Aula20

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1 
 
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 20 
Testes de Hipóteses e Significância 
 
20. Testes de Hipóteses e Significância ............................................................................... 3 
20.1 Noções Fundamentais ................................................................................................ 3 
20.1.1 Valor-p ........................................................................................................................... 7 
20.2 Testes de Uma Média Populacional ..................................................................... 11 
20.2.1 Desvio Padrão Conhecido ............................................................................................ 12 
20.2.2 Desvio Padrão Desconhecido ...................................................................................... 19 
20.3 Testes de Uma Proporção Populacional ............................................................. 20 
20.4 Testes de Uma Variância Populacional .............................................................. 22 
20.5 Testes Não Paramétricos ......................................................................................... 26 
20.5.1 Teste de Aderência ....................................................................................................... 26 
20.5.2 Teste de Independência ................................................................................................ 29 
20.6 Memorize para a prova ............................................................................................ 33 
20.7 Exercícios de Fixação ................................................................................................ 35 
20.8 Gabarito ......................................................................................................................... 41 
20.9 Resolução dos Exercícios de Fixação .................................................................. 41 
APÊNDICE ....................................................................................................................................... 61 
 
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2 
 
 
Erratas 
 
Aula 17 
 
Resolução do Exemplo da pág. 15: 
 
Corrigir a fórmula da média não condicional de Y: 
 
E[Y] = y. fY (y)dy
−∞
∞
∫ 
 
Enunciado da Questão 09: 
 
Corrigir a somatória dos Xi: 
 
X i = 440
i=1
22
∑ . 
 
 
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20. Testes de Hipóteses e Significância 
 
Na prática, é muito comum a tomada de decisões sobre populações com base 
em informações amostrais. Tais decisões são denominadas decisões 
estatísticas. Por exemplo, podemos desejar conhecer, a partir de um 
conjunto de dados provenientes de uma população, se uma vacina 
experimental é eficaz contra um novo tipo de gripe ou se uma política 
governamental econômica é melhor que outra(s). Nesta aula, estudaremos o 
problema dos testes de hipóteses relativos à população. Diz-se que os testes 
são paramétricos quando se referem a hipóteses sobre parâmetros 
populacionais. Os testes são não paramétricos quando se referem a outros 
aspectos que não os parâmetros em si. 
 
Considere, por exemplo, uma população cujos elementos podem ser 
classificados de acordo com dois atributos, que denominaremos “sucesso” e 
“fracasso”. Podemos ter n elementos, dos quais alguns são defeituosos e os 
restantes são não defeituosos. Se p denota a proporção de sucessos na 
população, então o objetivo é fazer algum tipo de inferência sobre p. 
Aprendemos na aula anterior como estimar p. Aqui, estamos interessados em 
testar alguma hipótese estatística sobre p, tal como “p é maior do que um 
dado valor p0” ou “p é menor do que um certo valor p0”. A hipótese sob 
investigação será considerada válida até que se “prove” o contrário (a prova 
será dada num sentido probabilístico). Baseados em uma amostra da 
população vamos estabelecer uma regra de decisão, segundo a qual 
rejeitaremos ou aceitaremos a hipótese proposta. A regra de decisão é 
chamada teste. Somente serão consideradas amostras aleatórias. 
 
A presente aula é muito importante para a prova. Não prossiga com o estudo a 
partir deste ponto se você ainda sente que não está “craque” nos tópicos de 
amostragem e estimação de parâmetros. Estes assuntos são pré-requisitos 
para um bom entendimento/aproveitamento desta aula. 
 
No restante desta aula, aprenderemos a resolver questões que envolvam os 
testes de hipóteses mais prováveis de serem cobrados pela banca na prova. 
 
20.1 Noções Fundamentais 
 
Dado um problema de teste de hipóteses, precisamos formular as chamadas 
hipótese nula e hipótese alternativa. 
 
A hipótese nula ou hipótese de trabalho (H0) é a hipótese aceita como 
verdadeira até prova estatística em contrário. É o ponto de partida para a 
análise dos dados. Em geral, ela é formulada em termos de igualdade entre 
parâmetros ou entre um parâmetro e uma constante. Ela geralmente 
representa o contrário do que queremos provar, ou seja, representa a 
hipótese que se quer rejeitar. Quando os dados mostrarem evidência 
suficiente de que a hipótese nula (H0) é falsa, o teste rejeita-a, aceitando em 
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4 
seu lugar a chamada hipótese alternativa (H1). Em geral, a hipótese 
alternativa é formulada em termos de desigualdades (≠≠≠≠, < ou >). Ela 
comumente representa o que se quer provar, isto é, corresponde à 
própria hipótese de pesquisa formulada em termos de parâmetros. 
 
Exemplo. Uma empresa atuante na exploração e produção de óleo e gás 
natural compra de um fornecedor parafusos cuja carga média de ruptura é 55 
kN. O desvio padrão das cargas de ruptura é igual a 6 kN e independe do valor 
médio. Deseja-se verificar se um grande lote de parafusos recebidos deve ser 
considerado satisfatório. Não é desejável que esse lote seja formado por 
parafusos cuja carga média de ruptura seja inferior a 55 kN. Por outro lado, o 
fato de a carga média de ruptura ser superior a 55 kN não representa 
problema, pois, nesse caso, os parafusos seriam de qualidade superior à 
necessária. 
 
A empresa poderia adotar a seguinte regra para decidir se concorda em aceitar 
o lote ou se prefere devolvê-lo ao fornecedor: coletar uma amostra aleatória 
de 36 parafusos do lote e submetê-los a ensaios de ruptura em laboratório; se 
a carga média de ruptura observada nessa amostra for maior ou igual a 53 kN, 
ela comprará o lote; caso contrário, ela se recusará a comprar. 
 
A princípio, a empresa poderia testar a hipótese de que a carga média de 
ruptura dos parafusos do lote seja maior ou igual a 55 kN, contra a alternativa 
de que ela seja inferior a 55 kN (esta última é a sua suspeita). Como a 
hipótese de que a carga média de ruptura seja superior a 55 kN não preocupa 
o comprador, a mesma poderia ser excluída, sem perda de generalidade, para 
simplificação do teste. Assim, as hipóteses do teste são 
 
 H0: µµµµ = 55 kN 
 H1: µµµµ < 55 kN 
 
Vamos admitir que a hipótese H0 seja verdadeira, ou seja, que a 
população dos valores da carga de ruptura tem de fato a média µ = 55 kN. 
Assim, a média X da amostra aleatória de 36 elementos será uma variável 
aleatória com média também de 55 kN e com desvio padrão igual a 
0,136/6/ === n
X
σσ kN. Aprendemosque podemos considerar a distribuição 
amostral de X como aproximadamente normal. Temos então a situação 
indicada na figura abaixo, em que α indica a probabilidade de se obter x 1 < 53 
kN (essa probabilidade corresponde à área sob a distribuição amostral de X 
no intervalo 53<<∞− x ). 
 
 
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5 
 
51 52 53 54 55 56 57 58 59
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Distribuição da média amostral, n=36
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Rejeita se média < 53 kN
α = P(média < 53)
 
 
 
A probabilidade α pode ser determinada por meio de 
 
z =
x 1 − µ
σ
X 
=
53−55
1,0
= −2,0, 
 
valor para o qual a tabela da normal reduzida fornece a área 0,5 – 0,4772 = 
0,0228 = 2,28%. Assim, há uma probabilidade αααα = 2,28% de que, mesmo 
sendo a hipótese H0 verdadeira, x assuma valor na faixa que leva à 
rejeição de H0, de acordo com a regra de decisão adotada. Neste caso, a 
empresa iria rejeitar H0 sendo ela verdadeira, o que consiste no erro tipo 
I (neste exemplo, o erro tipo I levaria à rejeição de um lote satisfatório), cuja 
probabilidade é dada por 
 
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0|H0 é verdadeira). 
 
Por outro lado, pode ocorrer a situação em que a hipótese H0 é falsa, ou 
seja, na realidade vale µ < 55 kg, e a média amostral assume um valor maior 
que 53 kg, levando a aceitação de H0. A empresa cometeria, neste caso, o 
erro tipo II, que consiste em aceitar a hipótese H0 sendo ela falsa. Por 
conseguinte, a empresa iria adquirir um lote insatisfatório, causando prejuízos 
à produção. A probabilidade de se cometer um erro tipo II é denotada por β, 
logo 
 
β = P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0| H0 é falsa). 
 
A probabilidade β não pode ser calculada, a menos que se especifique um valor 
alternativo para o parâmetro sob investigação. 
 
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6 
Em resumo, em um teste de hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erro 
(memorize para a prova!): 
 
• Erro tipo I: rejeitar H0, sendo H0 verdadeira; 
• Erro tipo II: aceitar H0, sendo H0 falsa. 
 
A faixa de valores da variável de teste que leva à rejeição de H0 é denominada 
Região Crítica (RC) ou região de rejeição do teste. Para o exemplo visto, a 
RC é 53<<∞− x . Por outro lado, a faixa de valores que leva à aceitação é 
chamada de Região de Aceitação (RA), 53≥x . A figura abaixo mostra as RC e 
RA do teste do exemplo anterior. 
 
 
51 52 53 54 55 56 57 58 59
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Região de Aceitação (RA)
Região
Crítica (RC)
 
 
 
Voltando ao exemplo visto acima, a empresa poderia ter adotado o seguinte 
critério (alternativo) de decisão: se a carga média de ruptura observada na 
amostra de 36 elementos for inferior a 55 kN, isto é, se x < 55 kN, então ela se 
recusará a comprar o lote de parafusos. Entretanto, esta idéia, aparentemente 
intuitiva, de se rejeitar H0 caso x < 55 kN, não seria, de fato, recomendável, 
pois, nesse caso, a probabilidade α do erro tipo I seria igual a 50%! 
 
Vimos como, no exemplo anterior, fixada a RC do teste, determinamos a 
probabilidade α do erro tipo I por meio de uma simples manipulação da 
distribuição normal. Inversamente, dado α, podemos determinar o limite da 
RC. Isso é o que em geral se faz na prática, direta ou indiretamente, sendo os 
valores usualmente adotados α = 5% e α = 1%. 
 
Assim, no exemplo anterior, se for fixado α = 5%, resultará que 
 
,
0,1
55
645,1%5
−
=−=−
x
z 
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7 
 
 
x = 55,0 −1,645 = 53,355 kN ⇒ limite da RC. 
 
Da mesma forma, se for fixado α = 1%, o novo limite da RC será 
 
−z1% = −2,326 =
x − 55
1,0
 ⇒ x = 55,0 − 2,326 = 52,674 kN. 
 
Deste modo, se o valor numérico da média amostral for inferior a 52,674 kN, 
rejeitaremos a hipótese H0 ao nível α = 1% de significância (isso implica que 
H0 será também rejeitada se o nível de significância for α = 5%). Se a média 
amostral for superior a 53,355 kN, aceitaremos a hipótese H0 ao nível de α = 
5% de significância (H0 será também aceita se o nível de significância for α = 
1%). Se, por acaso, tivermos 52,674 < x < 53,355 kN, a hipótese H0 será aceita ao 
nível α = 1% e será rejeitada ao nível α = 5%. Isto quer dizer que, se a 
empresa admite realizar o teste a um risco de 5% de probabilidade de cometer 
o erro tipo I (rejeitar H0, sendo H0 verdadeira), a evidência estatística terá sido 
significativa, indicando que a hipótese nula deverá ser rejeitada. Se, porém, 
tivéssemos especificado um risco de apenas 1% de probabilidade de cometer o 
erro tipo I, a evidência amostral não teria sido significativa a esse nível de 
significância. 
 
O exemplo mostra que a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese nula H0 
depende do nível de significância adotado. Um dado resultado amostral 
obtido pode ser ou não significante, dependendo do α fixado, e é por esta 
razão que α é denominado nível de significância. Um resultado 
significativo a um determinado nível αααα nos levará à rejeição de H0, pois 
admite-se que ele não é compatível com a hipótese nula, a menos de uma 
probabilidade α de erro. 
 
Por outro lado, se o resultado amostral cair na região de aceitação, não terá 
havido, no nível α especificado, evidência significativa suficiente para a 
rejeição de H0, a qual, por tal motivo, deverá ser aceita. Neste caso, estamos 
sujeitos a cometer o erro tipo II (aceitar H0 sendo H0 falsa). A aceitação de H0 
está associada, via de regra, à insuficiência de evidência empírica, ao nível de 
significância desejado, para se chegar à sua rejeição. Essa aceitação, portanto, 
não deve ser interpretada como uma afirmação de H0. Assim, rejeitamos H0 
quando estamos estatisticamente convencidos, ao nível de significância α, de 
que estamos certos, enquanto que, se aceitamos H0, em geral essa aceitação 
não representa uma afirmação estatisticamente forte. 
 
20.1.1 Valor-p 
 
Geralmente, a hipótese nula H0 afirmará que um parâmetro populacional tem 
um valor específico e a hipótese alternativa H1 será uma das seguintes 
assertivas: 
 
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8 
(i) O parâmetro é maior que o valor especificado (teste unilateral ou 
monocaudal à direita). 
 
51 52 53 54 55 56 57 58 59
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Teste unilateral à direita
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Rejeita se média > 57 kN
 
 
(ii) O parâmetro é menor que o valor especificado (teste unilateral à 
esquerda). 
 
51 52 53 54 55 56 57 58 59
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Teste unilateral à esquerda
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Rejeita se média < 53 kN
 
 
(iii) O parâmetro é maior que um valor ou menor que um outro valor 
especificado (teste bilateral ou bicaudal). 
 
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9 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Rejeita se t>2.131
Prob = 0.025
Rejeita se x<-2.131
Prob = 0.025Teste bilateral
 
 
 
Definição (valor-p). O valor-p (ou probabilidade de significância) é a 
probabilidade de a estatística do teste acusar um resultado tão ou mais 
distante do esperado, como o resultado ocorrido na particular amostra 
observada, supondo H0 como a hipótese verdadeira. 
 
Exemplo. Suponha que o desvio padrão σ de uma população normalmente 
distribuída seja igual a 3, e que H0 afirme que a média populacional seja igual 
a 12 (H0: µ = 12). Uma amostra aleatória com 36 elementos é extraída da 
população e produz a média amostral 95,12=X . Escolheu-se 
 
,
5,0
12
36/3
12
/
12 −
=
−
=
−
=
XX
n
X
Z
σ
 
 
como a estatística do teste, que corresponderá à variável aleatória normal 
reduzida, se H0 for verdadeira. O valor da estatística é 9,15,0/)1295,12( =−=z . 
Vamos supor que o nível de significância especificado para o teste seja α = 
5%. O valor-p do teste então dependerá da hipótese alternativa H1 como se 
segue: 
 
(i) Para H1: µ > 12 (caso (i)), o valor-p é a probabilidade de que uma 
amostra aleatória com 36 observações produza uma média amostral 
maior ou igual a 12,95, dado que a verdadeira média seja 12; neste 
caso, P(z ≥ 1,9) ≈ 2,9% (vide a figura abaixo). Isto significa que a 
chance de ocorrer 95,12≥X é aproximadamente igual a 3% 
(relativamente baixa) se µ = 12. 
 
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10 
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Valor-p = P(média > 12.95)
 
 
(ii) Para H1: µ<12 (caso (ii)), o valor-p é a probabilidade de que uma 
amostra aleatória de tamanho 36 produza uma média amostral 
menor ou igual a 12,95, se µ = 12. Tem-se que P(z ≤ 1,9) ≈ 97,1% 
(veja a próxima figura). Isto quer dizer que a probabilidade de 
ocorrer 95,12≤X é aproximadamente igual a 97% (as chances são 
bastante altas) se µ = 12. 
 
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Valor-p = P(média < 12.95)
 
 
(iii) Para H1: µ ≠ 12 (caso (iii)), o valor-p é a probabilidade de que uma 
amostra aleatória de tamanho 36 produza uma média amostral que 
esteja 0,95 unidade ou mais afastada de µ = 12, ou seja, 95,12≥X ou 
05,11≤X , se a média populacional é de fato igual a 12. Aqui, o valor-
p é dado por P(z ≥ 1,9) + P(z ≤ -1,9) = 2,87 + 2,87 ≈ 5,7% (vide a 
figura abaixo), e isto quer dizer que as chances são de 
aproximadamente 6 em 100 de que 95,0|12| ≥−X se µ = 12. 
 
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11 
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
p/2p/2
 
 
Pequenos valores-p nos dão evidências estatísticas para rejeitarmos H0 em 
favor de H1, pois a probabilidade de ocorrer um resultado tão ou mais distante 
do esperado, como o resultado ocorrido na amostra observada é pequena, se 
H0 for verdadeira (mas é preciso quantificar quão pequeno deve ser o valor-p e 
é aí que entra em cena o nível de significância α). Neste exemplo, P(Z ≥ 1,9) = 
valor-p = 2,9% para H1: µ > 12. Neste caso, valor-p = 2,9% (menor que α = 
5%) é um forte indicador de que a média populacional µ é maior que 12. 
Portanto, torna-se natural rejeitar H0 em favor de H1. 
 
Por outro lado, grandes valores-p não fornecem evidências estatísticas para 
rejeitarmos H0 em favor de H1, pois a probabilidade de ocorrer um resultado 
tão ou mais distante do esperado, como o resultado ocorrido na amostra 
observada é grande, se H0 for verdadeira. No exemplo, P(Z ≤ 1,9) = valor-p = 
97,1% para H1: µ<12. Assim, um valor-p = 97,1% (maior que α = 5%) é uma 
forte evidência de que H0 não deve ser rejeitada em favor de H1. 
 
Para o caso (iii), H1: µ ≠ 12, foi obtido (valor-p = 5,7%) > (α = 5%). Aqui, a 
evidência estatística para rejeitar H0 em favor de H1 NÃO é suficientemente 
forte. Logo, não rejeitamos H0 em favor de H1. Porém, H0 seria rejeitada em 
favor de H1 se adotássemos um valor maior para o nível de significância, como 
α’ = 10%. 
 
Regra a ser memorizada para a prova: 
 
⇒⇒⇒⇒ Se valor-p ≤ α , rejeitamos H0 em favor de H1. 
⇒⇒⇒⇒ Se valor-p > α , não rejeitamos H0 em favor de H1. 
 
20.2 Testes de Uma Média Populacional 
 
Ressaltamos que todos os testes de médias a serem vistos nesta seção 
pressupõem a normalidade da distribuição amostral de X . Essa suposição é 
válida, com boa aproximação, mesmo quando as populações sob investigação 
não seguem a distribuição normal, desde que as amostras sejam 
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12 
suficientemente grandes. Na prática, amostras com mais de n = 30 
observações podem ser consideradas grandes. 
 
20.2.1 Desvio Padrão Conhecido 
 
Caso 1: Testes de hipóteses monocaudais: 
 
a) H0: µ = µ0 
H1: µ < µ0 
 
ou 
 
b) H0: µ = µ0 
H1: µ > µ0 
 
Deve-se padronizar o valor experimental 1x utilizando-se a fórmula: 
 
(1) .
/
01
n
x
z
σ
µ
α
−
= 
 
A RC irá corresponder aos valores 1xx < para o teste (a). Neste caso, devemos 
rejeitar H0 se z < -zα. A RC irá corresponder aos valores 1xx > para o teste (b). 
Portanto, a hipótese nula (H0) deve ser rejeitada se z > zα. 
 
Caso 2: Testes de hipóteses bilaterais: 
 
c) H0: µ = µ0 
H1: µ ≠ µ0 
 
A RC irá corresponder aos valores 1xx < ou 2xx > (vide a próxima figura), em 
que os dois limites da RC são dados por 
 
(2) 
n
zx
σ
µ α 2/01 −= 
 
(3) 
n
zx
σ
µ α 2/02 += 
 
Neste caso, devemos rejeitar H0 se z < -zα/2 ou z > zα/2, o que implica o 
critério de rejeição |z| > zα/2. 
 
 
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13 
10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
x
1
x
2
α/2 α/2
µ
0
 
 
 
A Tabela I resume os testes de hipóteses de uma média populacional com 
desvio padrão σ conhecido. 
 
 
Tabela I: testes de hipóteses para µµµµ com σσσσ conhecido 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: µ = µ0 z < -zα H1: µ < µ0 
 
H0: µ = µ0 z > zα H1: µ > µ0 
 
H0: µ = µ0 z < -zα/2 ou z > zα/2 
⇒ |z| > zα/2 H1: µ ≠ µ0 
 
 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV). Para testar H0: µ ≤ 10 contra H1: 
µ > 10, sendo µ a média de uma variável populacional suposta normalmente 
distribuída com variância igual a 100, uma amostra aleatória simples de 
tamanho 25 foi obtida e resultou num valor da média amostral igual a 15,76. 
Ao nível de significância de 5%, o valor-p (nível crítico) correspondente e a 
decisão a ser tomada são respectivamente: 
 
A) 0,102 e não rejeitar H0. 
B) 0,01 e rejeitar H0. 
C) 0,058 e não rejeitar H0. 
D) 0,002 e rejeitar H0 
E) 0,154 e não rejeitar H0. 
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14 
 
Resolução 
 
Dados: σ2=100, n=25, X =15,76 e α=5%. 
 
z =
X − µ
σ / n
∴z =
15,76 −10
10 / 25
= 2,88 
 
Consultando a tabela normal, tem-se que o valor-p correspondente a z = 2,88 
é igual a 0,002. Como valor-p < α , rejeitamos H0 em favor de H1. 
 
GABARITO: D 
 
Já caiu em prova!(Especialista em Regulação de Aviação 
Civil/ANAC/2009/UnB-CESPE). Em uma pequena pesquisa encomendada 
por uma empresa aérea, foi realizado o seguinte teste de hipóteses. 
 
H0: µ=20 kg versus H1: µ>20 kg, em que µ representa a quantidade média de 
bagagens (em kg) que cada passageiro gostaria de transportar em vôos 
domésticos; H0 é a hipótese nula e H1 é a hipótese alternativa. 
 
De um grupo de 324 passageiros escolhidos ao acaso, a pesquisa mostrou que, 
em média, cada passageiro gostaria de transportar 21 kg. O desvio padrão 
amostral das quantidades observadas nesse levantamento foi igual a 9 kg. 
 
Com base nessas informações e considerando que as quantidades sigam uma 
distribuic ̧ão normal, e que Φ(1,7) = 0,955, Φ(2,0) = 0,977 e Φ(2,5) = 0,994, 
em que Φ(z) representa a func ̧ão de distribuição acumulada da distribuic ̧ão 
normal padrão, julgue os itens seguintes. 
 
A probabilidade de significa ̂ncia do teste é superior a 0,03. 
 
Resolução 
 
A distribuição amostral de X é normal com média µ e variância σ2/n. Vimos 
que a variância amostral S2 é um estimador consistente da variância 
populacional σ2, pois a variabilidade de S2 é desprezível (é um valor muito 
próximo de zero) quando o tamanho n da amostra é um valor grande. Embora 
S2, seja um estimador justo da variância populacional σ2, sua raiz quadrada S 
não é um estimador justo do desvio padrão populacional σ. O viés de S como 
estimador de σ, entretanto, tende assintoticamente a zero. Logo, para 
amostras grandes, podemos, por simplificação, adotar como estimativa o 
próprio desvio padrão da amostra, calculado pela raiz quadrada da variância 
amostral 
 
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15 
Portanto, podemos adotar a aproximação S = 9 ≅ σ (desvio-padrão amostral = 
desvio-padrão populacional), pois n = 324 é um valor muito grande. Deste 
modo, µ = 20 pela H0, σ2/n = 92/324 = 81/324 = 1/4, X ~ N(20; 1/4) e a 
estatística do teste é 
 
0,2
2/1
2021
/
=
−
=∴
−
= z
n
x
z
σ
µ
. 
 
⇒ Φ(2,0) = 0,977 ⇒ valor-p = 1-Φ(2,0) = 0,023 = 2,3% < 3%. 
 
O item está errado, porque a probabilidade de significância ou valor-p do teste 
é 2,3%, inferior a 3%. A próxima figura mostra a distribuição amostral da 
média, sendo a hipótese nula verdadeira. A área hachurada é o valor-p. 
 
 
18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
Valor-p = 2,3%
 
 
 
GABARITO: E 
 
Se o nível de significância for igual a 3,5%, então há evidências estatísticas 
contra a hipótese nula. 
 
Resolução 
 
Valor-p=2,3% < α=3,5% ⇒ deve-se rejeitar H0, pois o valor da média 
amostral ( 21=x ) encontra-se na região crítica 9060,20=> cxx (α=3,5%). A 
figura abaixo mostra a região crítica do teste (área hachurada em vermelho). 
Item certo. 
 
 
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16 
18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Média amostral
D
e
n
s
id
a
d
e
RC
 
 
 
GABARITO: C 
 
Se a média verdadeira for µ = 19,6, então, para uma probabilidade do erro do 
tipo I fixada em 4,5%, o valor da função característica de operação do teste 
será superior a 0,98. 
 
Resolução 
 
Aqui a probabilidade β do erro tipo II pode ser calculada, pois o item 
especificou um valor alternativo para µ, qual seja, µ’=19,6. Precisamos 
aprender um conceito novo antes de resolver este item. 
 
Definição. A função característica de operação do teste é definida como 
 
β(µ) = P(aceitar H0|µ). 
 
Ou seja, β(µ) é a probabilidade de aceitar H0, considerada como uma função 
de µ. 
 
Segue-se que a função característica do teste especificado pela questão é dada 
por 
 
β(µ) = P(aceitar H0|µ) = P( X pertencer à região de aceitação|µ). 
 
No item, 
 
β(µ = µ’ = 19,6) = P( X menor que o valor crítico|µ = 19,6). 
 
Observe que a nova probabilidade do erro do tipo I foi fixada em 4,5%, ou 
seja, α’ = 4,5% e isto implica z4,5% = 1,7, pois Φ(0,955) = 1,7. Então o novo 
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17 
valor crítico do teste, assumindo-se verdadeira a hipótese nula µ = 20, será 
dado por 
 
85,207,1
5,0
20
=∴=
−
c
c x
x
. 
 
A região de aceitação para α’ = 4,5% é 85,20<x . Como a média verdadeira é 
µ’=19,6, a P( X menor que o valor crítico |µ = 19,6) é dada por 
 
%4,99)5,2()5,2(
2/1
6,1985,20
=Φ==<=




 −=< cc zzPzzP . 
 
Então β(19,6) = P(aceitar H0|média verdadeira) = 0,994 > 0,98. Item certo. A 
próxima figura mostra a probabilidade β, a distribuição verdadeira (linha preta) 
e a distribuição amostral falsa (linha vermelha). 
 
 
18 18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5 22
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
distribuição pela H
0
distribuição verdadeira
β
 
 
 
GABARITO: C 
 
Considerando-se que o nível de significância do teste igual a 0,6%, o valor da 
func ̧ão poder (ou potência) do teste será igual a 0,5 se a média verdadeira µ 
for igual a 21kg. 
 
Resolução 
 
O poder ou potência do teste é definido como 
 
π(µ) = 1-β(µ) = P(rejeitar H0|µ). 
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18 
 
No item, 
 
π(µ = 21) = P( X pertencer à região crítica|µ = 21). 
 
O nível de significância é 0,6%, isto é, α = 0,6%. Logo, z0,6%=2,5, pois 
Φ(0,994) = 2,5. Assim, o valor crítico do teste, assumindo-se verdadeira a 
hipótese nula µ = 20, será 
 
25,215,2
5,0
20
=∴=
−
c
c x
x
. 
 
Ou seja, a região crítica para α = 0,6% é 25,21>x . Como a média verdadeira é 
µ=21, então 
 
π(21) = P( X >21,25|µ=21) < 0,5, 
 
pois o valor crítico está direita da verdadeira média. A figura abaixo mostra 
que o poder do teste, representado pela área azul, é menor que 0,5. Item 
errado. 
 
 
18 19 20 21 22 23 24
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
distribuição pela H
0
 (falsa) 
distribuição verdadeira
poder do teste
 
 
 
GABARITO: E 
 
Pode-se afirmar, com 95,5% de confianc ̧a, que a estimativa da quantidade 
média de bagagens µ é de 21 kg ± 0,85 kg. 
 
Resolução 
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19 
 
O intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão populacional é 
conhecido (lembre que σ ≅ S = 9, pois n = 324 é um valor grande), no nível de 
confiança 1-α, é dado por 
 
.2/
n
zX
σ
α± 
 
Dados: 21=X e 2/118/9324/9/ ===nσ . 
 
Temos que 955,01 =−α ⇒ %5,4045,0 ==α ⇒ %25,22/ =α ⇒ 977,02/1 ≈−α ⇒ 
0,2=z , pois Φ(2,0) = 0,977. Logo, o intervalo de confiança é 
 
0,121)2/10,2(21 ±=×± . 
 
O item está errado. 
 
GABARITO: E 
 
O erro padrão da média amostral é inferior a 0,8 kg. 
 
Resolução 
 
O desvio padrão da média amostral é n
X
/σσ = = 0,5 kg, e o mesmo é 
inferior a 0,8 kg. Item certo. 
 
GABARITO: C 
 
20.2.2 Desvio Padrão Desconhecido 
 
É muito freqüente, na prática, o caso em que desejamos testar hipóteses 
referentes à média de uma população cujo desvio padrão é desconhecido. Se 
tivermos à disposição uma amostra aleatória de n elementos provenientes 
dessa população, com base na qual iremos realizar o teste, deveremos então 
usar essa mesmaamostra para estimar o desvio padrão σ da população. Neste 
caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n-1 graus 
de liberdade: 
 
(4) .
/
0
1
ns
x
tn
µ−
=− 
 
Assim, a única diferença em relação ao caso anterior (desvio padrão 
conhecido) reside no fato de que iremos trabalhar com valores t de Student no 
lugar de z (normal padrão). 
 
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20 
A Tabela II resume os testes de hipóteses de uma média populacional com 
desvio padrão σ desconhecido. 
 
Tabela II: testes de hipóteses para µµµµ com σσσσ desconhecido 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: µ = µ0 tn-1 < -tn-1,α H1: µ < µ0 
 
H0: µ = µ0 tn-1 > tn-1,α H1: µ > µ0 
 
H0: µ = µ0 |tn-1| > tn-1,α/2 H1: µ ≠ µ0 
 
20.3 Testes de Uma Proporção Populacional 
 
Já aprendemos que, ao realizar inferências sobre uma proporção populacional 
p, devemos nos basear na proporção observada na amostra pˆ . Também vimos 
que se np ≥ 5 e n(1-p) ≥ 5, podemos aproximar a distribuição amostral de pˆ 
pela distribuição normal com média p e desvio padrão npp /)1( − . 
 
Teste que envolvem proporções populacionais são feitos de forma análoga aos 
testes com médias da população. Assim, por exemplo, sejam as hipóteses 
 
H0: p = p0 
H1: p < p0. 
 
Satisfeitas as restrições np0 ≥ 5 e n(1-p0) ≥ 5, a distribuição amostral da 
frequência relativa será aproximadamente normal, com média p0 e desvio 
padrão npp /)1( 00 − (pela hipótese nula). Portanto, padronizando o valor 
experimental pˆ , teremos o valor padronizado experimental correspondente 
 
(5) .
/)1(
ˆ
00
0
npp
pp
z
−
−
= 
 
Podemos multiplicar o numerador e o denominador de (5) por n, obtendo o 
mesmo teste em termos da freqüência observada f, por meio da expressão 
equivalente 
 
(6) .
)1( 00
0
pnp
npf
z
−
−
= 
 
A hipótese nula (H0) será rejeitada se z < -zα. De forma análoga ao que já 
visto para os testes com a média, no caso dos testes unilateral à direita e 
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21 
bicaudal, as condições de rejeição de H0 são, respectivamente, z > zα e |z| > 
zα/2 
 
A Tabela III resume os testes de hipóteses para uma proporção populacional. 
 
Tabela III: testes de hipóteses para p (*) 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: p = p0 z < -zα H1: p < p0 
 
H0: p = p0 z > zα H1: p > p0 
 
H0: p = p0 |z| > zα/2 H1: p ≠ p0 
 (*)
npp
pp
z
/)1(
ˆ
00
0
−
−
= ou 
)1( 00
0
pnp
npf
z
−
−
= 
 
 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV). Para testar H0: p ≤ 0,5 contra H1: 
p > 0,5, sendo p a proporção de pessoas que são protegidas por planos de 
previdência privada numa certa população, uma amostra aleatória simples de 
tamanho 400 será obtida e será usado como critério de decisão rejeitar a 
hipótese H0 se a proporção de pessoas com essa proteção na amostra for 
maior ou igual a um certo número k. 
 
Ao nível de significância de 5%, o valor de k é aproximadamente igual a: 
 
A) 0,508. 
B) 0,541. 
C) 0,562. 
D) 0,588. 
E) 0,602. 
 
Resolução 
 
Testes que envolvem proporções populacionais são feitos de forma análoga 
aos testes com médias da população. 
 
Como as restrições np = 400 x 0,5 = 200>5 e n(1-p) = 400 x 0,5 = 200>5 
são válidas, a distribuição amostral da frequência relativa será 
aproximadamente normal, com média p=0,5 e desvio padrão 1/2(1−1/2) /400 
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22 
(pela hipótese nula). Portanto, padronizando o valor experimental kp =ˆ , 
teremos o valor padronizado experimental correspondente 
 
40/14/120/1/)1(ˆ
ˆ
0
0 dd
npp
pp
z ==
−
−
= 
 
O teste de hipóteses é unilateral. A tabela normal indica 
z5% ≈1,64 =
d
1/40
∴d =1,64 /40 = 0,041. Assim, 541,0041,05,0ˆ =+== kp . 
 
GABARITO: B 
 
20.4 Testes de Uma Variância Populacional 
 
Seja o teste unilateral à direita 
 
H0: ,20
2 σσ = 
H1: .20
2 σσ > 
 
Como a média populacional µ em geral é desconhecida, a variável de teste 
deverá ser a variância amostral 
 
,
1
)(
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i
 
 
que é um estimador justo de σ2, conforme já visto neste curso. 
 
Se a variância amostral s2 for próxima do valor testado 20σ , iremos aceitar a 
hipótese nula (H0). Rejeitaremos H0 se s2 cair na região crítica (RC), que 
corresponderá à cauda à direita com probabilidade α na distribuição amostral 
de s2, sendo verdadeira a hipótese nula. Ou seja, sendo 21s o limite da RC, 
rejeitamos H0 se 
 
(7) 21
2 ss > . 
 
Por outro lado, vimos que, se a população for normalmente distribuída, a 
quantidade 22 /)1( σsn − tem distribuição 2χ com n-1 graus de liberdade. 
Portanto, admitindo verdadeira a hipótese nula (H0), podemos escrever que 
 
(8) ,
)1( 2
12
2
0
−=
−
n
sn
χ
σ
 
 
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23 
sendo a quantidade (8) denominada 2 1−nχ experimental. 
 
A Eq. (8) estabelece a relação existente entre valores de 2s e a distribuição 
2
1−nχ , suposta verdadeira a hipótese nula. Assim, se em (8) fizermos 
2
1
2 ss = , o 
qui-quadrado correspondente será o valor 2χ que determina sobre sua 
distribuição uma cauda à direita com probabilidade α, ou seja, 2 ;1 αχ −n (qui-
quadrado superior): 
 
(9) 2 ;12
2
1
0
)1(
αχσ −
=
−
n
sn
 
 
Como 21
2 ss > implica 2 ;1
2
1 αχχ −− > nn , a condição de rejeição de H0 é 
 
(10) 2 ;1
2
1 αχχ −− > nn 
 
em que o 2 1−nχ experimental é dado por (8) e o valor crítico 
2
;1 αχ −n é obtido na 
Tabela da distribuição 2χ . A figura abaixo mostra a região crítica (cauda à 
direita azul) para uma variável qui-quadrado com 6 graus de liberdade e α = 
5% ( 2 %5;6χ = 12,5916). 
 
 
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
X
superior
D
e
n
s
id
a
d
e
X
X
6
área = α
α
 
 
 
De forma análoga, se as hipóteses forem 
 
H0: ,20
2 σσ = 
H1: ,20
2 σσ < 
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24 
 
rejeitaremos H0 se 
 
(11) 2 1;1
2
1 αχχ −−− < nn , 
 
em que 2 1;1 αχ −−n é o qui-quadrado inferior (é o valor que determina sobre sua 
distribuição uma cauda à direita com probabilidade 1-α). A figura abaixo 
mostra a região crítica (cauda à esquerda azul) para uma qui-quadrado com 6 
graus de liberdade e α = 5% ( 2 %95;6χ = 1,6354). 
 
 
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
X
inferior
D
e
n
s
id
a
d
e
X
6
área = α
 
 
 
Se o teste for bilateral, isto é. 
 
H0: ,20
2 σσ = 
H1: ,20
2 σσ ≠ 
 
rejeitaremos H0 se 
 
(12) 2 2/1;1
2
1 αχχ −−− < nn ou 
2
2/;1
2
1 αχχ −− < nn . 
 
 
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25 
 
0 5 10 15 20 25
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
X
D
e
n
s
id
a
d
e
X
6
área inferior = 2,5%
área superior = 2,5%A figura acima mostra as regiões críticas para uma qui-quadrado com 6 graus 
de liberdade e α = 5% ( 2 %5,97;6χ = 1,2373 e 
2
%5,2;6χ = 14,4494). 
 
A Tabela IV resume os testes de hipóteses para uma variância populacional. 
 
Tabela IV: testes de hipóteses para σσσσ2 (*) 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: 20
2 σσ = 
2
1;1
2
1 αχχ −−− < nn H1: 20
2 σσ < 
 
H0: 20
2 σσ = 
2
;1
2
1 αχχ −− > nn H1: 20
2 σσ > 
 
H0: 20
2 σσ = 
2
2/1;1
2
1 αχχ −−− < nn ou 
2
2/;1
2
1 αχχ −− < nn H1: 20
2 σσ ≠ 
 (*)
2
2
2
1
0
)1(
σ
χ
sn
n
−
=− 
 
Exemplo. Uma amostra de dez elementos é extraída de uma população 
normal e fornece variância amostral igual a 12,0. O resultado obtido é 
suficiente para se concluir, ao nível α = 5% de significância, que a variância 
populacional é inferior a 20? 
 
As hipóteses a serem testadas são: 
 
H0: ,202 =σ 
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26 
H1: .202 <σ 
 
O 29
2
1 χχ =−n experimental é dado por 
 
.4,5
20
129)1(
2
2
2
9
0
=
×
=
−
=
σ
χ
sn
 
 
A condição de rejeição da hipótese nula (H0) é 2 1;1
2
1 αχχ −−− < nn . O valor crítico 
χn−1;1−α
2 = χ9;0,95
2 = 3,325 ≈ 3,32 (vide tabela ao final desta aula). Como 5,4>3,32, 
devemos aceitar a hipótese nula .202 =σ 
 
20.5 Testes Não Paramétricos 
 
Vimos nas seções anteriores como podemos testar hipóteses referentes a um 
parâmetro populacional (testes paramétricos). A partir deste ponto, 
abordaremos um tipo de teste não paramétrico de hipóteses. Um teste não 
paramétrico refere-se a outros aspectos que não os parâmetros da distribuição 
de probabilidades que modela a população. Na próxima seção, veremos o teste 
de aderência pelo χ2. 
 
20.5.1 Teste de Aderência 
 
Uma modalidade relevante de teste não paramétrico é constituída pelo teste 
de aderência, em que a hipótese testada refere-se à forma da distribuição da 
população. Nesse teste, admitimos, por hipótese, que a distribuição da variável 
de interesse na população seja descrita por determinado modelo de 
distribuição de probabilidades. Testamos esse modelo e verificamos a boa ou 
má aderência dos dados da amostra ao modelo. Se obtivermos uma boa 
aderência e a amostra for grande (n>30), poderemos, em princípio, admitir 
que a distribuição populacional seja bem ajustada pelo modelo proposto no 
teste. Por outro lado, a rejeição da hipótese nula em um dado nível de 
significância indica que o modelo testado é inadequado para representar a 
população. 
 
A forma de testar a aderência baseia-se na estatística 
 
(13) χν
2 =
(Oi − E i)
2
E i
=
i=1
k
∑ Oi
2
E i
− n,
i=1
k
∑ 
 
em que: 
 
- 2νχ denota a estatística do teste, com ν graus de liberdade; 
- iO é a freqüência observada de uma determinada classe ou valor da variável; 
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27 
- iE é a freqüência esperada, segundo o modelo testado, dessa classe ou valor 
da variável; 
- ∑∑
==
==
k
i
i
k
i
i EOn
11
 é o número de elementos da amostra; 
- k denota o número de classes ou valores considerados. 
 
Demonstra-se que, se o modelo testado for verdadeiro e se todas 5≥iE , a 
quantidade definida acima terá distribuição assintótica 2νχ com ν = (k -1 – m) 
graus de liberdade, em que m denota o número de parâmetros do modelo 
estimado. A subtração de 1 ao valor de k deve-se à existência da restrição 
nO
k
i
i =∑
=1
 entre as freqüências observadas. O cálculo das freqüências esperadas 
é feito por meio da expressão 
 
,ii npE = 
 
em que pi é a probabilidade, segundo o modelo, de se obter um valor da 
variável na classe considerada, e n é o número de elementos da amostra. Essa 
expressão resulta do fato de que cada freqüência observada Oi terá, para 
população infinita, distribuição binomial com parâmetros n e pi, sendo, 
portanto, seu valor esperado dado por ii npE = . 
 
A estatística distribui-se aproximadamente segundo um qui-quadrado porque 
 
∑∑
==







 −
=
−
=
k
i i
ii
k
i i
ii
E
EO
E
EO
1
2
1
2
2 )(
νχ 
 
e, havendo muitas classe, )1( iiii pnpnpE −≅= (esta última expressão 
corresponde ao desvio padrão da binomial), pois os pi deverão ser pequenos. 
Supondo-se que valha 5≥iE , a distribuição binomial das Oi aproxima-se da 
normal, e o valor entre parênteses no segundo membro da equação acima 
seria aproximadamente um valor de z (normal padrão). Como a distribuição 2νχ 
surge de uma soma de valores de z ao quadrado, resulta que o somatório 
fornece uma variável com distribuição próxima do qui-quadrado com ν graus 
de liberdade. 
 
Observe que a estatística 2νχ pode ser interpretada como uma medida da 
discrepância existente entre as freqüências observadas e esperadas, pois 
consiste em uma soma de desvios quadráticos padronizados por suas 
respectivas freqüências esperadas. Quando 02 =νχ , as freqüências teóricas e 
observadas concordam exatamente, enquanto que, para 02 >νχ , isso não é 
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28 
verdade. Quanto maior for o valor de 2νχ , maior será a discrepância entre as 
freqüências observadas e esperadas. 
 
O teste de aderência pelo 2χ é unilateral, devendo a hipótese nula (H0) ser 
rejeitada se 2,
2
ανν χχ > . Isso é razoável, porque, se o modelo testado estiver 
longe da realidade, as freqüências observadas irão diferir bastante das 
esperadas, o que fará com que a variável de teste cresça. 
 
Caso existam classes que não satisfaçam à condição 5≥iE , estas deverão ser 
englobadas às classes adjacentes, conforme veremos no exemplo a seguir. 
 
Exemplo. O número de defeitos por unidade observado em uma amostra de 
cem aparelhos eletrônicos do tipo home theaters produzidos em uma linha de 
montagem apresentou a seguinte distribuição de frequências 
 
Número de defeitos 0 1 2 3 4 5 6 7 
Número de aparelhos 24 36 18 12 5 2 1 2 
 
O teste de aderência pelo χ2 será usado para testar as seguintes hipóteses: 
 
H0: a distribuição do número de defeitos por unidade é bem modelada pela 
distribuição de Poisson; 
H1: a distribuição do número de defeitos por unidade não é do tipo Poisson. 
 
Aprendemos que a Lei de Poisson pode ser escrita na forma 
 
,
!
)(
k
e
kXP
k λλ −
== ,...2,1,0=k 
 
em que o parâmetro λ = E(X) = µ (média da distribuição). Como a hipótese a 
ser testada não especifica o valor de µ, devemos estimá-la por meio da média 
amostral X . Da tabela do enunciado deste exemplo, obtemos 
 
.58,1
100
158
=== ∑
n
fx
x
ii 
 
Usaremos, portanto, o modelo de Poisson com µ = λ = 1,58 para o cálculo das 
probabilidades pi. 
 
Considerando pi = P(X = i), i = 0, 1, 2, ... , 7, temos, aplicando a fórmula da 
distribuição de Poisson: 
 
,2060,0
!0
58,1 58,1
58,10
0 ≈==
−
−
e
e
p 
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29 
5 2,24 2,76 
,3254,058,1
!1
58,1 58,1
58,11
1 ≈×==
−
−
e
e
p 
,2571,0
!2
58,1 58,12
2 ≈=
−e
p 
,1354,0
!3
58,1 58,13
3 ≈=
−e
p 
,0535,0
!4
58,1 58,14
4 ≈=
−e
p 
,0169,0
!5
58,1 58,15
5 ≈=
−e
p 
0045,0
!6
58,1 58,16
6 ≈=
−e
p e 
0010,0!7
58,1 58,17
7 ≈=
−e
p 
 
E chegamos à seguinte Tabela de cálculo de 2νχ : 
 
ix ii Of = ii fx ip ii npE = ii EO − 
i
ii
E
EO 2)( −
 
0 24 0 0,2060 20,60 3,40 0,5612 
1 36 36 0,3254 32,54 3,46 0,3679 
2 18 36 0,2571 25,71 -7,71 2,3121 
3 12 36 0,1354 13,54 -1,54 0,1752 
4 5 20 0,0535 5,35 -0,35 0,0229 
5 2 10 0,0169 1,69 0,31 
3,4007 6 1 6 0,0045 0,45 0,55 
7 2 14 0,0010 0,10 1,90 
Soma 158 ≈ 1,00 ≈ 100,0 6,84 
 
Para determinação do 2νχ crítico, o número de graus de liberdade deverá ser 
 
,41161 =−−=−−= mkν 
 
pois temos seis parcelas na tabela acima e somente um parâmetro foi 
estimado a partir da amostra. Adotando α = 5%, obtemos (vide tabela da 
distribuição 2χ ao final desta aula) 
 
 49,92 %5;4
2 == χχ crítico . 
 
Como 6,84 < 9,49, aceitamos H0 e concluímos que a variável tem boa 
aderência ao modelo de Poisson. 
 
20.5.2 Teste de Independência 
 
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30 
Quando existem duas ou mais variáveis qualitativas de interesse, a 
representação das freqüências observadas pode ser feita por meio de uma 
tabela de contingência. 
 
Considere, por exemplo, uma amostra de 100 pessoas, que foram 
entrevistadas quanto às suas opiniões sobre as cotas raciais nas universidades 
públicas brasileiras, tendo sido obtidos os resultados dados na Tabela V. 
 
 
Tabela V: pesquisa de opinião 
 
Sexo 
Opinião 
Totais Favorável Desfavorável Indiferente 
Feminino 34 11 15 60 
Masculino 8 19 13 40 
Totais 42 30 28 100 
 
 
A Tabela V é uma tabela de contingência 2 x 3, pois a variável qualitativa 
“sexo” apresenta duas classificações possíveis e a variável “opinião”, três 
classificações. As frequências indicam que 34 mulheres foram favoráveis, 11 
foram desfavoráveis e 15 foram indiferentes, no total de 100 pessoas 
entrevistadas. A linha e a coluna de totais fornecem as distribuições de 
frequências marginais, ou seja, as distribuições de cada variável qualitativa 
considerada individualmente, não importando a outra variável. 
 
É possível testar se as variáveis qualitativas envolvidas na Tabela V são ou não 
independentes (ou seja, é possível testar se a opinião independe do sexo). 
Ou seja, podemos formular o seguinte teste de hipóteses: 
 
H0: as variáveis são independentes; 
H1: as variáveis não são independentes, apresentando algum grau de 
associação entre si. 
 
O teste acima pode ser feito pelo χ2, de modo semelhante ao teste de 
aderência, isto é, utilizando a estatística 
 
(14) ∑∑∑∑
= == =
−=
−
=
l
i
c
j ij
ij
l
i
c
j ij
ijij
n
E
O
E
EO
1 1
2
1 1
2
2
)(
νχ 
 
em que: 
 
- 2νχ denota a estatística do teste, com νννν graus de liberdade; 
- l é o número de linhas da tabela de contingência; 
- c é o número de colunas da tabela de contingência; 
- Oij é a freqüência observada na posição de linha i e coluna j da tabela; 
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31 
- E ij é a freqüência esperada, na posição de linha i e coluna j da tabela; 
- n = Oij
j=1
c
∑
i=1
l
∑ é o número de elementos da amostra; 
 
As freqüências esperadas de cada posição da tabelas são dadas por 
 
(15) E ij = npij , 
 
em que pij é a probabilidade de ocorrer uma observação na posição 
considerada. Havendo independência entre as variáveis, temos que 
 
(16) pij = pip j 
 
em que pi é a probabilidade marginal correspondente à linha i e p j a 
probabilidade marginal correspondente à linha j. 
 
As probabilidades marginais deverão ser estimadas, pois não são conhecidas, 
utilizando-se as frequências relativas pi ' e p j ', dadas por 
 
pi '=
f i
n
, p j '=
f j
n
, 
 
de modo que 
 
(17) E ij = npip j ≈ npi ' p j '=
f i f j
n
. 
 
A Eq. (17) nos fornece a regra prática para o cálculo das freqüências 
esperadas: multiplicar o total da linha pelo total da coluna e dividir por n. Aqui, 
também deve-se obedecer a restrição E ij ≥ 5 
 
O número de graus de liberdade da variável de teste 2νχ é 
 
(18) ν = (l −1)(c −1). 
 
A hipótese nula (H0) deve ser rejeitada se 2,
2
ανν χχ > . 
 
No caso bastante comum de tabela 2x2 (importante para a prova!), o 
cálculo de 2νχ pode ser feito pela expressão 
 
(19) χ1
2 =
n(ad − bc)2
(a +b)(a + c)(b+ d)(c + d)
 
 
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32 
em que a, b, c e d são as frequências observadas, organizadas segundo o 
esquema: 
 
a b 
c d 
 
Exemplo. Realizar o teste de independência para os dados da Tabela V ao 
nível de 1% de significância. 
 
As frequências esperadas devem ser calculadas pela fórmula: 
 
,
n
ff
E
ji
ij ≈ em que i denota a linha e j representa a coluna da tabela de 
contingência. 
 
Então, obtemos 
 
2,25
100
426011
11 =
×
==
n
ff
E , 0,18
100
3060
12 =
×
=E , 8,16
100
2860
23 =
×
=E 
 
8,16
100
4260
21 =
×
=E , 0,12
100
3040
22 =
×
=E , 2,11
100
2840
23 =
×
=E 
 
 
 
Sexo 
Opinião 
Totais Favorável Desfavorável Indiferente 
Feminino O11 = 34,0 
E11 = 25,2 
O12 =11,0 
E12 = 18,0 
O13 =15,0 
E13 = 16,8 
60 
Masculino O21 =8,0 
E21 = 16,8 
O22 =19,0 
E22 = 12,0 
O23 =13,0 
E23 = 11,2 
40 
Totais 42 30 28 100 
 
 
Note que, na condição de independência, as frequências esperadas mantêm 
relações constantes entre todas as linhas e todas as colunas, inclusive os 
totais. Assim, espera-se que as opiniões estejam na relação 42:30:28 
independentemente do sexo. De fato, essa relação é verificada entre as 
frequências esperadas: 25,2:18,0:16,8 para mulheres e 16,8:12,0:11,2 para 
homens. Similarmente, o sexo independeria da opinião, pois 60:40 equivale a 
25,2:16,8, 18,0:12,0 e 16,8:11,2. 
 
Será que as freqüências observadas diferem significativamente das frequências 
esperadas? Faremos esta verificação usando o χ2, cujo cálculo está registrado 
na tabela abaixo. 
 
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33 
ijO ijE ijij EO − 
ij
ijij
E
EO 2)( −
 
34,0 25,2 8,8 3,073 
11,0 18,0 -7,0 2,722 
15,0 16,8 -1,8 0,193 
8,0 16,8 -8,8 4,610 
19,0 12,0 7,0 4,083 
13,0 11,2 1,8 0,289 
100,0 100,0 14,970 
 
O 2νχ calculado conforme (14) é 14,970. O número de graus de liberdade é ν = 
(l-1)(c-1) = (2-1)(3-1) = 1.2 = 2. Logo, o valor crítico para α = 1% é 
21,92 %1;2 =χ (vide tabela do qui-quadrado). 
 
Como 14,970 > 9,21, deve-se rejeitar a hipótese de independência entre 
opinião e sexo ao nível de 1% de significância. 
 
20.6 Memorize para a prova 
 
- A hipótese nula (ou hipótese de trabalho) H0 é a hipótese aceita como 
verdadeira até prova estatística em contrário. Ela geralmente representa o 
contrário do que queremos provar, ou seja, representa a hipótese que se quer 
rejeitar. 
 
- A hipótese alternativa H1 usualmente representa o que se quer provar. 
 
- Em um teste de hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erro: 
 
• Erro tipo I: rejeitar H0, sendo H0 verdadeira; 
• Erro tipo II: aceitar H0, sendo H0 falsa. 
 
- Valor-p: 
 
⇒ se valor-p ≤ α , rejeitamos H0 em favor de H1. 
⇒ se valor-p > α , não rejeitamos H0 em favor de H1. 
Nota: α é o nível de significância do teste. 
 
- Variáveis de teste para a média populacional: 
 
a) 
n
X
z/σ
µ−
= (normal padrão), se o desvio-padrão populacional σ é 
conhecido. 
 
 
 
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34 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: µ = µ0 z < -zα H1: µ < µ0 
 
H0: µ = µ0 z > zα H1: µ > µ0 
 
H0: µ = µ0 z < -zα/2 ou z > zα/2 
⇒ |z| > zα/2 H1: µ ≠ µ0 
 
b) 
ns
X
t
/
µ−
= (t de Student), em que s denota o desvio-padrão amostral. 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: µ = µ0 tn-1 < -tn-1,α H1: µ < µ0 
 
H0: µ = µ0 tn-1 > tn-1,α H1: µ > µ0 
 
H0: µ = µ0 |tn-1| > tn-1,α/2 H1: µ ≠ µ0 
 
- Frequência relativa amostral pˆ tem distribuição binomial com média p e 
variância p(1-p)/n. Se np ≥ 5 e n(1-p) ≥ 5, então pˆ tem distribuição N ~ (p, 
p(1-p)/n). 
 
- Estatística para teste da proporção populacional p: 
npp
pp
z
/)1(
ˆ
−
−
= . 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: p = p0 z < -zα H1: p < p0 
 
H0: p = p0 z > zα H1: p > p0 
 
H0: p = p0 |z| > zα/2 H1: p ≠ p0 
 
 
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35 
 
- Variável de teste para variância populacional σ2: 
2
2
2
1
)1(
σ
χ
sn
n
−
=− , em que 
1
)( 2
2
−
−
=∑
n
xx
s
i denota a variância amostral. 
 
- Testes de hipóteses para variância populacional σ2: 
 
Hipóteses Rejeita-se H0 se 
H0: 20
2 σσ = 
2
1;1
2
1 αχχ −−− < nn H1: 20
2 σσ < 
 
H0: 20
2 σσ = 
2
;1
2
1 αχχ −− > nn H1: 20
2 σσ > 
 
H0: 20
2 σσ = 
2
2/1;1
2
1 αχχ −−− < nn ou 
2
2/;1
2
1 αχχ −− < nn H1: 20
2 σσ ≠ 
 
 
20.7 Exercícios de Fixação 
 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Uma empresa afirma que os pacotes de bala que 
ela produz pesam em média 25g. Para testar essa hipótese, foram 
selecionados ao acaso 16 pacotes produzidos pela empresa, registrados seus 
pesos X1, X2, ... , X16 e calculadas as estatísticas ∑
=
=
16
1
320
i
iX e ∑
=
=
16
1
2 7360
i
iX . O 
valor da estatística t (a ser comparado com o ponto desejado da distribuição t 
de Student) para o teste é: 
 
A) -0,8 
B) -1,2 
C) -2,0 
D) -2,5 
E) -3,2 
 
2. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Em uma distribuição de sinistro S, 
formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a freqüência esperada 
e a observada (hipótese nula: H0). Donde, segundo um determinado nível de 
significância, podemos afirmar que ocorreu 
 
A) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0. 
B) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0. 
C) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0, sendo esta correta. 
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36 
D) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta. 
E) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta. 
 
3. (ICMS-RJ/2007/Adaptada) Para a realização de um teste de hipóteses 
H0: µ = µ0, contra H1: µ > µ0, definimos ERRO DO TIPO I: 
 
A) P(µ > µ0 | µ = µ0) 
B) P(µ = µ0 | µ > µ0) 
C) Rejeitar H0 sendo H0 verdadeira. 
D) 1 – P(µ > µ0 | µ = µ0) 
E) Aceitar H0, sendo H0 falsa 
 
4. (ICMS-SP/2009/FCC) O gerente de uma indústria de determinado 
componente eletrônico garante que a vida média do produto fabricado é igual 
a 100 horas. Um comprador dessa indústria decide testar a afirmação do 
gerente e faz um teste estatístico formulando as hipóteses H0: µ = 100 e H1: µ 
< 100, sendo que H0 é a hipótese nula, H1 é a hipótese alternativa e µ é a 
média da população considerada de tamanho infinito com uma distribuição 
normal. O desvio padrão populacional é igual a 10 horas e utilizou-se a 
informação da distribuição normal padrão (Z), segundo a qual P(Z ≥ 1,64) = 
5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64 componentes 
em um nível de significância de 5%. Então, o valor da média amostral foi, em 
horas, no máximo, 
 
A) 94,75 
B) 95,00 
C) 96,00 
D) 96,50 
E) 97,95 
 
5. (AFPS/2002/ESAF) Um atributo X tem distribuição normal com média µ e 
variância σ2. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 16 da população 
definida por X, deseja-se testar a hipótese H0: µ = 22 contra a alternativa Ha: 
µ ≠ 22. Para esse fim calcula-se a média amostral 30=x e a variância amostral 
S2 = 100. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de significância 
(p-valor) do teste 
 
A) 2P{T>3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. 
B) P{|Z|>3,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
C) P{Z<-2,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
D) P{T<-3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade 
E) P{|T|>2,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade 
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37 
 
6. (Fiscal de Rendas MS/2006/FGV) Em um teste de hipóteses, a hipótese 
nula foi rejeitada ao nível de 3%. Portanto, a hipótese nula: 
 
A) será aceita no nível de 1%. 
B) será aceita no nível de 5%. 
C) pode ser aceita ou rejeitada no nível de 5%. 
D) será rejeitada no nível de 1%. 
E) será rejeitada no nível de 5%. 
 
7. (Fiscal de Rendas MS/2006/FGV) Um teste de hipótese apresentou p-
valor igual a 0,03. Portanto, nos níveis de significância de 1% e 5%, 
respectivamente, a hipótese nula: 
 
A) deve ser aceita e aceita. 
B) deve ser aceita e rejeitada. 
C) deve ser rejeitada e aceita. 
D) deve ser rejeitada e rejeitada. 
E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. 
 
8. (Economista Jr./Cia Potiguar de Gás/2006/FGV) Um teste de hipótese 
apresentou p-valor igual a 0,07. Portanto, nos níveis de significância de 10% e 
5%, respectivamente, a hipótese nula: 
 
A) deve ser aceita e aceita. 
B) deve ser aceita e rejeitada. 
C) deve ser rejeitada e aceita. 
D) deve ser rejeitada e rejeitada. 
E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. 
 
9. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Na análise da sinistralidade de uma 
determinada carteira, uma medida de discrepância existente entre as 
freqüências observadas e as esperadas é proporcionada pela estatística qui 
quadrado – X2. Com base nisso, pode-se afirmar que se: 
 
A) X2 = 0, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam 
exatamente. 
B) X2 = 0, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas não concordam 
exatamente nem parcialmente. 
C) X2 = 0, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam 
parcialmente, pode ser aceita-se como tal. 
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38 
D) X2 = 1, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam 
exatamente. 
E) X2 ≠ 0, as freqüências teóricas (esperadas) e as observadas concordam 
exatamente. 
 
10. (INÉDITA) Em 200 lances de uma moeda, observaram-se 116 caras e 84 
coroas. Testou-se a hipótese da moeda ser honesta, adotando-se os níveis de 
significância 5% e 1%. Então pode-se afirmar que 
 
A) a hipótese da moeda ser honesta é aceita nos dois níveis de significância. 
B) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada nos dois níveis de significância. 
C) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada no nível de significância de 
1%, mas é aceita no nível de significância de 5%. 
D) a hipótese da moeda ser honesta é rejeitada no nívelde significância de 
5%, mas é aceita no nível de significância de 1%. 
E) a hipótese alternativa da moeda ser desonesta é rejeitada no nível de 
significância de 5%, mas é aceita no nível de significância de 1%.. 
 
11. (AFT/2010/ESAF) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de 
uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 
homens da amostra também são fumantes. Desejando-se testar a hipótese 
nula de que nesta população ser fumante ou não independe da pessoa ser 
homem ou mulher, qual o valor mais próximo da estatística do correspondente 
teste de qui-quadrado? 
 
A) 1,79. 
B) 2,45. 
C) 0,98. 
D) 3,75. 
E) 1,21. 
 
12. (IRB/Resseguro/2004/ESAF) Num estudo do consumo de combustível 
para uma determinada marca de automóvel, supõe-se que a distribuição do 
consumo é aproximadamente normal com média desconhecida µ km/l e desvio 
padrão 3 km/l. Uma amostra de 36 veículos produziu a média de consumo de 
16 km/l. Deseja-se testar a hipótese H: µ = 15 contra a alternativa A: µ > 15. 
Considerando os valores da função de distribuição normal padrão dados 
abaixo, assinale a opção que dá o valor probabilístico (p-valor) do teste que 
toma por base a estatística )15(2 −= Xz , sendo X a média amostral. 
 
z F(z) 
1,0 0,841 
1,2 0,885 
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39 
1,4 0,919 
1,6 0,945 
1,8 0,964 
2,0 0,977 
2,2 0,986 
2,4 0,992 
 
A) 0,500 
B) 0,977 
C) 0,050 
D) 0,023 
E) 0,010 
13. (Analista Área 2/BACEN/2010/CESGRANRIO) Com relação a um 
teste simples de hipótese, assinale a afirmativa correta. 
 
(A) Um teste bicaudal de nível de significância α rejeita ahipótese nula H0: µ = 
µ0 precisamente quando µ0 está fora do intervalo de confiança de nível (1−α) 
para µ. 
(B) A hipótese nula a ser testada deve ser construída com muita atenção 
porquanto é o objeto da inferência estatística, enquanto que a hipótese 
alternativa só precisa ser contrária à hipótese nula. 
(C) Se o grau de significa ̂ncia do teste é α, significa que (1− α) é a 
probabilidade de se cometer erro do tipo I. 
(D) Na definic ̧ão de um teste, deve-se levar em conta que quanto menor o 
grau de significa ̂ncia do teste (α), maior será o poder do teste(π), uma vez que 
(α + π)=1. 
(E) Erro do tipo II, embora definido para uma hipótese alternativa específica, 
ocorrerá sempre com probabilidade igual ao poder do teste. 
 
(Fiscal de Rendas-MS/2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às 
questões de números 14 e 15 
 
Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a 
média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada 
foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44. 
 
14. O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é 
 
A) 4,2 ± 0,75 
B) 4,2 ± 0,64 
C) 4,2 ± 0,71 
D) 4,2 ± 0,49 
E) 4,2 ± 0,81 
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40 
 
15. O intervalo de 95% de confiança para a variância populacional é 
 
A) (0,72, 3,05) 
B) (0,88, 2,79) 
C) (0,64, 3,20) 
D) (0,55, 3,16) 
E) (0,44, 3,44) 
 
(Fiscal de Rendas-MS/2006/FGV) O enunciado a seguir refere-se às 
questões de números 16, 17 e 18. 
 
A tabela a seguir mostra os resultados obtidos em Matemática por três 
turmas: 
 
 Aprovados Reprovados Total 
Turma X 30 10 40 
Turma Y 35 5 40 
Turma Z 15 5 20 
Total 80 20 100 
 
Desejamos testar, usando o teste qui-quadrado: 
 
H0: os seis resultados possíveis têm probabilidades iguais versus 
H0: os seis resultados possíveis não têm probabilidades iguais. 
 
16. O valor observado da estatística qui-quadrado é, aproximadamente: 
 
A) 1,16 
B) 2,34 
C) 3,44 
D) 4,66 
E) 5,58 
 
17. O número de graus de liberdade é: 
 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 99 
 
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41 
18. Nos níveis de 1%, 5% e 10%, a decisão sobre H0 é: 
 
 α = 1% α = 5% α = 10% 
(A) não rejeitar não rejeitar não rejeitar 
(B) não rejeitar não rejeitar rejeitar 
(C) não rejeitar rejeitar rejeitar 
(D) rejeitar rejeitar não rejeitar 
(E) rejeitar rejeitar rejeitar 
 
20.8 Gabarito 
 
1 – D 
2 – E 
3 - C 
4 - E 
5 – A 
6 – E 
7 - B 
8 - C 
9 - A 
10 – D 
11 - A 
12 – D 
13 – A 
14 – D 
15 – B 
16 – B 
17 – A 
18 - A 
 
20.9 Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Uma empresa afirma que os pacotes de bala que 
ela produz pesam em média 25g. Para testar essa hipótese, foram 
selecionados ao acaso 16 pacotes produzidos pela empresa, registrados seus 
pesos X1, X2, ... , X16 e calculadas as estatísticas ∑
=
=
16
1
320
i
iX e ∑
=
=
16
1
2 7360
i
iX . O 
valor da estatística t (a ser comparado com o ponto desejado da distribuição t 
de Student) para o teste é: 
 
A) -0,8 
B) -1,2 
C) -2,0 
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42 
D) -2,5 
E) -3,2 
 
Resolução 
 
É muito freqüente, na prática, o caso em que desejamos testar hipóteses 
referentes à média de uma população cujo desvio padrão é desconhecido. Se 
tivermos à disposição uma amostra aleatória de n elementos provenientes 
dessa população, com base na qual iremos realizar o teste, deveremos então 
usar essa mesma amostra para estimar o desvio padrão σ da população. Neste 
caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n-1 graus 
de liberdade: 
 
ns
x
tn
/
1
µ−
=− . 
 
O valor da estatística t é determinado pelos valores de x (média amostral) e s 
(desvio padrão amostral). 
 
x =
X i
i=1
16
∑
n
=
320
16
= 20 
2
2
1
s
n
n
m 




 −= 
s2 =
n
n −1
 
 
 
 
 
 m2 =
n
n −1
X i
2
i=1
n
∑
n
−
X i
i=1
16
∑
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
n
n −1
X i
2
i=1
n
∑
n
− x 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6420
16
7360
15
16 22 =


 −=s ⇒ 8=s . 
 
Logo, 
 
5,2
16/8
2520
1 −=
−
=−nt . 
 
Solução alternativa (aproximada): 
 
Suponha que você tenha esquecido a fórmula 
 
2
2
1
s
n
n
m 




 −= . 
 
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43 
Para n “grande”, tem-se que 
 
1
1
≈




 −
n
n
 
 
e é válida a seguinte aproximação para a variância amostral: 
 
60400
16
736021
2
2 =−=−≈
∑
= x
n
X
s
n
i
i
. 
 
Logo, 
 
5,2
2
5
4
5
16/60
5
16/60
2520
1 −=
−
≈
−
≈
−
≈
−
≈−nt (eu também usei a aproximação 
15/6016/60 ≈ ) 
 
GABARITO: D 
 
2. (Analista/SUSEP/2006/ESAF) Em uma distribuição de sinistro S, 
formulando-se a hipótese de que não há diferença entre a freqüência esperada 
e a observada (hipótese nula: H0). Donde, segundo um determinado nível de 
significância, podemos afirmar que ocorreu 
 
A) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0. 
B) um erro do tipo II, se for rejeitada a hipótese H0. 
C) um erro do tipo I, se for aceita a hipótese H0, sendo esta correta. 
D) um erro do tipo II,se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta. 
E) um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta correta. 
 
Resolução 
 
O enunciado parece estar “truncado” e o problema reside no tempo verbal do 
verbo formular. Não obstante, a questão é fácil e tem solução. 
 
Vimos que comete-se um erro tipo I quando rejeita-se a hipótese nula 
H0, sendo H0 verdadeira. Comete-se um erro tipo II quando aceita-se a 
hipótese nula H0, sendo H0 falsa. 
 
Análise das alternativas: 
 
(A) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese nula H0, sendo H0 
verdadeira ⇒ ERRADO. 
(B) Ocorreu um erro do tipo II, se for aceita a hipótese nula H0, sendo H0 
falsa ⇒ ERRADO. 
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44 
 
(C) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese nula H0, sendo H0 
verdadeira ⇒ ERRADO. 
(D) Ocorreu um erro tipo II, se for aceita a hipótese nula H0, sendo H0 falsa ⇒ 
ERRADO. 
(E) Ocorreu um erro do tipo I, se for rejeitada a hipótese H0, sendo esta 
correta ⇒ CERTO. 
 
GABARITO: E 
 
3. (ICMS-RJ/2007/FGV/Adaptada) Para a realização de um teste de 
hipóteses H0: µ = µ0, contra H1: µ > µ0, definimos ERRO DO TIPO I: 
 
A) P(µ > µ0 | µ = µ0) 
B) P(µ = µ0 | µ > µ0) 
C) Rejeitar H0 sendo H0 verdadeira. 
D) 1 – P(µ > µ0 | µ = µ0) 
E) Aceitar H0, sendo H0 falsa 
 
Resolução 
 
Em um teste de hipóteses, podem ocorrer dois tipos de erro: 
 
• Erro tipo I: rejeitar H0, sendo H0 verdadeira; 
• Erro tipo II: aceitar H0, sendo H0 falsa. 
 
A faixa de valores da variável de teste que leva à rejeição de H0 é denominada 
Região Crítica (RC) do teste. Neste exercício, a RC é x 1 < x < ∞, pois as 
hipóteses são: H0: µ = µ0, contra H1: µ > µ0 (unilateral à direita). Como o nível 
de significância não foi especificado pelo enunciado, não temos como 
determinar o limite inferior x 1 da RC do teste. Não obstante, fixada a RC, a 
probabilidade α do erro tipo I é dada pela probabilidade P(x > x 1). 
 
GABARITO: C 
 
4. (ICMS-SP/2009/FCC) O gerente de uma indústria de determinado 
componente eletrônico garante que a vida média do produto fabricado é igual 
a 100 horas. Um comprador dessa indústria decide testar a afirmação do 
gerente e faz um teste estatístico formulando as hipóteses H0: µ = 100 e H1: µ 
< 100, sendo que H0 é a hipótese nula, H1 é a hipótese alternativa e µ é a 
média da população considerada de tamanho infinito com uma distribuição 
normal. O desvio padrão populacional é igual a 10 horas e utilizou-se a 
informação da distribuição normal padrão (Z), segundo a qual P(Z ≥ 1,64) = 
5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64 componentes 
em um nível de significância de 5%. Então, o valor da média amostral foi, em 
horas, no máximo, 
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45 
 
A) 94,75 
B) 95,00 
C) 96,00 
D) 96,50 
E) 97,95 
 
Resolução 
 
A Região Crítica (RC) do teste é −∞ < x < x 1, pois as hipóteses são: H0: µ = 100, 
contra H1: µ < 100 (unilateral à esquerda). A questão pede que o candidato(a) 
calcule o valor de x 1. Foram dados os valores σ = 10, n = 64 e −z5% = −1,64 . 
Logo, 
 
x 1 − µ
σ / n
=
x 1 −100
10 / 64
=
8(x 1 −100)
10
= −1,64 
 
x 1 −100 = −1,64 /8 ⇒ x 1 = 97,95. 
 
GABARITO: E 
 
5. (AFPS/Área ATP/2002/ESAF) Um atributo X tem distribuição normal 
com média µ e variância σ2. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 16 
da população definida por X, deseja-se testar a hipótese H0: µ = 22 contra a 
alternativa Ha: µ ≠ 22. Para esse fim calcula-se a média amostral 30=x e a 
variância amostral S2 = 100. Assinale a opção que corresponde à probabilidade 
de significância (p-valor) do teste 
 
A) 2P{T>3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. 
B) P{|Z|>3,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
C) P{Z<-2,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
D) P{T<-3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade 
E) P{|T|>2,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade 
 
Resolução 
 
Esta questão aborda o teste de hipóteses para a média populacional de uma 
amostra pequena (n < 30) quando a variância populacional é desconhecida. 
Neste caso, a variável aleatória de teste terá distribuição t de Student com n-1 
= 15 graus de liberdade e será dada por: 
 
ns
x
tn
/
1
µ−
=− ⇒ 2,3
4/10
8
16/10
2230
15 ==
−
=t 
 
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46 
O p-valor (ou probabilidade de significância) é a probabilidade de a 
estatística t15 do teste cair na RC, supondo H0 como a hipótese 
verdadeira. 
 
A figura a seguir mostra a RC (ou região de rejeição) e a Região de Aceitação 
(RA) da hipótese nula (H0). Observe que o teste realizado é bilateral (ou 
bicaudal), pois Ha: µ ≠ 22. 
 
Como o teste é bilateral, há duas áreas de rejeição: à esquerda de 
2,315 −=− t e à direita de 2,315 =t , como ilustrado pela figura acima. 
 
 
 
t15
RCRC
-t15
RA
 
 
 
Logo, 
 
p-valor = }2,3{}2,3{}{}{ 1515 >+−<=>+−< tPtPttPttP , 
 
como a distribuição de Student é simétrica, tem-se que }2,3{}2,3{ >=−< tPtP e 
isto implica 
 
p-valor = }2,3{2 >tP , 
 
em que t possui 15 graus de liberdade. 
 
GABARITO: A 
 
6. (Fiscal de Rendas MS/2006/FGV) Em um teste de hipóteses, a hipótese 
nula foi rejeitada ao nível de 3%. Portanto, a hipótese nula: 
 
A) será aceita no nível de 1%. 
B) será aceita no nível de 5%. 
C) pode ser aceita ou rejeitada no nível de 5%. 
D) será rejeitada no nível de 1%. 
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47 
 
E) será rejeitada no nível de 5%. 
 
Resolução 
 
O enunciado não diz se o teste é unilateral (à esquerda ou à direita) ou 
bilateral. Logo, podemos analisar as alternativas a partir de um caso particular, 
como, por exemplo, o do teste (unilateral à esquerda) da média da figura 
abaixo. 
 
 
x
3%
5%
1%
-z
-z-z
 
 
Análise das alternativas: 
 
A) Não se pode garantir que a hipótese nula será aceita no nível de 1%. Tome, 
por exemplo, o valor experimental –z0,5% < –z1%, que cai na RC do teste no 
nível de 1%. Portanto, esta alternativa é FALSA. 
 
B) Pelo contrário, a hipótese nula será rejeitada no nível de 5%, pois –z3% < –
z5% (dentro da RC do teste no nível de 5%) ⇒ FALSA. 
 
C) Negativo! A hipótese nula será rejeitada no nível de 5%, pois –z3% < –z5% 
⇒ FALSA. 
 
D) Nem sempre isto será verdade. Por exemplo, a hipótese nula será aceita no 
nível de 1% para um valor experimental –z2% ⇒ FALSA. 
 
E) Isto sempre acontecerá, pois –z3% < –z5% ⇒ VERDADEIRA. 
 
GABARITO: E 
 
7. (Fiscal de Rendas MS/2006/FGV) Um teste de hipótese apresentou p-
valor igual a 0,03. Portanto, nos níveis de significância de 1% e 5%, 
respectivamente, a hipótese nula: 
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48 
 
A) deve ser aceita e aceita. 
B) deve ser aceita e rejeitada. 
C) deve ser rejeitada e aceita. 
D) deve ser rejeitada e rejeitada. 
E) pode ou não ser rejeitada, dependendo de a hipótese ser simples ou não. 
 
Resolução 
 
Dados: p-valor = 3%, 1α = 1% e 2α = 5%. 
 
Regra: 
 
⇒⇒⇒⇒ Se p-valor ≤ α , rejeitar H0 em favor de H1. 
⇒⇒⇒⇒ Se p-valor > α , não rejeitar H0 em favor de H1.