2
 
13.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) O valor da expressão log8 log25 log3 243 é um número x tal que
(A)
2 1
5 5
x− < <
(B)
2 3
5 5
x< <
(C)
4
1
5
x< <
(D)
4
1
3
x< <
(E)
4 5
3 3
x< <
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14.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) Se a média de gols por partida em um torneio escolar de futebol é 1,625,
o menor número possível de partidas é igual a
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 10
15.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Administração-
Maranhão-2009-FCC)Sendo x e y números reais positivos, vamos definir a
operação x y como sendo
x
y
. Nas condições estabelecidas, 8
3
2
é igual a
(A) 3
(B)
3 3
2
(C)
3 3
4
(D)
2 3
3
(E)
4 3
3
 
16.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009-
FCC)Como recurso didático para a discussão sobre a base de um sistema
posicional de numeração, um professor elaborou a seguinte estrutura de um
sistema ternário: zero, um, dois.
Alguns exemplos de números escritos nesse sistema em correspondência com
o sistema de numeração que usamos habitualmente são:
No sistema elaborado pelo professor, o número 78 deve ser representado por
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17.(Auxiliar Administrativo-Judiciária-TRF/2R-2007-FCC)Simplificando a
expressão 2
21 3
(2,3)
5 4
 + − 
 
obtém-se um número compreendido entre
(A) 1 e 5
(B) 5 e 10
(C) 10 e 15
(D) 15 e 20
(E) 20 e 25
18.(Professor Adjunto-Matemática-Secretaria Municipal de 
Educação/SP-2004-FCC) Um problema clássico consiste em calcular valores
de x de modo que 10x tenha resultados iguais a 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc, com boa
aproximação. O valor de x em 10x = 1 é x = 0, pois 100 = 1. Para calcular o
valor de x em 10x = 2, adotaremos a seguinte estratégia: vamos escrever
potências de 10 e potências de 2 e procurar, dentre elas, os valores mais
próximos.
101 = 10 23 = 8
102 = 100 28 = 256
103 = 1 000 29 = 512
104 = 10 000 210 = 1 024
105 = 100 000 211 = 2 048
1000 para 1024, teremos:
1 000 ≅ 1 024
103 ≅ 210 
Extraindo a raiz décima de ambos os membros, ficaremos com o seguinte:
3
3 10 0,31010 1010 2 10 2 10 2 0,3x≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅
Com base nesse procedimento e considerando a aproximação entre 2 × 104 =
20 000 e 39 = 19 683, o valor de x para 10x =3 é
(A) 0,330
(B) 0,410
(C) 0,478
(D) 0,555
(E) 0,984
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3.8. Gabarito 
1. E 
2. A 
3. A 
4. D 
5. E 
6. E 
7. E 
8. E 
9. D 
10. E 
11. D 
12. D 
13. A 
14. D 
15. E 
16. B 
17. A 
18. C 
 
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3.9. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 
 
1.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que
os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que
2 3
3 3
x
z
y
−=
−
Com essas informações, conclui-se que:
a) x. y = − 6
b) x + y = 6
c) x. y = 0
d) x/y = 6
e) x. y = 6
 
Resolução 
 
Lembra desta questão? Pois é, nesta aula, como já aprendemos os radicais,
resolverei de outra maneira.
Repare que, para tornar z um número racional, devemos, inicialmente,
“racionalizar o denominador” e, depois eliminar os termos não racionais do
numerador. Opa, professor. Como faremos isso? Calma, vou ensinar aqui e
veremos em aulas posteriores novamente.
Se possuo uma fração do tipo
x
y
a b
z
c d
+=
+
, para racionalizar o denominador
devo multiplicá-lo por c d y− . Para não alterar a proporcionalidade da
fração, devemos multiplicar também o numerador. Vejamos:
c d ya b x
z
c d y c d y
−+
= ×
+ −
Quando multiplico ( ) ( )c d y c d y+ × − veja o resultado que dá:
2
2 2 2 2 2 2 22
( ) ( ) . . . . . . . .
.( ) . .
c d y c d y c c c d y c d y d d y y
c d y c d y c d y
+ × − = − + − =
= − = − = −
Ou seja, sumiu o radical e “racionalizei o denominador”. Pura mágica! Risos.
Agora, se o denominador fosse c d y− , bastava multiplicar o numerador e o
denominador por c d y+ , ou seja, basta multiplicar por uma expressão com
os mesmos termos invertendo o sinal entre os termos.
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Disso tudo, tiramos uma expressão importante para memorizar para a prova
(veremos novamente em outras aulas): (a + b).(a – b) = a2 – b2
Voltando a “vaca fria”, ou melhor, a nossa questão, teríamos:
2 3
3 3
x
z
y
−=
−
Para racionalizar o denominador, devemos multiplicá-lo por 3 3y+ . Para não
alterar a expressão, devemos multiplicar o numerador pelo mesmo valor.
Portanto,teríamos:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2
2 3 . 3 32 3 3 3
3 3 3 3 3 3 . 3 3
.3 3 2 3.3 2 3. 3
3 3
3 3 6 3 2 3
9 . 3
3 3 6 3 2 .3 3 3 6 3 6
9 .3 9 3.
x yx y
z
y y y y
x xy y
z
y
x xy y
z
y
x xy y x xy y
z
y y
− +− +
= × = ⇒
− + − +
+ − −
⇒ = ⇒
−
+ − −
⇒ = ⇒
−
+ − − + − −
⇒ = =
− −
 
Repare que o denominador já é um número racional (9 – 3y2), pois y é
racional.
Para que o numerador seja um número racional, devo eliminar os termos com
3 , ou seja: xy 3 - 6 3 deve ser igual a zero.
xy 3 - 6 3 = 0 ⇒ xy 3 = 6 3 ⇒x.y = 6 
 
Deste modo, teríamos que
2
3 6
9 3
x y
z
y
−
=
−
(racional).
E aí? Preferiu esta resolução à resolução da aula 0? Bom, você pode resolver
das duas maneiras.
GABARITO: E
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2.(Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN–2008-Esaf)
Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade:
f(x) − (x + 1) f( 2 − x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informações,
conclui-se que f(0) é igual a:
a) – 2-1/3
b) 2-1/3
c) – 21/3
d) 2-2/3
e) – 2-2/3
Resolução 
 
Para resolver a questão, temos que relembrar duas propriedades de potências:
I) xn : xm= xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base e
subtrai os expoentes. Ex: 24 : 22= 22
II) (xn)m= xn . m ⇒ potência de potência ⇒ multiplica os expoentes.
Ex: (24)2= 28
Sabemos, de nossa aula que:
2= 21/2
3 x = x1/3 
 
Portanto, podemos substituir a expressão f(x) − (x + 1) f( 2 − x) = 3 x por:
f(x) − (x + 1) f(21/2 − x) = x1/3 
 
O enunciado da questão pede que calculemos f(0), ou seja, o valor da
expressão para x = 0. Substituindo x na expressão, teríamos:
x = 0 ⇒ f(0) − (0 + 1) f(21/2 − 0) = 01/3 ⇒
⇒ f(0) – 1 x f(21/2) = 0 ⇒ f(0) = f(21/2) (I)
Beleza. Sabemos que f(0) = f(21/2). Contudo, não temos o valor de f(21/2).
Tudo bem, não temos ainda, mas podemos substituir x = 21/2 na mesma
expressão, que vale para qualquer x, e calcular f(21/2). Vamos lá:
x = 21/2 ⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) . f(21/2 − 21/2) = (21/2)1/3 ⇒
⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 2 (1/2).(1/3) ⇒
⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 21/6 (II)
Como calculamos, em (I), que f(0) = f(21/2), substituindo (I) em (II):
f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 21/6 ⇒
⇒ f(0) – (21/2 + 1) . f(0) = 21/6 ⇒
⇒ f(0) – 21/2 . f(0) – f(0) = 21/6 ⇒
⇒ f(0) – f(0) – 21/2 . f(0) = 21/6 ⇒
⇒ – 21/2 . f(0) = 21/6 ⇒
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⇒ f(0) =
1
6
1
2
2
2
−
⇒
⇒ f(0) = – 21/6 – 1/2 ⇒
Repare que, no expoente de 2, temos que fazer o seguinte cálculo:
1 1 1 1 3 1 3 2 1
6 2 6 2 3 6 6 3
− − −
− = − × = = =
O m.m.c dos denominadores 2 e 6 é igual a 6.
⇒ f(0) = – 2 (1-3)/6 ⇒
⇒ f(0) = – 2 -2/6 = – 2 -1/3
GABARITO: A
3.(Auxiliar de Administração-TJ-CE-2002-Esaf) Qual a fração que dá
origem à dízima 2,54646... em representação decimal?
a) 2.521 / 990
b) 2.546 / 999
c) 2.546 / 990
d) 2.546 / 900
e) 2.521 / 999
Resolução 
 
Para calcular a fração, precisamos, justamente, eliminar as casas decimais.
Vejamos:
X = 2,54646.... (I)
Se multiplicarmos (I) por 10 dos dois lados, a igualdade não se altera:
10.X = 10 . 2,54646... = 25,4646.... (II)
Se multiplicarmos (I) por 1.000 dos dois lados, a igualdade não se altera:
1.000.X = 1.000 . 2,54646.... = 2.546,4646... (III)
Subtraindo (II) de (III), temos:
(III) – (II) ⇒
⇒ 1.000.X – 10.X = 2.546,4646... - 25,4646... ⇒
⇒ 990.X = 2.521 ⇒
⇒ X = 
2.521
990
 
Nota: Repare que você deve multiplicar o número por potências de 10 de
modo que a parte do número após a vírgula seja igual nas duas multiplicações,
pois, assim, ao realizar a subtração, é possível eliminar a parte do número
após a vírgula. Por isso, multipliquei por 10 e 1.000 e fiz a subtração de um
resultado pelo outro.
GABARITO: A
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4.(Analista-Serpro-2001-Esaf) Um certo número X, formado por dois
algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos
algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da
diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela
inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos
algarismos de X é, por conseguinte, igual a:
a) 7
b) 10
c) 13
d) 9
e) 11
Resolução 
 
Vamos decifrar o enunciado:
Informação 1: Um certo número X, formado por dois algarismos, é o
quadrado de um número natural.
I) X ⇒ formado por dois algarismos (a1 e a2) ⇒
X = a1a2 = B2 (igual ao quadrado de um número natural).
Logo, como X só possui dois algarismos, pode ser:
X = 16 = 42
X = 25 = 52
X = 36 = 62
X = 49 = 72
X = 64 = 82
X = 81 = 92
A partir de 102 já seriam 3 algarismos (102 = 100).
Informação 2: Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-
se um número ímpar
II) X´= a2a1 ⇒ ímpar
Logo, se trocamos os algarismos de X, o número formado X´ deve ser ímpar:
X = 16 ⇒ X´= 61 ⇒ ímpar (ok)
X = 25 ⇒ X´= 52 ⇒ par (eliminado)
X = 36 ⇒ X´= 63 ⇒ ímpar (ok)
X = 49 ⇒ X´= 94 ⇒ par (eliminado)
X = 64 ⇒ X´= 46 ⇒ par (eliminado)
X = 81 ⇒ X´= 18 ⇒ par (eliminado)
Com isso, ficamos apenas com:
X = 16 ⇒ X´= 61 ⇒ ímpar (ok)
X = 36 ⇒ X´= 63 ⇒ ímpar (ok)
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Informação 3: O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é,
entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um
número natural.
III) Valor absoluto de X – X´= C3
X = 16 ⇒ X´= 61 ⇒
⇒ |X – X´| = |16 – 61| = |-45| = 45 ⇒
⇒ 45 = 9 . 5 = 32 . 5 (não corresponde a um número elevado cubo) ⇒
eliminado
 
X = 36 ⇒ X´= 63 ⇒
⇒ |X – X´| = |36 – 63| = |-27| = 27 = 33 (corresponde a 3 elevado ao cubo)
⇒ ok
Soma dos algarismos de X = 3 + 6 = 9 
GABARITO: D
5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Um televisor custa,
inicialmente, R$ 1.000,00 e tem seu preço reajustado a cada semestre a uma
taxa de 10%, significando, portanto, que o preço do televisor, vigente em
cada semestre é acrescido de 10%. Neste processo de reajuste, o número de
semestres necessários para que o televisor atinja o valor de R$ 10.000,00,
será de
a) Log10 (10)-1
b) Log10 (1,1)-1
c) Log10 10
d) 1 - Log10 1,1
e) [Log10 1,1] -1
 
Resolução 
 
Para resolver a questão precisamos entender como funcionam os percentuais
(%). Vou mostrar aqui, mas veremos em aula posterior:
Percentual: p% = 
100
p
 
Exemplo: 
20% =
20
100
= 0,20
Em relação à questão, temos:
Televisor ⇒ Preço Inicial = R$ 1.000,00
Reajuste a cada semestre ⇒ 10% =
10
100
= 0,10
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Preço após o primeiro semestre = 1.000 + 10% x 1.000 ⇒
⇒ Preço após o primeiro semestre = 1.000 + 0,10 x 1.000 ⇒
⇒ Preço após o primeiro semestre = (1 + 0,10) x 1.000 ⇒
⇒ Preço após o primeiro semestre = 1,10 x 1.000
Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) + 10% x (1.000 x 1,10) ⇒
⇒ Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) + 0,10 x (1.000 x 1,10)
Colocando (1.000 x 1,10) em evidência, pois aparece nos dois termos:⇒ Preço após o segundo semestre = (1.000 x 1,10) x (1 + 0,10) ⇒
⇒ Preço após o segundo semestre = 1.000 x 1,10 x 1,10 ⇒
⇒ Preço após o segundo semestre = 1.000 x 1,102 = 1,102 x 1.000
(...)
Preço após o enésimo semestre (após n semestres) = 1,1n x 1.000
Semestres necessários para que o preço chegue a R$ 10.000,00
Preço após o enésimo semestre = 1,1n x 1.000 = 10.000 ⇒
⇒ 1,1n =
10.000
1.000
= 10
Para achar o n, vamos transformar a expressão em logarítmica (log10). De que
forma? Inclua o log10 dos dois lados da equação:
⇒ log10 (1,1)n = log10 10 = 1
(*) log10 10 = x ⇒ 10x= 10 ⇒ x = 1
Propriedade do logaritmo (relembrando): 
Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x 
⇒ log10 (1,1)n = log10 10 = 1 ⇒
⇒ n. log10 1,1 = 1 ⇒
⇒ n = 1/ (log10 1,1) ⇒
⇒ n = (log10 1,1)-1 
GABARITO: E
 
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6.(TTN-1997-Esaf) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da
seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente
de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do
dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário,
ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por
exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por
1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x
21) + (1 x 20). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos
números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
Resolução 
 
Vamos relembrar os conceitos:
Repare que, para determinar um número, em uma base específica, eu devo
multiplicar os seus algarismos pela base elevada à posição dos algarismos.
Vejamos:
Número: ABCD na base decimal.
A ⇒ algarismo da posição 3 (milhares)
B ⇒ algarismo da posição 2 (centenas)
C ⇒ algarismo da posição 1 (dezenas)
D ⇒ algarismo da posição 0 (unidades)
Pode ser representado por:
Número = A x 103 + B x 102 + C x 101 + D x 100
Exemplos: 
I) Número (base decimal) = 3.567 
Número = 3 x 103 + 5 x 102 + 6 x 10 + 7 x 100 ⇒
⇒ Número = 3 x 1.000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 7 x 1 ⇒
⇒ Número = 3.000 + 500 + 60 + 7 = 3.567
II) Número (base decimal) = 641 
Número = 6 x 102 + 4 x 10 + 1 x 100 ⇒
⇒ Número = 6 x 100 + 4 x 10 + 1 x 1 ⇒
⇒ Número = 600 + 40 + 1 = 641
III) Número (base decimal) = 40.502 
Número = 4 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 10 + 2 x 100 ⇒
⇒ Número = 4 x 10.000 + 0 x 1.000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 2 x 1 ⇒
⇒ Número = 40.000 + 0 + 500 + 0 + 2 = 40.502
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A base decimal é chamada assim, pois possui 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9.
A base binária só possui dois algarismos: 0 e 1
Na questão, devemos passar um número de binário (base 2) para decimal
(base 10). Portanto, basta pegar o número binário e multiplicar pela base
elevada à posição dos algarismos:
Número Binário = 1011
1 ⇒ posição 3 ⇒ 23
0 ⇒ posição 2 ⇒ 22
1 ⇒ posição 1 ⇒ 21
1 ⇒ posição 0 ⇒ 20
Número Decimal = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Número Binário = 101
1 ⇒ posição 2 ⇒ 22
0 ⇒ posição 1 ⇒ 21
1 ⇒ posição 0 ⇒ 20
Número Decimal = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 4 + 0 + 1 = 5
Soma dos números decimais = 11 + 5 = 16 
GABARITO: E
7.(Analista Judiciário-Administrativa-TRF/15R-2010-FCC) No arquivo
morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias,
onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se
forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 processos, que
serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados
13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e
a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar
que o total de processos do lote é um número
(A) par.
(B) divisível por 5.
(C) múltiplo de 3.
(D) quadrado perfeito.
(E) primo.
 
Resolução 
 
Vamos “decifrar” a questão:
 
Informação 1: Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira,
sobrarão apenas 9 processos, que serão acomodados na única prateleira
restante.
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Se considerarmos que o número de prateleiras é igual a p e o número de
processos é igual a n, teríamos:
8 processos x (p – 1) prateleira + 9 processos x 1 prateleira = n ⇒
(em “português” 8 processos por prateleira até a penúltima e mais 9 processos
na última)
⇒ 8 x (p – 1) + 9 = n ⇒ 
⇒ 8p – 8 + 9 = n ⇒ 
⇒ 8p + 1 = n (I)
Informação 2: Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira,
uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2
processos.
 
13 processos x (p – 2) prateleira + 2 processos x 1 prateleira = n ⇒
(em “português” 13 processos por prateleira até a antepenúltima e mais 2
processos na penúltima e uma prateleira ficará vazia)
⇒ 13 x (p – 2) + 2 = n ⇒ 
⇒ 13p – 26 + 2 = n ⇒ 
⇒ 13p – 24 = n (II)
⇒ 8p + 1 = n (I)
⇒ 13p – 24 = n (II)
Igualando as expressões, tendo em vista que ambas são iguais a n:
(II) = (I) ⇒ 8p + 1 = 13p – 24 ⇒
⇒ 13p – 8p = 1 + 24 ⇒
⇒ 5p = 25 ⇒
⇒ p = 25/5 = 5 prateleiras
Substituindo p em (I) (poderia ser em (II) também):
n = 8p + 1 = 8 x 5 + 1 = 40 + 1 = 41 processos
Vamos analisar as alternativas:
(A) par. Incorreta, pois 41 é ímpar.
(B) divisível por 5. Incorreta, pois 41 não é divisível por 5.
(C) múltiplo de 3. Incorreta, pois 41 não é múltiplo de 3.
(D) quadrado perfeito. Incorreta, pois 41 não é quadrado perfeito.
(E) primo. Correta, pois 41 só é divisível por 1 e por ele mesmo sendo, 
por conseguinte, um número primo. 
GABARITO: E
 
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8.(Técnico Judiciário-Administrativa-TRF/4R-2010-FCC) Suponha que
apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um
concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das
idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que
se aposentou é um número
(A) menor que 65.
(B) quadrado perfeito.
(C) primo.
(D) divisível por 4.
(E) múltiplo de 11.
Resolução 
 
Vamos “decifrar” a questão:
Informações: Apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é
substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como
consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos.
Suponha que as idades dos técnicos judiciários sejam: A, B, C, D, E, F, G, H, I,
J, K e L e suponha que a idade do técnico que se aposentou seja L.
A média das idades inicial era:
Média Inicial =
12
A B C D E F G H I J K L+ + + + + + + + + + +
Se o técnico com idade L se aposentar e entrar um técnico com 24 anos de
idade em seu lugar, a nova média será:
Média Final =
24
12
A B C D E F G H I J K+ + + + + + + + + + +
De acordo com o enunciado, com a entrada do novo técnico no lugar do
técnico aposentado, houve uma diminuição na média de 3,5 anos. Portanto,
teríamos:
Média Inicial – Média Final = 3,5 anos ⇒
⇒
12
A B C D E F G H I J K L+ + + + + + + + + + +
-
-
24
12
A B C D E F G H I J K+ + + + + + + + + + +
= 3,5 ⇒
24
12
A A B B C C D D E E F F G G H H I I J J K K L− + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + −
=3,5
⇒
24
3,5
12
L −
=
Multiplicando em cruz: L – 24 = 12 x 3,5⇒ L – 24 = 42 ⇒ L = 42 + 24 ⇒
⇒ L = 66 anos 
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Analisando as alternativas:
(A) menor que 65. Incorreta, pois 66 é maior que 65.
(B) quadrado perfeito. Incorreta, pois 66 não é um quadrado perfeito.
(C) primo. Incorreta, pois 66, por exemplo, é divisível por 2 e, portanto, não é
primo.
(D) divisível por 4. Incorreta, pois 66 não é divisível por 4.
(E) múltiplo de 11. Correta, pois 66 é múltiplo de 11 (11 x 6 = 66). 
GABARITO: E
9.(Engenheiro-Dnocs-2010-FCC) Chama-se fração decimal toda fração da
forma
10n
x
, em que x ∈ Z e n ∈ N. Com base nessa definição, se
0,00342
10 0,36n
x
= , é correto concluir que:
(A) x < 100 e n > 5
(B) 50 < x < 80 e n < 5
(C) x + n = 100
(D) x é ímpar e n é par
(E) x e n são ímpares 
 
Resolução 
 
Para calcular
0,00342
10 0,36n
x
= , vamos, inicialmente, passar o numerador e o
denominador da fração à direita para frações.
0,00342 =
342
100.000
(como são 5 casas decimais após a vírgula, o denominador
da fração decimal terá 5 zeros).
0,36 =
36
100
(como são 2 casas decimais após a vírgula, o denominador da
fração decimal terá 2 zeros).
Portanto, teríamos a seguinte expressão:
342
100.000
3610
100
342 100
10 100.000 36
n
n
x
x
= ⇒
⇒ = × ⇒
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342 100
10 100.000 36
342
10 1.000 36
n
n
x
x
×
⇒ = ⇒
×
⇒ =
×
(repare que dividi o numerador e o denominador da fração à direita por 100)
Se dividirmos 342 por 36:
342 36
- 324 9,5
180 
- 180
0
Logo, a expressão final seria:
9,5
10 1.000n
x
⇒ = ⇒ 
Como x deve ser inteiro (de acordo com o enunciado e com a definição de
fração decimal), vamos multiplicar a fração à direita por 10 (numerador e
denominador)
4
9,5 10
10 1.000 10
95
10 10.000
95
10 10
n
n
n
x
x
x
⇒ = × ⇒
⇒ = ⇒
⇒ =
 
Ou seja: x = 95 e n = 4. 
 
Analisando as alternativas:
(A) x < 100 e n > 5. Incorreta, pois n < 5.
(B) 50 < x < 80 e n < 5. Incorreta, pois x > 80.
(C) x + n = 100. Incorreta, pois x + n = 95 + 4 = 99.
(D) x é ímpar e n é par. Correta, pois x é ímpar (95) e n é par (4). 
(E) x e n são ímpares. Incorreta, pois n é par. 
GABARITO: D
 
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10.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Sabe-se que, no
Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no
qual um número inteiro N pode ser representado como:
N = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 +...+ a2.102 + a1.101 + a0.100, em que 0 ≤
ai < 10 , para todo 0 ≤ i ≤ n.
Nesse sistema, por exemplo, 8 903 = 8.103 + 9.102 + 0.101 + 3.100
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as
operações financeiras eram feitas num sistema de numeração de base 6 e cuja
unidade monetária era o “delta”. Após ter gasto 2.014 deltas em compras
numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100
reais, Benivaldo convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda
brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda local. Nessas condições, a
quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era
(A) 155.
(B) 152.
(C) 145.
(D) 143.
(E) 134.
Resolução 
Nesta questão, temos um sistema com base 6. Se é na base 6, os algarismos
utilizados será 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e as potências terão como base o 6.
I) 2.014 na base seis representa qual número na base decimal? 
Algarismos da direita para a esquerda:
4 = Algarismo de ordem 0. Será multiplicado por 60.
1 = Algarismo de ordem 1. Será multiplicado por 61.
0 = Algarismo de ordem 2. Será multiplicado por 62.
2 = Algarismo de ordem 3. Será multiplicado por 63.
Portanto, o número 2.014 (base seis), na base decimal, é representado por:
2.014 = 2 x 63 + 0 x 62 + 1 x 61 + 4 x 60 ⇒
⇒ 2.014 = 2 x 216 + 0 x 36 + 1 x 6 + 4 x 1 ⇒
⇒ 2.014 = 432 + 0 + 6 + 4 ⇒
⇒ 2.014 (base seis) = 442 (base decimal)
Como Benivaldo possuía 5 notas de 100 reais (500 reais), o troco, em reais,
será: Troca = 500 – 442 = 58 reais.
Contudo a questão pede o troco em deltas, que é base 6. Para sair de uma
base decimal (troco em reais) para a base 6, troco em deltas, temos que
utilizar o seguinte procedimento:
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58 6
- 54 9 6
4 -6 
3 1 
Troco (na base 6) = 134 deltas 
GABARITO: E
11.(Analista Judiciário-Informática-TRF/4R-2010-FCC) Um número
escrito na notação científica é expresso pelo produto de um número racional x
por 10n , sendo 1 ≤ x < 10 e n um número inteiro. Dessa forma, a expressão
do número
0,000000245 1.872.000.000
0,0000000325 49.000
N
×
=
×
na notação científica é
(A) 2,08 ×103.
(B) 2,88 ×104.
(C) 2,08 ×104.
(D) 2,88 ×105.
(E) 2,08 ×105.
 
Resolução 
 
Vamos, inicialmente, achar as notações científicas de cada número:
I) 0,000000245 ⇒Notação Científica = 2,45 x 10-7
Repare que andei a vírgula sete vezes para a direita: O número era
0,000000245 e ficou 2,45. Portanto, se andei a vírgula sete vezes para a
direita, n = -7 (negativo). 
 
II) 1.872.000.000 ⇒Notação Científica = 1,872 x 109
Repare que andei a vírgula nove vezes para a esquerda: O número era
1.872.000.000 e ficou 1,872000000. Portanto, se andei a vírgula nove vezes
para a esquerda, n = 9 (positivo). 
III) 0,0000000325 ⇒Notação Científica = 3,25 x 10-8
Repare que andei a vírgula oito vezes para a direita: O número era
0,0000000325 e ficou 3,25. Portanto, se andei a vírgula oito vezes para a
direita, n = -8 (negativo). 
IV) 49.000 ⇒ Notação Científica = 4,9 x 104
Repare que andei a vírgula quatro vezes para a esquerda: O número era
49.000 e ficou 4,9000. Portanto, se andei a vírgula quatro vezes para a
esquerda, n = 4 (positivo). 
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A expressão ficaria da seguinte maneira:
7 9
8 4
2,45 10 1,872 10
3,5 10 4,9 10
N
−
−
× × ×
=
× × ×
Relembrando que, na multiplicação de potências de mesma base, os expoentes
são somados e, na divisão de potências de mesma base, os expoentes são
subtraídos, teremos:
7 9 2
8 4 4
2 ( 4)
6
2,45 10 1,872 2,45 10 1,872
3,25 10 4,9 3,25 10 4,9
2,45 10 1,872 2,45 1,872
10
3,25 4,9 3,25 4,9
N
N
− +
− + −
− −
× × × ×
= = ⇒
× × × ×
× × ×
⇒ = = ×
× ×
E aí? Precisamos fazer as contas precisas? É claro que não. Veja: 2,45 é
exatamente a metade de 4,9. Portanto podemos dividir o numerador e o
denominador por 2,45, sem alterar a proporção.
6 62,45 1,872 2,45 1,872
10 10
3,25 4,9 2,45 3,25 2
N
×
= × ÷ = ×
× ×
Como o numerador (1,872) ficou menor que o denominador (3,25 x 2), vamos
“ceder” um 10 da potência ao numerador, pois a notação científica ficaria
erradamente representada por um número 0,....x106.
6 5 51,872 1,872 10 1,872 5
10 10 10
3,25 2 3,25 2 3,25
N
× ×
= × = × = ×
× ×
(repare que dividi o 10 do numerador pelo 2 do denominador).
Se considerarmos que 1,872 é aproximadamente igual a 2 e que 3,25 é
aproximadamente 3,3, teríamos a seguinte expressão:
5 52 5 10
10 10
3,3 3,3
N
×
= × = ×
Repare que 3,3x 3 = 9,9. Portanto, podemos dizer que 10 divididos por 3,3 é,
aproximadamente, 3. Finalmente, teríamos:
5 510
10 3 10
3,3
N = × = × . A resposta que mais se aproxima é a letra “d”.
(D) 2,88 ×105. 
Se você quiser fazer a conta exata:
5 5 51,872 5 9,36
10 10 2,88 10
3,25 3,25
N
×
= × = × = ×
GABARITO: D
 
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12.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) Considere o conjunto numérico constituído por números da forma pq,
com p pertencente ao conjunto dos inteiros positivos, e q pertencente ao
conjunto dos números inteiros. Um número real que pertence a esse conjunto
é 
(A) -1
(B)
1
2
−
(C) 0
(D) 1
(E) 2
 
Resolução 
 
É um número da forma: pq.
De acordo com o enunciado, p pertence ao conjunto dos inteiros positivos. Se
p é um número positivo, um número positivo elevado a qualquer número será
sempre um número positivo.
Com isso, eliminamos as alternativas “a” (-1 é um número negativo), “b” (
1
2
−
é um número negativo) e “c” (0 não é um número positivo e nem negativo).
Vamos analisar as alternativas “d” e “e”.
(D) 1. Teríamos que achar um número pq = 1. Repare que, se p for igual a 1
(inteiro positivo previsto no enunciado) e q for igual igual a 1 (número inteiro
de acordo com o enunciado), então:
Pq = 11 = 1. Esta alternativa está CORRETA. 
 
(E) 2 . Teríamos que achar um número pq = 2=
1
22 . Nesta situação, p é
um inteiro positivo (igual a 2), mas q não é inteiro, pois é igual a
1
2
, o que é
contrário à informação do enunciado. Portanto, a alternativa “e” está incorreta. 
 
GABARITO: D
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13.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) O valor da expressão log8 log25 log3 243 é um número x tal que
(A)
2 1
5 5
x− < <
(B)
2 3
5 5
x< <
(C)
4
1
5
x< <
(D)
4
1
3
x< <
(E)
4 5
3 3
x< <
Resolução 
Na se assuste! Repare que a conta possui três logaritmos (log do log do log),
mas basta fazer um de cada vez. Vamos lá! Primeiramente, vamos fatorar
243:
243 3
81 3
27 3
9
3
1
3
3
Portanto, 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35
I) Cálculo do primeiro log:
log3 243 = log3 35 = z ⇒3z = 35 ⇒ z = 5 (resultado do primeiro log)
II) Cálculo do segundo log: 
log25 log3 35 = log25 5 = y ⇒25y = 5 ⇒ (52)y = 51 ⇒ 52y = 51 ⇒
⇒ 2y = 1 ⇒ y =
1
2
(resultado do segundo log)
III) Cálculo do terceiro log:
Relembrando: X-n =
1
nX
log8 log25 5 = log8
1
2
= x ⇒8x =
1
2
⇒ (23)x = 2-1 ⇒ 23x = 2-1 ⇒
⇒ 3x = -1 ⇒ x = 
1
3
− (resultado final). 
Portanto,
2 1
5 5
x− < < . GABARITO: A
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14.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Educação/SP-2009-
FCC) Se a média de gols por partida em um torneio escolar de futebol é 1,625,
o menor número possível de partidas é igual a
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 10
Resolução 
O número de partidas de um torneio de escolar deve ser um número inteiro
positivo, assim como o número total de gols. Como para achar a média, temos
que dividir o número total de gols (G) pelo número de partidas (N), temos
que:
1,625
G
N
= ⇒ G = 1,625 x N (deve ser inteiro)
Vamos testar as hipóteses:
(A) 4 ⇒ G = 1,625 x N = 1,625 x 4 = 6,5. Ou seja, por esta alternativa,
percebe-se que se multiplicarmos o resultado mais uma vez por 2,
encontraremos um número inteiro (6,5 x 2 = 13). Portanto, um número de
partidas possível será 8 (4 x 2), o que nos remete à alteranativa “d”.
(D) 8 ⇒ G = 1,625 x N = 1,625 x 8 = 13 
GABARITO: D
15.(Professor-Matemática-Secretaria de Estado de Administração-
Maranhão-2009-FCC)Sendo x e y números reais positivos, vamos definir a
operação x y como sendo
x
y
. Nas condições estabelecidas, 8
3
2
é igual a
(A) 3
(B)
3 3
2
(C)
3 3
4
(D)
2 3
3
(E)
4 3
3
 
 
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Resolução 
 
De acordo com a questão: x y =
x
y
Portanto, teremos:
8
3
2
=
8 2 16 16 4
8
3 3 3 3 3
2
= × = = =
Professor, não há alternativa correta!!! Calma, pois há alternativa correta,
mas, mais uma vez, houve uma racionalização do denominador. Perceba que,
para eliminarmos a raiz quadrada de 3 do denominador, basta multiplicar o
denominador por raiz quadrada de 3. Para não alterar a fração, temos que
multiplicar o numerador também por raiz quadrada de 3.
8
3
2
=
2
4 3 4 3 4 3 4 3
33 3 3 3 3
× = = =
×
GABARITO: E
16.(Professor-Matemática-Secretaria Municipal de Educação/SP-2009-
FCC)Como recurso didático para a discussão sobre a base de um sistema
posicional de numeração, um professor elaborou a seguinte estrutura de um
sistema ternário: zero, um, dois.
Alguns exemplos de números escritos nesse sistema em correspondência com
o sistema de numeração que usamos habitualmente são:
No sistema elaborado pelo professor, o número 78 deve ser representado por
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Resolução 
Nesta questão temos um sistema com base 3 (ternária). Para escrever 78
(base decimal) na base ternária, adotaremos o mesmo procedimento explicado
em aula para base binária. Contudo, como a base é ternária (3 algarismos),
temos que dividir sempre por 3. Vejamos:
 
78 3
- 78 26 3
0 -24 
2 8 3 
-2
2 2
 
 
 
78 (base decimal) = 2220
Substituindo pelos símbolos: zero, um, dois.
78 (base decimal) = 
(“três carinhas sorrindo e uma carinha triste”). 
GABARITO: B
17.(Auxiliar Administrativo-Judiciária-TRF/2R-2007-FCC)Simplificando a
expressão 2
21 3
(2,3)
5 4
 ÷ − 
 
obtém-se um número compreendido entre
(A) 1 e 5
(B) 5 e 10
(C) 10 e 15
(D) 15 e 20
(E) 20 e 25
Resolução 
Vamos, inicialmente, calcular a potência:
Lembrando da notação decimal: 2,3 =
23
10
Portanto, (2,3)2 =
2
23 23 23 529
10 10 10 100
×  = =  × 
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Cálculo da outra expressão:
21 3
5 4
 − 
 
Repare que o m.m.c dos denominadores 5 e 4 é 20 (5 x 4). Portanto,
igualando os denominadores, teríamos:
21 3 21 4 3 5 84 15 84 15 69
5 4 5 4 4 5 20 20 20 20
− − = × − × = − = = 
 
Juntando os cálculos:
529 69
100 20
÷
529 69 529 20 529 20 529
100 20 100 69 100 69 5 69
×
÷ = × = =
× ×
Vamos fazer nossas aproximações?
529 é aproximadamente igual a 530.
69 é aproximadamente igual a 70.
Portanto, teríamos:
529 530 530
5 69 5 70 350
= =
× ×
Como 350 multiplicado por 2 é igual a 700, então a divisão de 530 (que 
é menor que 700) por 350 será um número entre 1 e 2. Logo, a 
resposta correta é a alternativa “a”. 
GABARITO: A
18.(Professor Adjunto-Matemática-SecretariaMunicipal de 
Educação/SP-2004-FCC) Um problema clássico consiste em calcular valores
de x de modo que 10x tenha resultados iguais a 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc, com boa
aproximação. O valor de x em 10x = 1 é x = 0, pois 100 = 1. Para calcular o
valor de x em 10x = 2, adotaremos a seguinte estratégia: vamos escrever
potências de 10 e potências de 2 e procurar, dentre elas, os valores mais
próximos.
101 = 10 23 = 8
102 = 100 28 = 256
103 = 1 000 29 = 512
104 = 10 000 210 = 1 024
105 = 100 000 211 = 2 048
1000 para 1024, teremos:
1 000 ≅ 1 024
103 ≅ 210 
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Extraindo a raiz décima de ambos os membros, ficaremos com o seguinte:
3
3 10 0,31010 1010 2 10 2 10 2 0,3x≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅
Com base nesse procedimento e considerando a aproximação entre 2 × 104 =
20.000 e 39 = 19.683, o valor de x para 10x =3 é
(A) 0,330
(B) 0,410
(C) 0,478
(D) 0,555
(E) 0,984
Resolução 
A questão quer calcular o valor x, de modo que 10x = 3, utilizando o
procedimento adotado na questão. Além disso, já foi informado que:
2 × 104 = 20.000 é aproximadamente igual a 39 = 19.683.
Portanto, teríamos:
2 x 104 ≅ 39
Extraindo a raiz nona de ambos os membros, ficaremos com o seguinte:
4 99 92 10 3× ≅
Como, a questão informou que 100,3 = 2, substituindo 2 na expressão acima
teríamos:
4 9 0,3 4 9 4 0,3 9 4,3 99 9 9 9 9 9 9 9
4,3
9
2 10 3 10 10 3 10 3 10 3
10 3
+× ≅ ⇒ × ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅ ⇒
⇒ ≅
Vamos fazer nossas aproximações? Repare que a metade 9 é 4,5. Portanto, ao
dividirmos 4,3 por 9, o resultado deve ser menor que a metade (menor que
0,5).
Agora, aproximando 4,3 para 4,5, teríamos:
4,5
0,50910 3 10 3 0,50x⇒ ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅ . Aqui, ficaríamos entre as alternativas 
“c” e “d”, mas sabemos que 4,3 divididos por 9 é menor que 0,50. 
Portanto, a alternativa correta será a “c”. 
 
Se quiser calcular:
4,3
0,478910 3 10 3 0,478x⇒ ≅ ⇒ ≅ ⇒ ≅
GABARITO: C
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Abraços e até a próxima aula,
Bons estudos,
Moraes Junior
moraesjunior@pontodosconcursos.com.br
Alexandre Lima
ablima@ablima.pro.br
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Bibliografia 
 
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