Introdução+à+Convecção

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Introdução a Convecção
iNTRODUÇÃO
• A convecção era considerada somente como uma possível condição de contorno
• O que é convecção?
• O Termo convecção é utilizado para descrever a transferência de calor entre uma
superfície e um fluido em movimento sobre essa superfície.
• A Convecção inclui a trasferencia de calor pelo movimento global do fluido
(advecção) e pelo movimento aleatório das moléculas do fluido (difusão).
• CONVECÇÃO = ADVECÇÃO + DIFUSÃO
As camadas Limite da convecção
As camadas Limite da convecção
• Quando partículas de fluido entram em contato com a superfície elas
passam a ter velocidade igual a zero (condição de não escorregamento)
• Dessa forma, essas partículas atuam no retardamento das camadas
adjacentes ate a uma distância y=𝛿 (associada às tensões de cisalhamento
entre as camadas).
• Com o aumento da distância y, o componete de velocidade x deve
aumentar ate atingir o valor na corrente livre (𝑢∞).
• Delata é a espessura da camada limite de velocidade e é definida como o
valor de y para u= 𝑢∞.0,99
As camadas Limite da convecção
• Dentro da camada-limite: gradiente de velocidade e tensões de
cisalhamento são grandes.
• Fora da camada Limite: Gradientes de velocidade e tensões de
cisalhamento são desprezíveis.
• A Camada Limite de velocidade se desenvolve sempre que há
escoamento de um fluido sobre uma superfície e é de fundamental
importância em problemas que envolvem transporte convectivo.
• É muito importante também na mecânica dos fluidos devido a sua
relação da tensão de cisalhamento na superfície e os efeitos de atrito.
As camadas Limite da convecção
Coeficiente de atrito
Onde 𝜏𝑠, para um fluido newtoniano é:
Camada-limite térmica
• Como na camada limite de velocidade, se houver diferença de 
temperatura entre o fluido e a superfície, a camada-limite térmica 
deve se desenvolver.
Camada-limite térmica
• As partículas do fluido entram em equilíbrio térmico na temperatura 
da superfície da placa
• Essas partículas trocam energia com as camadas adjacentes e há o 
desenvolvimento de gradiente de temperatura no fluido.
• A região de fluido que há esse gradiente é chamada camada-limite 
térmica e sua espessura 𝛿𝑇é defina como o valor de y quando:
𝑇𝑠 − 𝑇
𝑇𝑠 − 𝑇∞
= 0,99
Camada-limite térmica
• A qualquer ponto a partir da aresta frontal em y=0, temos: (Lei de 
Fourier)
• 𝑞𝑠
′′ é o fluxo térmico na superfície
• Pela Lei de resfriamento de Newton, temos:
Camada-limite térmica
• Combinando as duas equações , obtemos:
Então:
• ∆T na Camada-limite ↓ com x ↑
•
𝜕𝑇
𝜕𝑦
↓ se x ↑
• 𝛿𝑡 ↑ se x ↑
• 𝑞𝑠
′′ e h ↓ com x ↑
Y=0 (𝑇𝑠 − 𝑇∞) = Constante
Coeficientes Convectivos Local e Médio
Camada-limite térmica
• Se 𝑇𝑠 ≠ 𝑇∞ haverá transferência de calor por convecção
• A taxa de transferência de calor pode ser obtida pela integração do 
fluxo local ao logo de toda a superfície.
• Onde q é a taxa de transferência de calor
• 𝑞𝑠
′′ = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) → 𝑞𝑠
′′d𝐴𝑠 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞)d𝐴𝑠
Constante
𝑞 = (𝑇𝑠 − 𝑇∞)න
𝐴𝑠
ℎ d𝐴𝑠
• Pela Lei de resfriamento de newton e definido um coeficiente 
convectivo médio തℎ:
• Igualando as duas equações:
(𝑇𝑠 − 𝑇∞) ׬𝐴𝑠
ℎ d𝐴𝑠= തℎ 𝐴𝑠 (𝑇𝑠 − 𝑇∞)
*MecFlu
ത𝑢 =
1
𝐴𝑠
න𝑢𝑑𝐴
• Para o escoamento sobre uma placa തℎ depende apenas da distância x da aresta frontal 
•Exemplo 1:
• Resultados experimentais para o coeficiente de transferência de calor 
local ℎ𝑥 para o escoamento sobre uma placa plana com superfície 
extremamente rugosa são correlacionados pela relação:
Sendo a um coeficiente de convecção (W/𝑚1,9𝐾) e x(m) uma distância 
da aresta frontal da placa:
1. Desenvolva uma expressão para a razão entre o coeficiente de 
transferência de calor local médio ℎ𝑥 em uma placa com comprimento 
x e o coeficiente de transferência de calor local ℎ𝑥 em x.
2. Represente graficamente a variação de ℎ𝑥 e ℎ𝑥 em função de x.
Escoamento laminar e turbulento
• Até agora as condições de escoamento não foram citadas, porém, o
atrito superficial e as taxas de transferência por convecção dependem
de qual dessas condições está presente.
• CAMADAS-LIMITE DE VELOCIDADE LAMINARES E TURBULENTAS
Escoamento laminar e turbulento
• Em muitos casos coexistem as condições de escoamento laminar e
turbulento
• Características:
▪ Laminar
✓Movimento altamente ordenado
✓É possível identificar linhas de corrente ao longo das quais as partículas de fluido se
movem
✓O comportamento determinado continuará até a transição ser atingida
Escoamento laminar e turbulento
▪ Transição
✓Varia com o tempo e escoamento
✓As vezes mostra características do escoamento laminar e outras vezes turbulento
▪ Turbulento
✓ Altamente irregular
✓Tridimensional (presença de vórtices)
✓Aleatório
✓Flutuações de velocidade e pressão 𝑅𝑒 =
8𝜌ത𝑢²
𝜏𝑤
𝑅𝑒 =
𝜌𝑢∞𝑥
𝜇
Escoamento laminar e turbulento
▪ Turbulento:
▪ Possui três regiões distintas:
▪ Subcamada viscosa: o transporte é dominado pela difusão e o perfil de velocidade é
aproximadamente linear ( espessura muito pequena)
▪ Camada de amortecimento: a difusão é mistura turbulenta são comparáveis
▪ Região turbulenta: O transporte é dominado pela mistura turbulenta
▪ Como ocorre a mudança de escoamento laminar para turbulento?
▪ Devido à instabilidade (mecanismo de gatilho) presente no escoamento. Ele
se manterá turbulento se as forças inerciais forem muito maiores que as
forças viscosas (dependente do número de Reynolds)
Escoamento laminar e turbulento
▪Numero de Reynolds
▪ A partir das equações de momento de Cauchy, fazendo as devidas
simplificações e substituído chega-se à seguinte forma para placa
plana:
▪Onde x é a dimensão característica a partir da aresta frontal
𝑅𝑒 =
8𝜌ത𝑢2
𝜏𝑤
=
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠
𝜏𝑤 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Fluido Newtoniano
Escoamento laminar e turbulento
Escoamento laminar e turbulento
▪ É razoável supor que a transição comece em um certo loca de 𝑥𝑐. Esse
local é determinado pelo número de Reynolds crítico, 𝑅𝑒𝑥,𝑐
▪ Para a placa plana 105 ≤ 𝑅𝑒𝑥,𝑐 ≤ 3.10
6 ( Dependendo da rugosidade
da superfície do nível de turbulência na corrente livre)
▪Um valor representativo é adotado coso não haja observações
▪ 𝑅𝑒𝑥,𝑐=
𝜌𝑢∞𝑥𝑐
𝜇
= 5. 105
Escoamento laminar e turbulento
•Exemplo 2:
• Água escoa a uma velocidade 𝑢∞=1m/s sobre uma placa plana de comprimento L =
0,6m. Considere dois casos, uma no qual a temperatura da água é aproximadamente
300 K e o outro para uma temperatura aproximada da água de 350 K. Nas regiões
laminares e turbulentas, medidas experimentais mostram que os coeficiente
convectivos locais são bem descritos pelas relações
Nas quais x tem a unidade em m. A 300K
Enquanto a 350 K,
Como está evidente, a constante C depende da natureza do escoamento, assim como
da temperatura da água, em função da dependência com a temperatura de várias
propriedades do fluido.
Determine o coeficiente convectivo médio, തℎ, sobre a placa inteira para as duas
temperaturas.
As equações da camada-limite
Camada limite de velocidade
Y=𝛿 quando:
𝑢 − 𝑢𝑠
𝑢∞ − 𝑢𝑠
= 0,99
Camada limite térmica
Y=𝛿𝑡 quando:
𝑇𝑠 − 𝑇
𝑇𝑠 − 𝑇∞
= 0,99
Por enquanto as espessuras das camadas-limite são arbitrarias (𝛿𝑡 > 𝛿) 
Equação da camada limite para escoamento 
laminar
▪O movimento de um fluido no qual coexistem gradientes de
velocidade e temperatura deve obedecer várias leis da natureza:
▪ Conservação da massa
▪ Conservação de energia
▪ Segunda lei de Newton do movimento ( a força resultante que atua em uma
partícula é igual ao produto da massa pela sua aceleração)▪ Forças de corpo:
1. Gravitacional
2. Magnética
3. Centrifuga
4. Elétrica
▪ Simplificações:
1. As camadas-limites são muito finas (𝛿𝑡 , 𝛿 ,≪ 𝐿)
2. Não há geração de energia térmica no fluido ( ሶ𝑞 = 0)
3. Forças de corpo são desprezíveis
4. Escoamento não é reativo (não há reações químicas)
• 1 . Implica que as variações normais a superfície são muito maiores do que
aquelas ao longo da mesma. Dessa forma, os termos que representam a
difusão na direção x passam a ser desprezadas
▪ Simplificações:
▪ Pela simplificação 1 temos:
▪ A equação da continuidade continua inalterada
▪ As equações de momento na direção x se reduz a:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌𝑣)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇. 𝜌ത𝑢 = 0
Taxa líquida de momento saindo do Vc Pressão Líquida
Forças devido as 
tensões viscosas
▪ Simplificações:
▪ E a equação da energia se reduz a:
Taxa líquida de energia
térmica que deixa o
volume de controle
devido a advecção
Entrada liquida de
energia térmica devido a
condução na direção y
Dissipação Viscosa
Levando em consideração que u ≫ v e
𝜕2𝑢
𝜕𝑥²
é muito pequeno se comparado a
𝜕2𝑣
𝜕𝑦²
Advecção: movimento preferencial do
escoamento
As equações apresentadas anteriormente
estão restritas aos escoamentos
incompressíveis (quando Ma=0,3)
𝑀𝑎 =
𝑣
𝑐
Ar escoando a 300k deve ser tratado como
compressível se v ≥ 100 m/s
c= 347 m/s (velocidade do som no ar
Similaridades na camada-limite: As equações 
da camada-limite normalizadas
▪ Todas as equações apresentadas anteriormente são caracterizadas
por termos relacionados a advecção no lado esquerdo e um termo
difusivo no lado direito.
▪ Essas similaridades podem ser desenvolvidas primeiramente
adimensionalizando as equações.
▪ Parâmetros de similaridade da camada-limite
▪ Primeiramente serão utilizadas as características do problema em
questão
▪ Dimensão característica: L
▪ Velocidade Característica: V
▪ Temperaturas Características: 𝑇𝑠 𝑒 𝑇∞
▪ Definindo as variáveis adimensionais:
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑦∗ =
𝑦
𝐿
𝑢∗ =
𝑢
𝑉
𝑣∗ =
𝑣
𝑉
𝑝∗ =
𝑝∞
𝜌𝑉²
𝑇∗ =
𝑇 − 𝑇𝑠
𝑇∞ − 𝑇𝑠
e
e
▪ As variáveis dimensionais podem então ser escritas em termos das novas
variáveis dimensionais.
▪ Exemplo
x= 𝑥∗L
y= 𝑦∗L
u= 𝑢∗V
v= 𝑣∗V
T = (𝑇∞ − 𝑇𝑠) 𝑇
∗ + 𝑇𝑠
𝑝∞= 𝑝
∗ 𝜌𝑉²
Adimensionalizando a equação da camada-limite de velocidade:
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
−1
𝜌
𝑑𝑝∞
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝜕2𝑢
𝜕𝑦²
▪ Adimensionalizado as variáveis:
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑦∗ =
𝑦
𝐿
𝑢∗ =
𝑢
𝑉
𝑣∗ =
𝑣
𝑉
𝑝∗ =
𝑝∞
𝜌𝑉²
▪ Isolando as variáveis dimensionais e substituído na equação:
x= 𝑥∗L; y= 𝑦∗L; u= 𝑢∗V; v= 𝑣∗V; 𝑝∞= 𝑝
∗ 𝜌𝑉²
(𝑢∗𝑉)
𝜕 𝑢∗𝑉
𝜕 𝑥∗L
+ (𝑣∗V)
𝜕 𝑣∗V
𝜕 𝑦∗L
=
−1
𝜌
𝑑 𝑝∗ 𝜌𝑉²
𝑑 𝑥∗L
+ (𝑣∗V)
𝜕2(𝑢∗V)
𝜕(𝑦∗L)²
▪ Retirando as constantes das variáveis e isolando os termos iguais:
(𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
)(
𝑉2
𝐿
) =
−1
𝜌
𝑑𝑝∗
𝑑𝑥∗
(
𝜌𝑉2
𝐿
) + 𝑣
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
(
𝑢𝑉
𝐿2
)
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
=
−𝑑𝑝∗
𝑑𝑥∗
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
𝜗𝑉
𝐿2
.
𝐿
𝑉2
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
=
−𝑑𝑝∗
𝑑𝑥∗
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
(
𝜗
𝐿𝑉
)
O numero de Reynolds para a placa plana:
𝑅𝑒𝐿 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
=
𝑉𝐿
𝜗
Assim
𝑢∗
𝜕𝑢∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑣∗
𝜕𝑦∗
=
−𝑑𝑝∗
𝑑𝑥∗
+
𝜕2𝑢∗
𝜕𝑦∗2
(
1
𝑅𝑒𝐿
)
Equação de conservação de momento adimensionalizada
Condições de contorno: Camada limite de velocidade
𝑢∗(𝑥∗, 0) = 0 (Parede)
𝑢∗(𝑥∗, ∞) =
𝑢∞
𝑉
(Corrente Livre)
Parâmetro de similaridade: 𝑅𝑒𝐿 =
𝑉𝐿
𝜗
A adimensionalização da equação da camada limite térmica fica como exercício
para treino. O resultado é:
𝑢∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑥∗
+ 𝑣∗
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
=
1
𝑅𝑒𝐿𝑃𝑟
𝜕2𝑇∗
𝜕𝑦∗2
Equação de conservação de energia adimensionalizada
Condições de contorno: Camada limite Térmica
𝑇∗(𝑥∗, 0) = 0 (Parede)
𝑇∗(𝑥∗, ∞) = 1(Corrente Livre)
Parâmetro de similaridade: 𝑅𝑒𝐿 =
𝑉𝐿
𝜗
e 𝑃𝑟 =
𝜗
𝛼
𝜗 =
𝜇
𝜌
; Difusividade de momento
𝛼 =
𝐾
𝜌𝑐𝑝
; Difusividade térmica
𝑃𝑟 =
𝜇
𝜌
𝜌𝑐𝑝
𝐾
=
𝜇𝑐𝑝
𝐾
Com a adimensionalização das equações das camadas-limite, dois parâmetros
adimensionais aparecem:
Numero de Reynolds: 𝑅𝑒𝐿= razão das forças de inercia pelas forças viscosas
Numero de Prandtl: Pr= razão entre a difusão da quantidade de movimento
pela difusão de calor
𝑃𝑟 =
𝜇𝑐𝑝
𝐾
=
(
𝜇
𝜌)
(
𝐾
𝜌𝑐𝑝
)
=
𝜗
𝛼
=
𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝐷𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑟 ≫ 1 → 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒 − 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑃𝑟 ≪ 1 → 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒 − 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑃𝑟 ≈ 1 → 𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡â𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
Escrevendo o coeficiente de atrito com os parâmetros adimensionais:
𝐶𝑓 =
𝜏𝑠
𝜌𝑉2/2
𝑒 𝜏𝑠 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
→ 𝜏𝑠 = 𝜇
𝜕(𝑢∗𝑉)
𝜕(𝑦∗𝐿)
→ 𝜏𝑠 =
𝜇𝑉
𝐿
𝜕(𝑢∗)
𝜕(𝑦∗)y=0 y*=0 y*=0
Substituindo 𝜏𝑠 𝑒𝑚𝐶𝑓 :
𝐶𝑓 =
2𝜇𝑉
𝜌𝐿𝑉2
𝜕(𝑢∗)
𝜕(𝑦∗)
→ 𝐶𝑓 =
2
𝑅𝑒𝐿
𝜕(𝑢∗)
𝜕(𝑦∗)y*=0 y*=0
Escrevendo o coeficiente de película com os parâmetros adimensionais:
ℎ =
−𝐾
𝑓 ൗ𝜕𝑇 𝜕𝑦
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
→ ℎ =
−𝐾
𝑓 ൘
𝜕𝑇∗(𝑇∞−𝑇𝑠)
𝜕(𝑦∗𝐿)
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
y=0 y*=0
Escrevendo o coeficiente de película com os parâmetros adimensionais:
ℎ =
−𝐾𝑓 ൗ
𝜕𝑇
𝜕𝑦
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
→ ℎ =
−𝐾𝑓 ൘
𝜕𝑇∗(𝑇∞ − 𝑇𝑠)
𝜕(𝑦∗𝐿)
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
ℎ =
−𝐾𝑓
𝐿
(𝑇∞ − 𝑇𝑠)
(𝑇𝑠 − 𝑇∞)
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
→ ℎ =
𝐾𝑓
𝐿
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
→
𝜕𝑇∗
𝜕𝑦∗
=
𝐿ℎ
𝐾𝑓
= 𝑁𝑢
y=0 y*=0
y*=0 y*=0
𝑁𝑢 = 𝑓(𝑥∗, 𝑅𝑒𝐿 , Pr)
O gradiente adimensional de temperatura fornece uma medida da transferência de calor por 
convecção que ocorre na superfície.
O Nu representa para a camada-limite térmica o que o 𝐶𝑓 representa para camada-limite de 
velocidade.
𝑁𝑢 =
ഥℎ𝐿
𝐾𝑓
é função apenas de (𝑅𝑒𝐿 , Pr) devido a integração da área na superfície.
•Exemplo 3:
• Testes experimentais, usando ar como fluido de trabalho, foram realizados em uma parte da
pá da turbina mostrada na figura. O fluxo térmico para a pá em um ponto particular (𝑥∗)
sobre a superfície foi medido, sendo 𝑞′′ = 95000
𝑊
𝑚2
. Para manter uma temperatura
superficial em regime estacionário de 800°C, o calor transferido para a pá é removido por
uma substância refrigerante que circula em seu interior.
1. Determine o fluxo térmico para a pá em 𝑥∗ se a sua temperatura superficial for reduzida
para 𝑇𝑠,1 = 700°𝐶 através do aumento da vazão do refrigerante.
2. Determine o fluxo térmico no mesmo local admensional, em que uma pá da turbina
similar, com um comprimento de corda L=80mm, quando a pá operar em escoamento de
ar com 𝑇∞ = 1150°𝐶 e V=80m/s, com 𝑇𝑠 = 800°𝐶.
Lista de exercícios
• Exercícios referentes ao livro texto: Fundamentos de Transferência de 
Calor e Massa 7ª Edição, Frank P. Incropera
• Exercícios a serem resolvidos: 6.2, 6.3, 6.18, 6.28, 6.29, 6.32, 6.39, 
6.43, 6.44, 6.45, 6.49